十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学
真题
2008-21 ．（12 分）
双曲线的中心为原点
O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1
uuur uuur uuur uuur uuur
的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向．
AB OB
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为
4 ，求双曲线的方程．
2009-21 ．（12 分）
如图，已知抛物线 E : y 2
x 与圆 M : ( x 4)2
y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个
点。
（I ）求 r 的取值范围：
(II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线
A 、
B 、
C 、
D 的交点 p 的坐标。
2010-21 (12
分 )
已知抛物线 C : y 2
4x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，
点 A 关于 x 轴的对称点为 D .
（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；
uuur uuur
8
（Ⅱ）设 FAgFB
BDK 的内切圆 M 的方程 .
，求
9
1 / 13
2011-20 （12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满
足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
2012-20 （12 分）
设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， A
C ， 已知以 F 为圆心，
FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；
（1）若
BFD
90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若 A, B, F 三点在同一直线
m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，
求坐标原点到 m, n 距离的比值。
2013-21 (12
分 )
2
2
已知双曲线
C ： x
2
y
2 =1 (a ＞ 0， b ＞0)的左、右焦点分别为
F 1， F 2，离心率为 3，直线 y
a b
＝2 与 C 的两个交点间的距离为6 . (1)求 a ， b ；
(2)设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于
A ，
B 两点，且 | AF | ＝| BF | ，证明： | AF | ，
2
1
1
2
| AB| ， | BF 2| 成等比数列．
2014-20
已知点 A(0，－ 2)，椭圆 E ： x 2 2
3
， F 是椭圆 E 的右焦点，
2
y 2
=1 (a>b>0) 的离心率为
a
b 2
直线 AF 的斜率为
2
3
， O 为坐标原点
.
3
2 / 13
(1) 求 E 的方程；
(2) 设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P ， Q 两点，当 △ OPQ 的面积最大时，求
l 的方程 .
2015-20.( 12 分)
C : y
x 2
在直角坐标系 xoy
中，曲线 4 与直线
y kx
a a
交于
M , N
两点，
(Ⅰ )当
k 0
时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；
(Ⅱ ) y 轴上是否存在点 p ，使得当 k
变动时，总有
OPM
OPN
？说明理由 .
2016-20. （12 分）
设圆 x 2
y 2 2x 15 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B （ 1,0）且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ，
D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.
（I ）证明
EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
（II ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1，直线 l 交 C 1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .
2017-20 ．（12 分）
已知椭圆 C ：
x
2
y 2
1(a b 0) ，四点 P 1 (1,1)，P 2 (0,1)，P 3
1, 3
，P 4
1, 3 中 a 2
b 2
2
2
恰有三点在椭圆 C 上．
（ 1）求 C 的方程；
（ 2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点．若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为 –1，
证明： l 过定点．
3 / 13
答案
2008-21
（Ⅰ）设 OA m d ， AB m， OB m d 由勾股定理可得：(m d ) 2 m2 (m d) 2
得： d 1
m ， tan AOF
b
， tan AOB tan 2 AOF AB 4 4 a OA 3
2
b
4 b 1 5
由倍角公式
a
，解得
b
2
3 a
,则离心率e ．1 2 2
a
（Ⅱ）过 F 直线方程为y a
( x c) ,与双曲线方程x2 y2 1联立b a2 b2
将 a 2b ，c 5b 代入，化简有152 x28 5 x 21 0
4b b
2 2
4 1 a x x
2 1 a ( x x )2 4x x
b 1 b 1 2 1 2
32 5b 2
28b2
将数值代入，有 4 5 4 ,解得b 3
15 5
x2y2
故所求的双曲线方程为 1 。
36 9
2009-21
（I）这一问学生易下手。将抛物线E : y2 x 与圆 M : (x 4)2 y 2 r 2 (r 0) 的方程联立，消去 y2 ，整理得 x2 7 x 16 r 2 0．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线 E : y2 x 与圆 M : ( x 4) 2 y2 r 2 (r 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点的
4 / 13
充要条件是： 方程（＊）有两个不相等的正根即可
.易得 r (
15 ,4) .考生利用数形结
2
合及函数和方程的思想来处理也可以．
（ I I ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入
的 方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为
A( x 1 , x 1 ) 、 B( x 1 , x 1 ) 、 C(x 2 ,
x 2 ) 、 D (x 2 , x 2 ) 。
则由（ I ）根据韦达定理有 x 1 x 2
7, x 1x 2 16 r 2
， r
(
15
, 4)
2
则 S
1
2 | x 2 x 1 | ( x 1
x 2 ) | x 2 x 1 | ( x 1
x 2 )
2
S 2 [( x 1 x 2 )2 4x 1 x 2 ]( x 1 x 2 2 x 1x 2 )
(7 2 16 r 2 )(4 r 2 15)
令 16 r 2
t ，则 S 2 (7 2t )2 (7 2t)
下面求 S 2 的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有
时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值
类似。
S 2 (7 2t )2 (7 2t)
1
(7 2t)(7 2t)(14 4t)
2
1 7 2t 7 2t 14 4t ) 3 1 28 ) 3
2 (
3 2 (
3
当且仅当 7
2t 14 4t ，即 t 7 时取最大值。 经检验此时 r (
15
, 4) 满足题意。
6
2
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点
P 的坐标。设点 P 的坐标为： P(x p ,0)
由 A 、P 、C 三点共线，则
x 1 x 2
x 1 得 x p x 1x 2 t
7
x 1 x 2
x 1 x p
6
2010-21
设 A( x 1 , y 1) ， B( x 2 , y 2 ) ， D ( x 1,
y 1 ) ， l 的方程为 x my 1(m 0) .
5 / 13
（Ⅰ）将 x
my 1代入 y 2
4x 并整理得
y 2
4my 4 0 从而
y 1
y 2 4m, y 1 y 2
4
直线 BD 的方程为
y y 2
y 2
y 1
( x x 2 )
x 2 x 1
即 y
y 2
4 (x y 2 2 )
y 2 y 1 4
令 y
0，得 x
y 1 y 2
1
4
所以点 F(1,0) 在直线 BD 上
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
x 1 x 2 (my 1 1) (my 2
1) 4m 2 2
x 1x 2
(my 1 1)(my 2 1) 1.
uur uur
因为 FA ( x 1 1, y 1 ), FB (x 2 1, y 2 ) ，
uur uur
1) y 1 y 2 x 1 x 2 ( x 1 x 2 ) 1 4 8 4m 2
FA FB (x 1 1)(x 2 故
8 4m 2
8 ，
4 9 解得
m
3
所以 l 的方程为
3x 4y 3 0,3 x 4y 3
又由（Ⅰ）知
y 2 y 1
(4m)2
4 4
4
7
3
故直线 BD 的斜率
4
3 ，
y 2 y 1 7
因而直线 BD 的方程为 3x 7 y
3 0,3x 7 y 3 0.
因为 KF 为 BKD 的平分线，故可设圆心
M (t,0)( 1 t 1) ， M (t ,0) 到 l 及 BD 的
6 / 13
3 t 1 3 t 1
距离分别为 , .
5 4
3 t 1 3 t 1 1
，或 t
9（舍去），
由
5
得 t
4
9
故
3 t 1
2
.
圆 M 的半径 r
5
3
所以圆 M 的方程为 ( x
1) 2 y 2 4 .
9
9
2011-20
( Ⅰ ) 设 M(x,y),
由 已 知 得 B(x,-3),A(0,-1).
uuur
） ,
所 以 MA = （ -x,-1-y
uuur
uuur uuur uuur
uuur
MB =(0,-3-y),
AB =(x,-2). 再 由 愿 意 得 知 （ MA + MB ） ? AB =0, 即
（ -x,-4-2y ）? (x,-2)=0.
所以曲线 C 的方程式为 y= 1
x 2 -2.
4
( Ⅱ) 设 P(x 0 ,y 0 ) 为曲线 C ：y= 1
x 2 -2 上一点，因为 y '
= 1 x, 所以 l 的斜率为 1
x 0
1
4
2 2
因此直线 l 的方程为 y
y 0 x 0 ( x x 0 ) ，即 x 0 x 2 y 2 y 0 x 2 0 。
2 则 O 点到 l 的距离 d
| 2 y 0 x 02 |
. 又 y 0 1
x 02 2 ，所以
x 02 4
4
1
2
d
2
x 0
4 1
( x 02 4 4 ) 2,
x 02
4 2
x 02
4
当 x 02 =0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.
2012-20
（1）由对称性知：
BFD 是等腰直角 ，斜边 BD 2 p
点 A 到准线 l 的距离 d FA FB
2 p
S
ABD
4 2
1 d
4 2
p 2
BD
2
7 / 13
圆 F 的方程为 x 2
( y 1)2 8
（ 2）由对称性设 A( x 0 ,
x 02
)( x 0 0) ，则 F (0, p
)
2 p
2
点 A, B 关于点 F 对称得： B(
x 0, p x 02 ) p
x 02 p x 02 3 p 2
2 p 2 p
2
3 p
3p p
p
3 p
得： ) ，直线 m : y 2
2 x
x 3y 0
A( 3 p,
2
2
2
3 p
x
2
2 py y
x
2
y
x 3 x
3
p 切点 P(
3 p , p
)
2 p
p 3
3
3
6
p 3 3p ) x 3 y 3 p 0
直线 n : y
( x
3
6
6 3
坐标原点到 m, n 距离的比值为
3p : 3 p 3 。
2 6
2013-21
(1)解：由题设知 c ＝ 3，即
a 2
b 2 ＝ 9，故 b 2＝ 8a 2. a a 2 所以 C 的方程为 8x 2－ y 2＝ 8a 2
.
将 y ＝ 2 代入上式，求得 x
a 2
1 .
2
由题设知， 2 a 2
1
6 ，解得 a 2＝ 1.
2
所以 a ＝ 1， b ＝ 2
2 .
(2)证明：由 (1)知， F 1(－3,0)， F 2(3,0)， C 的方程为 8x 2－y 2 ＝ 8.①
由题意可设 l 的方程为 y ＝ k(x － 3)， k <2
2 ，代入①并化简得
(k 2－8)x 2－ 6k 2x ＋ 9k 2＋ 8＝ 0.
6k 2 9k 2 8 设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1≤－ 1 ，x 2≥ 1， x 1＋ x 2＝ 2
， x 1· x 2＝
k 2
.
k 8
8
于是 | AF 1| ＝ x 1 3 2
y 12
8 / 13
＝
x 1
3 2 8x 12
8 ＝－ (3x 1＋ 1)，
1
x 2
3 2
y 2 2
| BF | ＝
＝
x 2
3 2 8x 2 2 8 ＝ 3x 2＋ 1.
由| AF 1 |
1 得－ (3x 1
2 1
2
2
＝| BF |
＋ 1)＝ 3x ＋ 1，即 x
＋ x
＝
3
故 6k
2
8
2
，解得 k 2
＝ 4
，从而 x 1 ·x 2 ＝ 19 .
k 2
3
5
9
由于 | AF 2| ＝ x 1 3 2 y 12
＝
x 1 3 2
2
8
1
8x 1 ＝ 1－3x ， | BF 2| ＝ x 2 3 2 y 22
＝
x 2
3 2 8x 22 8 ＝ 3x 2－ 1，
故 | AB| ＝| AF 2| － | BF 2 | ＝ 2－3(x 1＋ x 2)＝ 4，| AF 2| ·| BF 2| ＝ 3(x 1 ＋x 2)－ 9x 1x 2－ 1＝ 16. 因而 | AF 2| · | BF 2| ＝| AB| 2，所以 | AF 2| ， | AB| ， | BF 2| 成等比数列．
2014-20
【测量目标】考查圆锥曲线方程的求法及圆锥曲线的性质
【考查方式】根据条件写出椭圆方程及一条直线与椭圆相交围成面积最大时直线方程
【试题解析】 (1) 设 F(c ， 0)，由条件知，
2
2 3 ，得 c ＝ 3 .又 c
3 ，所以 a ＝ 2，
c
3
a 2
2
2
2
=1 .故 E 的方程为 x 2
y 2
1.(2) 当 l ⊥ x 轴时不合题意，故可设
l ：y ＝kx － 2，
b = a －
c 4
P( x 1， y 1 ) ， Q ( x 2， y 2 ) .将 y ＝ kx － 2
代入 x
2
y 2
1 得 (1＋4k
2 ) x 2－16kx ＋12=0 ，当
4
=16(4k 2－ 3) 0 ，即 k 2 3 时， x 1,2
8k 2 4k 2 3 ，
4
4k 2 1
从而 |PQ |
k 2 1 | x x | ＝ 4 k 2
1? 4k 2 3 .又点 O 到直线 l 的距离 d ＝
2 .所
1
2
4k 2 1
k 2 1
以△ OPQ 的面积 S △OPQ ＝
1
d · |PQ|＝ . 4 4k
2
3
，设
4k
2
3 ＝ t ，则 t>0， S △OPQ ＝
2
4k 2 1
9 / 13
4t
4
4 . 因为 t ＋ 4
≥ 4，当且仅当 t ＝ 2，即 k ＝ ±
7
时等号成立，满足 >0，所以， t 2
4 t 2
t
t
当 △ OPQ 的面积最大时， k ＝ ±
7
， l 的方程为 y ＝ 7
2
2
【难易程度】较难题
7 x － 2 或 y ＝－
x － 2.
2
2015-20
（ I
） 有 题 设 可 得
M (2 a, a), N ( 2 a, a), 或 M （-2 a,a ） .
又
y = x
，故 y
x 2
在 x 2 a
2
4
处的导数值为
a ， C 在点 (2
a , a)
出的切线方程为
y a a (x 2 a ),即 ax
y a 0
y x 2 在x
2 a
，
4
， 即
ax
y a
0 .
所求切线方程为
ax
y a 0和 ax
y a 0
存在符合题意的点，证明如下：
设 P(0，b) 为符合题意的点， M(x,y),N(x,y) 直线 PM ， PN 的斜率分别为
k 1
,k 2
y
kx a 代入 C 的方程得 x 2 4kx 4a
0. 故 x 1 x 2 4k, x 1 x 2 4a.
从而
kx a 代入 C 的方程得 x 2
4kx 4a 0. 故 x
1 x
2 4k, x 1 x 2 4a.
从而 k 1 k2
y 1 b y 2 b
x 1
x 2
2kx 1x 2 (a b)( x 1 x 2 )
x 1 x 2
k (a b)
a
当 b=-a 时，有
k 1 k 2 0, 则直线 PM 的倾角与直线 PN 的倾角互补，故
OPM= OPN ，所以点 P(0,-a) 符合题意
10 / 13
2016-20
【详细解答】（ I）圆心为A( 1,0) ，圆的半径为AD 4 ，Q AD AC ，ADC ACD ，又 Q BE / / AC ，ACD EBD ADC ，Q BE ED ， EA EB AD 4 .
所以点 E 的轨迹是以点A( 1,0) 和点 B(1,0) 为焦点，以4为长轴长的椭圆，即 a 2, c 1 b 3 ，
所以点 E 的轨迹方程为：
x2 y 2
4 1.
3
（II）当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x 1 ， MN 3 ， PQ 8 ，此时四边形MPNQ 面积为12；
当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y k( x 1) ，与椭圆x
2 y 2 1 联立得：4 3
(3 4k2 )x2 8k 2 x 4k2 12 0 ，设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ，则
x1 x2
3 8k2 ，x1 x2 4k 2 12 ，4k2 3 4k2
MN 1 k 2 x1 x2 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2
1 k
2 ( 8k 2
) 2 4
4k 2 12
3 4k 2 3 4k 2
12(1 k 2 )
3 4k2
直线 PQ 方程为y 1
( x 1) ，即 x ky 1 0 k
所以圆心 A( 1,0) 到直线 PQ 的距离为 d 2 ，PQ 2 16 d 2 4 3 4k 2
1 k
2 1 k 2
S 1
MN PQ 1 12(1 k2 ) 4 3 4k 2 24 1 k 2 12 4k 2 4
四边形 MPNQ 2 2 3 4k 2 1 k2 3 4k 2 3 4k2
11 / 13
1
12
1
3
4k
2
(12,8 3) 综上可知四边形 MPNQ 面积的取值范围为
[12,8 3)
【试题评析】本题以圆为背景，综合考察椭圆定义，椭圆方程，直线与椭圆关系等知识点，
题型常规，计算量偏大，最后求范围时需考虑极限知识，属于必考题型，偏难 .
2017-20
（1）根据椭圆对称性，必过 P 3 、 P 4
又 P 4 横坐标为 1，椭圆必不过 P ，所以过 P 2 ，P 3 ，P 4 三点
1
将 P 2
， ，
1
， 3
代入椭圆方程得
0 1 P 3
2
1 1
b
2
，解得 a 2 4 ， b 2
1 3
1
4 1
a 2
b 2
∴椭圆 C 的方程为：
x 2
y 2 1．
4
（ 2）
① 当斜率不存在时，设
l : x m ，A m ，y A
，B m ，
y A
k P A
k
P B
y A 1
y A 1 2 1
m
m m
2
2
得 m 2 ，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ② 当斜率存在时，设 l ∶y kx b b 1
A x 1 ，y 1 ，
B x 2 ，y 2
联立
y kx b
，整理得 1 4k 2 x 2
8kbx 4b 2
4 0
4 y 2
4
x 2
x 1 x 2
8kb ， x 1 x 2
4b 2 4
1 4 k 2
1 4k 2
则 k P A
k P B
y 1 1 y 2 1 x 2 kx 1 b x 2
x 1 kx 2
b x 1
x 1
x 2
x 1 x 2
2
2
2
8k
2
8kb
8kb
8kb 1 4k 2 4b 2 4
1 4k 2
8k b 1 1 ，
又 b 1 4 b
1 b 1
b
2k 1 ，此时 64k ，存在 k 使得
0 成立．
∴直线 l 的方程为 y
kx 2k 1
12 / 13
当 x 2 时， y 1
所以 l 过定点 2 ， 1 ．
13 / 13