高三数学解析几何训练试题(含答案)
2013届高三数学章末综合测试题(15)平面解析几何(1)一、选
择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知圆x2+y2+Dx+Ey =0的圆心在直线x+y=1上,则D与E的关系是( ) A.D+E=2 B.D+E=1 C.D+E=-1 D.D+E=-2[来X k b 1 . c o m 解析 D 依题意得,圆心-D2,-E2在直线x+y=1上,因此有-D2-E2=1,即D+E=-2. 2.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8 解析 B 直径的两端点为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为2,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 3.已知F1、F2是椭圆x24+y2
=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|?|PF2|取最大值的点P为( ) A.(-2,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,1)和(0,-1) 解析 D 由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|?|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=4,当且仅当|PF1|=|PF2|,即P(0,-1)或(0,1)时,取“=”. 4.已知椭圆x216 +y225=1的焦点分别是F1、F2,P
是椭圆上一点,若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是( ) A.165 B.3 C.163 D.253 解析 A 椭
圆x216+y225=1的焦点分别为F1(0,-3)、F2(0,3),易得
∠F1PF2<π2,∴∠PF1F2=π2或∠PF2F1=π2,点P到y轴的距离d= |xp|,又|yp|=3,x2p16+y2p25=1,解得|xP|=165,故选A. 5.若曲线y=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( ) A.4x+y+4=0 B.x-4y-4=0 C.4x-y-12=0 D.4x -y-4=0 解析 D 设切点为(x0,y0),则y′|x=x0=2x0,
∴2x0=4,即x0=2,∴切点为(2,4),方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 6.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 C 方程可化为x21m+
y21n=1,若焦点在y轴上,则1n>1m>0,即m>n>0. 7.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双
曲线的离心率为( ) A.54 B.5 C.52 D.5 解析 D 双曲线的渐近线为y=±bax,由对称性,只要与一条渐近线有一个公共点即可由y=x2+1,y=bax,得x2-bax+1=0. ∴Δ=b2a2-4=0,即b2=4a2,∴e=5. 8.P为椭圆x24+y23=1上一点,F1、F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60°,则PF1→?PF2→=( ) A.3 B.3 C.23 D.2 解析 D ∵S△PF1F2=b2tan60°2=3×tan 30°=3=12|PF1→|?|PF2→|?sin 60°,∴|PF1→||PF2→|=4,
∴PF1→?PF2→=4×12=2. 9.设椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( ) A.x212+y216=1 B.x216+y212=1 C.x248+y264=1 D.x264+y248=1 解析 B 抛物线的焦点为(2,0),∴由题意得c =2,cm=12,∴m=4,n2=12,∴方程为x216+y212=1. 10.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C
交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( ) A.2 B.3 C.2 D.3 解析 B 设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1,焦点F(-c,0),将x=-c代入x2a2-y2b2= 1可得y2=b4a2,
∴|AB|=2×b2a=2×2a,∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,∴e=ca
=3. 11.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的焦距为( ) A.5 B.25 C.3 D.23 解析 B ∵抛物线y2=4x 的准线x=-1过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点,∴a=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y=2x,∴b=2,∴c=a2+b2=5,∴双曲线的焦距为25. 12.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为( ) A.19 B.14 C.13 D.12 解析A 由于M(1,m)在抛物线上,∴m2=2p,而M到抛物线的焦点的距离为5,根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x=-p2的距离也为5,∴1+p2=5,∴p=8,由此可以求得m=4,双曲线的左顶点为A(-a,0),∴kAM=41+a,而双曲线的渐近线方程为y=±xa,根据题意得,41+a=1a,∴a=19. 二、填空题(本大题共4小题,每
小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知直线l1:ax-y+2a+1=0和l2:2x-(a-1)y+2=0(a∈R),则l1⊥l2的充要条件是a=________. 解析l1⊥l2?a?2a-1=-1,解得a=13. 【答案】13 14.直线l:y=k(x+3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,|AB|=22,则实数k=________. 解析∵|AB|=22,圆O半径为2,∴O到l的距离d=22-2=2.即|3k|k2+1=2,解得k=± 147. 【答案】±147 15.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为
________.解析如图,圆的方程可化为 (x-3)2+(y-4)2=5,∴|OM|=5,|OQ|=25-5=25. 在△OQM中,12|QA|?|OM|=
12|OQ|?|QM|,∴|AQ|=25×55=2,∴|PQ|=4. 【答案】 4 16.在△AB C中,|BC→|=4,△ABC的内切圆切BC于D点,且|BD→|-|CD→|=22,则顶点A的轨迹方程为________.
解析以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,E、F分别为两个切点.则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|, |AE|=
|AF|.∴|AB|-|AC|=22,∴点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),且a=2,c=2,∴b=2,∴方程为x22-y22=
1(x>2).【答案】x22-y22=1(x>2) 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在平面直角坐标系中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为22的圆C经过原点O. (1)求圆C的方程; (2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程.解析(1)设圆心为(a,b),则b=a +4,a2+b2=22,解得a=-2,b=2,故圆的方程为(x+2)2+(y -2)2=8. (2)当斜率不存在时,x=0,与圆的两个交点为(0,4),(0,0),则弦长为4,符合题意;当斜率存在时,设直线为y-2=kx,则由题意得,8=4+-2k1+k22,无解.综上,直线方程为x=0. 18.(12分)(2011?合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-3,0)和F2(3,0),且椭圆过点1,-32. (1)求椭圆方程; (2)过点-65,0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点.试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.解析(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由c=3,椭圆过点1,-32可得a2
-b2=3,1a2+34b2=1,解得a2=4,b2=1,所以可得椭圆方程为x24+y2=1. (2)由题意可设直线MN的方程为:x=ky-65,联立直线MN和椭圆的方程:x=ky-65,x24+y2=1,化简得(k2+4)y2-125ky-6425=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=-
+,y1+y2=+,又A(-2,0),则AM→?AN→=(x1+2,y1)?(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0,所以∠MAN=π2. 19.(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1. (1)求椭圆C的方程; (2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,|OP||OM|=e(e为椭圆离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解析(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已知,得a-c=1,a+c=7,解得a=4,c =3. ∴椭圆方程为x216+y27=1. (2)设M(x,y),P(x,y1),其中x∈[-4,4],由已知得x2+y21x2+y2=e2,而e=34,故16(x2+y21)=9(x2+y2),① 由点P在椭圆C上,得y21=112-7x216,代入①式并化简,得9y2=112. ∴点M的轨迹方程为y=±473(-
4≤x≤4),∴轨迹是两条平行于x轴的线段. 20.(12分)给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.解析设P(x0,y0)(x0≥0),则y20=2x0,∴d =|PA|=-+y20=-+2x0=[x0+-+2a-1. ∵a>0,x0≥0,∴(1)当00,此时有x0=0时,dmin=-+2a-1=a; (2)当a≥1时,1-a≤0,此时有x0=a-1时,dmin=2a-1. 21.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10),点M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; (2)求证:点M在以F1F2为直径的圆上; (3)求△F1MF2的面积.解析(1)∵双曲线离心率e =2,∴设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),则由点(4,-10)在双曲线上,知λ=42-(-10)2=6,∴双曲线方程为x2-y2=6. (2)若点M(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,∴m2=3,由双曲线x2-y2=6知F1(23,0),F2(-23,0),∴MF1→?MF2→=(23-3,-m)?(-23- 3,-m)=m2-3=0,∴MF1→⊥MF2→,故点M在
以F1F2为直径的圆上.(3)S△F1MF2=12|F1F2|?|m|=23×3=6. 22.(12分)已知实数m>1,定点A(-m,0),B(m,0),S为一动点,点
S与A,B两点连线斜率之积为-1m2. (1)求动点S的轨迹C的方程,并指出它是哪一种曲线; (2)当m=2时,问t取何值时,直线l:
2x-y+t=0(t>0)与曲线C有且只有一个交点? (3)在(2)的条件下,证明:直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率.解析(1)设S(x,y),则kSA=y-0x+m,kSB=y-0x-m. 由题意,得y2x2-m2=-
1m2,即x2m2+y2=1(x≠±m).∵m>1,∴轨迹C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点),其中长轴长为2m,短轴长为2. (2)当m=2时,曲线C的方程为x22+y2=1(x≠±2).由
2x-y+t=0,x22+y2=1,消去y,得9x2+8tx+2t2-2=0. 令Δ
=64t2-36×2(t2-1)=0,得t=±3. ∵t>0,∴t=3. 此时直线l 与曲线C有且只有一个公共点. (3)由(2)知直线l的方程为2x-y
+3=0,设点P(a,2a+3)(a<2),d1表示P到点(1,0)的距离,d2
表示P到直线x=2的距离,则 d1=-++=5a2
+10a+10, d2=2-a,∴d1d2=5a2+10a+102-a=5×a2+2a
+-令f(a)=a2+2a+-,则f′(a)=
+--+2a+--=-+-令f′(a)=0,得a=-43. ∵当a<-43时,f′(a)<0;当-430. ∴f(a)在a=-43时取得最小值,即d1d2取得最小值,∴d1d2min=5?f-43=22,又椭圆的离心率为22,
∴d1d2的最小值等于椭圆的离心率.
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系,平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.解析几何试题对运算求解能力有较高的要求.解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查.在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法;一道综合解答题,以圆或圆锥曲线为依托,综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用,这道解答题往往是试卷的把关题之一. 【考点透析】解析几何的主要考点是:(1)直线与方程,重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等;(2)圆与方程,重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,以及坐标法思想的初步应用;(3)圆锥曲线与方程,重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质,圆锥曲线的简单应用,曲线与方程的关系,以及数形结合的思想方法等. 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 (2008高考安徽理8)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( ) A .[ B .( C .[33 D .(33 - 分析:利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式,通过解不等式解决. 解析:C 设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤,得222141,3 k k k ≤+≤,选择C 点评:本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识.高考试卷中一般不单独考查直线与方程,而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查. 例2.(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离相等的点的轨迹叫抛物线,这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。 注1:在抛物线的定义中,必须强调:定点F不在定直线l上,否则点的轨迹就不是一个抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2:抛物线的定义也可以说成是:平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3:抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时,这两者可以相互转化,这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种: (1) px y2 2= ( > p),其焦点为 )0, 2 ( p F ,准线为2 p x- = ; (2) px y2 2- =(0 > p),其焦点为 )0, 2 ( p F- ,准线为2 p x= ; (3) py x2 2= ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F ,准线为2 p y- = ; (4) py x2 2- = ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F- ,准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=(0>p )或py x 22±=(0>p )的特点在于:等号的一端 是某个变元的完全平方,等号的另一端是另一个变元的一次项,抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应:当抛物线的对称轴为x 轴时,抛物线方程中的一次项就是x 的一次项,且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向;当抛物线的对称轴为y 轴时,抛物线方程中的一次项就是y 的一次项,且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =(0>p )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:0≥x ,R y ∈; (2)顶点:坐标原点)0,0(O ; (3)对称性:关于x 轴轴对称,对称轴方程为0=y ; (4)开口方向:向右; (5)焦参数:p ; (6)焦点: )0,2(p F ; (7)准线: 2p x - =; (8)焦准距:p ; (9)离心率:1=e ; (10)焦半径:若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=(0>p )上一点,则由抛物线的定义,有20p x PF + =; (11)通径长:p 2. 注1:抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=
解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则