循 环 小 数
的，这叫有限小数；二是除不尽，除到小数部分，余数重复出现，商中某些数字也不断重复出现，且商的小数部分是无限的，这叫无限小数。 【循环小数】
（一）循环小数的意义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 如：……这个小数可以记作?23. ……这个小数可以记作?
?725.3
（二）区分有限小数和无限小数，小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数的一种，但还有不少循环小数的无限小数。 【循环节】
（1）循环节的意义。一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
如：……的循环节是“3” ……的循环节是“28”
……的循环节是“3017”
（2）循环小数的简写。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 （3）纯循环小数和混循环小数的意义
①纯循环小数的意义。循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
②混循环小数的意义。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 【小数的比较】
比较两个小数的大小的时候，先比较它们的整数部分。整数部分大的那个数较大；整数部分相同时，比较它们的小数部分十分位上的数大的那个数较大；十分位上的数相同时，比较百分位……
如果两个小数，所有数位上的数都相同，那么这两个小数的大小相等。
我们在做循环小数的比较大小的时候，把循环小数的简便写法改写成一般写法的形式，这样更便于比较。 例如：比较?
?
?
??
803.03088
.0803.03083.080.300.308，，，，， ????323.123.13232.，，四个数按照从大到小的顺序排列起来。
练习：在下面式子的数中合适的位置上点上循环点，使式子成立。
（1）0.894>0.8943 （2）< （3）……= （4）> 例2 、在混循环小数?
12.71828的某一位上再添一个表示循环的圆点，使新得到的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。 例3、在循环小数?
?10230.中，小数点右面第1997位上的数字是几 练习： 1、在循环小数?
?79910.302中，小数点右面第1997位上的数字是几 2、循环小数??
420500.37的小数点右面第100位上的数字是几
例4.一个小于1的纯循环小数，它的循环节有5个数字，已知它小数点右面第20位上的数字是3，
第36位上的数字是4，第52位上的数字是5，第79位上的数字是6，第98位上的数字是7，求这个纯循环小数。 例5.
（1）如果把表示循环节的两个点加在7和1上面，则此循环小数第200位上的数字是几 （2）如果要第100位上的数是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面 例6.68.0816.0816.080.61
0.618，，，，????? 是七个数其中的5个，已知按从大到小的顺序排列的第四个数是?
80.61，那么按从小到大顺序排列的第三个数是多少 1、
（1）如果把两个点加在8和3的上面，那么第100位的数应该是几 （2）如果要使第100位上的数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字的
上面
2.在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能大。 （1）?
?273.6181 （2）?
?380.956956 3.在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。 （1）?
?630.4535 （2）?
?380.956956 4. 把下面各组小数均按从小到大排列 ，，，，，，，
5. 用竖式计算。
（1）结果保留一位小数。
÷23 ÷ ÷ ÷192
（2）结果保留两位小数。
÷72 ÷ ÷ ÷
（3）结果保留三位小数。
÷38 ÷ 6. 一个小于1的纯循环小数，它的循环节有3个数字，已知它小数点右面第20位上的数字是4，第30位上的数字是7，第40位上的数字是9，求这个循环小数。 7.036.3633.0630.0.360.3360.366，，，，，????是八个数其中的六个，已知按从小到大的顺序排列的第四个数是?
?630.3，那么按从大到小的顺序排列的第四、第五个数各是多少
·也许你航行了一生也没有到达彼岸，也许你攀登了一世也没能登上顶峰。但是能触礁的不是勇士，敢失败的未必不是英雄，奋斗了就问心无愧，奋斗了就是成功的。
循环小数 1、在下面的○里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.2÷2○1 1.256÷1.3○1 3.57÷4○1 24.6÷1.4○24.6 1.03÷0.98○1.03 3.2÷4.8○3.2 5.04÷0.95○5.04 2.7÷0.16○2.7 4.05÷1○4.05 2、下面哪些是循环小数，请在后面的（）里打“√”。 3.545454…（） 2.66667…（） 2.713713（）3.1415926…（）0.3030303（） 2.1458458（） 2、在下面三个数中，较大的数是（）。A. 0.858 B. 0.855…… C. 0.855 3、甲×0.925=乙÷0.925 （甲乙不等于0），那么（）。 A. 甲= 乙 B. 甲> 乙 C. 甲< 乙 4.观察下列各数后填空 0.02 3.3434…… 6.1415926…… 6.33333…… ( )是循环小数；( )是有限小数；( )既不是循环小数也不是有限小数。 5.用循环节表示下面的循环小数 0.26666…写作( )；3.121212…写作( )。 6..将下列用循环节表示的小数改写成不用循环节表示的循环小数 2.4·5·=( ) 3.1·56·=( ) 3.3·=( ) 保留一位小数保留两位小数保留三位小数 0.09435 0.53645 6.1259 7小数分为有限小数、无限小数和循环小数。（） 无限小数一定比有限小数大。（） 8.在○里填上“＞”“＜”或“＝”. 12.01÷1.02○12.01 0.36÷0.36○0.36 5.48÷0.8○5.48 10.8÷5.4○10.8 9.72÷0.08○9.72 0.99÷1.1○0.99 0.45○0.45 0.6○0.66… 1.2727○1.272 12.232○11.98
循 环 小 数 的，这叫有限小数；二是除不尽，除到小数部分，余数重复出现，商中某些数字也不断重复出现，且商的小数部分是无限的，这叫无限小数。 【循环小数】 （一）循环小数的意义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 如：……这个小数可以记作?23. ……这个小数可以记作? ?725.3 （二）区分有限小数和无限小数，小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数的一种，但还有不少循环小数的无限小数。 【循环节】 （1）循环节的意义。一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 如：……的循环节是“3” ……的循环节是“28” ……的循环节是“3017” （2）循环小数的简写。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 （3）纯循环小数和混循环小数的意义 ①纯循环小数的意义。循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 ②混循环小数的意义。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 【小数的比较】 比较两个小数的大小的时候，先比较它们的整数部分。整数部分大的那个数较大；整数部分相同时，比较它们的小数部分十分位上的数大的那个数较大；十分位上的数相同时，比较百分位…… 如果两个小数，所有数位上的数都相同，那么这两个小数的大小相等。 我们在做循环小数的比较大小的时候，把循环小数的简便写法改写成一般写法的形式，这样更便于比较。 例如：比较? ? ? ?? 803.03088 .0803.03083.080.300.308，，，，， ????323.123.13232.，，四个数按照从大到小的顺序排列起来。 练习：在下面式子的数中合适的位置上点上循环点，使式子成立。 （1）0.894>0.8943 （2）< （3）……= （4）> 例2 、在混循环小数? 12.71828的某一位上再添一个表示循环的圆点，使新得到的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。 例3、在循环小数? ?10230.中，小数点右面第1997位上的数字是几 练习： 1、在循环小数? ?79910.302中，小数点右面第1997位上的数字是几 2、循环小数?? 420500.37的小数点右面第100位上的数字是几 例4.一个小于1的纯循环小数，它的循环节有5个数字，已知它小数点右面第20位上的数字是3， 第36位上的数字是4，第52位上的数字是5，第79位上的数字是6，第98位上的数字是7，求这个纯循环小数。 例5. （1）如果把表示循环节的两个点加在7和1上面，则此循环小数第200位上的数字是几 （2）如果要第100位上的数是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面 例6.68.0816.0816.080.61 0.618，，，，????? 是七个数其中的5个，已知按从大到小的顺序排列的第四个数是? 80.61，那么按从小到大顺序排列的第三个数是多少 1、 （1）如果把两个点加在8和3的上面，那么第100位的数应该是几 （2）如果要使第100位上的数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字的
有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数北京市第十九中学北京市第十九中学北京市第十九中学北京市第十九中学初一二班初一二班初一二班初一二班王旭王旭王旭王旭目前的学习误区目前的学习误区目前的学习误区目前的学习误区：：：：在小学奥数中在小学奥数中在小学奥数中在小学奥数中，，，，只学过只学过只学过只学过0.aaa0.aaa0.aaa0.aaa……………………＝＝＝＝a/9a/9a/9a/9，，，，并没有更具体的概念并没有更具体的概念并没有更具体的概念并没有更具体的概念。。。。主要内容主要内容主要内容主要内容：：：：一个数的小数部分一个数的小数部分一个数的小数部分一个数的小数部分，，，，如果从某一位起如果从某一位起如果从某一位起如果从某一位起，，，，一个或几个数字依次不一个或几个数字依次不一个或几个数字依次不一个或几个数字依次不断地重复出现断地重复出现断地重复出现断地重复出现，，，，这样的数就叫做循环小数这样的数就叫做循环小数这样的数就叫做循环小数这样的数就叫做循环小数。。。。循环小数化分数的方法有循环小数化分数的方法有循环小数化分数的方法有循环小数化分数的方法有：：：： 1.1.1.1.纯循环小数化分数纯循环小数化分数纯循环小数化分数纯循环小数化分数。。。。分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数；；；；分母的各位数字都分母的各位数字都分母的各位数字都分母的各位数字都是是是是9999，，，，9999的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同。。。。 2.2.2.2.混循环小数化分数混循环小数化分数混循环小数化分数混循环小数化分数。。。。分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的数的差数的差数的差数的差；；；；分母的头几位数字是分母的头几位数字是分母的头几位数字是分母的头几位数字是9999，，，，末几位数字是末几位数字是末几位数字是末几位数字是0000，，，，9999的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同，，，，0000的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数相同相同相同相同。。。。 例例例例 1 1 1 1 把把把把0.47470.47470.47470.4747……………………和和和和0.330.330.330.33……………………化成分数化成分数化成分数化成分数。。。。解法解法解法解法1111：：：：0.47470.47470.47470.4747……×……×……×……×100=47.4747100=47.4747100=47.4747100=47.4747…………………… 0.47470.47470.47470.4747……×……×……×……×100100100100－－－－0.47470.47470.47470.4747……………………=47.4747=47.4747=47.4747=47.4747……………………－－－－0.47470.47470.47470.4747……………………(10(10(10(100000－－－－1)1)1)1)××××0.47470.47470.47470.4747……………………=47=47=47=47 即即即即99999999××××0.47470.47470.47470.4747……………………=47 =47 =47 =47 那么那么那么那么0.47470.47470.47470.4747……………………=47/99 =47/99 =47/99 =47/99 解法解法解法解法2222：：：：0.330.330.330.33……×……×……×……×10101010＝＝＝＝3.333.333.333.33…………………… 0.330.330.330.33……×……×……×……×10101010－－－－
一、快乐点击。（将正确答案序号填在括号里） 1. 6.484848…的循环节是（）。 A．6.48 B．48 C．6.48 2. 0.9 7 保留一位小数约是（），保留两位小数约是（）。 A．0.9 B．1.0 C．0.98 二、比大小。 2÷ 0. 5 4.9 2 4.92 2.4 … 9.6 9.59 4÷ 1.3 5.37 5 5.35 7 三、你能帮小数找到家吗？ 9.488 0.777…8.222… 9.4561…8.956 10.1212 0.44…8.5 12.311 2.81414… 四、计算乐园。（商是循环小数的用简便记法表示） 4÷1.1＝ 11÷0.12＝ 6.48÷1.8＝ 五、口算直通车。 0÷2.4×28＝ 1.2÷1.2×2.6＝ 3.8÷0.2÷0.1＝ 4.2×2÷0.1＝ 0.8×0.8÷0.4＝ 3÷1.5÷2＝ 12.5×8＝ 0.8÷0.4＝ 15÷0.2÷0.1＝ 1.5×5＝ 5.8÷0.2＝ 18×0.4×0＝ 六、脱式计算演练场。 7.8÷2.5÷4 640÷0.4÷0.2 8.3×9.9+0.83 0 有限小数无限小数循环小数
8.48+2.6×3.2 0.78×15÷0.3 0.18÷0.24÷0.025 0.325÷2.5+3.97 2.16÷3.6÷0.5 18.4+4.3×2.8 0.8×24.5－7.5 0.89×99+0.89 2.78+0.5×68 七、欢乐对对碰。（连连看） 一个工程队计划6天修路2400米，实际每天比计划多修150米。 计划每天修路多少米？ 2400÷6+150 实际每天修路多少米？ 2400÷6 实际用了多少天修完？ 150×6 6天一共多修多少米？2400÷（2400÷6+150） 8.4÷0.42÷2 （0.25×4）×12 10 0.25×48 8.4÷（0.42×2）14 62×10.1 4.8÷0.6+3.6÷0.6 626.2 （4.8+3.6）÷0.6 62×10+62×0.1 12 八、我是探索家。 2.1 0.6 14.6 0.2 ×÷ 0.3 21.9
循环小数、有限小数、无限小数教学内容： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学五年级上册40—44页 教学目标： 1．创设具体情境，解决实际问题，能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。 2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。 3．通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。 4．培养学生的分析能力、分类能力和概括能力。 教学重难点： 重点：理解循环小数、无限小数、有限小数的意义 难点：使学生学会除不尽时能用循环小数表示商。 教学准备：多媒体课件、实物投影台 教学过程： 一、创设情境，激趣导入 谈话：同学们，上节课，我们解决了“三峡大坝的高度约是八盘峡坝的多少倍？”这个问题，已经用计算器得出结果：185÷33=5.606060……（教师板书）那么这节课咱们就来继续研究大坝的问题。（课件出示情境图） 现在请看本节课的学习目标 1.理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。 2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。 目标明确了，让自学指导来帮助我们学习。 认真看课本第40页的内容，重点看红点问题的计算过程。思考： 1.仔细观察185÷75,你发现了什么？ 2.这道题的余数有什么特别的地方吗？商有什么特点？ 3.试着竖式计算8.05÷3.7观察结果有什么特点？ （5分钟后看谁能将上述问题讲解清楚）
二、自主探索，获取新知 （一）根据算式得出循环小数的概念 1．解决问题发现规律 教师谈话导入：三峡大坝的高度约是十三陵蓄能坝的多少倍？ 学生口答算式：185÷75 让学生自己计算（教师巡视，学生出现疑问：这个怎么也算不完，后面还有很多位。）小组交流一下你的答案。 学生汇报：185÷75=2.4666……（板书） 生：这道题的余数不断重复，商都是一样的。 师：真棒，观察的很仔细。 现在我们再来做一道题，看看你有什么发现？ 自主计算：8.05÷3.7 生汇报结果：8.05÷3.7=2.1756756……（板书） 2．小组讨论汇报交流 整理出示：185÷33=5.606060…… 185÷75=2.4666…… 8.05÷3.7=2.1756756…… 根据这三个算式的计算结果你能发现什么？和以前的小数有什么不同？（学生先自主思考，然后和小组内的同学说说你的想法。） 学生汇报： （1）怎么除都除不尽 （2）都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数观察是不是有数字循环出现：5.606060……（数字6、0依次循环出现）2.4666…… （数字6依次循环出现）8.05÷3.7=2.1756756……（数字7、5、6依次循环出现）还有很多的例子。 师生小结：都有数字依次不断地重复出现。 （3）重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：5.606060……（从小数的第一位开始依次重复的）2.4666……（从小数的开始依次重复的）8.05÷3.7=2.1756756……（从小数的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333……
五年级小数除法循环小数 综合练习 Prepared on 21 November 2021
循环小数1.填空题。 （1）一个小数，从小数部分的某一位起，或依次不断地出现，这样的小数叫做。 （2）在3.82，5.6，0.35，0.002，2.75，3.2727……中，，是有限小数的是（ ），是循环小数的数（）。 （3）8.375375……可以写作?。 2.出下面各循环小数的近似值（保留三位小数） 0.3333……≈?13.67373……≈? 8.534534……≈?4.888……≈? 3.判断（对的画“√”错的画“×”） （1）1.4545……（保留一位小数）≈1.4。（） （2）2.453453…的循环节是435。（） （3）循环小数都是无限小数。（） （4）1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。（） 4.算下面各题，除不尽的用循环小数表示商。 13÷1157÷3211.625÷9.330.1÷33 5.会比较这些小数的大小吗？试试看！ 0.66○0.8.○8.25?5.414○5.43.888○3.07.28○7.
6.简便记法表示下列循环小数 3.2525……17.0651651……1.066…… 0.333…… 7.选择题。 （1）2.235235……的循环节是（ ）①2.235?②2.35?③235?④235 （2）下面各数中，最大的一个数是（） （3）得数要求保留三位小数，计算时应算到小数点后面第（）位。 ①二位?②三位?③四位?④五位 8.简便计算。 73.8－1.64－13.8－5.3615.2÷0.25÷4 4.8×7.8＋78×0.5256.5×9.9＋56.5 70.9×1.08－0.8×7.097.85＋2.34－0.85＋4.66 0.89×100.18.7×0.9+0.8713.75－(3.75＋6.48) 1.25× 2.5×3217.8÷(1.78×4)2.3×16+2.3×23+2.3 应用题。 1、小红买了单价是4.5元的钢笔，付20元钱，找回了6.5元，她买了几枝钢笔？ 2、星光小区开展节约用水活动，王奶奶家上半年节约水费21.6元，张奶奶家第一季度共节约水费16.2元，谁家平均每月节约的水费多？ 小明在数学考试时，不细心把一个数除以4.75计算成乘4.75，结果是406.125，这道题的正确答案应是多少？
课题：第三单元：小数除法—循环小数 雷霆五年级教学内容：教材P33～34例7、例8及练习八第4、5、6、7、9题。 教学目标： 知识与技能：理解“有限小数”和“无限小数”的意义。 过程与方法：通过求商，使学生感受到循环小数的特点，从而理解循环小数的概念，了解循环小数的简便记法。 情感、态度与价值观：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高其观察、分析、比较、判断、抽象的概括能力。 教学重点：通过笔算发现循环小数的规律，掌握循环小数的意义。 教学难点：能正确判断循环节数字，学会用简便记法表示循环小数。 教学方法：计算、观察、分析、比较、讨论。 教学准备：多媒体。 教学过程 一、创设情境 1．开课前教师先了解今天班上有没有过生日，如果没有就私下找位同学配合，为这位同学送祝福，齐唱生日歌，由此提出问题： 问：生日歌有几句歌词？为什么一句歌词可以唱这么久？（一句，因为它不断地重复。）问：生活中像歌词这样的重复现象还有哪些？（出示图片：四季，白昼，日历） 这种“依次不断重复”的情况我们可以称它为“循环”。（板书：循环） 2．初步感知循环小数。 出示教材第33页例7情境图，引导学生观察并说出图意，并找到数学信息，独立列算式。学生列式：400÷75。 让学生用竖式计算这个算式，并说一说在计算过程中你有什么发现。 通过计算，学生会发现这个算式的余数重复出现“25”；商的小数部分连续地重复出现“3”。 3．引出课题。像这样继续除下去，能除完吗？（可能永远也除不完。） 揭题：那怎样表示这种永远也除不完的商？这种商有些什么特点？这节课我们来研究这个问题，也是我们要认识的“新朋友”——循环小数。
同学们在计算时，除要熟练掌握好运算法则外，还要通过观察和分析，找出题目中数的特点，合理、有效地进行计算。 常规裂项公式： ()11+n n ＝n 1－11+n k n ?1＝(n 1－k 1)×n k -1 （n ＜k ) ()()211++n n n ＝［()11+n n －()()211++n n ］×2 1 ()()()3211+++n n n n ＝［()()211++n n n －()()()3211+++n n n ］×3 1 循环小数化分数的方法： （1）纯循环小数化分数：小数部分中，循环节有几位数字，所化成的分数的分母就有几个“9”；循环节的数字是几，所化成的分数的分子就是几。 （2）混循环小数化分数：小数部分中，循环节有几位数字，所化成的分数的分母中就有几个“9”；不循环的部分有几位数字，所化成的分数的分母中“9”的后面就有几个“0”。将用小数部分的数减去不循环的部分所得的差作为分子。 等差数列的求和公式： （1）n S ＝()2 1 n a a n + （2）n a ＝1a ＋(n －1)d （3）d ＝ 1 1--n a a n 例1. 计算：99999×77778＋33333×66666 【分析与解】：解决本题的关键是将33333×66666变形为99999×22222。 99999×77778＋33333×66666 ＝99999×(77778＋22222) ＝99999×100000 ＝9999900000
例2. 计算：2006×20072007－2007×20062006 【分析与解】可以根据题目中数的特征解题，即 20072007＝2007×10001 20062006＝2006×10001 2006×20072007－2007×20062006 ＝2006×2007×10001－2007×2006×10001 ＝0 例3. 计算：211?＋321?＋431?＋Λ＋1091? 【分析与解】利用裂项公式()11+n n ＝n 1－1 1+n 解题。 211?＋321?＋431?＋Λ＋10 91? ＝(11－21)＋(21－31)＋(31－4 1)＋(41－51)＋Λ＋(91－101) ＝1－10 1 ＝10 9 例4. 计算： 13112?＋15132?＋17152?＋19172?＋19 1 【分析与解】利用裂项公式k n ?1＝(n 1－k 1)×n k -1(n ＜k )解题。 13112?＝111－13 1 15132?＝131－15 1 17152?＝151－17 1 19172?＝171－19 1 原式＝(111－131)＋(131－151)＋(151－171)＋(171－191)＋19 1 ＝111－131＋131－151＋151－171＋171－191＋19 1 ＝111
循环小数有限小数无限小数 教学内容：青岛版小学数学五年级上册第33页信息窗3第2课时 教学目标: 1.通过对教材中相关计算结果的分析，初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确区分有限小数和无限小数。 2、通过对循环小数、有限小数、无限小数概念的认知分析，理清三者之间的关系，能正确解决相关概念问题。 3. 培养学生的分析能力、分类能力和概括能力，提高学生解决简单实际问题的能力。 4.在自主探索、合作交流及解决问题的过程中，逐步渗透和培养数学的极限思想。 教学重难点： 教学重点：理解循环小数，有限小数和无限小数的意义，会用循环小数表示除法的商。 教学难点：理清循环小数、有限小数、无限小数三间的关系。 教具、学具： 教师准备：多媒体课件 学生准备：计算器 一、创设情境，提出问题 课件出示教材情境图
上一节课我们大家共同解决了三峡旅游中两个“驴友”其中一人买腊肉的问题，今天我们再来解决另一个人买茶叶的问题。 小组内完成以下内容： ①学生自行阅读情境图中的对话内容。 ②找到相关数学信息。 ③尝试提出与除法有关的问题。 全班交流提出的数学问题，师选择板书 二、自主学习，小组探究。 出示本节课所要解决的主要问题 1.独立列算式并尝试计算：350÷6。 2.思考：计算过程中你遇到了什么困难？余数和商有什么特点？ 3.小组讨论：把你遇到的困难和发现，在小组内相互说一说，看其他同学跟你的一样吗？教师巡视、指导，收集小组交流素材。（给学生留有足够的时间，自主发现、探究） 学生出现疑问：这个商怎么也算不完，结果如何书写，这时候教师不急于解答，小组交流一下你的答案。 4.引导学生再去发现这种现象是不是在其他的除法算式中也存在：计算（可以使用计算器） 63÷22= 8.05÷3.7= 三、汇报交流、评价质疑 1.小组汇报交流 展示学生的计算及结果的书写，选择板书 板书出示：350÷6=58.333…（元） 63÷22==2.8636363… 8.05÷3.7=2.1756756… 2.根据这三个算式的计算结果你能发现什么？结果的小数和以前的小数有什么不同？ 预设学生回答： （1）如果除下去，怎么除都除不尽，永远也除不完。（点拨：永远除不完，
循环小数与分数拆分 考试要求 （1）掌握循环小数化分数的基本方法与规律； （2）在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。 知识框架 【基本概念】 纯小数——整数部分是零的小数。 循环小数——从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数。 循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。 混循环小数——循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。 纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始的循环小数。 【基本方法】 （1）纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。 （2）混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 重难点 重点：循环小数化分数的基本方法与规律； 难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。 例题精讲
一、分数拆分 【例1】 110=()()11--()1=()()() 111++ 【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立． ()()()()()()111111110=--=++ 【例2】 如果 1112009A B =-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？ 【巩固】若 1112004a b =+，其中a 、b 都是四位数，且a循环小数综合练习题
循环小数 的，这叫有限小数；二是除不尽，除到小数部分，余数重复出现，商中某些数字也不断重复出现，且商的小数部分是无限的，这叫无限小数。 【循环小数】 （一）循环小数的意义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重 复出现，这样的小数叫做循环小数。 如：3.2222……这个小数可以记作 ? 2 3. 5.3272727……这个小数可以记作 ? ? 7 2 5.3 （二）区分有限小数和无限小数，小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数的一种，但还有不少循环小数的无限小数。【循环节】 （1）循环节的意义。一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 如：3.33333……的循环节是“3” 5.28282828……的循环节是“28” 10.051301730173017……的循环节是“3017” （2）循环小数的简写。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 （3）纯循环小数和混循环小数的意义 ①纯循环小数的意义。循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 ②混循环小数的意义。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 【小数的比较】 比较两个小数的大小的时候，先比较它们的整数部分。整数部分大的那个数较大；整数部分相同时，比较它们的小数部分十分位上的数大的那个数较大；十分位上的数相同时，比较百分位…… 如果两个小数，所有数位上的数都相同，那么这两个小数的大小相等。 我们在做循环小数的比较大小的时候，把循环小数的简便写法改写成一般写法的形式，这 样更便于比较。例如：比较 ? ? ? ? ? 8 3.0 3088 .0 8 3.0 3083 .0 8 0.30 0.308， ， ， ， ， ? ? ? ? 3 2 3.1 2 3.1 3232 .， ，四个数按照 从大到小的顺序排列起来。 练习：在下面式子的数中合适的位置上点上 循环点，使式子成立。 （1）0.894>0.8943 （2）8.045<8.045 （3）3.88……=3.8 （4）5.47>5.475 例2 、在混循环小数 ? 1 2.71828的某一位上再 添一个表示循环的圆点，使新得到的循环小数 尽可能大，请写出新的循环小数。 例3、在循环小数 ? ? 1 02 3 0.中，小数点右面第 1997位上的数字是几？ 练习： 1、在循环小数 ? ? 7 99 1 0.302中，小数点右面第 1997位上的数字是几？ 2、循环小数 ? ? 4 205 0.37的小数点右面第100 位上的数字是几？
循环小数教案设计 1、教材简析：循环小数是在学生学习了小数除法的意义，小数除法的计算及商的近似值的基础上进行教学的。这部分内容概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。例9通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时的两种情况：一种是从某位起重复某个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。 2、教学目标： （1）使学生初步认识循环小数，有限小数和无限小数，能用简便记法表示循环小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确地区分有限小数和无限小数。 （2）让学生经历猜想验证的探究过程，培养学生的探究精神和意识。（3）学生能在学习过程中获得成功体验，培养学生积极的数学情感。 3、教学重点：理解循环小数的意义 教学难点：理解循环小数的意义及判断商是否为循环小数的方法。4、教具准备：多媒体课件 教学过程： 一 .自研共探 创设情境，导入新课 1、讲故事：从前有座山，山上一个庙…… 这个故事有什么特点？（引导学生发现内容总是在依次不断的重复出现）
2、然后让学生说说生活中还在哪些地方见过这种“依次不断的重复出现的”的现象。 生活中有这些重复现象，数学计算中也会遇到一些重复现象，我们给这些重复的现象起个名字叫“循环”这节课我们大家就一起探讨吧。 3．板书：循环小数 【以故事的形式导入，使学生感到特别亲切，拉近了师生间的距离，将生活与数学融合在一起，使学生很容易理解“循环”的含义，从而为后面学习新知作好的铺垫。】 4.出示学习目标： （1 ）.认识循环小数、有限小数和无限小数，会用简便记法表示循环小数。（2 ）.会用循环小数表示除法的商，能正确区分有限小数和无限小数。 二、学习指导。（一） 认真看60页例1 重点看黄底色部分内容思考： 1.看列竖式的计算过程你能发现什么？ 2.商总是重复出现3,它和每次出现的余数有什么关系？ 当（）重复出现时，（）就要重复出现；（）是随（）重复出现才重复出现的。 4.猜想一下，如果继续除下去，商是怎样的？它的第6位商是多少？第7位呢？ 5.那么我们怎样表示2÷6的商呢？ （自研时间为3分钟.自研后先组内交流，然后汇报展示） （1）看一看（自研探究） 认真地看书自研，师巡视，督促人人认真地看书。 （2）议一议（合作交流） 针对自研探究中的问题先对子交流，还不能解决的问题在小组内讨论。（3）说一说（汇报展示）
五年级小数除法循环小数综合练习 1. 填空题。 (1 )一个小数，从小数部分的某一位起，或依次不断地出现，这样的小数叫做。 (2 ) 在 3.82,5.6,0.35,0.002,2.75,3.2727 ……中,,是有限小数的是 ( ),是循环小数的数( )。 (3) 8.375375……可以写作。 2. 出下面各循环小数的近似值(保留三位小数) 0.3333……?13.67373……? 8.534534……? 4.888 ....... ? 3.判断(对的画“A错的画“为” (1) 1.4545 ……(保留一位小数)?1.4( ) (2) 2.453453??的循环节是435。( ) (3)循环小数都是无限小数。( ) (4) 1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。( ) 4.算卜面各题,除不尽的用循环小数表示商。 13- 1157- 32 11.625 - 9.330.1-33 5.会比较这些小数的大小吗？试试看! 5.414 O 5.4?1 3.888 O 3.0?8 7.28?2 O 0.66 O 0.?6 8.?2?5 O 8.25 7.?2?8
6.简便记法表示下列循环小数 3.2525 ……17.0651651 …… 1.066 …… 7.选择题。 （1） 2.235235……的循环节是（［①2.235 ②2.35 ③235 （2）下面各数中，最大的一个数是（） ①3. 81 ②3.五③王前④3. 8 （3）得数要求保留三位小数，计算时应算到小数点后面第（）位。 ①二位②三位③四位④五位0.333 ④235 8.简便计算 73.8 —1.64- 13.8- 5.36 15.2 - 0.25 - 4 4.8 X 7^78 X 0.52 56.5 X 9￡56.5 70.9 X 1.0—0.8 X 7.09 7.85+ 2.34-0.85 + 4.66
循环小数 1.填空题。 （1）一个小数，从小数部分的某一位起，或依次不断地出现，这样的小数叫做。 （2）在 3.82，5.6，0.35，0.002，2.75，3.2727……中，，是有限小数的是（），是循环小数的数（）。 （3）8.375375……可以写作。 2.出下面各循环小数的近似值（保留三位小数） 0.3333……≈13.67373……≈ 8.534534……≈ 4.888……≈ 3.判断（对的画“√”错的画“×”） （1）1.4545……（保留一位小数）≈1.4。（） （2）2.453453…的循环节是435。（） （3）循环小数都是无限小数。（） （4）1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。（） 4.算下面各题，除不尽的用循环小数表示商。 13÷1157÷3211.625÷9.330.1÷33
5.会比较这些小数的大小吗？试试看！ 0.66 ○0.6? 8.2?5?○8.25 5.414 ○ 5.41? 3.888 ○ 3.08?7.282?○7.2?8? 6.简便记法表示下列循环小数 3.2525……17.0651651…… 1.066……0.333…… 7.选择题。 （1）2.235235……的循环节是（）①2.235 ②2.35 ③235 ④235 （2）下面各数中，最大的一个数是（） （3）得数要求保留三位小数，计算时应算到小数点后面第（）位。 ①二位②三位③四位④五位 8.简便计算。 73.8－1.64－13.8－5.36 15.2÷0.25÷4 4.8×7.8＋78×0.52 56.5×9.9＋56.5
70.9×1.08－0.8×7.09 7.85＋2.34－0.85＋4.66 0.89×100.1 8.7×0.9+0.87 13.75－(3.75＋6.48) 1.25× 2.5×32 17.8÷(1.78×4) 2.3×16+2.3×23+2.3
小学数学《循环小数》思维训练题在小学数学中，小数大体上可以分为两类：一类是有限小数，一类是无限小数；在无限小数中，可分为无限循环小数，无限不循环小数。 循环小数是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数。 循环节从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数．如0.33333333...,0.1428571428571....等。 循环节不从小数部分第一位开始的，叫混循环小数。如1.5333……或 5.35858…… 循环小数可以改写为分数。 将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数;分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。 将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差;分母的头几位数字是9，9的个数跟循环节的数位相同，末几位数字是0，0的个数跟不循环部分的数位相同。
训练一、把下列循环小数化为分数 （一） 0.1的循环小数=0.1/(1-0.1)=1/9 （二） 0.2的循环小数=2/9 （三） 0.3的循环小数=3/9=1/3 （四） 0.4的循环小数=4/9 （五） 0.5的循环小数=5/9 （六） 0.6的循环小数=6/9=2/3 （七） 0.7的循环小数=7/9 （八） 0.8的循环小数=8/9 （九） 0.9的循环小数=9/9=1 注意： 【0.9的循环小数，根据极限理论，它可以无限接近1，可以认为等于1。0.9的循环小数一般就不用分数表示，也可以用任何非零的相同的两个数做分子分母 【循环小数化为分数后，一般要化为最简分数。】 训练二、把下列各循环小数化为分数。 （一） 0.81（81循环）=81/99=9/11 （二） 1.206（206循环）=1又206/999。 （三）将 3.305030503050.................（3050
循环小数 知识点 两数相除，如果不能得到整数商，就会出现两种情况：一是除得尽，商的小数位数是有限的，这叫有限小数；二是除不尽，除到小数部分，余数重复出现，商屮某些数字也不断重复出现，且商的小数部分是无限的，这叫无限小数。 【循环小数】 (一)循环小数的意义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 女口：3.2222……这个小数可以记作3.2 5.3272727 ……这个小数可以记作5.327 (二)区分有限小数和无限小数，小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位 数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数的一种，但还有不少循环小数的无限小数。 【循环节】 (1)循环节的意义。一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。如：3.33333……的循环节是“ 3”……的循环节是“ 28” ……的循环节是“ 3017 " (2)循环小数的简写。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 (3)纯循环小数和混循环小数的意义 ①纯循环小数的意义。循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 ②混循环小数的意义。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 【小数的比较】 比较两个小数的大小的时候，先比较它们的整数部分。整数部分大的那个数较大；整数部分相同时，比较它们的小数部分十分位上的数大的那个数较大；十分位上的数相同时，比较百分位…… 如果两个小数，所有数位上的数都相同，那么这两个小数的大小相等。 我们在做循环小数的比较大小的时候，把循环小数的简便写法改写成--般写法的形式，这 样更便于比较。例如：比较0?308,0?308,0?3083,0?308,0?3088,0?308 ________________ 典型例题 例1、把1.32 , .3232,1.32,1.323 四个数按照从大到小的顺序排列起来。 练习：在下面式子的数屮合适的位置上点上 循环点，使式子成立。 (1) 0.894>0.8943 (3) 3.88 ........ =3.8 (4) 5.47>5.475 例2、在混循环小数2718281的某一位上添_个表示循环的圆点，使新得到的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。 例3、在循环小数0.3021屮，小数点右面第1997位上的数字是几 练习： 1、在循环小数0.3021997中，小数点右面第1997位上的数字是几 2、循环小数0.3702054的小数点右面第100 位上的数字是几 例4. 一个小于1的纯循环小数，它的循环节有5个数字，已知它小数点右面第20位上的数字是3,第36位上的数字是4,第52位上的数字是5,第79位上的数字是6,第98位上的数字是7,求这个纯循环小数。 例5. (1) 如果把 表示循环节的两个点加在7和1 上面，则此循环小数第200位上的数字是几(2) 如果要第100位上的数是5,那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面 例6. 0.6180.618,0.618,0.618,0.68 是七个 数其中的5个，已知按从大到小的顺序排列的第四个数是0.618,那么按从小到大顺序排列的第三个数是多少家庭作业 1、 (1)如果把两个点加在8 和3的上面，那么第100位的数应该是几 (2)如果要使第100位上的数字是5,那么表示循环 节的两个点应分别加在哪两个数字的 (2) 8.045<8.045
1.3 >.8= 0.13 0.>28= 13>2.8= 0.13>2.8= 36 2>.8036 W 错误的打>) 1.3 0>.028= 一、小数乘法 小数乘法计算法则： ① 先按整数乘法算出积，再给积点上小数点。 ② 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起（或个位）数出几位，点上小数点 ③ 当乘得的积的小数位数不够时，要在前面用 0补足，再点小数点。 （注：先点点，再划零。 ） 求积的近似值： 算出精确值后再根据要求保留相应位数 运用运算定律和性质进行小数乘法的简算。能进行小数乘法的估算。 能发现规律、运用规律写出结果。 （因数与积的变化规律） 一个因数扩大多少倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。 一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）多少倍，积也扩大（缩小）多少倍 一个因数扩大多少倍，另一个因数扩大多少倍，积就扩大它们的乘积倍。 小数乘法中的比大小 当一 个因数大于 1 时， 积大于另一个因数。 （ （另一个因数工0） 当一 个因数小于 1 时， 积小于另一个因数。 （ （另一个因数工0） 当一 个因数等于 1 时， 积等于另一个因数。 随堂练习 （ 一 ）填空 1、 13.65扩大（ ）倍是 1365；6.8缩小（ )倍是 0.068 2、 把7.4343434343 ?…用简便方法写出来是（ ），保留两位小数是（ ） 3、 把 7.1687保留整数约是（ ），精确到千分位约是（ ） . 4、 4.09 005的积有（ ）小数，5.2 M .76的积有（ ）位小数 5、 根据13 >28=364，很快地写出下面各式的积。 0.013>28= &在O 里填上 >、<或= 163 >0.8 0163 （二）判断题（正确的打 小数乘除法
证明分数一定是小数或无限循环小数 优质解答 任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小 数和混循环小数两类.那么,什么样的分数能化成有限小数?什么样的分数能化成纯循环小数、混循 环小数呢?我们先看下面的分数. （1）中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化 因为40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位. （2）中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5. （3）中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质 因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位. 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于 分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循 环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数. 例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部 分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位? 上述分数都是最简分数,并且 32=2*2*2*2*2,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13, 117=33×13,850=2×52×17,
根据上面的结论,得到： 不循环部分有两位. 将分数化为小数是非常简单的.反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了.我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法. 1.将纯循环小数化成分数. 将上两式相减,得将上两式相减,得 从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法. 纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同. 2.将混循环小数化成分数. 将上两式相减,得 将上两式相减,得 从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法. 混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同. 数只分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数 所以只需证明分数不可能是无限不循环小数 因为分数就是分子除以分母（分子和分母都是自然数）,按照除法规则,总会除到余数小于分子的时候 而这样的余数的个数一定有限（因为一定小于分子）