计算流体力学基本方程（张量形式）
1质量方程（连续方程）
()0i i
u t x ρρ∂∂+=∂∂ 312123
()()()0u u u t x x x ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ ()()()0y x z u u u t x y z
ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 定常（
()00i i
u t x ρρ
∂∂=⇒=∂∂） 不可压缩（const 0i
i
u x ρ∂=⇒
=∂） 2动量方程（运动方程）
()()13i j i i
k i j i j
j i k u u u u u p f t x x x x
x
x ρρρμμ⎛⎫∂⎛⎫∂∂∂∂∂
∂+=-++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
⎝⎭
累积动量 + 对流动量= 质量力 + 压力 +（黏性力）内摩擦力
不可压缩（
0k
k
u N S x ∂=⇒-∂方程） ()()i j i i i j i j
j u u u u p f t x x x x
ρρρμ⎛⎫∂∂∂∂∂
+=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝
⎭
3能量方程
()()()
j j j v j v Tu T T p q t x x c x c ρρλφ⎛⎫∂∂∂
∂++=+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()j j j
j eu e T
q t x x x
ρρλρρφ⎛⎫
∂∂∂
∂+=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝
⎭
累积热量 + 对流换热 = 导热 + 内热源 +（黏性力）内摩擦生热
内能（v e c T =）焓（p h c T =）内热源（Q q ρ=） 耗散函数（ρφΦ=）无黏流体（0Φ=） 4组分方程
()()()i j i i i i j j
j c u c c D S t x x x ρρρ⎡⎤
∂∂∂∂
+=+⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦
累积浓度 + 对流浓度 = 扩散浓度 + 化学反应产生浓度
组分i 扩散系数（i D ），组分i 体积浓度（i c ），组分i 质量浓度（i c ρ），组分i 化学反应生成率（i S ） 5状态方程
p
p RT RT ρρ=⇒=
6总方程
()()j j j
j u S t x x x
φρφρφφ
⎛⎫
∂∂∂
∂+=Γ+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
方程 φ
Γ
S φ
质量方程
1
运动方程
i u
μ
i i p f x ρ∂-
∂
能量方程 T
v c λ ()v q c ρφ+
组分方程 i c
i D ρ
i S
7湍流方程
湍流瞬时运动=时均运动+随机脉动（'i i i u u u =+） 不可压缩湍流控制方程（动量方程或运动方程）
()()i j i i
i j i j
j u u u u p f t x x x x
ρρρμ⎛⎫
∂∂∂∂∂
+=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
（N-S 方程） 对瞬时状态下的动量方程取平均时间，可得湍流时均控制方程如下：
()()i j i i
i j i j
j u u u u p f t x x x x
ρρρμ⎛⎫∂∂∂∂∂
+=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
由雷诺运算法则（时均规律）（''
i j i j i j u u u u u u =+）可得
''
()()i j i i i i j j i j
j u u u u p f u u t x x x x ρρρμρ⎛⎫∂∂∂∂∂
+=-+- ⎪ ⎪
∂∂∂∂∂⎝⎭
为方便起见，除脉动值的时均值外，去掉其他项时均值的上划线符号可得
''
()()i j i i i i j j i j
j u u u u p f u u t x x x x ρρρμρ⎛⎫∂∂∂∂∂
+=-+- ⎪ ⎪
∂∂∂∂∂⎝⎭
8湍流黏性方程
引入湍动黏度（Turbulent Viscosity ）或涡黏系数（Eddy Viscosity ）表示湍流应力（雷诺应力）
()()()'',,ij i j t t u u f f f ρμκεκω=-===
''2132
j i i ij t i i ij j i i
u u u
t u u x x x μρμδ⎛⎫∂⎛⎫∂∂=+-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭
⎝⎭ 223j i i ij ij j i i u u u t C x x x μκρρκμδε⎛⎫∂⎛
⎫∂∂=+-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎝⎭ ()2,t f C μκμκερε
== ''12i i u u κ= ''i i k k u u x x μερ⎛⎫⎛⎫∂∂= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
计算流体力学基本方程（张量形式） 1质量方程（连续方程） ()0i i u t x ρρ∂∂+=∂∂ 312123 ()()()0u u u t x x x ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ ()()()0y x z u u u t x y z ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 定常（ ()00i i u t x ρρ ∂∂=⇒=∂∂） 不可压缩（const 0i i u x ρ∂=⇒ =∂） 2动量方程（运动方程） ()()13i j i i k i j i j j i k u u u u u p f t x x x x x x ρρρμμ⎛⎫∂⎛⎫∂∂∂∂∂ ∂+=-++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ ⎝⎭ 累积动量 + 对流动量= 质量力 + 压力 +（黏性力）内摩擦力 不可压缩（ 0k k u N S x ∂=⇒-∂方程） ()()i j i i i j i j j u u u u p f t x x x x ρρρμ⎛⎫∂∂∂∂∂ +=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝ ⎭ 3能量方程 ()()() j j j v j v Tu T T p q t x x c x c ρρλφ⎛⎫∂∂∂ ∂++=+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()j j j j eu e T q t x x x ρρλρρφ⎛⎫ ∂∂∂ ∂+=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝ ⎭ 累积热量 + 对流换热 = 导热 + 内热源 +（黏性力）内摩擦生热
内能（v e c T =）焓（p h c T =）内热源（Q q ρ=） 耗散函数（ρφΦ=）无黏流体（0Φ=） 4组分方程 ()()()i j i i i i j j j c u c c D S t x x x ρρρ⎡⎤ ∂∂∂∂ +=+⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦ 累积浓度 + 对流浓度 = 扩散浓度 + 化学反应产生浓度 组分i 扩散系数（i D ），组分i 体积浓度（i c ），组分i 质量浓度（i c ρ），组分i 化学反应生成率（i S ） 5状态方程 p p RT RT ρρ=⇒= 6总方程 ()()j j j j u S t x x x φρφρφφ ⎛⎫ ∂∂∂ ∂+=Γ+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 方程 φ Γ S φ 质量方程 1 运动方程 i u μ i i p f x ρ∂- ∂ 能量方程 T v c λ ()v q c ρφ+ 组分方程 i c i D ρ i S 7湍流方程 湍流瞬时运动=时均运动+随机脉动（'i i i u u u =+） 不可压缩湍流控制方程（动量方程或运动方程）
《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式 1．流体的体积压缩系数计算式：β1dρ p=-1dV Vdp=ρdp 流体的体积弹性系数计算式：E=-Vdpdp dV=ρdρ 流体的体积膨胀系数计算式：βdV T=1 VdT=-1dρ ρdT 2．等压条件下气体密度与温度的关系式：ρ0 t=ρ 1+βt，其中β=1 273。 3T=±μAdu dy 或τ=Tdu A=±μdy 恩氏粘度与运动粘度的转换式：ν=(0.0731E-0.0631 E)?10-4 f1?p? x-ρ?x=0?fr-1?p=0? ?ρ?r?? 4．欧拉平衡微分方程式： f? y-1?p ρ?y=0??和fθ-1?p ρ=0? f1?p?r?θ ρ?z=0?? ??f1?p? z-z-ρ?z=0?? 欧拉平衡微分方程的全微分式：dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz) dp=ρ(frdr+fθrdθ+fzdz) 5 fxdx+fydy+fzdz=0 frdr+fθrdθ+fzdz=0 6p γ+z=C 或 p1 γ+zp21=γ+z2 或p1+ρgz1=p2+ρgz2 相对于大气时：pm+(ρ-ρa)gz=C 或pm1+(ρ-ρa)gz1=pm2+(ρ-ρa)gz2 7p=p0+γh，其中p0为自由液面上的压力。
8．水平等加速运动液体静压力分布式：p=p0-ρ(ax+gz)；等压面方程式： ax+gz=C；自由液面方程式：ax+gz=0。注意：p0为自由液面上的压力。 1 9．等角速度旋转液体静压力分布式：p=p0+γ(ω2r2 2g-z)；等压面方程式：ω2r2 2-gz=C；自由液面方程式：ω2r2 2-gz=0。注意：p0为自由液面上的压力。 10．静止液体作用在平面上的总压力计算式：P=(p0+γhc)A=pcA，其中p0为自由液面上的相对压力。压力中心计算式：yD=yc+γsinαIxc (p0+γycsinα)A Ixc ycA或yD-yc=Ixc ycA。当自由液面上的压力为大气压时：yD=yc+ 矩形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc= 圆形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc11bh3；三角形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=bh3 1236π4=d 64 11．静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力计算式：Pz=p0Az+γVP，注意：式中p0应为自由液面上的相对压力。 12 ?ux?ux?ux?ux?+ux+uy+uz?τ?x?y?z???uy?uy?uy?uy?+ux+uy+uz直角坐标系：ay=? ?τ?x?y?z??u?uz?uz?uz?az=z+ux+uy+uz?τ?x?y?z??ax= ?ur?ur?ur?uruθ2ar=+ur+uθ+uz-?τ?rr?θ?zr ?u?u?u?uuu圆柱坐标系：aθ=θ+urθ+uθθ+uzθ+rθ ?τ?rr?θ?zr ?u?uz?uz?uzaz=z+ur+uθ+uz?τ?rr?θ?z????????? 流体质点的压力、密度等流动参量对时间的变化率计算式： dp?p?p?p?p=+ux+uy+uzdτ?τ?x?y?z dρ?ρ?ρ?ρ?ρ=+ux+uy+uz?τ?x?y?z dτ 13 drrdθdzdxdydz==== 及uxuyuzuruθuz2 ?ρ?(ρux)?(ρuy)?(ρuz)14．三维连续性方程式的一般式：+++=0 ?τ?x?y?z ?ρρur?(ρur)?(ρuθ)?(ρuz)++++=0 ?τr?rr?θ?z ?ux?uy?uz15．不可压缩流体的三维连续性方程式：++=0 ?x?y?z ur?ur?uθ?uz+++=0?rr?θ?z r 16M=ρ11A1=ρ22A2 对于不可压缩流体： Q=1A1=2A2
Chapter 3 流体动力学基本方程 例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。 I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出 物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。在此假设下，对物质体τ有0d d dt τ ρτ=?。根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有 0 CV CS d v ds t ρτρ?+?=????——质量守恒方程积分形式。 上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。 由奥高公式得 () CS CV v ds v d ρρτ?= ????? ，于是有 ()0 CV v d t ρρτ???+??=???? ??。 考虑到τ的任意性，故有 ()0 v t ρρ?+??=?，即 0 d v dt ρρ+??= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1） dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动 0=??t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。 2）由 0=dt m d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ?? =流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。 3）不可压缩流体 0d dt ρ=，故有 0v ??= 。 由奥高公式有 CV CS v ds vd τ?=?????，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0 CS v ds ?=??。 不可压缩流动满足的0v ??= 或 CS v ds ?=??是对速度场的一个约束。 例1、1）定常流场中取一段流管，则由 CS v ds ?=??易知： 222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则 1122V S V S =。 2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有2 4(,)()r V r t m t π=， 即2 ()V r r -∝，其中()m t 代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。 例2、均质不可压缩流体（密度为ρ）从圆管（半径为R ）入口端以
第一章 绪论 单位质量力：m F f B m = 密度值：3 m kg 1000=水ρ，3 m kg 13600=水银 ρ ，3 m kg 29.1=空气 ρ 牛顿内摩擦定律：剪切力：dy du μτ=， 内摩擦力：dy du A T μ= 动力粘度：ρυμ= 完全气体状态方程：RT P =ρ 压缩系数： dp d 1dp dV 1ρρκ= -=V （N m 2 ） 膨胀系数：T T V V V d d 1d d 1ρρα-==(1/C ?或1/K) 第二章 流体静力学+ 流体平衡微分方程：01;01;01=??-=??-=??-z p z y p Y x p X ρρρ 液体平衡全微分方程：)(zdz ydy xdx dp ++=ρ 液体静力学基本方程：C =++=g p z gh p p 0 ρρ或 绝对压强、相对压强与真空度：a abs P P P +=；v a abs P P P P -=-= 压强单位换算：水银柱水柱mm 73610/9800012===m m N at 2/101325 1m N atm = 注： h g P P →→ρ ； P N at →→2m /98000乘以 2/98000m N P a = 平面上的静水总压力：（1）图算法 Sb P = 作用点e h y D +=α sin 1 ) ()2(32121h h h h L e ++= 若01 =h ，则压强为三角形分布，3 2L e y D = = 注：①图算法适合于矩形平面；②计算静水压力首先绘制压强分布图， 且用相对压强绘制。 （2）解析法 A gh A p P c c ρ== 作用点A y I y y C xc C D + = 矩形123bL I xc = 圆形64 4d I xc π= 曲面上的静水总压力： x c x c x A gh A p P ρ==；gV P z ρ= 总压力z x P P P += 与水平面的夹角 x z P P arct an =θ 潜体和浮体的总压力：0=x P 排浮gV F P z ρ== 第三章 流体动力学基础 质点加速度的表达式??? ? ? ? ??? ??+??+??+??=??+??+??+??= ??+??+??+??=z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z z z y z x z z y z y y y x y y x z x y x x x x A Q V Q Q Q Q Q G A = === ? 断面平均流速重量流量质量流量体积流量g udA m ρρ 流体的运动微分方程： t z t y t x d du z p z d du y p Y d du x p X = ??-=??-=??- ρρρ1;1;1 不可压缩流体的连续性微分方程 ：0z u y u x u z y x =??+ ??+?? 恒定元流的连续性方程：dQ A A ==2211d u d u 恒定总流的连续性方程：Q A A ==2211νν 无粘性流体元流伯努利方程：g 2u g p z g 2u g p z 2 2222 111++=++ρρ 粘性流体元流伯努利方程：w 22222111'h g 2u g p z g 2u g p z +++=++ρρ
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的 理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。本文将对这 三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。 一、连续方程 连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中 质点的连续性。连续方程的数学表达式为： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \] 其中，符号和含义说明如下： 1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。 1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。 这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质 量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。 二、动量方程
动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。其数学表达式为： \[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \] 其中，符号和含义说明如下： 2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。 2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。 2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。 2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。 2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。 动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。 三、能量方程 能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。其数学表达式为：
流体力学的基本方程 流体力学的基本方程是描述流体运动的方程，它包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。这些方程是基于质点系的力学定律和热力学原理推导得到的。 质量守恒方程，也称为连续性方程，描述了流体的质量在空间和时间上的守恒。简单来说，它表达了流体在任意两点之间的流入流出质量之和等于质量的变化率。质量守恒方程的数学表达式为∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0，其中ρ代表流体的密度，t代表时间，v代表流体的速度向量。 动量守恒方程描述了流体的运动和力的作用。它可以从质点系的动力学定律推导得到，考虑到流体的体积力和表面力。动量守恒方程的数学表达式为ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + F，其中p代表流体的压力，τ代表应力张量，F代表体积力。 能量守恒方程描述了流体的能量在空间和时间上的守恒。它可以从热力学原理和能量转换定律推导得到。能量守恒方程的数学表达式为∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = ∇·(κ∇T) + q + Q，其中e代表单位质量流体的内能，κ代表热传导系数，T代表温度，q代表单位质量流体的热源，Q代表单位质量流体的体积热源。 这些基本方程可以用来描述不可压缩流体和可压缩流体的运动。对于不可压缩流体，质量守恒方程可以简化为∇·v = 0，其中v代表
速度向量。对于可压缩流体，需要结合状态方程来求解，常见的状态方程有理想气体状态方程和液体状态方程。 基于基本方程，我们可以通过数值方法或解析方法求解流体的运动。其中，有限差分法、有限元法和谱方法等是常用的数值方法。解析方法则是通过求解偏微分方程来得到流体的解析解。这些方法在工程和科学研究中具有广泛的应用，如飞行器设计、气候模拟和地下水流动等领域。 流体力学的基本方程是描述流体运动的重要工具。质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程是基于质点系的力学定律和热力学原理推导得到的。通过这些方程，我们可以研究和预测流体的行为，为工程设计和科学研究提供基础。
流体力学基本方程的推导和应用 流体力学是研究流体运动规律的学科，它的基础是一组基本方程。这些方程描 述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。在本文中，我们将推导这些基本方程，并探讨它们在实际应用中的作用。 首先，我们来推导流体力学的质量守恒方程。根据质量守恒定律，单位时间内 通过某一截面的质量应该等于流入该截面的质量减去流出该截面的质量。设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体通过截面的面积为A，则单位时间内 通过该截面的质量为ρuA。假设流体在该截面上的流入速度为u，流出速度为 u+Δu，则单位时间内流入该截面的质量为ρuA，单位时间内流出该截面的质量为 ρ(Δu)A。根据质量守恒定律，我们可以得到以下方程： ρuA - ρ(Δu)A = 0 通过简化和除以Δt，我们可以得到质量守恒方程的微分形式： ∂(ρuA)/∂t + ∂(ρu^2A)/∂x = 0 接下来，我们来推导流体力学的动量守恒方程。根据牛顿第二定律，流体的动 量变化率等于作用在流体上的力。设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体在y方向上的速度为v，流体在z方向上的速度为w，则单位体积内的动量为 ρu，ρv和ρw。假设流体受到的力为Fx，Fy和Fz，则根据动量守恒定律，我们可 以得到以下方程组： ∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx ∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy ∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz 通过简化和除以Δt，我们可以得到动量守恒方程的微分形式： ∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx
流体力学三大方程 流体力学的三大方程分别是连续性方程、能量方程、动量方程。下面是关于流体力学的简要介绍，供大家参考了解。 1流体力学三大方程 流体力学之流体动力学三大方程分别指： 1、连续性方程依据质量守恒定律推导得出； 2、能量方程〔又称伯努利方程〕依据能量守恒定律推导得出； 3、动量方程依据动量守恒定律〔牛顿其次定律〕推导得出的。 适用条件： 流体力学是连续介质力学的一门分支，是争辩流体(包含气体，液体以及等离子态)现象以及相关力学行为的科学纳维-斯托克斯方程基于牛顿其次定律，表示流体运动与作用于流体上的力的相互关系。纳维-斯托克斯方程是非线性微分方程，其中包含流体的运动速度，压强，密度，粘度，温度等变量，而这些都是空间位置和时间的函数。一般来说，对于一般的流体运动学问题，需要同时将纳维-斯托克斯
方程结合质量守恒、能量守恒，热力学方程以及介质的材料性质，一同求解。由于其冗杂性，通常只有通过给定边界条件下，通过计算机数值计算的方式才可以求解。 2流体力学原理及应用 流体力学原理主要指计算流体动力学中的数值方法的现状；运用根本的数学分析，详尽阐述数值计算的根本原理；商量流域和非全都构造化边界适应网格的几何冗杂性带来的困难等。 流体力学原理在游泳中的应用：水的自然特性与人体的飘浮力气凡涉及水环境的运开工程，参与者都不行无视水的一条最为重要的自然属性──水是一种流体。物理学中，争辩流体宏观运动的这局部力学，称为流体力学。 它分为流体静力学和流体动力学两局部。流体静力学争辩流体平衡时力的宏观状态和规律，其主要内容有比重、液体内部压强、浮力和阿基米德定律等。 ： 高考物理学问点汇总
流体力学的基本公式 流体力学是研究流体静力学和流体动力学的科学，主要包括质量守恒 定律、动量定律和能量定律这三个基本公式。以下将对这三个公式进行详 细介绍。 一、质量守恒定律（连续性方程） 质量守恒定律是描述流体质量守恒的基本原理，也称为连续性方程。 它表明在不可压缩流体中，质量流率与密度和流速之间存在关系。该定律 可以由质量守恒原理导出，即单位时间内通过截面的质量的变化等于该截 面的质量流入流出的差值。数学表达式如下： ∂(ρA)/∂t+∇(ρΦ)=0 其中，∂(ρA)/∂t 表示单位时间内通过截面的质量变化，ρ表示密度，A表示截面面积，Φ表示速度 potential，∇为 nabla 算子。 二、动量定律（Euler方程和Navier-Stokes方程） 动量定律描述流体运动的力学性质，可以用 Euler 方程和 Navier-Stokes 方程来表示。Euler 方程适用于无粘流体，而 Navier-Stokes 方 程对考虑粘性效应的流体更为适用。 Euler方程： ρ(dv/dt) = -∇p + ρg + F 其中，ρ表示密度，v表示速度，t表示时间，∇p表示压强的梯度，g表示重力加速度，F表示外力。 Navier-Stokes方程：
ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇²v + (μ/3)∇(∇･v) + ρg + F 其中，μ表示动力粘度，∇²v 表示速度梯度的 Laplacian，∇･v 表示速度梯度的散度。 三、能量定律（Bernoulli方程和能量方程） 能量定律描述了流体中能量守恒的原理，可以用 Bernoulli 方程和能量方程来表达。Bernoulli 方程适用于理想流体，能量方程对一般流体更为适用。 Bernoulli方程： pv + 1/2ρv² + ρgh = constant 其中，p表示压强，v表示速度，ρ表示密度，g表示重力加速度，h 表示高度。 能量方程： ∂(ρE)/∂t + ∇(ρE + pv) = ∇･(k∇T) + ρg･v + q 其中，E表示单位质量流体的总能量，∇(k∇T)表示热传导项，k表示热导率，T表示温度，q表示单位时间内单位体积流体受到的净热源。 综上所述，流体力学的基本公式包括质量守恒定律、动量定律和能量定律。这些公式描述了流体在静态和动态情况下的特性，并在工程、物理等领域有着广泛的应用。
流体力学的基本方程式 流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。它主要研究流体 的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其 相互关系。 流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。这 些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。下面将逐一介绍这些方程式及其应用。 1. 连续性方程 连续性方程描述了流体的质量守恒规律。它基于质量守恒原理，即 在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。连续性方程的数学表达式是： ∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。 其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气 流动力学、河流的水量和水质传输等。 2. 动量方程 动量方程描述了流体的运动规律。它基于牛顿第二定律，即流体的 运动是由外力和内力共同作用的结果。动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。动量方程是解决 流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中 的水流、航空航天中的气体流动等。 3. 能量方程 能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。能量方程的数学表达式是： ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。 其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃 烧室的工作原理等。 流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这 些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研 究提供指导。在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一 步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。 总之，流体力学的基本方程式是解决流体力学问题的基础。连续性 方程、动量方程和能量方程描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量 守恒规律，是研究流体流动和变形的关键工具。通过对这些方程式的 应用，我们能够更深入地了解流体的行为和性质，为工程和科学研究 提供理论支持和技术指导。
流体力学基本方程 概述 流体力学是研究流体的运动和力学性质的学科。在复杂的流体运动中，我们需要基本方程来描述和求解物质的运动状态。本文将介绍流体力学基本方程的概念、应用和求解方法。 基本概念 在流体力学中，基本方程是用来描述流体运动和变形的物理和数学关系的方程。这些方程基于守恒定律和质量、动量和能量守恒的原理。根据流体的性质和具体情况，我们可以建立不同的基本方程。 质量守恒方程 质量守恒方程描述了流体流动过程中质量的保持不变。它可以用以下形式表示： ∂ρ ∂t +∇⋅(ρv)=0 其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂ ∂t 表示时间的偏导数，∇⋅表示散度运 算。这个方程表示了单位时间内流经某一体积元的质量变化与该体积元的质量流出量之和为零。 动量守恒方程 动量守恒方程描述了流体运动中动量的变化。它可以用以下形式表示： ∂(ρv) ∂t +∇⋅(ρv⊗v)=−∇p+∇⋅τ+ρf 其中，p是流体的压力，f是外力矢量，τ是应力张量，符号⊗表示张量积。这个方程表示了单位时间内流体动量的变化与压力、应力和外力的作用之和。
能量守恒方程 能量守恒方程描述了流体运动中能量的变化。根据流体的热力学性质和具体情况，能量守恒方程可以有不同的形式。最常用的形式是Navier-Stokes方程。例如在不可压流体情况下，能量守恒方程可以写作： ∂(ρE) +∇⋅(ρvE)=−∇⋅q+∇⋅(τ⋅v)+ρf⋅v ∂t 其中，E是单位质量流体的总能量，q是单位面积的能量通量。这个方程表示了单 位时间内流体能量的变化与能量通量、应力和外力的作用之和。 基本方程的求解 对于复杂的流体运动问题，基本方程的求解常常是挑战性的。我们通常需要结合实际情况和数值方法来求解基本方程。 解析方法 对于简单的流动情况，可以使用解析方法求解基本方程。这些方法通常基于一些简化假设和边界条件，例如定常流动、恒定密度等。解析方法可以得到精确的解析解，但通常只适用于简单的情况。 数值方法 数值方法是对基本方程进行离散化和数值逼近的方法。常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法。通过将流体领域划分为小的网格单元，我们可以用数值近似替代基本方程。这样可以得到数值解，但相对于解析解，数值解通常具有一定的误差。 应用 流体力学基本方程的应用非常广泛。它们可以用于解决各种不同类型的流动问题，例如汽车空气动力学、飞行器气动力学、水力学等。基本方程的准确求解可以帮助我们理解和优化实际流体系统的运行。
1、单位质量力：m F f B B = 2、流体的运动粘度：ρ μ=v 〔μ[动力]粘度，ρ密度〕 3、压缩系数：dp d dp dV V ρρκ•=•-=11〔κ的单位是N m 2〕体积模量为压缩系数的倒数 4、体积膨胀系数：dT d dT dV V v ρρα•-=•=11〔v α的单位是C K ︒1,1〕 5、牛顿内摩擦定律：为液体厚）为运动速度，以应力表示为y u dy du dy du A T (,μτμ== 6、静止液体某点压强：为该点到液面的距离）h gh p z z g p p ()(000ρρ+=-+= 7、静水总压力： )h (为受压面积，为受压面形心淹没深度为静水总压力，A p ghA A p p c ρ== 8、元流伯努利方程;'2221112w h g p z g u g p z ++=++ρρ('w h 为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动至过流断面2-2的机械能损失，z 为某点的位置高度或位置水头，g p ρ为测压管高度或压强水头，g u ρ2是单位流体具有的动能，u gh g p p g u 22'=-=ρ，u gh C g p p g C u 22'=-=ρC 是修正系数，数值接近于1〕 9、总流伯努利方程:w h g v g p z g v g p z +++=++222 221221111αραρ(α为修正系数通常取1〕 10、文丘里流量计测管道流量：)21)(41()()(42 122211g d d d k h k g p z g p z k Q -=∆=+-+=πμρρμ 11、沿程水头损失一般表达式：g v d l h f 22 λ=〔l 为管长，d 为管径，v 为断面平均流速，g 为重力加速度，λ为沿程阻力系数〕
第二章 流体的主要物理性质 流体的可压缩性计算、牛顿内摩擦定律的计算、粘度的三种表示方法。 1．密度 ρ = m /V 2．重度 γ = G /V 3．流体的密度和重度有以下的关系：γ = ρ g 或 ρ = γ/ g 4．密度的倒数称为比体积，以υ表示υ = 1/ ρ = V/m 5．流体的相对密度：d = γ流 /γ水 = ρ流 /ρ水 6．热膨胀性 7．压缩性. 体积压缩率κ 8．体积模量 9．流体层接触面上的内摩擦力 10．单位面积上的内摩擦力（切应力）（牛顿内摩擦定律） 11．.动力粘度μ： 12．运动粘度ν ：ν = μ/ρ 13．恩氏粘度°E ：°E = t 1 / t 2 第三章 流体静力学 重点：流体静压强特性、欧拉平衡微分方程式、等压面方程及其、流体静力学基本方程意 义及其计算、压强关系换算、相对静止状态流体的压强计算、流体静压力的计算（压力体）。 1．常见的质量力：重力ΔW = Δmg 、直线运动惯性力ΔFI = Δm·a 离心惯性力ΔFR = Δm·r ω2 . 2．质量力为F 。：F = m ·am = m (f xi+f yj+f zk) am = F /m = f xi+f yj+f zk 为单位质量力，在数值上就等于加速度 实例：重力场中的流体只受到地球引力的作用，取z 轴铅垂向上，xoy 为水平面，则单位质量力在x 、y 、 z 轴上的分量为 fx = 0 , fy = 0 , fz = -mg /m = -g 式中负号表示重力加速度g 与坐标轴z 方向相反 3流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的连续函数。即：p = p (x ,y ,z )，由此得静压强的全微分为: T V V ∆∆= 1αp V V ∆∆- =1κV P V K ∆∆-=κ1n A F d d υμ=dn d v μ τ±=n v d /d τ μ= z z p y y p x x p p d d d d ∂∂∂∂∂∂+ + =
工程流体力学公式总结 第二章 流体的主要物理性质 流体的可压缩性计算、牛顿内摩擦定律的计算、粘度的三种表示方法。 1．密度 ρ = m /V 2．重度 γ = G /V 3．流体的密度和重度有以下的关系：γ = ρ g 或 ρ = γ/ g 4．密度的倒数称为比体积，以υ表示υ = 1/ ρ = V/m 5．流体的相对密度：d = γ流 /γ水 = ρ流 /ρ水 6．热膨胀性 7．压缩性. 体积压缩率κ 8．体积模量 9．流体层接触面上的内摩擦力 T V V ∆∆=1αp V V ∆∆-=1κV P V K ∆∆-=κ1n A F d d υ μ=
10．单位面积上的内摩擦力（切应力）（牛顿内摩擦定律） 11．.动力粘度μ： 12．运动粘度ν ：ν = μ/ρ 13．恩氏粘度°E ：°E = t 1 / t 2 第三章 流体静力学 重点：流体静压强特性、欧拉平衡微分方程式、等压面方程及其、流体静力学 基本方程意义及其计算、压强关系换算、相对静止状态流体的压强计算、流体静压力的计算（压力体）。 1．常见的质量力： 重力ΔW = Δmg 、 直线运动惯性力ΔFI = Δm ·a 离心惯性力ΔFR = Δm ·rω2 . 2．质量力为F 。：F = m ·am = m (f xi+f yj+f zk) dn d v μ τ±=n v d /d τμ=
am = F /m = f xi+f yj+f zk 为单位质量力，在数值上就等于加速度 实例：重力场中的流体只受到地球引力的作用，取z 轴铅垂向上，xoy 为水平面，则单位质量力在x 、y 、 z 轴上的分量为 fx = 0 , fy = 0 , fz = -mg /m = -g 式中负号表示重力加速度g 与坐标轴z 方向相反 3流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的连续函数。即：p = p (x ,y ,z )，由此得静压强的全微分为: 4．欧拉平衡微分方程式 单位质量流体的力平衡方程为： z z p y y p x x p p d d d d ∂∂∂∂∂∂++=d d d d d d 0x p f x y z x y z x ∂∂- =ρd d d d d d 0y p f x y z x y z y ∂∂- =ρd d d d d d 0z p f x y z x y z z ∂∂- =ρ01=∂∂-x p f x ρ
流体力学基本方程组总结 流体力学基本方程组包括连续性方程、运动方程、组分质量守恒方程、能量方程、本构方程、状态方程及通用形式守恒方程。虽各相关文献都有介绍这些基本方程组，但多采用作者熟悉的方式表示，往往同一方程具有多种形式，而难于直观对比。以下内容是对文献报道的各种形式的总结和对比，并分析了它们之间的转化关系，以期彻底理解（切实掌握微分方程中每一项的物理意义）流体力学基本方程组的数学物理意义，为离散计算该方程组打下基础。 1 连续性方程 根据文献[1]连续性方程可由四种方法得到，分别为拉格朗日法下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律。 1.1 L 法有限体积分析 取体积为τ，质量为m 的一定流体质点团，则有： 00Dm D D D D m d d d d d Dt Dt Dt Dt Dt τττττρρτρτρττρτ=⇒ ==⇒=+=⎰⎰⎰⎰⎰ （1） 因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数，即： 1div D v d d Dt ττ= （2） D u v w v Dt t x y z t ρρρρρρ ρ∂∂∂∂∂=+++=+⋅∇∂∂∂∂∂ （3） 代入式（1）得 (()div )(div())0D D d d v v d v d Dt Dt t t τ τττρρρ τρτρρτρτ∂∂+=+⋅∇+=+=∂∂⎰⎰⎰⎰ （4） 运用奥高定理 ( )(cos cos cos )S S n S S u v w d udydz vdzdx wdxdy x y z u v w dS v ndS v dS τ ταβγ∂∂∂++=++∂∂∂=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （5） 得 ( div())0n S v d d v dS t t τ τρρ ρττρ∂∂+=+=∂∂⎰⎰⎰ （6） 上式即是连续性方程的积分形式。