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因式分解16种方法

因式分解16种方法
因式分解16种方法

因式分解的16种方法

因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:()1332--=+-x x x x )

分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握:

①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;

③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤:

(1)找出公因式;

(2)提公因式并确定另一个因式:

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;

②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的

一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;

③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。 例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意:把22a +21变成2(2a +4

1)不叫提公因式 ⑵公式法

如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

平方差公式:2a 2b -=(a+b)(a-b); 完全平方公式:2a ±2ab +2b =()2b a ±

注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的

平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式: 33b a +=(a+b)( 2a -ab+2b );

立方差公式:33b a - =(a--b)( 2a +ab+2b );

完全立方公式:3a ±32a b +3a 2b ±3b =(a ±b)2.

公式:3a +3b +3c -3abc=(a+b+c)( 2a +2b +2c -ab-bc-ca)

例如:2a +4ab+42b =(a+2b) 2。

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。 比如: ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)

我们把ax 和ay 分一组,bx 和by 分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。 同样,这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)

几道例题:

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法:=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)

说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax 和5bx 看成整体,把3ay 和3by 看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。

2. x 3-2x +x-1

解法:=( x 3-2x )+(x-1) =2x (x-1)+ (x-1) =(x-1)( 2x +1)

利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。

3. 2x -x-y 2-y

解法:=(2x -y 2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)

利用二二分法,再利用公式法a 2-b 2=(a+b)(a-b),然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

①2x +(p+q)x+pq 型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:2x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

②k 2x +mx+n 型的式子的因式分解

如果有k=ac ,n=bd ,且有ad+bc=m 时,那么kx 2+mx+n=(ax+b)(cx+d).

图示如下:

a d 例如:因为1 -3

× ×

c d 7 2 -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,

所以72x -19x-6=(7x+2)(x-3).

十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中

⑸裂项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b).

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如:2x +3x-40 =2x +3x+2.25-42.25 =()()225.65.1-+x =(x+8)(x-5).

⑺应用因式定理

对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a .

例如:f(x)=2x +5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是2x +5x+6的一个因式。(事实上,2x +5x+6=(x+2)(x+3).)

注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p (p,q 为互质整数时)该多项式值为零,则q 为常数项约数,p 最高次项系数约数;

2、对于多项式f(a)=0,b 为最高次项系数,c 为常数项,则有a 为c/b 约数

⑻换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.

例如在分解(2x +x+1)( 2x +x+2)-12时,可以令y=2x +x ,则

原式=(y+1)(y+2)-12 =y 2+3y+2-12=y 2+3y-10 =(y+5)(y-2)

=(2x +x+5)( 2x +x-2) =(2x +x+5)(x+2)(x-1).

⑼求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x ,x3,……xn ,

则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x 2-13x+6=0,

则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1.

所以2x^4+7x^3-22x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

⑽图象法

令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X 轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).

与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。

例如在分解x^3 +22x -5x-6时,可以令y=x^3; +22x -5x-6.

作出其图像,与x 轴交点为-3,-1,2

则x^3+22x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).

⑾主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 ⑿特殊值法

将2或10代入x ,求出数p ,将数p 分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x ,即得因式分解式。

例如在分解x^3+92x +23x+15时,令x=2,则

x^3 +92x+23x+15=8+36+46+15=105,

将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 .

注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,

则x^3+92x+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。

⒀待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-52x-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。

于是设x^4-x^3-52x-6x-4=(2x+ax+b)( 2x+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d) 2x+(ad+bc)x+bd

由此可得 a+c=-1,

ac+b+d=-5,

ad+bc=-6,

bd=-4.

解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.

则x^4-x^3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4).

⒁双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f

x、y为未知数,其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例:分解因式:x2+5xy+6y2+8x+18y+12.

分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解:

原式=(x+2y+2)(x+3y+6).

双十字相乘法其步骤为:

①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y);

②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6);

③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。

多项式因式分解的一般步骤

①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;

④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要合适。”

几道例题

1.分解因式(1+y) 2-2x2 (1+y2)+x4 (1-y) 2.

解:原式=(1+y) 2+2(1+y)x2 (1-y)+x4 (1-y) 2-2(1+y)x2 (1-y)-2x2 (1+y2)(补项)

=[(1+y)+x 2 (1-y)] 2-2(1+y)x 2 (1-y)-2x 2 (1+y 2)(完全平方)

=[(1+y)+x 2 (1-y)] 2-(2x) 2

=[(1+y)+x 2 (1-y)+2x][(1+y)+x 2 (1-y)-2x]

=(x 2-x 2y+2x+y+1)(x 2-x 2y-2x+y+1)

=[(x+1) 2-y(x 2-1)][(x-1) 2-y(x 2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

2.求证:对于任何实数x,y ,下式的值都不会为33:

543223451241553y xy y x y x y x x ++--+

解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y 2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x 2y 2 (x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x 2y 2+4y^4)

=(x+3y)(x 2-4y 2)(x 2-y 2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).

当y=0时,原式=x^5不等于33;当y 不等于0时,x+3y ,x+y ,x-y ,x+2y ,x-2y 互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。

3..△ABC 的三边a 、b 、c 有如下关系式:-c 2+a 2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。 分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明:∵-c 2+a 2+2ab-2bc=0,

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.

∴(a-c)(a+2b+c)=0.

∵a 、b 、c 是△ABC 的三条边,

∴a +2b +c >0. ∴a -c =0, 即a =c ,△ABC 为等腰三角形。

4.把-12x^2n ×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n ×y^(n-1)分解因式。

解:-12x^2n ×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n ×y^(n-1)

=-6x^n ×y^(n-1)(2x^n ×y-3x^2y^2+1).

四个注意

初中的数学主要是分代数和几何两大部分,两者在中考中所占的比例,代数略大于几何

代数主要有以下几点:

1.有理数的运算,主要讲有理数的三级运算(加减乘除和乘方开方)在这里要注意数字和字母的符号意识,就是,不要受小学数字的影响,一看见字母就不会做题了。

2. 整式的三级运算,注意符号意识的培养,还有就是因式分解,这和整式的乘法是互换的,注意像平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和变形用。

3. 方程,会一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四种方程的解法和应用,记住,方程是一种方法,是一种解题的手段。

4. 函数,会识别一次函数、二次函数、反比例函数的图像,记住他们的特征,要会根据条件来应用。尤其要注意二次函数,这是中考的重点和难点。应用题里会拿它来出一道难题的

几何主要有以下几点:

1.识别各种平面图形和立体图形,这你应该非常熟悉。

2.图形的平移、旋转和轴对称,这个考察你的空间想象的能力,多做一些题。

3.三角形的全等和相似,要会证明,注意要有完整的过程和严密的步骤,背过证明三角形全等的五

种方法和证明相似的四种方法;还有像等腰三角形、直角三角形和黄金三角形的性质,要会应用,这在证明题中会有很大的帮助。

4.四边形,把握好平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念,选择体里会拿着它们之间的微小差异而大做文章,注意它们的判定和性质,证明题里也会考到。

5.圆,我这里没有细学,因为这里不是我们中考的重点,但是圆的难度会很大,它的知识点很多、很碎,圆的难题就是由许许多多细小的点构成的。

初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

初中阶段因式分解的常用方法(例题详解) 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。 1.因式分解的对象是多项式; 2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式; 3.分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4.公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式; 5.结果如有相同因式,应写成幂的形式; 6.题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解; 7.因式分解的一般步骤是: (1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解; (2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法. 因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下: 一、提公因式法. 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式,m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式. 二、运用公式法. 运用公式法,即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2, a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) 写出结果. 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:am+an+bm+bn 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑 两组之间的联系。 解:原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式! =(m+n)(a+b) 思考:此题还可以怎样分组? 此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式:2ax-10ay+5by-bx 解法一:第一、二项为一组;解法二:第一、四项为一组; 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解:原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by) =2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b) =(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y) 练习:分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1

因式分解16种方法

因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又 有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如:—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握: ①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示; ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数; ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时,多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤: (1)找出公因式; (2)提公因式并确定另一个因式: ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母; ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式; ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。 例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意:把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式:a2「b2 =(a+b)(a-b);完全平方公式:a2± 2ab+ b2= a-b2 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)

因式分解的常用方法及练习题

因式分解的常用方法 第一部分:方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)平方差公式:(a+b)(a -b) = a 2-b 2 (2) 完全平方公式:(a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 (3) 立方和公式:a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) (4) 立方差公式:a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2) (5)完全立方公式:(a±b)3=a 3±3a 2b +3ab 2±b 3 下面再补充两个常用的公式: (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca); 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++ 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。 解:原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式! =))((b a n m ++ 例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102 解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组; 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解:原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习:分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式:ay ax y x ++-22 分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。 例4、分解因式:2222c b ab a -+- 解:原式=)()(22ay ax y x ++- 解:原式=222)2(c b ab a -+-

因式分解的9种方法

因式分解的多种方法——--知识延伸,向竞赛过度 1. 提取公因式:这种方法比较常规、简单,必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式 例一:0322 =-x x 解:x(2x-3)=0, x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程. 总结:要发现一个规律:当一个方程有一个解x=a 时,该式分解后必有一个(x —a )因式,这对我们后面的学习有帮助。 2. 公式法 常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。 例二:42-x 分解因式 分析:此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a —b) 2解:原式=(x+2)(x —2) 3. 十字相乘法 是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b ,那么可以直接写成结果 例三: 把3722+-x x 分解因式. 分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。 分解二次项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(—3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7. 解 原式=(x —3)(2x —1). 总结:对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下: a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即

因式分解的16种方法

因式分解の16種方法 因式分解沒有普遍の方法,初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上,又有拆項和添減項法,分組分解法和十字相乘法,待定係數法,雙十字相乘法,對稱多項式輪換對稱多項式法,餘數定理法,求根公式法,換元法,長除法,除法等。 注意三原則 1 分解要徹底 2 最後結果只有小括弧 3 最後結果中多項式首項係數為正(例如:()1332--=+-x x x x ) 分解因式技巧 1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。 2.分解因式技巧掌握: ①等式左邊必須是多項式;②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示; ③每個因式必須是整式,且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數; ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注:分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應從係數和因式兩個方面考慮。 基本方法 ⑴提公因式法 各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。 如果一個多項式の各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積の形式,這種分解因式の方法叫做提公因式法。 具體方法:當各項係數都是整數時,公因式の係數應取各項係數の最大公約數;字母取各項の相同の字母,而且各字母の指數取次數最低の;取相同の多項式,多項式の次數取最低の。 如果多項式の第一項是負の,一般要提出“-”號,使括弧內の第一項の係數成為正數。提出“-”號時,多項式の各項都要變號。 提公因式法基本步驟: (1)找出公因式; (2)提公因式並確定另一個因式: ①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母; ②第二步提公因式並確定另一個因式,注意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式,所得の商即是提公因式後剩下の 一個因式,也可用公因式分別除去原多項式の每一項,求の剩下の另一個因式; ③提完公因式後,另一因式の項數與原多項式の項數相同。 口訣:找准公因式,一次要提淨;全家都搬走,留1把家守;提負要變號,變形看奇偶。 例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c); a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意:把22a +21變成2(2a +4 1)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法。 平方差公式:2a 2b -=(a+b)(a-b); 完全平方公式:2a ±2ab +2b =()2 b a ±

初中常用因式分解公式

初中常用因式分解公式 2013.6.6 一.因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二.因式分解方法: 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式,那么就可以把这个相 同因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解:x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解:a2 +4ab+4b =(a+2b)(a+2b)完全平方公式 最常用的公式: (1)(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b); (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2; (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式! 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析: 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解:7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法,然后就能将其因式分解。

因式分解12种方法全攻略

因式分解的十二种方法全攻略 1.1提公因式法 【例1】 分解因式: 3222524261352xy z xy z x y z -++ 1.2公式法 平方差公式:22()()a b a b a b -=+- 完全平方公式:2222()a ab b a b ++=+ 2222()a ab b a b -+=- 三项完全平方公式: 立方和差公式: 【例2】 分解因式:66a b - 附加:分解因式:333333()()()a b b c c a a b c ++++++++ 1.3选主元 【例3】 分解因式:1a b c ab bc ca abc +++++++. 练习:分解因式:1、2222a b ab bc ac --++ 附加:222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++

1.4分组分解法 【例4】 分解因式:1、ax ay bx cy cx by -++--; 【例5】 3254222x x x x x --++- 【例6】 分解因式2244243x xy y x y ++---. 1.5拆添项法 【例7】 分解因式432433x x x x ++++ 【例8】 因式分解343a a -+. 【例9】 分解因式:310x x ++ 【例10】 分解因式:421x x ++ 42231x x -+

附加题:1、51x x ++ 2、541a a ++ 1.6十字相乘法 【例11】 分解因式:()()()222221a a x a x a a ---++ 1.7 重组重解 【例12】 分解因式:(6114)(31)2a a b b b +++-- 【例13】 分解因式:2 2(1)(1)(221)y y x x y y +++++ 附加:()()222222ax by ay bx c x c y ++-++ 1.8双十字相乘法 【例14】 分解因式:222332x xy y x y +-+++

几种常见的因式分解方法

几种常见的因式分解方法 1. 提取公因式法 2. 分组分解法 3. 应用公式法,常用的公式有: (1)222)(2b a b ab a ±=+± (2)))((22b a b a b a -+=- (3)))((2233b ab a b a b a +±=± (4)33223)(33b a b ab b a a ±=±+± (5)2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ (6)))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 公式(5)证明如下: ac bc ab c b a 222222+++++ 222)22()2(c bc ac b ab a +++++= 22)(2)(c c b a b a ++++= 2)(c b a ++= 公式(6)证明如下: abc c b a 3333-++ abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++= )333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++= )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= 在特殊情况下,当c b a ++=0时,就有abc c b a 3333-++=0,

于是, (7)abc c b a 3333=++ 这就是说,如果三个整式的和为零,那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍. 4.十字相乘法 (1)有二次三项式q px x ++2,如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积,并使a +b =p ,则有 ))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ (2)有二次三项式c bx ax ++2,如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2,常数项c 分解成两个因数b 1和b 2,并且使b b a b a =+2211,则有 c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++= ))((2211b x a b x a ++= (3)二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解. 设f ey dx cy bxy ax F +++++=22 ))((222111c y b x a c y b x a ++++= 则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++= 211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++= 可以看出,a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的,这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解,再把f 分解成因数c 1和c 2.如果 ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221 则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积.这种分解方法可视为双十字相乘法. 对一个较复杂的多项式进行因式分解时,经常要综合运用以上方法,有时需要拆项和增减项,但在拆项和增减项时,要注意和原来的多项式保持相等.

因式分解公式大全

公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用. 在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法. 常用的因式分解公式:

例1 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3. 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y), 若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决. 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比较两边对应项的系数,则有 解之得m=3,n=1.所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1). 说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.例2 分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7. 分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式. 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有 由bd=7,先考虑b=1,d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).

高中数学因式分解方法大全

高中数学因式分解方法大全 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下:1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x-2x-x(2019淮安市中考题) x-2x-x=x(x-2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a+4ab+4b(2019南通市中考题) 解:a+4ab+4b=(a+2b) 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m+5n-mn-5m 解:m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n =(m-5m)+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q 且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x-19x-6 分析:1-3 72 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技 巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。2-21=-19 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼,从最初的门馆、私塾到晚清的学堂,“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书,最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也?”;《论语》中的“有酒食,先生馔”;《国策》中的“先生坐,何至于此?”

因式分解概念及基本方法

【例1】 下列各式从左边到右边的变形中,是因式分解的是( ) A .223()33ab a b a b ab +=+ B .222 2421x x x x ?? +=+ ??? C .224(2)(2)a b a b a b -=+- D .23633(2)x xy x x x y -+=- 因式分解概念及基本方法

【例2】 把下列各式分解因式 ⑴8x3y2+12xy3z =4xy2·( )+4xy2·( ) =4xy2·( +) ⑵2a(b+c)-3(b+c) =( )·(b+c)-( )·(b+c) =( -)·(b+c) ⑶12abc-9a2b2=__________; ⑷(x+3)2-(x+3)=__________。 【例3】 因式分解: ⑴(x+y)2-3(x+y)=________。 ⑵x(a-b)2n+y(b-a)2n+1=_________。 ⑶x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=_________。 ⑷m(x+y)+n(x+y)-x-y=_________。 【例4】 把下列各式因式分解 ⑴4a2-9 =( )2-( )2 =( +)( -)

⑵(x+m)2-(x+n)2 =[( )+( )][( )-( )] =( )( ) ⑶4x2+12x+9 =( )2+2·( )·( )+( )2 =( )2 ⑷-a2+4ab-4b2 =-( ) =- [( )2-2·( )·( )+( )2] =-( )2 ⑸把x3-2x2y+xy2分解因式,结果正确的是( ) A.x(x+y)(x-y) B.x(x2-2xy+y2) C.x(x+y)2 D.x(x-y)2 ⑹因式分解:x3-xy2=___________; ⑺分解因式:27x2+18x+3=___________。 【例5】 因式分解: ⑴16m4-72m2+81; ⑵-(a+1)2-2(a2-1)-(a-1)2; ⑶4b2c2-(b2+c2-a2)2。 知识框架重现 因式分解 定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种式子变形叫做因式分解,又叫分解因式。方法:1.提公因式法2.公式法3.囧4.囧

(完整版)高中数学因式分解方法大全(十二种)

因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x x -2x –x =x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b 解:a +4ab+4b =(a+2b) 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析: 1 -3 7 2 2-21=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、求根法

因式分解的多种方法(全)

因式分解的多种方法 1】提取公因式 这种方法比较常规、简单,必须掌握。 常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等 例一:2x^2-3x=0 解:x(2x-3)=0 x1=0,x2=3/2 这是一类利用因式分解的方程。 总结:要发现一个规律就是:当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。 2】公式法 将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。 常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等 注意:使用公式法前,建议先提取公因式。 例二:x^2-4分解因式 分析:此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解:原式=(x+2)(x-2) 3】十字相乘法 是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果 例三:把2x^2-7x+3分解因式. 分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5

1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7. 解原式=(x-3)(2x-1). 总结:对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c 2,排列如下: a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx +c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+ c1与a2x+c2之积,即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 这种方法要多实验,多做,多练。它可以包括前两者方法。 4】分组分解法 也是比较常规的方法。 一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起来

因式分解方法大全1

因式分解方法大全(一) 因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式,叫因式分解或分解因式。它与整式乘法是方向相反的变形.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。 因式分解的主要方法: ⑴提公因式法;⑵运用公式法;⑶分组分解法;⑷十字相乘法; ⑸添项折项法;⑹配方法;⑺求根法;⑻特殊值法;⑼待定系数法; ⑽主元法;⑾换元法;⑿综合短除法等。 第一部分:方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: ⑴平方差公式:22()()a b a b a b -=+- ⑵完全平方公式:2222()a ab b a b ±+=± ⑶立方和公式:3322()()a b a b a ab b +=+-+(新课标不做要求) ⑷立方差公式:3322()()a b a b a ab b -=-++(新课标不做要求) ⑸三项完全平方公式:2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++ ⑹ 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++--- 例.已知a b c ,,是ABC ?的三边,且222a b c ab bc ca ++=++,则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++ 例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102 解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组; 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解:原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

因式分解常用方法总结

因式分解常用方法总结 【知识回顾】 分式方程的解法及注意(增根问题) 例1、已知关于x 的分式方程a x a =++1 12无解,试求a 的值(提示:先把x 求出来,即用a 来表示x ) 【新知识讲解】 一、分解因式与整式乘法的关系. 因式分解的特点:它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. 例: 由(a +b )(a -b )=a 2-b 2可知,左边是整式乘法,右边是一个多项式; 由a 2-b 2=(a +b )(a -b )来看,左边是一个多项式,右边是整式的乘积形式,所以这 两个过 程正好相反. 二、分解因式常用的方法. 1、找公因式的一般步骤. (1)若各项系数是整系数,取系数的最大公约数; (2)取相同的字母,字母的指数取较低的; (3)取相同的多项式,多项式的指数取较低的. (4)所有这些因式的乘积即为公因式. 例2:993-99能被100整除吗?还能被那些数整除? 2、公式法: (1)平方差:a 2—b 2=(a +b )(a —b ) 例3:1)25-16x 2; 2)9a 2-4 1b 2. 3)9(m +n )2-(m -n )2 4)2x 3 -8x . (2)完全平方和:(a +b )2=a 2+2ab +b 2 (3)完全平方差:(a —b )2=a 2—2ab +b 2

三、十字相乘法分解因式:利用十字交叉来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 例4、在多项式232++x x 分解时,也可以借助画十字交叉线来分解。2x 分解为x x ?,常数项2分解12?,把它们用交叉线来表示: 所以)2)(1(232++=++x x x x 同样:q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示: 其中ab q =,b a p += 例5:用十字相乘法分解因式: (1)1272+-x x (2)1242--x x (3)1282++x x (4)12112--x x 四、用分组分解法分解因式 (1)定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22a b a b -+-没有公因式,又不能直接利 用分式法分解, 但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。例如: 22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++, 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 (2)原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。 (3)有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。 例6 把下列各式分解因式 (1)bc ac ab a -+-2 (2)bx by ay ax -+-5102 (3)n mn m m 552+-- (4)bx ay by ax 3443+++ x x +2 +1 x x +a +b

因式分解三种方法

因式分解-提公因式法 (1)32844x x x ++. (2) 3232a a a ++. (3)26325 1339ab x a b x -- (4)3(x -y )2 - (y -x )3 . (5)-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 (6)a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 (7)-+-41222332m n m n mn (8)a x abx acx adx n n n n 22 11++-+--(n 为正整数) (9)a a b a b a ab b a ()()()-+---3222 22 (10)x (x -y )-y (y -x ) (11)-12x 3 + 12x 2y -3xy 2 (12)(x +y )2 +mx +my (13)a (x -a )(x +y )2 -b (x -a )2 (x +y ) (14)15×(a -b )2 -3y (b -a ) (15)(a -3)2-(2a -6)(16)-20a -15ax (17)(m +n )(p -q )-(m +n )(q +p ) (18)39×37-13×34 (19)29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×14

因式分解-公式法 专题训练一:利用平方差公式分解因式 题型(一):把下列各式分解因式 1、24x - 2、2 9y - 3、2 1a - 4、2 2 4x y - 5、2125b - 6、2 2 2 x y z - 7、2240.019m b - 8、2 2 19 a x - 9、 2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、2 2 2549p q - 13、 2422 a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、44411681 a b m - 题型(二):把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、 22 16()9()a b a b --+ 4、2 2 9()4()x y x y --+ 5、2 2 ()()a b c a b c ++-+- 6、2 2 4()a b c -+ 题型(三):把下列各式分解因式 1、53x x - 2、2 2 4ax ay - 3、3 22ab ab - 4、3 16x x - 5、2 4 33ax ay - 6、2 (25)4(52)x x x -+- 7、3 2 4x xy - 8、3 4 3 322x y x - 9、44 16ma mb -

初中因式分解基本方法

初中因式分解的基本方法 因式分解(factorization) 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等. ⑴提公因式法 ①公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~. ②提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am+bm+cm=m(a+b+c) ③具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式:. a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式:a3- b3=(a-b)( a2+ab+ b2). ③完全立方公式:a3±3 a2b+3a b2±b3=(a±b)3 ④a n-b n=(a-b)[a(n-1)+a(n-2)b+……+b(n-2)a+b(n-1)] a m + b m =(a+b)[a(m-1)-a(m-2)b+……-b(m-2)a+b(m-1)] (m为奇数) ⑶分组分解法

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