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2016年高考数学一轮精品复习 H单元解析几何(含解析)

H 单元解析几何

H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

14．B14、H1[20142湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b

，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数． (1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；

(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab

a ＋b

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) [解析] 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：

(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）

c －b

，

即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b

因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）

，故可以选择f (x )＝x (x >0)；

(2)依题意，c ＝2ab a ＋b ，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b

－b ，因为a >0，b >0，所以化简得

f （a ）

＝f （b ）b

，故可以选择f (x )＝x (x >0)．

20．H1 H6 H8[20142江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C ：x 2a

2－y 2

＝1(a >0)的右焦点

为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．

图1-7

(1)求双曲线C 的方程；

(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：

x 0x

a 2

－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，

|MF |

|NF |

恒为定值，并求此定值． 20．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2

＋1.

由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ? ????c

2，－c 2a .

又直线OA 的方程为y ＝1

x ，

则A ? ??

??c ，c a ，所以k AB ＝c a －? ????－c 2a c －

c 2

＝3a .

又因为AB ⊥OB ，所以3a 2? ????－1a ＝－1，解得a 2

＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.

(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为

x 0x

－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝

x 0x －3

3y 0

(y 0≠0)．因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ? ??

??2，

2x 0－33y 0，直线l 与直线x

＝32的交点为N 32，3

2x 0－3

3y 0

，则|MF |2

|NF |

2＝（2x 0－3）

（3y 0）

14＋? ????32x 0－32（3y 0）

2＝（2x 0－3）2

9y 204＋94（x 0－2）2

＝ 432（2x 0－3）2

3y 20＋3（x 0－2）

2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20

－y 2

0＝1，

代入上式得|MF |2

|NF |2＝432（2x 0－3）2

x 20－3＋3（x 0－2）2＝432（2x 0－3）2

4x 2

0－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝23

3，为定值．

20．HI ，H5，H8[20142四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的

两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

(1)求椭圆C 的标准方程．

(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .

①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；

②当|TF ||PQ |

最小时，求点T 的坐标．

20．解：(1)由已知可得???a 2＋b 2＝2b ，

2c ＝2a 2－b 2

＝4，

解得a 2

＝6，b 2

＝2，

所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2

＝1.

(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )，

则直线TF 的斜率k TF ＝m －0

－3－（－2）

＝－m .

当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1

.直线PQ 的方程是x ＝my －2.

当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得?????x ＝my －2，x 26＋y 2

＝1.

消去x ，得(m 2

＋3)y 2

－4my －2＝0，

其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2

＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝

4m m 2＋3，y 1y 2＝－2

m 2＋3

， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12

m 2＋3

设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为? ??

??－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m

3，

又直线OT 的斜率k OT ＝－m

3，

所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . ②由①可得，

|TF |＝m 2

＋1，

|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2

＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2

－4y 1y 2] ＝

（m 2＋1）??????? ??

??4m m 2＋32－42－2m 2＋3

＝24（m 2

＋1）

m 2＋3.

所以|TF ||PQ |

＝

1242（m 2

＋3）2

m 2＋1

＝ 124? ????m 2

＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝3

. 当且仅当m 2

＋1＝

4m ＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF |

|PQ |

取得最小值．故当|TF |

|PQ |

最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．

H2 两直线的位置关系与点到直线的距离

21．H7、H8、H2[20142全国卷] 已知抛物线C ：y 2

＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5

|PQ |.

(1)求C 的方程；

(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，

且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．

21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2

＝2px ，得x 0＝8p

，

所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8

由题设得p 2＋8p ＝5438

，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，

所以C 的方程为y 2

＝4x .

(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．

代入y 2＝4x ，得y 2

－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.

故线段的AB 的中点为D (2m 2

＋1，2m )， |AB |＝m 2

＋1|y 1－y 2|＝4(m 2

＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，

所以l ′的方程为x ＝－1m

y ＋2m 2

＋3.

将上式代入y 2

＝4x ，

并整理得y 2＋4m

y －4(2m 2

＋3)＝0.

设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，

则y 3＋y 4＝－4m

，y 3y 4＝－4(2m 2

＋3)．

故线段MN 的中点为E ? ??

??2

m ＋2m 2＋3，－2m ，

|MN |＝

1＋1

m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2

＋1

. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1

2|MN |，

从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2

，即

4(m 2

＋1)2

＋? ????2m ＋2m 2＋? ??

??2m 2＋22

＝

4（m 2＋1）2（2m 2

＋1）

，化简得m 2

－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，

故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.

H3 圆的方程

9．H3、H5[20142福建卷] 设P ，Q 分别为圆x 2

＋(y －6)2

＝2和椭圆x 2

10＋y 2

＝1上的点，

则P ，Q 两点间的最大距离是( )

A ．5 2 B.46＋ 2

C ．7＋ 2

D ．6 2

9．D [解析] 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2

＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 20

＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 2

0，

∴|CQ |＝10－10y 20

＋（y 0－6）2

＝－9y 20

－12y 0＋46＝－9?

????y 0＋232

＋50，

当y 0＝－2

时，|CQ |有最大值5

2，

则P ，Q 两点间的最大距离为5 2＋r ＝6 2.

H4 直线与圆、圆与圆的位置关系

10．H4、H9[20142安徽卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，

a 2

b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →

＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区

域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )

A ．1＜r ＜R ＜3

B ．1＜r ＜3≤R

C ．r ≤1＜R ＜3

D ．1＜r ＜3＜R

10．A [解析]由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →

＝(2，2)，|OQ |＝2.

曲线C ＝{P |OP →

＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2

＋y 2

＝1.

区域Ω＝{P |0

|≤R ，r

圆P 1：(x －2)2

＋(y －2)2

＝r 2

与P 2：(x －2)2

＋(y －2)2

＝R 2

所形成的圆环，如图所示．

要使C ∩Ω为两段分离的曲线，则有1

19．H4、H5、H8[20142北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2

＝4. (1)求椭圆C 的离心率；

(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2

＝2的位置关系，并证明你的结论．

19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

2＝1.

所以a 2

＝4，b 2

＝2，从而c 2

＝a 2

－b 2

＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.

故椭圆C 的离心率e ＝c a

＝22

. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2

＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.

因为OA ⊥OB ，所以OA →2OB →

＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－

2y 0

x 0

当x 0＝t 时，y 0＝－t 2

，代入椭圆C 的方程，

得t ＝±2，

故直线AB 的方程为x ＝± 2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2，

此时直线AB 与圆x 2＋y 2

＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝

y 0－2

x 0－t

(x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离

d ＝|2x 0－ty 0|

（y 0－2）2＋（x 0－t ）2

. 又x 20＋2y 2

0＝4，t ＝－2y 0x 0

，故

d ＝

????

??2x 0＋2y 2

0x 0x 20＋y 20＋4y 2

x 20

＋4

＝

????

4＋x 2

0x 0x 40＋8x 20＋16

2x 20

＝ 2.

此时直线AB 与圆x 2＋y 2

＝2相切．

6．A2、H4[20142福建卷] 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2

＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为1

”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

6．A [解析] 由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离d ＝

k 2

＋1

<1，解得k ≠0.

当k ＝1时，d ＝12，|AB |＝2r 2－d 2

＝2，则△OAB 的面积为1232312＝12

；

当k ＝－1时，同理可得△OAB 的面积为12，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为1

2”的充分不

必要条件．

12．H4[20142湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2

＝1分成

长度相等的四段弧，则a 2＋b 2

＝________.

12．2 [解析] 依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且

每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝13sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2

＝2.

15．H4、C6[20142全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2

＋y 2

＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点

为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．

15.43

[解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OPA 1－tan 2

∠OPA ＝4

，即l 1与l 2的夹角的正切值等于4

15．H4[20142山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，

h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．

15．(210，＋∞) [解析] g (x )的图像表示圆的一部分，即x 2＋y 2

＝4(y ≥0)．当直线y ＝3x ＋b 与半圆相切时，满足h (x )>g (x )，根据圆心(0，0)到直线y ＝3x ＋b 的距离是圆

的半径求得|b |

9＋1

＝2，解得b ＝210或b ＝－210(舍去)，要使h (x )>g (x )恒成立，则b

＞210，即实数b 的取值范围是(210，＋∞)．

12．H4[20142陕西卷] 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．

12．x 2＋(y －1)2

＝1 [解析] 由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的

圆心为(0，1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2

＝1.

14．E6，H4[20142四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |2|PB |的最大值是________．

14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，

所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2

＝10.

∴|PA ||PB |≤|PA |2

＋|PB |

＝5，

当且仅当|PA |＝|PB |时等号成立．

13．H4[20142重庆卷] 已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2

＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．

13．4±15 [解析] 由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax

＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|

a 2＋1.∵△ABC 为等边三角形，∴|AB |＝r ＝2.又|AB |

＝2r 2

－d 2

，∴2

－? ??

??|2a －2|a 2

＋12＝2，即a 2

－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 21．H4，H5[20142重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别

为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条

21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2

. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2

2，故c ＝1.

从而|DF 1|＝

22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2

＝92，因此|DF 2|＝322

，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2

＝a 2

－c 2

＝1. 因此，所求椭圆的标准方程为x 2

＋y 2

＝1.

(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 2

＋y 2

＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是

两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1

由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1

⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 2

1＋4x 1＝0，解得x 1＝－43

或

x 1＝0.

当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．

当x 1＝－4

时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .

由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径

|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝42

H5 椭圆及其几何性质

20．HI ，H5，H8[20142四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的

两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

(1)求椭圆C 的标准方程．

(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .

①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；

②当|TF ||PQ |

最小时，求点T 的坐标．

20．解：(1)由已知可得???a 2＋b 2＝2b ，

2c ＝2a 2－b 2

＝4，

解得a 2

＝6，b 2

＝2，

所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2

＝1.

(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )，

则直线TF 的斜率k TF ＝m －0

－3－（－2）

＝－m .

当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1

.直线PQ 的方程是x ＝my －2.

当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得?????x ＝my －2，x 26＋y 2

＝1.

消去x ，得(m 2

＋3)y 2

－4my －2＝0，

其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2

＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝

4m m ＋3，y 1y 2＝－2

m ＋3

， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12

m 2＋3

设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为? ??

??－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m

3，

又直线OT 的斜率k OT ＝－m

3，

所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .

②由①可得，

|TF |＝m 2

＋1，

|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2

＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2

－4y 1y 2] ＝

（m 2＋1）??????? ??

??4m m 2＋32－42－2m 2＋3

＝24（m 2

＋1）

m 2＋3.

所以|TF ||PQ |

＝

1242（m 2

＋3）2

m 2＋1

＝ 124? ????m 2

＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝3

. 当且仅当m 2

＋1＝

4m 2

＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF |

|PQ |

取得最小值．故当|TF |

|PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．

14．H5[20142安徽卷] 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过

点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．

14．x 2

＋32

y 2＝1 [解析]

设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2

，

则可设A (c ，b 2

)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，

可得AF 1→＝3F 1B →

，故?

????－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即?

????x 0＝－53c ，y 0＝－13

b 2，

代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋

19b 2

＝1，解得b 2

＝23，故椭圆方程为x 2＋3y

＝1.

19．H4、H5、H8[20142北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2

＝4.

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2

＝2的位置关系，并证明你的结论．

19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

2＝1.

所以a 2

＝4，b 2

＝2，从而c 2

＝a 2

－b 2

＝2.

因此a ＝2，c ＝ 2.

故椭圆C 的离心率e ＝c a

＝22

. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2

＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.

因为OA ⊥OB ，所以OA →2OB →

＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－

2y 0

x 0

当x 0＝t 时，y 0＝－t 2

，代入椭圆C 的方程，

得t ＝±2，

故直线AB 的方程为x ＝± 2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2，

此时直线AB 与圆x 2＋y 2

＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝

y 0－2

x 0－t

(x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离

d ＝|2x 0－ty 0|

（y 0－2）2＋（x 0－t ）2

. 又x 20＋2y 2

0＝4，t ＝－2y 0x 0

，故

d ＝

????

??2x 0＋2y 2

0x 0x 20＋y 20＋4y 2

x 20

＋4

＝

????

4＋x 2

0x 0x 40＋8x 20＋16

2x 20

＝ 2.

此时直线AB 与圆x 2＋y 2

＝2相切．

9．H3、H5[20142福建卷] 设P ，Q 分别为圆x 2

＋(y －6)2

＝2和椭圆x 2

10＋y 2

＝1上的点，

则P ，Q 两点间的最大距离是( )

A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2

9．D [解析] 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2

＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 20

＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 2

0，

∴|CQ |＝10－10y 20

＋（y 0－6）2

＝－9y 20

－12y 0＋46＝－9?

????y 0＋232

＋50，

当y 0＝－2

3时，|CQ |有最大值5

2，则P ，Q 两点间的最大距离为5

2＋r ＝6

20．H5、H8[20142广东卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离

心率为

. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．

9．H5、H6[20142湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公

共点，且∠F 1PF 2＝π

3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

433 B.23

C ．3

D ．2 9．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，

r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 2

2－

r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2

，

即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得? ????1e 1＋1e 22＝? ????1e 1＋1333e 22≤? ????1e 21＋3e 22? ????1＋13＝163

所以1e 1＋1e 2≤433

.故选A.

21．H5、H6、H8、H10[20142湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

2＝1(a

＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2

2＝1的左、右焦点分别

为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝

，且|F 2F 4|＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程；

(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．

21．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2

－b 2a 2a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34

a 4，因此a 2

＝

2b 2

，从而F 2(b ，0)，

F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为

x 2

2＋y 2

＝1，x 2

－y 2

＝1.

(2)因AB 不垂直于y 1x ＝my －1，由?????x ＝my －1，

x 2

＋y 2

＝1得(m 2＋2)y 2

－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，

所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1

m 2＋2

因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ? ????－2

m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜

率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m

x ，即mx ＋2y ＝0.

由?????y ＝－m 2x ，x 2

2－y 2

＝1

得(2－m 2

)x 2

＝4，所以

2－m 2

>0，且x 2

＝42－m 2，y 2

＝m 2

2－m

2，从而|PQ |＝

2x 2

＋y 2

＝2m 2＋4

2－m

2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以

2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4

.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋

2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2

＋2）|y 1－y 2|

m 2＋4

又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2

－4y 1y 2＝2221＋m 2m 2＋2，所以2d ＝2221＋m 2

m 2＋4

故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |22d ＝2221＋m 2

2－m

＝222－1＋3

2－m 2. 而0<2－m 2

≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.

15．H5[20142江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)

相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．

15.

[解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点M 是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1

＋y 2

＝2，且?????x 21a 2＋y 21

2＝1，x 22a 2

＋y

22b 2

＝1，

两式作差可得x 2

－x

a 2

＝

－（y 21－y 22）b ，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a ＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b ，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b

，

即k AB ＝－b 2a 2.由题意可知，直线AB 的斜率为－12，所以－b 2a 2＝－12

，即a ＝2b .又a 2＝b

＋c 2

，

所以c ＝b ，e ＝

. 15．H5[20142辽宁卷] 已知椭圆C ：x 29＋y 2

＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C

的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．

15．12 [解析] 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对称点

为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝1

|BN |，所以|AN |＋

|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.

20．H5、H8[20142辽宁卷] 圆x 2＋y 2

＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三

角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2

2＝1过点P 且离

心率为 3.

(1)求C 1的方程；

(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．

20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0

，切线方程为y －

y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为? ??

??4x 0，0，? ??

??0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝1224x 024y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0

＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．

由题意知?????2a 2－2b 2＝1，

a 2＋

b 2＝3a 2，

解得a 2

＝1，b 2

＝2，故C 1的方程为x 2

－y 2

＝1.

(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 2

3＋b 21＋y 2

b 21

＝1，

其中b 1>0.

由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2

b 21

＝1，

解得b 2

1＝3，

因此C 2的方程为x 26＋y 2

＝1.

显然，l 不是直线y ＝0.

设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由?????x ＝my ＋3，x 26＋y 23

＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0.

又y 1，y 2是方程的根，因此

????y 1＋y 2＝－2 3m

m 2＋2

， ①

y 1y 2＝－3m 2＋2

，

②

由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得

????x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3

m 2＋2

， ③

x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m

m 2＋2

. ④

因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →2BP →

＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2

－2 6m ＋4 6－11＝0，

解得m ＝3 62－1或m ＝－6

＋1.

因此直线l 的方程为

x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62

－1)y －3＝0.

6．H5[20142全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率

为

，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 2

3＋y 2

＝1 C.

x 2

12＋y 28＝1 D.x 212＋y 2

＝1 6．A [解析] 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c

a ＝

，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2

＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23

＋y 2

＝1.

20．H5、H8、H10[20142新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)

的离心率为

32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233

，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．

20．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝23

3，得c ＝ 3.

又c

a ＝

，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2

＝1. 故E 的方程为x 2

＋y 2

＝1.

(2)当l ⊥x 轴时不合题意，

故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．

将y ＝kx －2代入x 2

＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2

－16kx ＋12＝0，

当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>3

时，

x 1，2＝8k ±24k 2

－34k 2

＋1，从而|PQ |＝k 2

＋1|x 1－x 2| ＝4k 2

＋124k 2－34k 2

＋1. 又点O 到直线l 的距离d ＝2

k 2＋1

所以△OPQ 的面积

S △OPQ ＝12d 2|PQ |＝44k 2

－34k 2

＋1. 设4k 2

－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝

4t t 2

＋4＝4

t ＋

. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±7

2时等号成立，满足Δ>0，

所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±

72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－7

x －2. 20．H5、H8、H10[20142新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a ＞b ＞

0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .

(1)若直线MN 的斜率为3

，求C 的离心率；

(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝ 5|F 1N |，求a ，b .

20．解：(1)根据c ＝a 2

－b 2

及题设知M ? ??

??c ，b 2

a ，2

b 2

＝3ac .

将b 2＝a 2－c 2代入2b 2

＝3ac ，

解得c a ＝12，c

＝－2(舍去)．

故C 的离心率为1

(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)

是线段MF 1的中点，故b 2a

＝4，即b 2

＝4a .①

由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则

?????2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即???

??x 1＝－32c ，y 1＝－1.

代入C 的方程，得9c 2

4a 2＋1

2＝1.②

将①及c ＝a 2－b 2

代入②得9（a 2

－4a ）4a 2

＋14a ＝1，解得a ＝7，b 2

＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.

10．H5，H6[20142山东卷] 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1，双曲线C 2的方

程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为3

，则C 2的渐近线方程为( )

A. x ±2y ＝0

B. 2x ±y ＝0

C. x ±2y ＝0

D. 2x ±y ＝0

10．A [解析] 椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2

a .由e 1e 2

＝a 2－b 2a 2a 2＋b 2

＝

1－? ??

??b a 2

1＋? ??

??b a 2

＝32，解得? ????b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x .故选A.

20．H5，H7，H8[20142陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0，

y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离

心率为

. (1)求a ，b 的值；

(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．

图1-5

20．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．

设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32

及a 2－c 2＝b 2

＝1得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1.

(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 2

＋x 2

＝1(y ≥0)．

易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2

－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，

∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．

由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8k

k 2＋4

，

∴点P 的坐标为? ??

??k 2

－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由???

?y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2

＋1（y ≤0），

得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2

－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →

＝－k (1，k ＋2)．

∵AP ⊥AQ ，

∴AP 2AQ ＝0，即－2k

k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，

∵k ≠0，

∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－8

经检验，k ＝－8

3符合题意，

故直线l 的方程为y ＝－8

(x －1)．

方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．

20．H5，H7，H8[20142陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a ＋x 2

b ＝1(a >b >0，

y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离

心率为

. (1)求a ，b 的值；

(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．

图1-5

20．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半

椭圆C 1的左、右顶点．

设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32

及a 2－c 2＝b 2

＝1得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1.

(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 2

＋x 2

＝1(y ≥0)．

易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2

－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，

∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．

由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8k

k 2＋4

，

∴点P 的坐标为? ??

??k 2

－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由?

????y ＝k （x －1）（k ≠0），

y ＝－x 2

＋1（y ≤0），得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2

－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →

＝－k (1，k ＋2)．

∵AP ⊥AQ ，

∴AP 2AQ ＝0，即－2k

k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，

∵k ≠0，

∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－8

经检验，k ＝－8

3符合题意，

故直线l 的方程为y ＝－8

(x －1)．

方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．

18．H5、H8[20142天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶

点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝

|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；

(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．

18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．

由|AB |＝

|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2

＝a 2

－c 2

，则c 2a 2＝1

，

所以椭圆的离心率e ＝

. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2

. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2

2＝1.

设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →

＝(c ，c )．

由已知，有F 1P →2F 1B →

＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上，

所以x 202c 2＋y 20

2＝1.②

由①和②可得3x 2

0＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3

，即

点P 的坐标为? ??

??－4c 3，c 3.

设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝2

3c ，进而圆的半径r ＝

（x 1－0）2

＋（y 1－c ）2

＝

c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|

k 2＋1

＝

r ，即?????

k ? ????－2c 3－2c 3k 2＋1

＝53c ，整理得k 2

－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15，

所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.

21．H5、H8[20142浙江卷] 如图1-6，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆

C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．

(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；

(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b

21．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由?????y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2

2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x

＋2a 2

kmx ＋a 2m 2

－a 2b 2

＝0.

由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2

＝0，解得点P 的坐标为

(完整word版)高中数学解析几何大题精选

解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程，整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ．由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?．显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意．综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围．【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．

高三数学解析几何专题

专题四解析几何专题【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．【例题解析】题型1 直线与方程例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决．解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查．例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)及答案

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）

A．B．C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A．18+36B．54+18C．90 D．81 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB． C．6πD． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（） A．B．C．D． 12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（） A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．

2016年高考数学全国二卷(理科)

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-，（B ）()13-，（C ）()1,∞+ （D ）()3∞--，（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （A ）{}1 （B ）{12}，（C ）{}0123，，，（D ）{10123}-，，，，（3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ， =，且()a b b +⊥r r r ，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ 26k x k =+∈Z （C ）()ππ 212 Z k x k = -∈ （D ）()ππ212Z k x k = +∈ （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =， 2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin 2α= （A ） 725 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - （10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…， (),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为

高考数学解析几何专题练习及答案解析版

高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上（Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上（Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9．圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )

2020高考数学专题复习-解析几何专题

《曲线的方程和性质》专题一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23

2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为（） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么点 P 到右准线的距离是（）

2016年高考数学全国二卷理科完美

2016年高考数学全国二卷(理科)完美版

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2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<< ，{}1,0,1,2,3=-，则A B =I （）（A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2- 【答案】C 【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1A B =-I ，故选C ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．（2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤?? +≤??≥?，，，则2x y +的最大值为（）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C 【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124?+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B 【解析】开始1a =，0k =；第一次循环1 2 a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（4）【2016年北京，理4，5分】设a r ，b r 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =r r ”与“a b a b +=-r r r r ”表示的几何意义，是解答的关键．（5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022x y ???? -< ? ????? （D ）ln ln 0x y +> 【答案】C 【解析】A ．考查的是反比例函数1 y x =在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B ．考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是指数函数12x y ??= ???在()0,+∞单调递减，所以有1122x y ????< ? ?????即11022x y ???? -< ? ????? 所以C 对；D 考查的是

2016年全国高考文科数学(全国1卷word最强解析版)

2016年全国高考文科数学(全国1卷word 最强解析版) 1 / 17 2016年全国文科数学试题(全国卷1）第I 卷（选择题） 1．设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B 【解析】试题分析：集合A 与集合B 公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，选B. 考点：集合运算 2．设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】试题分析：设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得 3-=a ，选A. 考点：复数的概念 3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ） 13 （B ）12 （C ）13 （D ）56 【答案】A 【解析】试题分析：将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为3 1，选A. 考点：古典概型 4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3 A = ，则b= （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】试题分析：由余弦定理得3222452 ???-+=b b ，解得3=b （3 1 -=b 舍去），选D. 考点：余弦定理 5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为

2016年高考全国1卷理科数学试题及答案详解

启封前★绝密试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（试题及答案详解）注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则 i =x y + （A ）1（B ）2（C ）3（D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31（B ）21（C ）32（D ）43 （5）已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π

2016年全国二卷理科数学高考真题与答案解析

2016年全国高考理科数学试题全国卷2 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．8 4、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( ) A ．–43 B ．–3 4 C ． 3 D ．2 5、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π 个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )

A ．x=k π2–π6(k ∈Z) B ．x=k π2+π6(k ∈Z) C ．x=k π2–π12(k ∈Z) D ．x=k π2+π 12(k ∈Z) 8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( ) A ．7 B ．12 C ．17 D ．34 9、若cos(π 4–α)=35 ，则sin2α= ( ) A ．7 25 B ．15 C ．–15 D ．–7 25 10、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n 11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=1 3,则E 的离心率为( ) A ． 2 B ．3 2 C ． 3 D ．2 12、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1 x 与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，则 1 ()m i i i x y =+=∑( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=5 13，a=1，则b=___________． 14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。 (2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n 。 (3)如果α∥β，m ?α，那么m ∥β。 (4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。

人教版高考数学专题复习：解析几何专题

高考数学专题复习：解析几何专题【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==．故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.

2016年高考数学全国二卷(理科)完美版

1 1 1 1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知 z = (m + 3) + (m - 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（A ） (-3 ， ) （B ） (-1，3) （C ） (1, +∞ ) （D ） ( ∞ ，- 3) （2）已知集合 A = {1, 2 , 3} ， B = {x | ( x + 1)(x - 2) < 0 ，x ∈ Z } ，则 A U B = （A ） { } （B ） {1，2} （C ） {0 ，，2 ，3} （D ） {-1，0 ，，2 ，3} r r r r r （ 3）已知向量 a = (1,m ) ，b =(3, -2) ，且 (a + b ) ⊥ b ，则 m= （A ） -8 （B ） -6 （C ）6 （D ）8 （4）圆 x 2 + y 2 - 2 x - 8 y + 13 = 0 的圆心到直线 ax + y - 1 = 0 的距离为 1，则 a= 4 3 （A ） - （B ） - （C ） 3 （D ）2 3 4 （5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

2016年全国高考理科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）4 3 （5）已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是

（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是3 28π，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < （9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x = (10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=2，

高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；（Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．（1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上；（3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、

高考数学专题训练解析几何

解析几何(4) 23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段 l 的距离，记作(,)d P l （1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积；（3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中 12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D . 23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 ||5) PQ x ==≤≤，当 3 x =时， min (,)||d P l PQ == ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成 12:1(||1),:1(||1) l y x l y x =≤=-≤， 222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。 ⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

2016全国一卷理科数学高考真题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{ }2 430A x x x =-+<，{ } 230x x ->,则A B =I （A ）33,2??-- ??? （B ）33,2??- ??? （C ）31,2?? ??? （D ）3,32?? ??? 2.设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.已知方程22 2 213x y m n m n -=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283 π ,则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 7.函数2 2x y x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ） B ）（C ） D ）

8.若101a b c >><<，,则（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 9.执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |= DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 11.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α αI α I 21 3 知函数 ()sin()(0),2 4 f x x+x π π ω?ω?=>≤ =- ，为()f x 的零点,4 x π= 为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ?? ?? ?，单调，则ω的最大值为（A ）11????????（B ）9?????（C ）7????????（D ）5 二、填空题：本大题共3小题,每小题5分 13.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = ． 14.5(2x 的展开式中，x 3的系数是．（用数字填写答案） 15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为． 16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料，乙材料，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分为12分） ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；结束

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