求函数类型Cx D y Ax B
+=+值域的教法的改进 彭增军 （四川省绵阳市绵阳中学实验学校 621000） 摘要：求函数类型Cx D y Ax B
+=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域直接用反函数法和分离常数法显得突兀生硬,学生难以接受.本文从反比例函数出发利用函数图象的平移得到分离常数法,进而层层深入得到求函数类型Cx D y Ax B +=
+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域的方法.这种教法循序渐进过渡自然,学生更容易接受.
关键词：反函数法;常数分离法;反比例函数;图象的平移
众所周知,对函数而言最为重要的是函数三要素:定义域,值域,对应关系.从历届学生对函数三要素掌握的情况来看,值域是最薄弱的一个环节.因为求函数值域的题目形式多难度大,学生在众多的求函数值域的方法中往往莫衷一是举手无措.求函数值域的一些常用方法有：反函数法、分离常数法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等等.求函数类型Cx D y Ax B
+=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域,反函数法和分离常数法是最简单、最普遍也最具典型性的方法.然而从学生做作业反馈的情况来看,这两种方法掌握的并不理想.通过听课翻阅资料发现,在求函数类型Cx D y Ax B +=
+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域的教法上略作改进,效果则要好得多.下面将通过一个例子来具体说明:
例：求函数321
x y x -=-的值域. 解：反函数法：
由321x y x -=-经过整理变形得23
y x y -=-,此时把y 看作自变量x 看作因变量,x 是y 的函数,函数23y x y -=
-的定义域为{|3}y y ≠,所以函数321x y x -=-的值域为{|3}y y ≠. 分离常数法：
323(1)113111
x x y x x x --+=
==+---, ∴函数321x y x -=-的值域为{|3}y y ≠. 求函数的值域是在高一第一章集合与函数概念中学习的,学生的具体情况是刚刚从初三步入高一,之前没有接触过“反函数”和“分离常数”,老师为讲授这一道题直接用这两种方法,数学会感到突兀生硬甚至困惑不解.如果用反函数法,势必要引入反函数的有关概念,这样一来,那么要讲的知识就多了.如果用分离常数法,之前没有任何铺垫过渡,那么学生就会产生疑惑,比如为什么要分离出来一个常数呢.鉴于以上考虑,反函数法是不可取的,当然在学完反函数的有关概念之后上例可以作为反函数应用的一个很好的例子.倘若从反比例函数出发,再利用函数图象的平移,最终得到分离常数法,解法就更加完美了.下面给出上例改进后的作法:
又33111
x y x x x =
==+---, ∴函数321
x y x -=-的值域为{|3}y y ≠. 此时,老师点出由321x x --到131x +-就是“分离常数法”.这样由反比例函数图象经过平移得到分离常数法,可以消除没有过渡直接用分离常数法的突兀生硬.老师进一步说上面这个表格只是一个过渡,同学们以后做题时直接用分离常数法即可.但是在一开始讲授分离常数法时,类似于上面表格的过渡一定要呈现给学生看.其次老师引领学生得到函数类型
c y
d ax b
=++(,,,a b c d 为常数,且0)a ≠的值域{|}y y d ≠.最后老师可以举一个类似于求函数6521x y x +=-的值域的例子,从而得到函数类型Cx D y Ax B
+=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域,即函数Cx D y Ax B
+=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠利用分离常数法总能化为函数c y d ax b =++(,,,a b c d 为常数,且0)a ≠的形式,所以其值域为{|}y y d ≠（d 为常数）.
结合新课改和学情,从初中所学的反比例函数出发利用函数图象的平移得到分离常数法,进而层层深入得到求函数类型Cx D y Ax B
+=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域的方法.这样做至少有一下三点好处:第一,使学生体会到以往所学的数学知识是有用的;第二,进一步加深了反比例函数的性质和图象的平移;第三,循序渐进,由易到难,由简到繁,过渡自然,学生容易接受很难忘记.
函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43
3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-
4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2
6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-
1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 44|2 -≤}. 练习1．求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y 2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。 练习2.求函数1 1)(+-= x x e e x f 的值域。 3．有解判别法： 有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例1．求函数y=1 1 22+++-x x x x 值域 解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题?≥0，
即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得33 1 ≤≤y 且 y ≠1. 综上：值域{y|33 1 ≤≤y }. 例2．求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？） 解：把已知函数化为(2)(3)36 1(2)(3)33 x x x y x x x x ---===- -+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1 ∵ x=2时 51-=y ∴ 5 1 -≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5 1 -} 练习3（1）31 (1)2 x y x x +=≤- （2）22 1x x y x x -=-+ 4．二次函数在给定区间上的值域。 例3． 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142 ∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 注：对于二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值 321-1-2-3 654321-1-2x O y
函数值域求法十一种 尚化春 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0 x 1 ≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤- ≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得：4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数2 2 x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：23y 2 1 ≤ ≤ （2）当y=1时，0x =，而? ?? ???∈23,211
2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 及值域专题 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ?=+=3 42b ab a ， ∴????? ?=-===3212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式常用配凑法．但要注 意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2 -=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2．
函数的值域(配方法，分离常数法) 一、配方法。 例1．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例2．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。 例3．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得： 2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。 练习．求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；⑤ y =。 【答案】①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；○6[0,2] 二、分离常数法 适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法 例4：求函数125 x y x -=+的值域。 解：∵177(25)112 222525225 x x y x x x -++-===-++++，
含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2 12+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 8 41-. ∴ 原函数的最小值为841- . 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 图1
例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。 例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值. 分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为： y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。 解： 106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化 为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的 距离之和最小。如图3，易求得点A 关于x 轴 的对称点A / 的坐标为（0, －2），则： B A BP P A BP AP //=+=+即为最小. ∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y . 评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易 图2 图3
函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x 1y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 2 1≤ ≤
（2）当y=1时，0x =，而? ?????∈23,211 故函数的值域为? ?????23,21 例5. 求函数) x 2(x x y -+ =的值域。 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 22 2=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42 ≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0 ≥?求出的围可能比y 的实际围大，故不能确定此函数的值域为? ?? ???23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ )x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min + ==∴代入方程（1） 解得：] 2,0[2 2 222x 41∈-+= 即当 22222x 41-+= 时， 原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域。 解：由原函数式可得： 3 y 5y 64x --=
求值域方法 常用求值域方法 （1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例1、求函数 1 ,[1,2]y x x = ∈的值域。 例2、 求函数x 3y -=的值域。 【同步练习1】函数2 21x y += 的值域. （2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2 类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例1、求函数 225,y x x x R =-+∈的值域。 例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 例3、求()()22log 26log 62log 22 222 2-+=++=x x x y 。（配方法、换元法） 例4、设02x ≤≤，求函数1 ()4321x x f x +=-+g 的值域． 例5、求函数13432-+ -=x x y 的值域。（配方法、换元法） 例6、求函数x x y 422+--=的值域。（配方法） 【同步练习2】 1、求二次函数2 42y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域. 2、求函数342-+-=x x e y 的值域. 3、求函数421,[3,2]x x y x --=-+∈-的最大值与最小值. 4、求函数])8,1[(4 log 2log 22 ∈?=x x x y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数1 2 ()4 325x x f x -=-?+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
专题 求函数值域的常用方法及值域的应用 三、值域的概念和常见函数的值域 ........................................................................................ - 1 - 四、求函数值域（最值）的常用方法 ..................................................................................... - 1 - 4.1.直接法 ................................................................................................................. - 1 - 4.2配方法 .................................................................................................................. - 2 - 4.3换元法 .................................................................................................................. - 3 - 4.4基本不等式法 ........................................................................................................ - 4 - 4.5函数的单调性（导数）法 ......................................................................................... - 5 - 4.6数形结合法 ........................................................................................................... - 7 - 4.7函数的有界性法 ..................................................................................................... - 8 - 4.8分离常数法 ........................................................................................................... - 9 - 4.8 三角函数中的值域问题 ......................................................................................... - 10 - 五、高考真题汇编 ............................................................................................................ - 11 - 三、值域的概念和常见函数的值域 1、定义：函数值y 的取值围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?.， 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 四、求函数值域（最值）的常用方法 4.1.直接法 从自变量x 的围出发，推出()y f x =的取值围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1) (1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
函数的值域 题型一：二次函数的值域 例1． 求6a )(2+-=x x x f 的值域 解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(2222-≥-+??? ??-=+-=x x x x f 所以值域为?? ????∞+-，4a 62 例2． 求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域 解答：函数图像法：423216)(22+?? ? ??-=+-=x x x x f 画出函数的图像可知，,6)(2 +-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为?? ????8423，。 例3． 求6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域 解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a -≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知， a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f 所以此时的值域为 []a 7a 7-+， ② 当0a 2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，
a 7)1(max -==f f ，4 a 6)2a (2min -==f f 所以此时的值域为?? ????--a 74a 62 ， ③ 当2a 0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知， a 7)1(max +=-=f f ，4a 6)2a (2 min -==f f 所以此时的值域为?? ????+-a 74a 62 ， ④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知， a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f 所以此时的值域为[]a 7a 7+-， 题型二：指数、对数函数的值域 例4． 求() 62log )(22+-=x x x f 的值域 解答：复合形式用换元：令622+-=x x t ，则由例1可知，[)+∞∈,5t 根据单调性，可求出t 2log 的值域为 [)+∞,5log 2 例5． 求624)(1++=+x x x f 的值域 解答：因为()224x x =，所以，采用换元发，令x t 2=，则()+∞∈ ,0t 则原函数变为622++t t ，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6 题型三：分式函数的值域 例6． 求函数1 32)(++=x x x f 的值域
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，Y 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-= 的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
2 x 函数值域的求法大全 题型一求函数值：特别是分段函数求值 1 2 例 1 已知f(x)= ------- (x € R,且x 工一1) , g(x)= x2 3+ 2( x € R). 1 H-x (1)求f(2), g(2)的值； ⑵求f[g(3)]的值. 1 1 1 解⑴ ?' f(x)=疋f⑵=1H2 = 3. 又?/ g(x) = x2+ 2 , ??? g(2) = 22+ 2 = 6. ⑵?/ g(3) = 32+ 2 = 11 , 1 1 二f [g(3)]= f (11)= 1 +11=百 反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义, 析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 别? x + 1 跟踪训练4已知函数f ( x )=二. (1)求f(2)；⑵求f[f(1)]. x + 1 2 + 1 (1)一f ( x )=兀， f (2)=卫 2 1 +1 2 2 3+1 ⑵f(1)=苗=3，f[f(1)]=f(3)=厂 + 2 3 5.已知函数f(x) = x2+ x —1. (1)求f(2), fg)； ⑵若f(x) = 5，求x的值. 解(1)f(2) = 22+ 2 —1 = 5 , 然后将变量代入解f[g(x)]与g[f(x)]的区
2 x 1 + x — x 2
9 9 (2) T f(x) = x + x —1 = 5 ,二x + x —6 = 0 , x = 2，或x =—3. ⑶ 4.函数f(x)对任意自然数x 满足f(x + 1) = f(x) + 1 , f(0) = 1，贝U f(5) = _________ 答案6 解析f(1) = f(0) + 1 = 1 + 1 = 2 , f(2) = f(1) + 1 = 3, f(3) = f(2) + 1 = 4 , f(4) = f(3) + 1 = 5 , f(5) = f(4) + 1 = 6. 、值域是函数y=f(x)中y的取值范围 常用的求值域的方法:(1 )直接法 (3)函数单调性法 (5)换元法(包括三角换元) (7)分离常数法 (9)复合函数法(2)图象法(数形结合) (4)配方法 (6 )反函数法(逆求法) (8 )判别式法 (10 )不等式法 (11 )平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终 求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R ； k y —(k 0) 反比例函数x 的定义域为｛x|x 0｝，值域为｛y|y 0｝； 2 二次函数f(x) ax bx c(a 0)的定义域为R， 当a>0时，值域为｛y|y 2 2 (4ac b ) . (4ac b ) y |y 4a};当a<0时，值域为{ 4a }. 例1 求下列函数的值域 2 ① y=3x+2(-1 x 1) ② f (x) -(1x3) 3x 1 ③y x -(记住图像) x
必修1复习专题函数之二(值域) 吴川三中文科数学出版 一 相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈= ，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。 二 确定函数值域的原则 1、当函数)(x f y =用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合； 2、数)(x f y =的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； 3、数)(x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； 4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。 三 基本函数的值域 1、一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ； 2、二次函数）（02≠++=a c bx ax y ； ]44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 3、反比例函数)0(≠=k x k y 的值域为 }0/{≠y y ；4、数函数)10(≠>=a a a y x 且的值域为}0/{>y y ；5、对数函数 )10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R 。6，函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1- 四 求函数值域的方法 1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域； 例1. ]53(2 32 ，求函数-∈+-=x x x y 的值域； 解：1223)61(32322+-+-=x x x y ＝求函数 画出图像（图略）从图可知, .7212 23 )615(35;12 23 612max min =+-=== =，y x ，y x 时时 所以此函数的值域为]7212 23 [，. 例2. 求562---=x x y 函数 的值域； 解：设;0562≥---=μμ ，则x x ;44)3(5622≤++-=---=x x x μ .400≤≤∴≥μμ，又 ].2,0[],2,0[值域为∴∈μ
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 基本知识 1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2.函数值域常见的求解思路： ⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。 ⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。 特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 ⑷可以用函数的单调性求值域。 ⑸其他。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域 例1. 求函数的值域。 解：∵∴ 显然函数的值域是： 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例2. 求函数的值域。 解：将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，
故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例3. 求函数的值域。 解：两边平方整理得：（1） ∵∴ 解得： 但此时的函数的定义域由，得 由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不 能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能 比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵∴ ∴代入方程（1） 解得：即当时， 原函数的值域为： 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例4. 求函数值域。
求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求。 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a y y 4|2≥}；当a<0时，值域为{a y y 4|2 ≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 +=x x y 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 1 11111+- =+-+=+=x x x x x y ∵ 01 1 ≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？） 2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。 例2． 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 解：①∵抛物线的开口向上，对称轴2x =，函数的定义域R ， ∴x=2时，y min =-3 , ∴函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵抛物线的开口向上，对称轴2x =? [3,4]，
此时142+-=x x y 在[3,4] ∴当x=3时，m in y =-2 当x=4时，m ax y =1 ∴值域为[-2，1]. ③∵抛物线的开口向上，对称轴2x =? [0,1]， 此时142+-=x x y 在[0,1] ∴当x=0时，m ax y =1 当x =1时，min y =-2 ∴值域为[-2，1]. ④∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∈ [0,5]， ∴当x=2时，m in y =-3 当 x=5时，m ax y =6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时， m ax y =6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远， 其函数值比x=0对应的函数值大） ∴值域为[-3，6]. 注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 442 min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值a b a c y 442max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴a b x 2-=是否属于区间[a,b]. ①若2b a - ∈[a,b],则()2b f a -是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值. ②若2b a - ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.