第一章 球面几何与球面三角学 球面几何与球面三角学作为数学的一个分支，主要研究球面上图形的性质、球面上由三个大圆弧所构成的球面三角形及其解算等问题。
球面几何和球面三角学的发展与应用，与天文学、测量学及航海学的发展与应用有着密切的联系，是天文航海的数学基础。
本章介绍与天文航海相关的球面几何与球面三角学基本知识。
第一节 球面几何
球面几何研究分布在球面上的图形的性质，其所涉及的部分概念与原理，是学习天文航海必备的基本知识。
一、球和球面
一个半圆绕其直径旋转一周所形成的旋转面，称为球面。球面所围成的几何体，称为球，或称球体。球内到球面上任一点的距离
都相等的点，称为球心。连接球心和球
面上任一点的线段，称为球的半径；连
接球面上两点且通过球心的线段，称为球的直径。直径的长度是半径的两倍，
且同一球体的半径或直径都相等。 在天文航海中，近似于旋转椭球体
的地球，常被当做球体加以研究。此外，
宇宙也以球体模型加以描述。 二、球面上的圆
任一平面与球面相截的截痕是一个
圆。如图1-1-1所示，设HH 是过球心O
的平面，平面MM 不过球心但平行于平
面HH ，则平面MM 和HH 与半径为R
的球面相截，截痕ABC 和QQ N 为圆。 O
Q ’H H Q N R d O ’A B C M M 图1
r 图1-1-1 球面上的圆
图1-1-1中，设O '是过O 点向平面MM 所作垂线的垂足，OA R =为球的半径，根据勾股定理，在直角三角形AOO '?中，有
22O A OA OO ''=- （1-1-1）
设OO d '=，O A r '=，可得
22d R r -= （1-1-2）
分析图1-1-1和式（1-1-2），可知：
当平面通过球心O 时，0d =，r R =，平面与球面相截所得的圆最大，称为大圆，如圆 QQ N '。大圆的圆心即为球心，半径等于球的半径。大圆上的一段圆周，称为大圆弧。
当平面不通过球心O 时，0d ≠，r R <，平面与球面相截所得的圆小于大圆，称为小圆，如圆ABC 。d 越大，即平面离球心越远，平面与球面相截所得的小圆越小。
按照大圆的定义，可导出大圆具有如下特性：
（1）大圆把球和球面分成相等的两部分；
（2）两个大圆平面相互平分，其交线既是球的直径，也是这两个大圆的直径；
（3）过球面上不在同一直径两端的任意两点，仅能作一个大圆；
（4）过同一直径的两个端点，在球面上可以作无数个大圆。
三、球面距离
球面上两点间小于180?的大圆弧（称为劣弧）长，是两点间在球面上的最短距离，称为两点间的球面距离。如图1-1-2所示，A 、B 两点的球面距离，即大圆弧AB 的长，且与AB 所对应的球心角 AOB ∠同度。球面距离用大圆弧所对应的球心角（?、′、′′）表示。 C D
O
A B
M
图3
图2
B A O 图1-1-2 球面距离 图1-1-3 轴、极、极距和极线
四、轴、极、极距和极线
垂直于球面上的圆所在平面的球直径，称为该圆的轴，轴的两个端点，称为该圆的极。球面上从极到该圆上任一点的球面距离，称为极距。同一个圆的极距都相等；大圆的极距等于90?；极距等于90?的大圆弧，称为该极的极线。
如图1-1-3所示，直径PP '同时垂直于小圆CD 和大圆AB 的平面，因此，PP '既是小圆CD 的轴，也是大圆AB 的轴，其两个端点P 和P '同是小圆CD 和大圆AB 的极。显然，小圆CD 的极距PC PD =，P C P D ''=；大圆AB 的极距90PA PB P A P B ''====?；大圆弧AB 即P 或P '的极线。 五、球面角及其度量
球面上两个大圆弧所构成的角，称为球面角。构成球面角的两个大圆弧，称为该球面角的边，边的交点称为该球面角的顶点。如图1-1-4所示，APB ∠和AP B '∠为两个球面角。对球面角APB ∠，P 为顶点，两条边分别为大圆弧PA 和PB 。
球面角的大小用过其顶点的两个大圆弧平面所构成的二面角来度量的，具体度量方法有以下三种（图1-1-4）：
（1）用顶点的极线被球面角两条边所截的弧长AB 来度量；
（2）用顶点的极线被球面角两条边所截的弧长AB 所对应的球心角AOB ∠来度量；
（3
图4P
P ’E O A B E ’C
D
图1-1-4 球面角及其度量
第二节 球面三角学
球面三角学研究球面上由三个大圆弧所构成的球面三角形及其解算方法，是天文航海的核心理论。 一、球面三角形
球面上由三个大圆弧相交所构成的图形称为球面三角形。构成球面三角形的大圆弧，称为球面三角形的边；由大圆弧构成的球面角，称为球面三角形的角。球面三角形的三条边和
三个角，统称为球面三角形的六个元素。如图1-2-1所示，三角形ABC ?即球面三角形，其六
个元素分别为边a 、b 、c 和角A 、B 、C 。
在球面上，三个大圆弧构成4组对称球面三角形。航海上所使用的球面三角形，边和角
均大于0?而小于180?，称为欧拉球面三角形。 因边和角取值的不同，球面三角形又可分为任意球面三角形（如ABC ?）、球面直角三
角形（一个或一个以上的角为直角）、球面直边
三角形（一条或一条以上的边等于90?）和特
殊球面三角形（一个角及其对应的边很小，或三条边都很小）等。不同类型的球面三角形在航海上各具不同的用途。
二、球面三角形的相等和相似
在同一球面上或在半径相等的两个球面上，两个球面三角形的对应边和角分别相等，且边和角的排列顺序相同，则称两个球面三角形相等。判断两个球面三角形相等的条件（任一成立即可）如下：
（1）两边及其夹角相等；
（2）两角及其夹边相等；
（3）三边相等；
（4）三角相等。
在半径不同的球面上，边角度数对应相等的两个球面三角形，称为相似球面三角形。
三、球面三角形的基本性质
根据定义，可导出球面三角形的基本性质如下：
（1）球面三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
A B C a b c O 图5 图1-2-1 球面三角形
（2）球面三角形的三边之和大于0?且小于360?，三角之和大于180?且小于540?；
（3）球面三角形的两角之和减去第三角小于180?；
（4）若球面三角形的两边相等，则此两边的对角相等；反之，若两角相等，则此两角的对边相等；
（5）球面三角形中，大角对大边；反之，大边对大角。
四、球面三角形中边和角的函数关系
球面三角学的主要任务之一，是研究球面三角形六个元素之间的函数关系，表示这种关系的方程称为球面三角公式。在众多球面三角公式中，天文航海中常用的公式包括：
1．边的余弦公式
球面三角形任一边的余弦，等于其余两边余弦的乘积，加上该两边的正弦及其夹角的余弦的乘积。如图1-2-1所示，在球面三角形ABC ?中，边的余弦公式为
cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos a b c b c A b a c a c B c a b a b C =+??=+??=+?
（1-2-1）
边的余弦公式表示球面三角形的三条边和一个角之间的关系，可用于已知三边求一角，或已知两边及其夹角求第三边。
2．正弦公式
球面三角形各边的正弦与其对角的正弦成正比。如图1-2-1所示，在球面三角形ABC ?中，正弦公式为 sin sin sin sin sin sin a b c A B C
== （1-2-2） 正弦公式表示球面三角形的边与其对角之间的关系，可用于已知两边一对角求另一对角，或已知两角一对边求另一对边。
3．余切公式（又称相邻四元素公式、四联公式）
将球面三角形中相联四个元素依次排列，在中间的边、角，叫中边、中角，在两端的边、角叫端边、端角，则用球面三角形的余切公式可以写成
cot 端角sin 中角 = cot 端边sin 中边 - cos 中边cos 中角 （1-2-3） 如图1-2-所示，在球面三角形ABC ?中，余切公式为：
cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos cot sin cot sin cos cos A B a c c B A C a b b C B C b a a C B A b c c A C A c b b A C B c a a B
=-??=-??=-??=-??=-?=-?? （1-2-4） 余切公式表示球面三角形相联四元素之间的关系，可用于已知相联三个元素，求相联的另一元素。
思考题
1．何为大圆、小圆？大圆与小圆的主要区别是什么？
2．何为球面距离和球面角？两者如何度量？
3．何为球面三角形和欧拉球面三角形？
4．球面三角公式有何特点？如何记忆？
5．已知球面三角形ABC ?中，边10051.7b '=?，5328.0c '=?，角1424.2A '=?，试用球面三角公式计算边a 的值。
6．已知球面三角形ABC ?中，边11429.2a '=?，6947.7b '=?，角13419.3A '=?，试用球面三角公式计算角B 的值。
第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体： （1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. （2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 2. 棱柱： （1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. （2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 （3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。 （4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。（5）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 3. 棱锥： （1）有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。 （3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等. （4）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. （5）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 ③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥：
第一章第一节空间几何体的结构第二课时 整体设计 教学分析 立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础．简单几何体(柱体、锥体、台体和球)是构成简单组合体的基本元素．本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征．三维目标 1．掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力．2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思想． 重点难点 描述简单组合体的结构特征． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、圆珠笔呢？这些物体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题：简单组合体的结构特征． 思路2.现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的课题是：简单组合体的结构特征． 推进新课 新知探究 提出问题 ①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的． 图1 ②观察图1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？ ③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体，它们之间具有怎样的关系？ 活动：让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示． ①略． ②图1中的三个组合体分别代表了三种不同的形式． ③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示． 讨论结果：①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成．图1(1)是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体；图1(2)是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图1(3)是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体． ②常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合．其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图1(1)和(3)所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图1(2)所示的组合体． ③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征：1°长方体的八个顶点在同一个球面上，此时长方体称为球的内接长方体，球是长方体的外接球，并且长方体的体对角线是球
北师大版七年级数学上册第一章第3节截一个几何体 测试题 一、选择题 1.一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是 A. 7个或8个 B. 8个或9个 C. 7个或8个或9个或10个 D. 7个或8个或9个 2.一个四棱柱，用刀切去一部分，则剩下的部分可能是 A. 四棱柱 B. 三棱柱 C. 五棱柱 D. 以上都有 3.用一个平面去截圆柱体，则截面形状不可能是 A. 椭圆形 B. 三角形 C. 长方形 D. 圆形 4.用一个平面去截一个几何体，截面形状为四边形，则这个几何体不可能为 A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱 5.如图所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是 A. B. C. D. 6.如图所示，用一个平面从不同的角度去截一个正方体，则截面大小、形状相同的是 ．
A. 相同；相同 B. 相同；相同 C. 相同；相同 D. 都不相同 7.用平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么原来的几何体的形状是． A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 以上都有可能 8.如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状图是 A. B. C. D. 9.如图所示，用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能是． A. B. C. D. 10.用一个平面去截如图所示的长方体，截面不可能为． A. B. C. D.
11.下图中几何体的截面是长方形的是． A. B. C. D. 12.用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面可能是 A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 13.下列几何体的截面分别是 A. 圆、五边形、三角形、圆 B. 圆、长方形、三角形、圆 C. 圆、长方形、长方形、三角形 D. 圆、五边形、三角形、三角形 14.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是八边形，这个几何体可能是 A. 四棱柱 B. 五棱柱 C. 六棱锥 D. 七棱柱 15.如图，用平面截圆锥，所得的截面图形不可能是
第一章第一节空间几何体的结构及三视图和直观图班级_________ 姓名____________ 学号______________ 一、选择题 1．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为() A．上面为棱台，下面为棱柱 B．上面为圆台，下面为棱柱 C．上面为圆台，下面为圆柱 D．上面为棱台，下面为圆柱 2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是() A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 3．下列命题中正确的是() A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 4．下列结论正确的是() A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 5．（2011陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是() A． 2 8 3B． 8 3C．82D． 2 3 6．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为() A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤ C．模块②，④，⑤D．模块③，④，⑤ 二、填空题 7．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是________________．8．已知正三角形ABC的边长为a，则△ABC的水平放置直观图△A′B′C′的面积为_____． 第1页共2页
第一章丰富的图形世界 3．截一个几何体 一、学生状况分析 七年级是形象思维向抽象思维逐步过渡的阶段，学生求知欲强，想象力丰富，对直观事物感知能力较强,所以对动手操作有着浓厚的兴趣.而本节《截一个几何体》恰给学生提供了一个很好的操作机会，应该说学生具备了学习本节课的很好的认知基础和生活经验基础。 二、教学任务分析 在学生初步感知立体图形、并研究了立体图形的展开与折叠后，安排本节课《截一个几何体》，通过引导学生用一个平面去截一个正方体的实际操作活动，让学生体验空间中几何体与截面的关系，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中丰富数学活动经验，发展空间观念.提高学生的观察、操作、推理、交流的能力。为此，确定本节课的教学目标如下： 1．知识与技能目标：让学生通过自己对一些几何体进行切和截的过程，初步了解空间图形与截面的关系，理解截面的意义． 2．方法与过程目标：让学生参与对实物有限次的切截活动和用通过探索型课件进行的无限次的切截活动的过程，使学生经历观察用平面截一个正方体，猜想截面的形状，实际操作、验证，推理等数学活动过程，丰富学生对空间图形的几何直觉，激发学生的形象思维． 3．情感、态度、价值观目标：通过活动体验做数学的快乐，增强学生学习数学的求知欲和数学活动的经验，并在合作学习中获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣，培养学生的合作、探究精神． 教学重点：引导学生参与用一个平面截一个正方体的数学活动，体会截面和几何体的关系，学生充分动手操作、自主探索、合作交流． 教学难点：同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与截法，从切截活动中发现规律，并能用自己的语言来表达，能应用规律来解决问题，培养说理、交流的能力． 三、教学过程分析 本节课由六个教学环节组成，它们是 ①课前准备,明确要求. ②创设情景,引入新课. ③动手实验,观察思考.
第一章：空间几何体 1.1空间几何体的结构 一、教学目标: （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。(5) 能判断组合体是由哪些简单几何体构成的。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括及判断组合体是由哪些简单几何体构成的。 三、教学过程 一、创设情景，揭示课题： 在现实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何形状。 由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。 下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体，然后回答以下问题: 这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？ 学生观察思考，发现上图中的物体大体可分为两大类.其中 (2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16) 具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形;(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12) 具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形. 想一想,我们应该给上述两大类几何体取个什么名称才好呢? （一）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 （二）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。 这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。 二、研探新知： 1. 棱柱的结构特征： 请同学们仔细观察下列几何体，说说他们的共同特点．（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念）
1.3截一个几何体 新知概览： 知识点1截面 （1）截面的概念：用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面． （2）正方体的截面：根据面与面相交可以得到线可知用一个平面去截正方体的三个面，得到的截面是三角形.如果用一个平面去截正方体的四个面，就能得到四边形，除能得到正方形、长方形这样的四边形外，还能得到其他的四边形，如梯形、平行四边形等. 知识警示： （1）正方体总共有六个面，用一个平面去截最多只能得到六条交线，从而截面的边数最多只能是六，还可以得到五，但不可能截得七边形. （2）一般地，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形.因此，若一个几何体有n个面，则截面最多的边数是n． 知识拓展 正方体的截面主要有三角形、四边形、五边形和六边形，如图1-3-1所示.
【试练例题1 】如图1-3-2所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（ ） 思路导引：首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为直角，故截面图形是长方形．答案：B.长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形． 知识方法： 截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法． 知识点2几种常见几何体的截面 （1）如图1-3-3所示，用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况． （2）如图1-3-4所示，用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面． A 图 1-3-2 B C D 图 1-3-1
（3）如图1-3-5所示,用平面去截球体，只能出现一种形状的截面---圆. 知识警示： (1) 用一个平面去截一个圆柱所得到的截面有圆、长方形、椭圆、拱形形状和梯形. (2) 用一个平面去截圆锥，可得到圆、三角形、拱形形状和椭圆. 【试练例题2】如图1-3-6中几何体的斜截面形状是（ ） 思路导引：几何体是一个圆柱体，用一个平面斜截它，得到的截面应该是类似拱形的图形． 答案C 用一个平面去截一个圆柱体，过平行于上下底面的面去截可得到圆；圆柱体的轴截面是矩形；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；过一底面不平行于另一底面的面去截可得到类似拱形的截面． 方法：平面与平面相交得直线，平面与曲面相交可能得到直线，也可能得到曲线． 图 1-3-5 图 1-3-4 图1-3-6
空间几何体的结构专项练习 1、下列各组几何体中是多面体的一组是( A .三棱柱四棱台球圆锥 B.三棱柱四棱台正方体圆台 C. 三棱柱四棱台正方体六棱锥 D.圆锥圆台球半球 2、下列说法正确的是( A. 有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体是棱锥 B. 有两个面互相平行,其余各面均为梯形的多面体是棱台 C. 有两个面互相平行,其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 D. 棱柱的两个底面互相平行,侧面均为平行四边形 3、下面多面体是五面体的是( A. 三棱锥 B.三棱柱 C.四棱柱 D.五棱锥 4、下列说法错误的是( A. 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B. 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C. 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D. 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 5、下面多面体中有 12条棱的是( A. 四棱柱 B.四棱锥 C.五棱锥 D.五棱柱 6、在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可有几个(
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.在棱柱中( A. 只有两个面平行 B.所有的棱都平行 C. 所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,且各侧棱也互相平行 8. 将图 1所示的三角形绕直线 l 旋转一周, 可以得到如图 2所示的几何体的是哪一个三角形 ( 9.如图一个封闭的立方体,它 6个表面各标出 1、 2、 3、 4、 5、 6这 6个数字,现放成下面 3个不同的位置,则数字 l 、 2、 3对面的数字是( A . 4、 5、 6 B. 6、 4、 5 C . 5、 4、 6 D. 5、 6、 4 10.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是( A . A 1 B 1=2, AB =3, B 1 C 1=3, BC =4 B . A 1B l =1, AB =2, B l C l =1.5, BC =3, A 1C 1=2, AC =3 C . A l B l =1, AB =2, B 1C l =1.5, BC =3, A l C l =2, AC =4 D . AB =A 1B 1, BC =B 1C 1, CA =C 1A 1 11.有下列命题,其中正确的是( (1在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; (2圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; (3在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; (4圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
第六课时 一、课题§1.3截一个几何体 二、教学目标 1．使学生对数学产生一定的兴趣,提高学好数学的自信心. 2．使学生初步认识到数学与现实世界的密切联系,初步形成应用数学的意识. 四、教学手段 现代课堂教学手段 教学准备 教师准备 1．仿课本制作华罗庚的画面,并配音：“聪明在于学习,天才在于积累”. 2．制作多媒体课件：教科书第7页的例题：一座漂亮的楼房的楼梯,高1米,水平距离是2.8米. 学生准备 五、教学方法 启发式教学 六、教学过程设计 （一）、创设情境,导入主题
（二）、提供交流、讨论机会,激活“主角”意识 （三）、探索数学初步应用,进一步激发兴趣
（四）、赋予总结评价权利,丰富“主角”意识 七、练习设计 课堂基础练习 1、从A 地到B 地有两条路,第一条从A 地直接到B 地,第二条从A 地经过C,D 到B 地,两条路相比( ） A.第一条比第二条短 B.第一条比第二条长 C.同样长 答案：A 2、A 、B 两数的平均数是16,B 、C 答案：10 3、小明从1写到100,他一共写了 个数字“1”． 答案：21 课后延伸练习 1、数一数,图中一共有多少个正方形？ 答案：19 2、定义运算a ※b =a (a +b ),计算2※3的值． 答案：10 3、设定期储蓄1年期,2年期,3年期,5年期的年利率分别为2.25%,2.43%和2.88%．试计算1000元本金分别参加这四种储蓄,到期所得的利息各为多少（国家规定：个人储蓄从1999年11月1日起开始征收利息税,征收的税率为利息的20%）．分析结果,你能发现什么？（提示：利息=本金×年利率×储存年数） 答案：1年期利息18元,2年期利息38.88元,3年期利息64.8元,5年期利息115.2元．发现：参加定期储蓄,存期越长,得到利息越大． 4、在第十届“哈药六杯”全国青年歌手电视大奖赛,8位评委给某选手所评分数如下表,计分方法是：去掉一个最高分,去掉一个最低分,其余分数的平均分作为该选手的最后得分,请你算一算该选手的最后得分．
截一个几何体 课题 1.3截一个几何体安排共（）课程标准 13 学习目标知识与技能：通过用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，掌握空间图形与截面的关系，发展学生的空间观念，发展几何直觉。 过程与方法：通过学生参与对实物有限次的切截活动和用操作探索型课件进行的无限次的切截活动的过程，使学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。 情感态度价值观：通过以教师为主导，引导学生观察发现、大胆猜想、动手操作、自主探究、合作交流，使学生获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。 教学重点引导学生用一个平面去截一个正方体的切截活动，体会截面和几何体的关系，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流。 教学难点从切截活动中发现规律，能应用规律来解决问题。教学方法教师引导，小组合作 教学准备制作教学课件 课前作业 预习并完成随堂练习 教学过程 教学环节课堂合作交流 二次备课 （修改人：） 环节一 一、情境导入 课件演示现实生活中物体的截面图。 1.引导学生观察，让学生充分想象并回答是何种物体的截面，并请学生进行实际操作，让全体学生体会截出的面（截面）的含义。 2.活动操作：用一个平面去截一个正方体的切截活动 3.提出问题：用一个平面去截一个正方体，所得到的截面可能是什么形状？ 引导学生大胆猜想，让他们想象所得的截面可能的形状。让学生采取分组讨论、合作交流的形式。鼓励学生积极发言，回答问题。
分别拖动A、B、C点可移动平面，双击动画按扭可使图形旋转，单击鼠标左键停止旋转。拖动点P可使图形旋转。 课中作业 学生积极思考发言，大胆提出自己的观点，说出他们得到的不同的截面形状，特别是找出五边形、六边形等等。以及为什么产生不同截面的原因。 环节二 一、活动探究 学生活动：学生积极思考发言，大胆提出自己的观点，说出他们得到的不同的截面形状，特别是找出五边形、六边形等等。以及为什么产生不同截面的原因。 教师活动：小结同学们的发言。肯定学生的正确说法
截一个几何体 一、判断题 1.用一个平面去截一个正方体，截出的面一定是正方形或长方形. （） 2.用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆. （） 3.用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形. （） 4.用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆.（） 二、选择题 1、用平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，则原来的几何体不可能是 （） A、正方体 B、棱柱 C、圆柱 D、圆锥 2、用平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（） A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形 3．用一个平面去截一个正方体，截面图形不可能是（） A．长方形 B．梯形 C．三角形 D．圆4．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则这个几何体不可能是（） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．球5、如图中，几何体的截面形状是( ) A B C D 6、如图，用平面去截一个正方体，所得截面的形状应是（） 7、如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是（） 8、用一个平面截圆柱，则截面形状不可能是（） A.圆 B.正方体 C.长方体 D.梯形 9、下列说法上正确的是（）
A、长方体的截面一定是长方形； B、正方体的截面一定是正方形； C、圆锥的截面一定是三角形； D、球体的截面一定是圆 10.用一个平面去截圆锥，得到的平面不可能是（） 11.用一个平面去截一个圆柱，得到的图形不可能是（） 12、如图，用平面去截圆柱，截面形状是（） 三、填空题。 1、用一个平面去截一个球体所得的截面图形是__________． 2、用一个平面去截长方体、三棱柱、圆柱和圆锥，其中不能截出三角形的几何体是______。 3、用一个平面去截五棱柱，边数最多的截面是_______形． 4、用一个平面去截几何体，若截面是三角形，这个几何体可能是________． 5、用一个平面截一个几何体，所截出的面如图1–18所示，共有四种形式，试猜想，该几何体可能是______. 6、图中的截面分别是： 7、用平面截下列几何体，找出相应的截面形状．
北师版七年级数学上册——同步题型 第一章丰富的图形世界 专题1.3 截一个几何体 一、题型过关 知识点?截面的概念及形状 1．(达州期中)如图所示的一块长方体木头，沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是( ) 2．如图所示几何体的截面是( ) A．四边形B．五边形C．六边形D．五棱柱 3．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是( ) 4．按如图所示的方法，用平面去截一个圆柱，所得的截面形状是( ) 5．下图为一个三棱柱，用一个平面去截这个三棱柱，截面形状不可能是( ) 6．下列说法中，正确的是( ) A．长方体的截面一定是长方形 B．正方体的截面一定是正方形 C．圆锥的截面一定是三角形 D．球体的截面一定是圆
7．用一个平面去截一个几何体，试写出截面图形的名称． 知识点?根据截面想象几何体 8．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是圆形，这个几何体可能是( ) A．正方体 B．三棱锥 C．五棱柱 D．圆锥 9．(合肥中考)用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 10．一个四棱柱被一刀切去一部分，剩下的部分可能是( ) A．四棱柱 B．三棱柱 C．五棱柱 D．以上都有可能 11．用四个平面分别截一个几何体，所得的截面如图所示，由此猜想这个几何体可能是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球 12．有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造从外部看不到．当分别用一组平面沿水平方向(自上而下)和竖直方向(从左到右)截这个物体时，得到了如图所示的(1)(2)两组形状不同的截面，则这个物体的内部构造是( ) A．空心圆柱 B．空心圆锥 C．空心球 D．空心半球 二、探索提升
第一章丰富的图形世界 令狐文艳 1.3截一个几何体 【学习目标】 1．经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化． 2．体会数学中的面与体之间的转换过程． 3．发展学生的空间观念． 【基础知识精讲】 1．用平面截几方体出现的截面形状． (1)用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况：(括号内的是出现的截面形状) 图1—20 点拨：由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形． 注：长方体、棱柱的截面与正方体的截面有相似之处． 用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．
图1—21 分析：用平面去截圆柱体，可以与圆柱的三个面(两个底面，一个侧面)同时相交，由于圆柱侧面为曲面，故相交得到是曲线，无法截出三角形．只能用平面平行和垂直于圆柱的底面截出这几种图形． (3)用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面(还有其他截面，初中不予研究) 图1—22 图1—23 (4)用平面去截球体，只能出现一种形状的截面——圆． 需要记住的要点： 【学习方法指导】 ［例1］用平面截下列几何体，找出相应的截面形状． (1) (2) (3) 图1—24 点拨：看图选项关键是要找出平面截几何体的方向和角度，找出：它可能与几个面相交，截面就是几边形；与
平面相交得直线，与曲面相交得曲线． 解答：(1)B (2)C (3)A ［例2］用一个平面去截五棱柱，边数最多的截面是_______形． 点拨：用平面去截几何体，即用平面与几何体的各个面相交所得的线围成图形．五棱柱有7个面，则平面最多与7个面全部相交，得到7条线所围的图形——七边形．解答：七边 ［例3］用一个平面去截几何体，若截面是三角形，这个几何体可能是________． 点拨：若截面是三角形，则需要几何体至少有三个平面且有共同的顶点，或几何体有一个平面，其他的若是曲面，必须能截出直线．符合上述条件的是棱柱和圆锥、棱锥、棱台． 解答：正方体、长方体、棱柱、棱锥、棱台和圆锥．【拓展训练】 几何体中的圆台、棱锥都是课外介绍的，所以我们就在这个栏目里继续为大家介绍这两种几何体的截面．1．圆台 用平面截圆台，截面形状会有圆和梯形这两种较特殊图形，截法如下： 图1—25 2．棱锥