导数单元测试
一、 填空题(每小题4分,共15小题)
1.曲线y =x ln x 在点(e ,e)处的切线与直线x +ay =1垂直,则实数a 的值为________. 答案 2
解析 ∵y ′=1+ln x ,∴y ′|x =e =1+ln e =2,∴-1a
×2=-1,∴a =2. 2.若曲线y =x 3在点P 处的切线的斜率为3,则点P 的坐标为________.
答案 (1,1)或(-1,-1)
解析 y ′=3x 2,∴3x 2=3.∴x =±1.
当x =1时,y =1,当x =-1时,y =-1.
3.与直线2x -y +4=0平行的抛物线y =x 2的切线方程是________.
答案 2x -y -1=0
解析 对y =x 2求导得y ′=2x .设切点坐标为(x 0,x 20),则切线斜率为k =2x 0. 由2x 0=2得x 0=1,故切线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.
4.曲线y =x x +2
在点(-1,-1)处的切线方程为________. 答案 y =2x +1
解析 因为y ′=2(x +2)2,所以,在点(-1,-1)处的切线斜率k =y ′|x =-1=2(-1+2)2
=2,所以,切线方程为y +1=2(x +1),即y =2x +1.
5.若抛物线y =x 2-x +c 上的一点P 的横坐标是-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则实数c 的值为________.
答案 4
解析 ∵y ′=2x -1,∴y ′|x =-2=-5.
又P (-2,6+c ),∴6+c -2
=-5.∴c =4. 6.设曲线y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线y =1x
(x >0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________.
答案 (1,1)
解析 y ′=e x ,曲线y =e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1=e 0=1,设P (m ,n ),y =1x
(x >0)的导数为y ′=-1x 2 (x >0),曲线y =1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2=-1m 2 (m >0),因为两切线垂直,所以k 1k 2=-1,所以m =1,n =1,则点P 的坐标为(1,1).
7.函数y =(3-x 2)e x 的单调递增区间是________.
答案 (-3,1)
解析 y ′=-2x e x +(3-x 2)e x =e x (-x 2-2x +3),
由y ′>0?x 2+2x -3<0?-3 8.函数f (x )=x -ln x 的单调递减区间为________. 答案 (0,1) 解析 函数的定义域是(0,+∞),且f ′(x )=1-1x =x -1x ,令f ′(x )<0,解得0<x <1,所以单调递减区间是(0,1). 9.若函数y =a (x 3-x )的单调递减区间为(-33,33 ),则实数a 的取值范围是________. 答案 a >0 解析 y ′=a (3x 2-1),解3x 2-1<0,得- 33<x <33. ∴f (x )=x 3-x 在(-33,33 )上为减函数. 又y =a (x 3-x )的单调递减区间为(-33,33 ), ∴a >0. 10.设函数f (x )=12 x 2-9ln x 在区间[a -1,a +1]上单调递减,则实数a 的取值范围是________. 答案 1 解析 ∵f (x )=12x 2-9ln x ,∴f ′(x )=x -9x (x >0),当x -9x ≤0时,有0 11.函数f (x )=x ln x 的单调递减区间是________. 答案 (0,1),(1,e) 解析 f ′(x )=ln x -1ln 2x ,令f ′(x )<0,得????? ln x -1<0,ln x ≠0,∴0 12.若函数f (x )=x 3+ax -2在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________. 答案 [-3,+∞) 解析 f ′(x )=3x 2+a ,f (x )在区间(1,+∞)上是增函数, 则f ′(x )=3x 2+a ≥0在(1,+∞)上恒成立, 即a ≥-3x 2在(1,+∞)上恒成立.∴a ≥-3. 13.函数f (x )=x 33 +x 2-3x -4在[0,2]上的最小值是________. 答案 -173 解析 f ′(x )=x 2+2x -3, 令f ′(x )=0,得x =1(x =-3舍去), 又f (0)=-4,f (1)=-173,f (2)=-103 , 故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)=-173 . 14.若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y =-x 3+27x +123(x >0),则获得最大利润时的年产量为________. 答案 3百万件 解析 依题意得,y ′=-3x 2+27=-3(x -3)(x +3),当0 15.若y =a ln x +bx 2+x 在x =1和x =2处有极值,则a =________,b =________. 答案 -23 -16 解析 y ′=a x +2bx +1. 由已知????? a +2b +1=0,a 2+4b +1=0,解得??? a =-23, b =-16. 二、解答题 16.(10分)求下列函数的导数: (1)y =cos x sin x ; (2)y =3x e x -2x +e. 解析 (1)y ′=-sin 2x -cos 2x sin 2x =-1sin 2x . (2)y ′=(3x e x )′-(2x )′+e′=(3x )′e x +3x (e x )′-(2x )′ =3x e x ln 3+3x e x -2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2. 17.(15分)已知函数f (x )=1x +ln x ,求函数f (x )的极值和单调区间. 解析 因为f ′(x )=-1x 2+1x =x -1x 2, 令f ′(x )=0,得x =1,又f (x )的定义域为(0,+∞), f ′(x ),f (x )随x - + 所以x =1时,f (x )f (x )的单调递增区间为(1,+∞), 单调递减区间为(0,1). 18.(15分)设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx +8c 在x =1及x =2时取得极值. (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的x ∈[0,3],都有f (x ) 因为函数f (x )在x =1及x =2处取得极值,则有f ′(1)=0,f ′(2)=0, 即? ???? 6+6a +3b =0,24+12a +3b =0.解得a =-3,b =4. (2)由(1)可知,f (x )=2x 3-9x 2+12x +8c ,f ′(x )=6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2). 当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0;当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0;当x ∈(2,3)时,f ′(x )>0. 所以,当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5+8c ,又f (0)=8c ,f (3)=9+8c . 则当x ∈[0,3]时,f (x )的最大值为f (3)=9+8c . 因为对于任意的x ∈[0,3],有f (x ) 所以9+8c 因此c 的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). 高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值 导数单元测试 【检测试题】 一、选择题 1. 设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A .'(1)f B .3'(1)f C .1 '(1)3 f D .以上都不对 2. 已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D. 0 3 .()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4.三次函数x ax y +=3 在()+∞∞-∈,x 内是增函数,则 ( ) A . 0>a B .0 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A.4 B.4+2Δx C.4+2(Δx)2 D.4x 3.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( ) A.不存在B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直 4.曲线y=-1 x 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A.y=x-2 B.y=x C.y=x+2 D.y=-x-2 5.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A.(0,0) B.(2,4) C.(1 4 , 1 16 ) D.( 1 2 , 1 4 ) 6.已知函数f(x)=1 x ,则f′(-3)=( ) A.4 B.1 9 C.- 1 4 D.- 1 9 7.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 10.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A.f(2),f(3) B.f(3),f(5) C.f(2),f(5) D.f(5),f(3) 11.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) A.-10 B.-71 C.-15 D.-22 12.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒运动的距离为s= 1 4 t4- 5 3 t3+2t2,那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末 B.0秒 C.4秒末 D.0,1,4秒末 二、填空题 13.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________. 14.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 b a =________. 15.函数y=x e x的最小值为________. 16.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x; (2)y= x 1+x ; (3)y=lg x-e x. 18.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 19.已知函数f(x)= 1 3 x3-4x+4.(1)求函数的极值; (2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值. 导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1.已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 ( t 表示时间, s 表示位移),则瞬时速度为 4 0 的时刻是:( ) A . 0 秒、 2 秒或 4 秒 B . 0 秒、 2 秒或 16 秒 C . 2 秒、 8 秒或 16 秒 D . 0 秒、 4 秒或 8 秒 2.下列求导运算正确的是( ) A . ( x 1 ) 1 1 B . (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C . (3x ) 3x log 3 e D . x 2 cos x 2sin x 3.曲线 y x 3 2x 4 在点 (13), 处的切线的倾斜角为( ) A . 30° B . 45° C . 60° D . 120° 4.函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s O tO tO t O t A . 1 B . C . D . 6.设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) ( ) x A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数 7.如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图,那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 ( ) 8.设 f ( x) x ln x ,若 f '(x 0 ) 2 ,则 x 0 ( ) A . e 2 B . e C . ln 2 D . ln 2 2(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
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