A A 1 A 2
A 3
B 1 B 2
图1
平行线与相交线培优题型
1 已知：如图1，∠B 1＋∠B 2=∠A 1＋∠A 2＋∠A 3（即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和），求证：AA 1∥BA 3
（想一想：如果把例1的折线变成几条，且∠B ＋∠B 1＋∠B 2＋…＋∠B n =∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A n ，那么AA 1∥BA n 成立吗？若成立，试加以证明；若不成立，请说明理由。）
2, 如图2，已知AB ∥CD ，∠AFE=α，∠ECB=β，求证：∠E=α＋β－180°。
3, 已知，如图3，AB ∥CD ，BC ∥DE ，BF 平分∠ABC ，DG 平分∠EDC ，
求证：DG ⊥BF 。
4, 如图5，正方形ABCD 对角线AC 分成几段，以每一段为对角线作正方形，设这几个小正方形的周长之和为P ，正方形ABCD 的周长为L ，求证：P=L 。
A F
B E D α β
C 图2 A B
G C
D
E 图3
A C D
5, 如图6，AB ∥ED ，α=∠A ＋∠E ，β=∠B ＋∠C ＋∠D ，求证：β=2α。
6,平面上有10条直线，且无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，试问：怎样安排才能办到？
7,如图8，已知AB ∥CD ，被直线EF 所截交AB 、CD 于M 、N ，MP 平分∠EMB ，NQ 平分∠MND ，求证：MP ∥NQ 。
8,如图9，已知∠AB E ＋∠DEB=180°，∠1=∠2。求证：∠F=∠G 。
9,如图10
，已知∠ADE=∠B ，∠1=∠2，GF ⊥AB ，求证：CD ⊥AB 。
图6
2
1
A B C
F G D E 图9 B 图10
10,如图11，∠1=∠2，∠C=∠D ，求证：∠A=∠F 。
11.如图12,已知∠ABC=∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，且∠1=∠2，求证：DF ∥EB 。
12.如图13，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，并且AB ∥DE ，∠A=∠D ，AC ⊥BF ，求证：DF ⊥BF 。
13.如图14，已知AB ∥CD ，∠BAE=∠C ，求证：AE ∥BC 。
14.如图15，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线。求证： ∠EDF=∠BDF 。
A B
C F
E
D
1
2
图11
F C A
图12 C E D C
B E F
A D G 图13
C
15.如图16，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并对结论进行证明。
16.如图17：
（1）如图甲，已知AB ∥CD ，求证：∠E=∠A+∠C 。
（2）如图乙，已知AB ∥CD ，求证：∠B+∠E+∠D=360°。
17.如图1，已知E 是AB ，CD 外一点，∠D=∠B+∠E ，求证：AB ∥CD 。
18.如图2，已知两条平行线AB 、CD 被直线EF 所截，交点分别为G 、H ，P 为HD 上任意一点，过P 点的直线
交HF 于O 点，求证：∠
HOP=∠AGF －∠HPO 。
C
图16
A E C
B D B D A
C E
图甲 图乙 C
D B A
E 图1
B
E A G
C D H F
O
P
19.如图3，已知AB ∥CD ，∠EAF=
14∠EAB ，∠ECF=14∠ECD ，求证：∠AFC=3
4
∠AEC 。
20.如图4，AB ∥CD ∥EF ，EH ⊥CD 于H ，求证：∠BAC+∠ACE+∠CEH=270°。
21.如图5，AB ∥EF ，∠C=90°，求证：αβγ+-=90°
22.如图6，已知CD 平分∠ACB ，且DE ∥AC ，CD ∥EF ，求证：EF 平分∠DEB 。
23.如图7，已知DA ⊥AB ，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，∠1+∠2=90°，求证：BC ⊥AB 。
E
F
C
A
B
D
图
3
图4
B
图5
A
C E B
图6
24.如图8，EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，∠1=∠2，求证：∠B=∠ADG 。
25.如图9，已知AA 1∥B A 3，证明：∠A 1+∠A 2∠A 3=∠B 1+∠B 2。
26.如图10，在△ABC 中，已知DF ∥A B 1，∠2=∠A ，求证：∠4=∠5。
27.如图7，已知直线AB 分别交a 与b 于A 、B ，∠DAB 与∠EBA 平分线相交于C ，若AC ⊥
BC ，求证：a ∥b 。
A C 图
8 A A 1
A 2
A 3
B 2 B 1 B 图9
B D 图10
A D C
B E a
b
图7
28.已知：如图4，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1=∠2，求证：AB ∥GF 。
A B
C
E
G 1
2
图4
《相交线与平行线》培优综合训练一 1、如图，AB∥CD，EF分别交AB，CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G. 求∠1的度数. 2、已知：如图，CD⊥AB于D，DE∥BC，EF⊥AB于F，求证：∠FED＝∠BCD． 3、已知：如图∠1=∠2，∠A和∠F，请问∠C=∠D相等吗？试写出推理过程。 4、已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，EF经过点O且平行于BC，分别与AB，AC交于点 (1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； 1 A E D C B F
(3)在第(2)问的条件下，若∠ABC和∠ACB邻补角的平分线交于点O，其他条件不变，请画出相应图形，并用а,β 的代数式表示∠BOC的度数． 5、已知：∠A=（90+x）°，∠B=（90﹣x）°，∠CED=90°，射线EF∥AC，2∠C﹣∠D=m° （1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． （2）如图1，当m=30°时，求∠C、∠D的度数． （3）如图2，求∠C、∠D的度数（用含m的代数式表示）
6、如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC,∠APB，∠PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立） （3）当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论,选择其中一种结论加以证明。
初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定） 一、考点讲解： 1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角． 3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质：① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠ 2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2=90○ ，∠1+∠ 3= 90○ ，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○ 则∠A 、∠B 互补，反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A+∠B ＝ 180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○ ，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C ． 6．对顶角的性质：对顶角相等． 项目 定义 性质 图形 互余角 两个角和等于?90（直角） ?=∠+∠9021 同角或等角的余角相等 互补角 两个角和等于?180（平角） ?=∠+∠18021 同角或等角的补角相等 对顶角 两直线相交而成的一个角两边 分别是另一角两边反向延长线 对顶角相等 21∠=∠ 三、经典例题题剖析： 例1．已知一个角的余角比它的补角的13 5 还少?4，求这个角。 例2．如图所示，AOB 是一条直线，?=∠?=∠90,90DOE AOC ，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？ 例3.如图l －2－1，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠ 1＝15○ 30’，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠2 =45○ B ．∠1=∠3 C ．∠AO D 与∠1互为补角 D ．∠1的余角等于75○ 30′ 解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识． 四、巩固练习： 1．_______的余角相等，_______的补角相等． 2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○ ，∠3=__ 3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角 B ．一个角的补角一定比这个角大 C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D ．相等的角一定互余 4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○ ，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ） 1 2 1 2 1 2 A B E O C D 1 2 3 4
D B C A F E 平行线与相交线培优训练（已经修改，很好） 平行线的判定：⑴___________________（2）（3） 平行线的性质：⑴___________________（2）（3） 例题精讲 例1 ：如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2， 求证：∠C=90° 练习1．思考：两直线a，b被直线AB所截(如图1－18所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？” 练习2．如图所示，AA1∥BA2时，则 图1-24 规律：同一方向的所有角的和等于另 规律：所有角的和=（角的个数—1）× 练习3．如图已知，AB∥CD., AF CF分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F是两条角平分线的交点；求证： 1 2 F AEC ∠=∠. 例2：求证：三角形内角之和等于180°
A 练习1． 求证：四边形内角和等于360° 2．证明：五边形内角和等于540° 例3： 如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ． 练习1．如图，已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 练习2．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 练习3.已知AB //DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD . 例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？ 练习1.甲驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130 C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° E D C B A
第五章相交线与平行线单元试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．如图，A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ．则下列说法正确的是（ ） A ．AC=BP B ．△AB C 的周长等于△BCP 的周长 C ．△ABC 的面积等于△ABP 的面积 D ．△ABC 的面积等于△PBC 的面积 2．如图，DE 经过点A ，DE ∥BC ，下列说法错误的是（ ） A ．∠DA B ＝∠EAC B ．∠EA C ＝∠C C ．∠EAB+∠B ＝180° D ．∠DAB ＝∠B 3．下列说法中，正确的有（ ） ①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； ③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．下列命题中，正确的是（ ） A ．两个直角三角形一定相似 B ．两个矩形一定相似 C ．两个等边三角形一定相似 D ．两个菱形一定相似 5．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点 E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点 F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线E G 交B H 于点G ，若100DEH ?∠=，则BEG ∠的度数是（ ） A ．30? B ．40? C ．50? D ．60? 6．已知∠A 的两边与∠B 的两边互相平行，且∠A=20°，则∠B 的度数为（ ）. A ．20° B ．80° C ．160° D ．20°或160° 7．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，DE 交AB 于E ，若AB ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ）
平行线分线段成比例专题训练 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果 DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == 3. 平行的判定定理：如上图，如果有BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥BC 。 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求 证：111 c a b =+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，， 过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥， AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求 l 3 l 2l 1F E D C B A A B C D E E D C B A E D C B A F E D C B A F E D C B A
第五章综合测试题 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．在同一平面内，若两条直线不重合，则这两条直线( ) A ．平行 B ．相交 C.相交、垂直 D ．平行或相交 2．-副三角板按如右图所示方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大,54 则∠1=( ) 18.A 54.B 72.c 70.D 3．若∠1和∠2是同旁内角，若,501o =∠则∠2的度数为( ) 45.A 135.B o C 13545.或 D ．不能确定 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如下图所示放置，下列结论： ;9042)3(;43)2(;21)1( =∠+∠∠=∠∠=∠ o 18053)5(;18054)4(=∠+∠=∠+∠ 其中正确的个数是( ) 5.A 4.B 3.C 2.D 5．下列说法中，正确的是( ) A ．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行． B 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． C ．从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离． D ．在平面内，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段叫做这两条平行线的距离． 6．如右图所示，,//DE AB 那么=∠BCD （ ） 12.∠-∠A 21.∠+∠B 21180.∠-∠+ C 122180.∠-∠+ D
7．如右图所示，在下列条件中：3;;21∠∠=∠∠=∠③②①BCD BAD 4∠=且;ADC ABC ∠=∠ ;180 =∠+∠ABC BAD ④=∠ABD ⑤;ACD ∠;180 =∠+∠BCD ABC ⑥能判定AB∥CD 的有( )个 2.A 3.B 4.c 5.D 8．如右图所示，在俄罗斯方块游戏中，已拼成的图案如右图所示，现又出现一小方块拼图向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下的哪项操作，才能拼成一个完整的图案，使其自动消失．( ) A ．向右平移1格 B ．向左平移1格 C.向右平移2格 D ．向右平移3格 9．把一张对边互相平行的纸条折成如下图所示，EF 是折痕，若,32 =∠EFB 则下列结论正确的是( ) 32C ./=∠EF A 148.=∠AEC B 32.=∠BGE C 148.=∠BFD D 10.如右图所示，AB∥CD，EG 、EM 、FM 分别平分,,,EFD BEF AEF ∠∠∠则图中与∠DFM 相等的角（不含它本身）的个数为( ) 5.A 6.B 7.C 8.D
平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 １.掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系; 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用． 经典·考题·赏析 【例１】如图,四边形AB ＣD 中，ＡＢ∥C Ｄ, ＢC ∥A Ｄ，∠Ａ【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥ＣD BC ∥AD ∴∠A ＋∠Ｂ=1８０° ∠B +∠Ｃ=1８0°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝３８° ∴∠C ＝3８° 【变式题组】 ０1.如图,已知ＡD ∥ＢＣ,点E 在BD 的延长线上,若∠A ＤＥ＝155°，则∠ＤＢC 的度数为 ( ) Ａ.1５5° ?B ．50°? C .45° ?D .25° 02.（安徽)如图，直线l 1 ∥ ｌ2,∠1＝55°，∠２＝6５°,则∠3为( ) A ． 50° B ． 55° Ｃ. 60° Ｄ．65° 03.如图，已知ＦC ∥A Ｂ∥D Ｅ，∠α:∠D ：∠B ＝２: 3: 4, 试求∠α、∠Ｄ、∠B 的度数. 【例2】如图,已知AB ∥ＣＤ∥EF ，GC ⊥CF ,∠B ＝60°,∠EFC ＝45°,求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 分线相结合,可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BC Ｄ ∠F ＝∠FC Ｄ(两条直线平行，内错角相等)又∵∠Ｂ＝60° ∠EFC =４5° ∴∠B ＣD =60° ∠F ＣD =4５° 又∵ＧＣ⊥CF ∴∠GCF ＝９0°(垂直定理） ∴∠GCD =9０°－４5°=４5° ∴∠B ＣＧ=6０°－45°＝15° 【变式题组】 E A F G D C B
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
H G F E D B C A 1 平行线复习 1、平行线的概念 例题：判断对错： 1）不相交的直线互相平行 2）不相交的线段互相平行3）不相交的射线互相平行 4）有公共点的直线一定不平行 5）过两点有且只有一条直线 6）在同一平面内两条不同的直线有且仅有一个公共点7）经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行 8）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 10）过任意一点可作已知直线的一条平行线 2、平行线的画法：一贴，二靠，三移，四画 3、同位角，内错角，同旁内角 例：分别判断下列各图中有几对同位角，内错角，同旁内角 第1图第2图第3图 4、平行线的判定；平行线的性质 例：1）如图要判断AB//CD，可以增加一个什么条件？ 2）如图，DH EG BC ∥∥，且DC EF ∥，那么图中和∠1相等的角的个数是多少 3) 将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，图中相互平行的线段有多少对？
E D C B A 5、问题探究——平行线间的折线问题 1）如图，AB//CD，探究∠B, ∠E, ∠D之间存在的关系 2）如图，AB//MN，探究∠B, ∠C, ∠D, ∠E，∠N之间存在的关系？ 3）通过1），2）你发现什么规律 4）如图，已知AB//CD，探究∠l，∠2，∠3之间存在的关系？如果再折两次呢？发现什么规律？ 5）如图，AB∥EF，∠C=90，则角、、存在什么样的关系 6) 如图，AB//CD，α β β α2 , ,= ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ =证明： D C B E A
7）如图 ，已知AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，140E ∠=?， 求BFD ∠的度数？ 6、问题探究——平行线与角平分线、垂直的问题 1）已知：OE 平分∠AOD ，AB ∥CD ， OF ⊥OE 于O ， 求证：∠FOB=2 1∠D 2）如图，AB ∥CD ，若EM 平分∠BEF ，FM 平分∠EFD ， EN 平分∠AEF ，则与∠BEM 互余的角有哪些 3）如图，AB//CD ，直线平分∠AOE ，求证∠2＝90°－2 1∠1 4）如图12，//AC BD ，//AB CD ，E ∠=∠1，F ∠=∠2，AE 交CF 于点O ， 试说明：CF AE ⊥.
八年级数学上册第七章平行线的证明培优专题训练二 1.我们知道：“在三角形的每个顶角处各取一个外角，它们的和就是这个三角形的外角 和”。 （1）猜想三角形的外角和是多少度？证明你的结论。 （2）如果将三角形三条边都向两边延长，并且在每条线上任取两点连接起来，那么在原三角形外又得到三个新三角形，如图所示，猜想：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？并用（1）的结论证明你的猜想。 解：（1）360° 证明：∵∠AMN+∠NMS=180°，∠DNS+∠MNS=180°，∠ESM+∠MSN=180°，∠NMS+∠MNS+∠MSN=180° ∴∠AMN+∠DNS+∠ESM = （180°-∠NMS）+（180°-∠MNS）+（180°-∠MSN） =180°×3-（∠NMS+∠MNS+∠MSN）=180°×3-180°=360° （2）360° 证明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AMN+∠DNS+∠ESM=360° （1） (2) 2.如图所示，∠xOy=90°，点A、B分别在坐标轴Ox、Oy上移动，BE是∠ABy的平分线，
BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点C 。试问：∠ACB 的大小是否随A 、B 的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随A 、B 的移动发生变化，请给出变化范围。 解：∠C 的大小保持不变．理由： ∵∠ABY=90°+∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ， ∴∠ABE=12∠ABY=12（90°+∠OAB ）=45°+12∠OAB ， 即∠ABE=45°+∠CAB ， 又∵∠ABE=∠C+∠CAB ， ∴∠C=45°， 故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°． 3.如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方，其中∠OMN=30°。 （1）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ，求∠CON 的度数；150° （2）将图1中的三角尺绕点O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 9秒，27秒 秒时，边MN 恰好与射线OC 平行；在第 12秒，30秒 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC 。（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，请探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．∠AOM-∠NOC=30° 解：（1）∵∠AOC=60° ∴∠BOC=120° 又∵OM 平分∠BOC, ∠COM=∠BOC=60°
相交线与平行线培优题(2) 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2=（） A．56°B．66°C．24°D．34° 2．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100° D．102° 3．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（） A．35°B．45°C．50°D．55° 第2题第三题第4题第5题 4如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为：A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD 6．如图，与∠1是同旁内角的是（） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 7．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 8．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 9．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（）
A．85°B．70°C．75°D．60° 10．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（） A．65°B．115°C．125° D．130° 11．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（） A．65°B．55°C．45°D．35° 12．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（） A．85°B．60°C．50°D．35° 二．填空题（共12小题） 13．如图，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，则∠2的大小是． 14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE=度．
（第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1） 知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;
（第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .
C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西 宁市中 考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题)
人教版七年级下册第5章相交线与平行线 培优训练（四） 1．如图，若∠1＝∠2，∠A＝∠3．则可以推出AC∥DE．请完成下面的推理过程：因为∠1＝∠2，所以AB∥ 所以∠A＝∠4 又因为∠A＝∠3，所以∠3＝∠ 所以AC∥DE 2．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2+∠3＝180° （1）证明：AD∥EF． （2）若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数． 3．如图，AB∥CD，AB＝CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠BAE＝∠DCF．（1）求证：AE＝CF； （2）连结AF、EC，若AE＝AF，试猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的结论．
4．【问题原型】 如图①，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，则∠M＝∠B+∠D，小明解决上述问题的过程如下： 如图②，过点M作MN∥AB 则∠B＝（） ∵AB∥CD，（已知） MN∥AB（辅助线的做法） ∴MN∥CD（） ∴∠＝∠D（） ∴∠B+∠D＝∠BMD 请完成小明上面的过程． 【问题迁移】 如图③，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，猜想∠M、∠B、∠D之间有怎样的数量关系，并加以说明． 【推广应用】 （1）如图④，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N，∠M＝96°，则∠N＝°； （2）如图⑤，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，∠ABM的平分线与∠CDM
的平分线交于点N，∠N＝25°，则∠M＝°； （3）如图⑥，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠G＝78°，∠F＝64°，∠E＝64°，则∠M＝°． 5．感知：如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠P、∠A、∠C满足的数量关系是． 探究：如图②，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠APC、∠A、∠C满足的数量关系是． 请补全以下证明过程： 证明：如图③，过点P作PQ∥AB ∴∠A＝ ∵AB∥CD，PQ∥AB ∴∥CD ∴∠C＝∠ ∵∠APC＝∠﹣∠ ∴∠APC＝ 应用：（1）如图④，为北斗七星的位置图，如图⑤，将北斗七星分别标为A、B、C、D、
相交线与平行线（综合） 1、如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′的度数为 。 2、如图2，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°，则D ∠等于 。 3、如图3，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=° ，°，则3∠的度数等于 。 4、如图 4，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。. 5、如图5，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。 6、如图6，已知AC ∥ED ，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED 的度数是 。 图4 图5 图6 7、如图7，AB ∥CD ，∠ABE ＝66°，∠D ＝54°，则∠E 的度数为_______________． 8、如图8，AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP,垂足为P ，若∠PEF=300 ,则∠PFC=__________。 9、如图9，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ． 10、如图10，已知//AE BD ，∠1=130o ，∠2=30o ，则∠C= ． 图7 图8 图9 图10 11. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）. A 、平行线间的距离相等 B 、两点之间，线段最短 C 、垂线段最短 D 、两点确定一条直线 C A E B F D 图2 E D B C′ F C D ′ A 图1 1 2 3 图3 l 1 l 2 1 2 3 300 P F E B A C D A B D C 1 2 3 第12题
A A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 图1 平行线与相交线培优题型 1 已知：如图1，∠B 1＋∠B 2=∠A 1＋∠A 2＋∠A 3（即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和），求证：AA 1∥BA 3 （想一想：如果把例1的折线变成几条，且∠B ＋∠B 1＋∠B 2＋…＋∠B n =∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A n ，那么AA 1∥BA n 成立吗？若成立，试加以证明；若不成立，请说明理由。） 2, 如图2，已知AB ∥CD ，∠AFE=α，∠ECB=β，求证：∠E=α＋β－180°。 3, 已知，如图3，AB ∥CD ，BC ∥DE ，BF 平分∠ABC ，DG 平分∠EDC ， 求证：DG ⊥BF 。 4, 如图5，正方形ABCD 对角线AC 分成几段，以每一段为对角线作正方形，设这几个小正方形的周长之和为P ，正方形ABCD 的周长为L ，求证：P=L 。 A F B E D α β C 图2 A B G C D E 图3 A C D
5, 如图6，AB ∥ED ，α=∠A ＋∠E ，β=∠B ＋∠C ＋∠D ，求证：β=2α。 6,平面上有10条直线，且无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，试问：怎样安排才能办到？ 7,如图8，已知AB ∥CD ，被直线EF 所截交AB 、CD 于M 、N ，MP 平分∠EMB ，NQ 平分∠MND ，求证：MP ∥NQ 。 8,如图9，已知∠AB E ＋∠DEB=180°，∠1=∠2。求证：∠F=∠G 。 9,如图10 ，已知∠ADE=∠B ，∠1=∠2，GF ⊥AB ，求证：CD ⊥AB 。 图6 2 1 A B C F G D E 图9 B 图10
A 第五章 相交线与平行线培优专题训练 1．已知：如图， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。 2．如图，已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 解：过E 作EF ∥AB 3．如图，直线AB 与CD 相交于O ，EF ⊥AB 于F ，GH ⊥CD 于H ， 求证EF 与GH 必相交。 分析：欲证EF 与GH 相交，直接证很困难，可考虑用反证法。 证明：假设EF 与GH 不相交。 ∵ EF 、GH 是两条不同的直线 ∴ EF ∥GH ∵ EF ⊥AB ∴ GH ⊥AB 又因GH ⊥CD 故AB ∥CD (垂直于同一直线的两直线平行) 图（4） 这与已知AB 和CD 相交矛盾。 所以EF 与GH 不平行，即EF 与GH 必相交 评注：本题应用结论： (1) 垂直于同一条直线的两直线平行。 (2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线； 4．平面上n 条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线产生 个交点， 第3条直线与前面2条均相交，增加 个交点，这时平面上3条直线共有 个交点； 第4条直线与前面3条均相交，增加 个交点，这时平面上4条直线共有 个交点； … 则 n 条直线共有交点个数： 。 G
5． 6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？ 解：6条不同的直线最多确定： 条直线，除去共线的3点中重合多 算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。 另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3× 3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条 评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=2 1 n(n-1) 6．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域； 3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域； 同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域； … ∴ 10条直线最多分成 个不同区域。 推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+ 21n(n+1)=2 1 (n 2+n+2)块不同的区域 思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 7．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 8．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 9．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条 10．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 11．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对
数学第五章 相交线与平行线的专项培优易错试卷练习题附解析 一、选择题 1．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点E ，且,40BE AF BED ⊥∠=?，则A ∠的度数是（ ） A ．40? B ．50? C ．80? D ．90? 2．如图，A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ．则下列说法正确的是（ ） A ．AC=BP B ．△AB C 的周长等于△BCP 的周长 C ．△ABC 的面积等于△ABP 的面积 D ．△ABC 的面积等于△PBC 的面积 3．如图,下列推理所注的理由正确的是( ) A ．∵A B CD ∥，∴ ∠1＝∠2(内错角相等，两直线平行) B ．∵∠3＝∠4，∴ AB CD ∥(内错角相等，两直线平行) C ．∵AB C D ∥，∴∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等) D ．∵∠1＝∠2，∴ AB CD ∥(内错角相等，两直线平行) 4．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ） A ．70° B ．45° C ．110° D ．135° 5．如图，直线a ∥b ，AC ⊥AB 于A ，AC 交直线b 于点C ，∠1=50°，则∠2的度数是 （ ）
A．50° B．40° C．25° D．20° 6．如图，直线l1∥l2∥l3，等腰Rt△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则AB:BD的值为（） A．4 2 5 B． 34 C． 5 2 8 D． 3 2 20 7．下列说法中正确的是（） A．两条射线组成的图形叫做角 B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类 C．射线就是直线 D．两点之间的所有连线中，线段最短 8．佳佳将坐标系中一图案横向拉长2倍，又向右平移2个单位长度，若想变回原来的图案，需要变化后的图案上各点坐标( ) A．纵坐标不变，横坐标减2 B．纵坐标不变，横坐标先除以2，再均减2 C．纵坐标不变，横坐标除以2 D．纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2 9．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( ) A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4 10．如图，△ABC经平移得到△EFB，则下列说法正确的有（） ①线段AC的对应线段是线段EB； ②点C的对应点是点B；
七年级数学：相交线与平行线 培优复习 例题精讲 例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。 解：∵ a ∥b ， ∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义) ∴ ∠1＝∠2 (等式性质) 则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142° ∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。 例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。 解：∵AB ∥EF ∥CD ∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质） ∵∠B-∠D=24°（已知） 图(2) ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF （已知） ∴∠GEF=21 ∠BEF=30°（角平分线定义） 例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 解：过E 作EF ∥AB ∵ AB ∥CD （已知） ∴ EF ∥CD （平行公理） ∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠DEB=∠DEF -∠BEF ∴ ∠DEB =∠D -∠B=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。 图（3） 3 2 l b 4
相交线与平行线 一．选择题（共3小题） 1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（） A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定 2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．如图所示，同位角共有（） A．6对 B．8对 C．10对D．12对
二．填空题（共4小题） 4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块． 5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为． 6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=． 7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是． 评卷人得分 三．解答题（共43小题） 8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点． （1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数． （2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB 上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．
9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由． 10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数． （2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数． 11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF， （1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示） （3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？ 12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C 的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数； （2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）． 13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数 （2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．
1 2 3 4 5 6 相交线与平行线 1、如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是_____度。 第2题 第3题 第4题 2、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=° ，则AEF ∠=（ ） 3、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（ ） 4.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o ，那么∠2的度数是（ ） 5．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与∠2互余的角是 ． 第5题 第6题 6.光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜 AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角， 即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等于（ ） 8如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，求∠1+∠2的度数。 9： 如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ． 10．如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，∠AEF +∠CFE =180°，∠1=∠2，则图中的∠H 与∠G 相等吗？ 11、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图： （1）将直角三角板ABC 的AC 边延长且使AC 固定； （2）另一个三角板CDE 的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合； （3）延长DC ，∠PCD 与∠ACF 就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF 为多少？ 12、把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ） A 、115° B 、120° C 、145° D 、135 1 A E D C B F 2 1 1 23456a A B C D A 1 B C D E F G H 2 1 2 3