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中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳

一、二次函数概念

1．二次函数的概念：一般地，形如2

=++（a b c

y ax bx c

，，是常数，0

a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0

，可以为零．二次函数的定义域是全体

a≠，而b c

实数．

2. 二次函数2

y ax bx c

=++的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵a b c

，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

=的性质：

y ax

结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：

=+的性质：

y ax c

结论：上加下减。

总结：

3. ()2

y a x h =-的性质：

结论：左加右减。总结：

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

总结：

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

三、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

请将2

245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2

y a x h k =-+。

总结：

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ???

，其中2424b ac b h k a a -=-=

，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

五、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值2

44ac b a

-．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a

a ??-- ???，．

当2b

x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；

当0b =时，02b

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b

>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b

->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b

<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．总结：

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次

方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'

当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符

号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的

一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)

ax bx c a

++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0

a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

y=-2x2

y=3(x+4)2

y=3x

y=-2(x-3)2

2-3

一．选择题

1．二次函数522

+-=x x y 的值域是（）

Ａ．)4∞+，　［Ｂ．),4(∞+ Ｃ．(4， ∞-］Ｄ．)4,(　-∞

2．如果二次函数452

++=mx x y 在区间)1,(--∞上是减函数，在区间),1[+∞-上是增函数，则=

m （）

Ａ．2 Ｂ．-2 Ｃ．10 Ｄ．-10

3．如果二次函数)3(2

+++=m mx x y 有两个不相等的实数根，则m 的聚值范围是（）Ａ．),6()2,(+∞?--∞ Ｂ．)6,2(- Ｃ．)6,2[- 0 Ｄ．}6,2{- 4．函数32

-+=

x x y 的最小值是（）Ａ．-3. Ｂ．.213- Ｃ．3 Ｄ．.2

5．函数2422

---=x x y 具有性质（）

Ａ．开口方向向上，对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，0）

Ｂ．开口方向向上，对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0）Ｃ．开口方向向下，对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，0）Ｄ．开口方向向下，对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0） 6．下列命题正确的是（）

Ａ．函数3622

--=x x y 的最小值是

23 Ｂ．函数3622

---=x x y 的最小值是4

15 Ｃ．函数342

+--=x x y 的最小值为7 Ｄ．函数342

+--=x x y 的最大值为7

7．函数（1）3422-+=x x y ；（2）3422++=x x y ；（3）3632---=x x y ；（4）3632

-+-=x x y 中，对称轴是直线1=x 的是（）Ａ．（1）与（2）Ｂ．（2）与（3）Ｃ．（1）与（3）Ｄ．（2）与（4） 8．对于二次函数x x y 822

+-=，下列结论正确的是（）

Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8 Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值8

9．如果函数)0(2

≠++=a c bx ax y ，对于任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么下列选项中正确的是（）

Ａ．)4()1()2(f f f <-< Ｂ．)4()2()1(f f f <<- Ｃ．)1()4()2(-<

2+-=x x a y 有最小值，则实数a ＝（）Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2± Ｄ．2±

二．填空

1．若函数12)(2-+=x x x f ，则)(x f 的对称轴是直线

2．若函数322

++=bx x y 在区间]2,(-∞上是减函数，在区间],2(+∞是增函数，则=b 3．函数9322

--=x x y 的图象与y 轴的交点坐标是，与x 轴的交点坐标是、 4．已知6692

+-=x x y ，则y 有最值为 5．已知12842++-=x x y ，则y 有最值为三．解答题

1．已知二次函数342

-+-=x x y ，（1）指出函数图象的开口方向；（2）当x 为何值时0=y ；（3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。

2.如果二次函数)8()(2--+=k kx x x f 与x 轴至多有一个交点，求k 的值。

3．已知二次函数2

2)1(2)(m m m x x f -+-+-=，（1）如果它的图象经过原点，求m 的值。

（2）如果它的图象关于y 轴对称，写出函数的关系式。

（3）如果它的图象关于y 轴对称，试比较)2()3()2(f f f 、、--。

二次函数知识点大全

二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0 a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0 c ,与y 轴交于正半轴；③0