Spheric geometry（球面几何）
是几何学的一门分科。
研究球面上图形的几何学。是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展起来
的，其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三角”。
球面几何学是在二维的球面表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子。
在平面几何中，基本的观念是点和线。在球面上，点的观念和定义依旧不变，
但线不再是“直线”，而是两点之间最短的距离，称为最短线。在球面上，最短
线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。同样的，在球
面几何中的角被定义在两个大圆之间。结果是球面三角学和平常的三角学有诸多
不同之处。例如：球面三角形的内角合大于180°。
对比于通过一个点至少有两条平行线，甚至无穷多条平行线的双曲面几何
学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。
球面几何学在航海学和天文学都有实际且重要的用途。
球面几何学的重要关键在塑造真实投影平面，通过辨认在球面上获得正相反
的对跖点(分列在边的两侧相对的点)。在当地，投影平面具有球面几何所有的特
性，但有不同的总体特性，特别是他是无定向的。
球面乃是空间中最完美匀称的曲面。两个半径相等的球面可以用一个平移把
它们叠合起来，而两个半径不相等的球面所相差者就是放大或缩小这种相似变
换，由此可见本质性的球面几何可以归纳到单位半径的球面来研讨。再者，在古
典天文学的研讨中，观察星星的方向可以用单位球面上的一个点来标记它，而两
个方向之间的角度（亦即方向差）则相应于单位球面上两点之间的球面距离
(spherical distance) 。
这也就是为什么古希腊天文学和几何学总是合为一体的，而且古希腊的几何
学家对于球面三角学(spherical trigonometry)的投入程度要远远超过他们对
于平面测量学的兴趣，因为「量天的学问」才是他们所致力去理解者；它的确比
丈量土地、计量财产等更引人入胜。
从现代的观点来看，球面几何乃是空间几何中蕴含在正交子群的部分，而向
量几何则是空间几何中蕴含在平移子群的部分，而且两者又密切相关、相辅相成，
例如向量运算都是正交协变的(orthogonal covariant)，所以向量代数又是研讨
球面几何的简明有力的利器。
七、球面幾何和球面三角學
項武義
?單位球面的基本性質
?球面三角學
球面乃是空間中最完美勻稱的曲面。兩個半徑相等的球面可以用一個平移把它們疊合起來，而兩徑不相等的球面所相差者就是放大或縮小這種相似變換，由此可見本質性的球面幾何可以歸納到
半徑的球面來研討。再者，在古典天文學的研討中，觀察星星的方向可以用單位球面上的一個點記它，而兩個方向之間的角度（亦即方向差）則相應于單位球面上兩點之間的球面距離 (spher distance) 。這也就是為什麼古希臘天文學和幾何學總是合為一體的，而且古希臘的幾何學家對面三角學 (spherical trigonometry) 的投入程度要遠遠超過他們對于平面測量學的興趣，因為天的學問」才是他們所致力去理解者；它的確比丈量土地、計量財產等更引人入勝，是不？
從現代的觀點來看，球面幾何乃是空間幾何中蘊含在正交子群的部分，而向量幾何則是空間幾何含在平移子群的部分，而且兩者又密切相關、相輔相成，例如向量運算都是正交協變的 (ortho covariant)，所以向量代數又是研討球面幾何的簡明有力的利器。
單位球面的基本性質
設O為球面的心，而單位球面S2(1) 則是空間中所有和O點的距離為 1 的點所成的點集，
它是以O為其定點的正交子群的一個軌道 (orbit) 。
(i)
反射對稱性：設Π是一個過球心O點的平面，則顯然有保持O點不動。由的
性可見它把和O點相距為 1 的點變換成和O點相距為 1 之點，所以
再者，在S2(1) 上的定點子集就是這一個大圓 (great circle)，我們將把
限制在S2(1) 上的變換叫做以大圓為定點子集的球面反射對稱。
(ii)
旋轉對稱性：設是一條過球心O點的直線，它和球面S2(1) 的交點是球面上的兩個互
頂的點A, A' （一如南、北兩極）；換言之，球面上兩點A, A' 互為對頂 (antipodal)
件是以球心為其中點。在空間以為軸的旋轉之下，球心是固定不動的；同
見S2(1) 也是它的一個不變子集，而它限制在球面上的變換乃是一個以對頂點 {A,A'} 為點子集的球面旋轉對稱（如日常地球所作者就是一個以南北極為其定點子集的旋轉）。
球面極坐標：
設 {N,S} 是單位球面上給定的兩個互相對頂之點，在以 {N,S} 為定點子集的球面旋轉之下，每「緯度」保持不變，而其「經度」則隨著轉角而增加，如 [圖 7-1] 所示。設P是球面上相異于
極點者，令是過P點的那條經線 (longitude arc)，是選定的基準經線。設r為N到
球面距離，亦即這一段「經弧」的弧長，θ是轉到的（有向）轉角，則稱
點對于以N為基點的球面極坐標 (spherical polar coordinates) 。
[ 圖 7-1 ]
若在空間選取正交坐標系，以球心為原點，以為z-軸的方向，以為x-軸的方向，其中
乃是基準經線的中點，則有：
[註]：由直接的微分計算可得
用上述弧長的微分式，不難証明經弧乃是球面上連結N, P兩點的最短曲線（亦稱測地線(geodesics)）。
【阿基米德定理】：半徑為R的球面面積等于
[註]：阿基米德 (Archimedes, 287-212 B.C.) 是公認的古希臘時代偉大的科學家和幾何學家，生有很多卓越的貢獻；而他最引以自豪者，首推上述定理及其簡潔的証明，這也就是遵照他本人囑刻在他的墓碑上者。
証明：其証明的要點在于論証一個半徑為R的球面面積和一個高為 2R，半徑為R的圓柱面面積而在他的墓碑上所刻劃的，就是如 [圖 7-2] 所示把兩者放在相切同高的位置。
[ 圖 7-2 ]
設想用一系列和柱面正交的平行平面，把兩個面都細分成很窄很窄的一圈圈。設相鄰兩個平行面的距離是，則柱面上的窄條（或圈）的面積等于，而在球面上的相應窄圈，雖然其
和長度會隨著θ而改變，但在非常、非常小的時候，它可以看成如 [圖 7-3] 所示的圓台
面：
[ 圖 7-3 ]
其中環長度是，亦即其環長的平均值是，而側面的寬度則為，所以其
的高度近似值也是（亦即可能的誤差肯定在這種量級）。由此他就用 Eudoxus 所
逼近原理証明了兩者的面積必然相等，而後者的面積顯然等于高為 2R，長為的長方形面積
即。□
球面三角形面積公式：
設A, B, C是球面上任取三點但不含對頂者，令, , 為連結于點與點之間的測地線
之為球面三角形的三個邊。我們將採用和平面三角學中相同的符號體系，以A, B, C
在三個頂點的內角，及以a, b, c表示的各角對邊邊長。在平面幾何中，一個形的三個內角和恆等于一個平角，這是邏輯等價于平行公理的基本事實，也是平面的平直性的一本表達；在球面三角形的情形下，三內角之和則恆大于一個平角，而下述[定理 7.1]証明在單位上的球面三角形，其內角和與π的差額（稱之為「角盈」）其實恰好等于其面積。
【定理 7.1】：在單位球面上，一個球面三角形的面積就是
証明：如 [圖 7-1] 所示，由二個夾角為θ的經線所圍成的球面部分，其面積顯然和θ成正是球面對以N, S為定點的旋轉對稱性的直接推論）。再者，當時，其面積等于（阿
德定理）！所以上述以θ為夾角者（稱之為 spherical lune）的面積等于。
[ 圖 7-4 ]
如 [圖 7-4] 所示，令A', B', C' 分別是A, B, C的對頂者。用上述 spherical lune 的面積即得：
由此可得
亦即
[註]：上述具有基本重要性的球面三角形面積公式其實就是阿基米德球面面積公式的局部化和精
球面三角形的疊合條件及等腰三角形定理：
設A, B是球面上任給兩點。在空間中和A, B等距的點集是直線段的垂直平分面，它
包含球心O，所以和A, B等距的球面上之點乃是這個大圓，而球面對于這個大圓的
對稱將A, B互換。用上述球面上的反射對稱即可推導出：
(i)
S.A.S. 也是球面三角形的疊合條件；
(ii)
球面等腰三角形的兩底角相等；反之，兩底角相等的球面三角形亦必為等腰。
再者，由上述兩點還可以同樣地推導出球面三角形也具有其他如 S.S.S. 和 A.S.A. 等疊合條件此值得一提的是 A.A.A. 也是球面三角形的一個疊合條件，我們可以用球面三角形中所特有的對係來推導它也是一個疊合條件。設A, A' 互為對頂，則和A, A' 等距的球面上的點集就是和A,
距離是的那個大圓，將以記之。設是一個任給球面三角形，在下述三對對頂點
, , ）之中，分別取其靠近A, B, C者，以A*, B*, C*記之，則稱
為的對偶球面三角形（也是的對偶球面三角形）。
【引理 7.1】：令a, b, c和a*, b*, c*分別是和的各角對邊邊長，則有
[ 圖 7-5 ]
証明：我們只需要証明其中之一，其餘各式皆可同理類推。由 [圖 7-5] 所示，在大圓上
, ，故有
【推論】： A.A.A. 也是一種球面三角形的疊合條件。
証明：設和的三角內角對應相等，由[引理 7.1]得知它們的對偶球面三
和的三個邊長對應等長，所以是全等的，因此當然有三個對應內角相等。再
理 7.1]，即得和滿足 S.S.S. 全等條件。□
【引理 7.2】：設和的頂點共圓而且A, A' 同在的一側，則
再者，上述之逆命題也成立。
[ 圖 7-6 ]
証明：如 [圖 7-6(i)] 所示，, , 皆為等腰，所以其底角相等，設其分
, , 。則有
同理亦有
[圖 7-6(ii)] 的情況和逆命題的証明留作習題。□
【定理 7.2】(Lexell)：設球面三角形和具有相等的定向面積，而B', C'是B, C的對頂點，則B', C', A1, A2四點共圓。
[ 圖 7-7 ]
証明：如 [圖 7-7] 所示：
所以
分別取A=A1和A2，再對和運用[引理 7.2]的逆命題，即得B', C', A1,圓。□
【習題】：
(1)
設P1, P2的球面極坐標分別是 (r1,0) 和 (r2,0)，而是一條一階可微
-r2| 。
, , 。試証其長度至少等于 |r
1
(2)
若是一個半徑為R的球面三角形，試問和其面積之間的關係是麼？並試証你的主張。
(3)
設和是滿足 S.A.S. 條件的兩個球面三角形，例如A1=A2, b1=b2, c
試構造一系列球面上的反射對稱，它們的組合恰好把變換到。(4)
試用球面的反射對稱性証明等腰三角形的底角相等，而頂角平分線垂直平分底邊。
(5)
試用上述 (3), (4) 所証得者，証明 S.S.S. 也是球面三角形的一種全等條件。
(6)
設O為一個球面的心，A為球面上任給一點，Π為過A點而且和垂直的平面。試和球面僅僅交于 {A} 點。
(7)
設Γ是極坐標下「r= 常數」所構成的緯圓。試求Γ上任一點P的切平面和直線ON
點V（亦即確定的長度）。
球面三角學
球面三角學研討球面三角形的各種各樣幾何量如邊長、角度、面積、外接圓和內切圓的半徑等等互關係。遠在古希臘時代，球面三角學即已倍加重視。Menelous 所著的 ``Sphaerica'' 和 Ptole 著的 ``Almagest'' 總結了當年在球面三角學上的研究成果和它們在天文學上的應用。大體上，已經充分理解了直角球面三角形的各種幾何量之間的相互關系；然後一直到十八世紀，球面三角研究才又得以蓬勃開展。
在本節的討論中，將以, , 等等表示單位球面上給定點A, B, C等等的位置向量，亦即
, , 等等，它們當然都是單位長的向量。由此可見，從向量幾何的觀點球面幾何其實也就是單位長向量的幾何。
由向量運算的幾何內含，即有（參看 [圖 7-8] ）：
(i)
, , ；
(ii)
, , 的面積，亦即 |b x c|, |c x a|, |a x b|，分別等于,
；
(iii)
球面三角形的三個內角A,B,C等于和，和，
和之間的兩面角；
(iv)
設，以後將以D表示之。由行列式的乘法公式即有：
[ 圖 7-8 ]
【定理 7.3】（球面三角正弦定律）：
証明：令為過球心O點而和垂直的平面，b'和c'是, 在上的垂直投影，
[ 圖 7-9 ]
其中, 和a垂直而和則為a的倍積，所以由內積和×-積的分配律，得：
上述所作的垂直投影其實是把由, , 所張的平行六面體沿的方向滑動，最後得出由
所張的長方體，如下圖所示：
因為體積是斜移不變的，由此亦可以看到
由此易見
【定理 7.4】（球面三角餘弦定律）：
証明：由面積的勾股定理，即有：
再者，由內積×-積的幾何意義，以及A等于和之間的兩面角，即有：
□
球面三角餘弦定律的另一証法：
□
【推論 1】：在（亦即直角球面三角形）時，則有：
(i)
(ii)
[ 圖 7-11 ]
証明：由所設即有, 。所以 (i)-式乃是正、餘弦定律的直接結論。
所以
[其他三式的証明留作習題。]
半角公式：
在平面三角學中，我們有下述易算好用的半角公式，即令，則有：
在球面三角學中，也有類似的半角公式，即：
【推論 2】（球面三角半角公式）：
証明：以（或）代入餘弦定律，即得：
或
這也就証明了 (i) 和 (ii)，而 (iii) 則是 (i), (ii) 的直接推論。茲証 (iv)-式如下：
如 [圖 7-12] 所示，是直角球面三角形，, ，所以
[ 圖 7-12 ]
阿基米德定理以及它的局部化——球面三角形面積公式：
是球面幾何中至關重要的基本定理。從純幾何的觀點，上述面積公式已經是十分簡潔完美的了；從向量代數的不變量理論來看，我們還需要把三角形面積和 {a,b,c} 的基本正交不變量，亦即
之間整理出一個簡潔、整體的關係式。當然，我們可以用三角餘弦定律，即
得出
所以這個用向量內積的面積公式當然就可以寫成：
但是這樣一個繁複的表式顯然不好用，因此有必要去探討上述球面三角形面積的內積表達式背後簡形式。這種精益求精的所得就是：
【定理 7.5】：, , .
証明：由球面三角正弦、餘弦定律（亦即[定理 7.3]、[定理 7.4]）即有
等等直接代換和代數計算可得：
上式之分母為
而一個令人驚喜的事實是括號內的代數表式可以簡化成。所以即得
同樣的代數計算可得
所以
[註]：在直角球面三角形，即時，尚有下述特殊公式，即：
【推論 1】：若將的兩邊a, b固定而讓第三邊c變動，令
則有
証明：由上所設，
將對于x求微分，即
在這裡，有趣的是分子也含有 (1+c1)(1+c2) 因式。約分後即得
再者，將下述餘弦定律
對于x微分，即有
所以
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 （2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
实用标准文案 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC , AD BD ，E是AB的中点。 求证：（ 1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。A E B C 2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点，D 求证： AC1 // 平面 BDE 。A D1 B1C E A 3、已知ABC 中ACB 90o,SA面ABC,AD SC , D B C 求证： AD面 SBC ．S D A B ABCD A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.C 4、已知正方体 D1C1求证： (１ ) C1O∥面AB D； (2) AC面 AB D ． B1 1 11 1 1 A1 D C O A B 5、正方体ABCD A ' B 'C ' D ' 中，求证： （1） AC 平面 B ' D ' DB ； （2） BD ' 平面 ACB ' . 6、正方体 ABCD —A B C D中． 1111 D 1C 1 (1) 求证：平面 A1 BD∥平面 B1D1C； A B1 (2) 若 E、 F 分别是 AA ， CC的中点，求证：平面 EB D1F ∥平面 FBD ． 1111 E G C
实用标准文案 2o 7、四面体ABCD 中，AC BD , E, F 分别为 AD , BC 的中点，且 EF AC ，BDC 90 ， 求证： BD平面ACD 8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 、F、G分别是AB、AD、 C1 D1的中点.求证：平面 D1EF ∥平面 BDG . 9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点. （1）求证：A1C //平面BDE； （2）求证：平面A1AC平面BDE . 10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB 2 ， PA AD 4 ， E 为 BC 的中点． （ 1）求证：DE平面PAE； （ 2）求直线DP与平面PAE所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是DAB 600且边长为 a 的菱形， 侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面 ABCD ．（ 1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （ 2）求证：AD PB． 12、如图 1,在正方体ABCD A B C D中， M 为 CC的中点， AC 交 BD 于点 O，求证：AO平面 MBD ． 1 1 1 111 13 、如图２，在三棱锥Ａ－ BCD 中， BC＝ AC， AD＝ BD， 作BE⊥ CD，Ｅ为垂足，作 AH⊥ BE 于 Ｈ．求证： AH⊥平面 BCD．
平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三 点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????== ． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是? ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． A B C D F P
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交 AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两
的角平分线AD、CE相交于O。 （补
AE＝BD，连结CE、DE。
求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证：MP＝MQ
中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图
二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为：()()11 2441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1 122 S OD OE =-? ∵ 1 42 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()2 1122441242S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x = >的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有
高一数学常考立体几何证明题 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点， 求证： 1// A C 平面BDE 。 3、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面11 AB D ；(2) 1 AC ⊥面 11 AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： ''AC B D DB ⊥平面； 6、正方体ABCD —A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ． 7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且 22EF AC = ，90BDC ∠=， A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F
求证：BD ⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 11 C D 的中点.求证：平面 1D EF ∥平面BDG . 9、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点. （1）求证： 1// A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥ 平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==， E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 12、如图1,在正方体 1111 ABCD A B C D -中，M 为 1 CC 的中点，AC 交BD
高中数学常用平面几何名定理 定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 定理2 Ceva定理 定理3 Menelaus定理 定理4 蝴蝶定理定理 内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 定理5 张角定理 在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 定理7 Eular line： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC 的费尔马点。 定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心 定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心 在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面 0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。 1、欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 2、九点圆： 任意三角形三边的中点.三条高线的垂足.垂心与各顶点连线的中点,这9点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
高中数学立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D C B D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
N M P C B A 6、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 考点：线面垂直的判定 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面 FBD ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点， 且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o ，24AB BC ==时， 求MN 的长。 考点：三垂线定理 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、 AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG . 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定 12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形 A 1 A B 1 C 1 D 1 D G E F
单元（章）教学设计 初一信息 授课时间： 2017 年 9月1 日至9月24日 第二课学用基本绘图工具 教学目标： 1、知识与技能 (1)学会新建空白图像 (2)初步学会使用渐变，文字，移动，矩形选框，油漆桶，喷枪等工具 2、过程与方法 通过学会“渐变”和“添加文字”工具、制作简单的广告牌，了解渐变和添加文字工具的用途，学会制作图像的一般方法，从而总结归纳制作图画步骤和方法。 3、情感态度与价值观 培养学生热爱大自然，树立保护环境的意识 教学重点： 学会使用渐变，添加文字工具 教学难点： 了解制作图画的基本思路和方法 课时： 1课时 教学准备： 网络机房、视频文件等 教学过程： 一、课堂引入 展示图片——在校园中拍摄的系列绿化牌。 为了美化环境、提醒同学们不要乱踩塌花园草地，学校制作了类似的绿化牌。这节课我们用phtoshop中的绘图工具来制作这样的绿化牌。 二、作品分析 1、渐变背景：为了美化绿化牌的背景，用渐变工具填充；
2、文字效果：添加文字工具 三、操作步骤 1、设置颜色 把前景色设为银灰色，背景色设为深绿色。单击工具箱中的前景色，背景色色标，弹出“拾色器”时，选定一种颜色。 2、新建一幅空白图像 执行“文件—新建”命令，高度设为10厘米，宽度设为12厘米，分辨率设为72。 1、选定一个矩形区域 选择工具箱中的矩形选框工具，然后选定一个矩形区域。 4、选择工具箱中的油漆桶工具 单击“油漆桶工具”选项，选择油漆桶工具。 5、填充颜色 在选定的区域内单击，填充银灰色（前景色）。 操作提示：填充颜色时，操作有误或对填充色不满意，可以“ctrl+z”键撤消所作的操作。 6、取消选定区域 执行“选择—取消选择”命令，可以取消选定区域。 7、再选定一个矩形区域 利用矩形框工具来画出一个矩形区域。 8、选择画笔工具 选择画笔工具后，单击属性选项，设置“主直径”为10像素。 9、画矩形框的边框阴影 1）把前景色设为白色后，按住SHIFT键，依次单击选定区域的左下角、右下角、右上角，画出一条白色折线。 2)把前景色设为黑色后，按住SHIFT键，依次单击选定区域的右上角、左上角、坐下角，画出一条黑色的折线。 10、画支柱
高中数学空间几何体 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A． B． C． D． 2．如图所示是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC为（ ） A．1800 B．1200 C．600 D．450 3．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB 上，SO⊥底面ABC，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰
直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为（ ） A．1 B． C． D． 5．一平面截球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（ ） A． B． C． D． 6．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ） A． B． C． D． 7．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h3，则h1:h2:h3等于（ ） A． B． C． D．
8．如图所示的一个5×4×4的长方体，阴影所示为穿透的三个洞，那么剩下的部分的体积是（ ） A．50 B．54 C．56 D．58 9.一个正三棱锥的四个顶是半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A． B． C． D． 10．如图用□表示1个正方体，用□（浅黑）表示两个正方体叠加，用□（深黑）表示三个立方体叠加，那么右图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）
画图工具的综合运用 一、教学目标 1、情感态度与价值观： 培养学生的信息技术与美术整合能力和环保意识；培养学生与人合作、互相启发、自主探究、团结合作，开展小组协作学习的习惯；培养学生创新精神和探究意识，提高学生的审美能力，提高学生的分析能力和语言表达能力。 2、知识与技能： 学会使用基本绘图工具的操作；能综合运用所学知识创作图画作品。 3、过程与方法: 通过情景创设，激发学生的学习和制作热情； 通过自主探究、小组协作交流，掌握绘图工具的使用技巧； 通过以“画图”软件自带的“帮助”为学生解决学习的问题，培养学生信息技术课程中遇到难题时，能通过“帮助”解决问题；能根据电脑绘图作品的评价标准，对自己和他人的作品进行简单的评价。二、教学过程 导入 师：同学们，上课前我们先来欣赏一幅作品，这是我们学校的同学参加电脑绘画比赛的作品，你觉得怎样呢？你能说出他都使用了哪些画图工具呢？（展示作品） 其实这些画图工具我们都已经学习过了，你们都来复习一下我们都学过了哪些画图工具，你们还记得他们的使用方法吗？
今天我们利用电脑画图工具创作吧！（板书课题：画图工具的使用）（播放音乐） （板书课题：画图比创意） 1、布置任务 1）我们需要绘画哪几个部分 2）需要使用哪些画图工具进行绘画创作 3）使用什么方法进行绘画是最简便的 4）怎样能使我们画的更漂亮、更活泼、更有个性 2、成果交流 师：你能将自己想到的方法与大家一起交流吗？ 师：同学们的方法真好！其实，我们还可以使用大小不一、形状不同的图形能组合出丰富的花纹和图案，这也是最简便的绘画方法。1、归纳画步骤，并找出可使用的画图工具有哪些。 1）画身体 2）加颜色 2、利用图形的组合创作花纹 3、夸张、添加、变形、添加表情…… 三、教师评价作品展示 师：同学们，你们真棒！能用鼠标把把画板打扮得这么漂亮。其实，我们还能使用电脑画图软件画出内容更丰富的图画（展示学生作品），只要我们继续努力也能达到更高的水平。 下节课，我们继续进行电脑画图的创作，好吗？
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D.连结DA. 在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C. 由BP ＝CQ,可知△DBP ≌△AQC.有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC. 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP.则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP.所以AB ＝AC. 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE.求证：∠EBA ＝∠ADE. 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P,连PE. 由AB CD,易知△PBA ≌△ECD.有PA ＝ED,PB ＝EC. 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE.由∠BAF ＝∠BCE,可知 ∠BAF ＝∠BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE.所以,∠EBA ＝∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂 线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ. 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G,连PG. 由BD 平行∠ABC,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN. 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC. 由CE 平分∠BCA,知GP 平分∠FGA.有PK ＝PM.于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ. 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK,就有PM ＋PN ＝PQ.证法非常简捷. 3 、为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. ∥＝A D B P Q C 图1 P E D G A B F C 图2A N E B Q K G C D M F P 图3
高中数学高考总复习几何证明选讲习题 (附参考答案) 一、选择题 1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( ) A ．y 是x 的增函数 B ．y 是x 的减函数 C ．y 随x 的增大先增大再减小 D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D [解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12 AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C [解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12 ×4×3＝6， ∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q
和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( ) A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知： PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5. 4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为( ) A ．5 6 B.56 C.15 D.3102 [答案] B [解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56， ∴CE ＝12AB ＝562 . 5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(0,2)
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP .所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE . 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂 线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ . 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷. 3 、为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. ∥＝A D B P Q C 图1 P E D G A B F C 图2A N E B Q K G C D M F P 图3