高中数学解析几何常考题型整理归纳
题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质
圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 .
22
【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （
22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2
C.x 3－y 2＝1
22
（2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7
22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab
22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ .
答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1
22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0），
则 a 2＋ b 2＝ 4，①
双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a
由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2
联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1，
2 所求双曲线的方程为 x 2－y
3 ＝1，选 D.
（2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM|
＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26.
)
22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2
－y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为
(3)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点 F 为p2，0 ，设椭圆另一焦点为 E.如图所示，将x＝p2代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ 经过焦点F，所以P 2p，p 且PF⊥OF.
所以|PE|＝p2＋2p＋p2＝2p，
|PF|＝p，|EF|＝p.
故2a＝2p＋p，2c＝p，e＝22c a＝2－1.
【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.
(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.
22
【变式训练】已知椭圆x4＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆
于A，B两点，以
8
下结论：①△ ABF2的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝3.其中正确结论的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
答案A
解析①由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝4，|BF1|＋|BF2|＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，故①正确；②由条件，得F1(－2，0)，因为过F1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y＝x＋2，则原点到l的距离d＝|22|＝1，故②正确；③设
A(x1，
解得 a 2＝ 8， b 2＝4.
22 所以 C 的方程为 x 8＋y 4 ＝1.
（2）证明 设直线 l ： y ＝kx ＋b （k ≠0，b ≠0），
A （x 1，y 1），
B （x 2，y 2），M （x M ，y M ）.
22
将 y ＝kx ＋b 代入x 8 ＋y 4 ＝ 1 得 （2k 2＋1）x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.
x 1＋ x 2 － 2kb b 2 ＝2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋ b ＝2k 2＋1.
所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 .
类题通法】解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤 第一步 ：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值 第二步 ：探究一般情况 .探究一般情形下的目标结论 第三步 ：下结论，综合上面两种情况定结论
y ＝x ＋ 2，
2 y 1），B （x 2，y 2），由 x 2 y 2 得 3x 2＋4 2x ＝0，解得 x 1＝ 0，x 2＝
＋ ＝ 1，
432，所以 |AB|＝ 1＋1·|x 1－x 2| 8
83，故 ③正确 .故选
A.
题型二:圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、 面积、横 （纵）坐标等的定值问题 .
x 2 y 2 2
C ：x a 2＋y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 22，点（2， 2）在 C
上.
例 2】已知椭圆 （1）求 C 的方程；
O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A ，B ，线段 AB 的中点为 M ，证明：直 （2）直线 l 不过原点 线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定
值 . 故 x M ＝ 于是直线
OM 的斜率 k OM ＝x yM M ＝－21k ， 即 k OM ·
k ＝－ 12. ＝1，
（1）解 由题意有 a a －b ＝ 22，
【变式训练】 已知抛物线 C ：y 2＝2px(p>0)的焦点 F(1，0)，O 为坐标原点， A ，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点 .
(1)求抛物线 C 的方程；
1
(2)若直线 OA ，OB 的斜率之积为－ 21，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点 .
(1)解 因为抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为 (1，0)，所以 p 2＝1，所以 p ＝2.所以抛物线 C 的方程为 y 2＝4x.
22
①当直线 AB 的斜率不存在时， 设A t 4，t ，B t 4，－t .因为直线 OA ，OB 的斜率之积为－ 21， － t 1 2
t 2 ＝－ 21，化简得 t 2＝ 32.
4
所以 A(8，t)，B(8，－t)，此时直线 AB 的方程为 x ＝8. y 2＝ 4x ，
②当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y ＝ kx ＋b ，A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，联立得 化简得
y ＝kx ＋ b ，
2 ky 2－4y ＋4b ＝0.
根据根与系数的关系得 y A y B ＝4b ，因为直线 OA ，OB 的斜率之积为－ 1，所以 yA ·yB ＝－1，即 x A x B ＋ k 2 x A x B 2
y 2 y 2
2y A y B ＝ 0.即y 4 ·y 4 ＋ 2y A y B ＝0，解得 y A y B ＝0(舍去 )或 y A y B ＝－ 32.
4b
所以 y A y B ＝ k ＝－ 32，即 b ＝－ 8k ，所以 y ＝ kx －8k ，
即 y ＝ k(x － 8).
综上所述，直线 AB 过定点(8，0).
题型三:圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类： 一是涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题； 二是 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题 .
x 2 y 2 3
【例 3】平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ：x a 2＋y b 2＝1(a>b>0)的离心率是 23，抛物线 E ：x 2＝2y 的焦 点 F 是 C 的一个顶点 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A ，B ，线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.
①求证：点 M 在定直线上；
(2)证明
所以 t t 2·
S 1
②直线 l 与 y 轴交于点 G ，记△ PFG 的面积为 S 1，△PDM 的面积为 S 2，求S1的最大值及取得最大值 S 2
时点 P 的坐标 .
（1）解 由题意知 a ＝ 23，可得 a 2＝4b 2 ，
a ＝ 因为抛物线 E 的焦点 所以椭圆 C 的方程为 （2）①证明 设 P m ，
F 0，21 ，所以 b ＝21， a ＝1， x 2＋4y 2＝1.
m 2
m 2 （m>0），由 x 2＝ 2y ，可得 y ′＝x ，所以直线 l 的斜率为 m ，因此直线
l 的方程为
2
y －m 2 ＝m （x －
m ）. 2 即 y ＝mx －
m 2 .
设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， D
（x 0，y 0）.
22
x ＋ 4y ＝1，
联立方程 m 2
得（4m 2＋1）x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.
由 Δ>0，得 0 3 3 2 4m 2m m 且 x 1＋ x 2＝ 2 ，因此 x 0＝ 2 ，将其代入 y ＝ mx － ，得 y 0＝ 4m ＋1 4m ＋ 1 2 2 2（4m 2＋1），因为 x y 0＝－41m . 1 所以直线 OD 方程为 y ＝－ 1x ， 联立方程 y ＝－ 1 x ， y ＝－4m x ，得点 M 的纵坐标 y M ＝－ 14， x ＝m ， 1 所以点 M 在定直线 y ＝－ 14 上 . ②由①知直线 l 的方程为 y ＝ mx － m 2 令 x ＝ 0，得 y ＝－ m 2 ，所以 G 0， 2 m 2， － m 2 ， － 2 ， 又 P m ，m 2 ， F 0，12 ， D 2m 3 2， 2＋1， －m 2 2（4m 2＋ 1） ，
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