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二次函数中考真题汇编[解析版]

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）

（1）求该二次函数所对应的函数解析式；

（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；

（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为

；（3）M点坐标为可以为（2，

3），（55

，3），（

，3）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．

（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．

（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．

【详解】

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），

∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），

∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．

又∵点D（4，3）在二次函数上，

∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，

∴解得：a＝1．

∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．

（2）如图1所示．

因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）． ∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ， ∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0）， ∴OB ＝OC

∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴， ∴△PEF 为等腰直角三角形． ∴EF 2PF ．

设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，

3k b b +=??

，解得：1

k b =-??

=?，

∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3． ∴y F ＝﹣p+3．

FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ． ∴EF 2p 22． ∴线段EF 的最大值为，EF max 42-2

．（3）①如图2所示：

若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ， BF ⊥l 交l 于点F ．

设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3）， ∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3）， ∴CD ∥x 轴．

又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°， ∴△CNE ∽△NBF ． ∴

CE NE ＝NF

，又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，

∴24m m

-+＝2343m m m --+-，

化简得：m 2﹣5m+5＝0．解得：m 1＝

552

+，m 2＝552-．

∴M 点坐标为（

55+，3）或（55-，3）

②如图3所示：

当∠CBN＝90°时，过B作BG⊥CD，

∵∠NBF＝∠CBG，∠NFB＝∠BGC＝90°，∴△BFN∽△CGB．

∵△BFN为等腰直角三角形，

∴BF＝FN，

∴0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m．

∴化简得，m2﹣5m+6＝0．

解得，m＝2或m＝3（舍去）

∴M点坐标为，（2，3）．

综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（55

，3），（

，3）．

【点睛】

本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．

2．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；

(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；

(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．

（探究）

（1）证明：OBC≌OED；

（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）x=4，16

【解析】

【分析】

（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明

OBC≌OED即可；

（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．

【详解】

（1）证明：连接EF．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°

由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE

∴∠DEF＝90°

又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，

∴四边形ADEF是矩形

又∵AD＝DE，

∴四边形ADEF是正方形

∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°

∵AD＝BC，

∴BC＝DE

由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°

∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．

∴OC＝OD．

在△OBC与△OED中，

BC DE

BCO FDE

OC OD

∠=∠

，

∴△OBC≌△OED（SAS）；

（2）连接EF、BE．

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝8．

由（1）知，BC＝DE

∵BC＝x，

∴DE＝x

∴CE＝8－x

由（1）知△OBC≌△OED

∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．

∵∠OED＋∠OEC＝180°，

∴∠OBC＋∠OEC＝180°．

在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE＝90°．

在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．

在Rt △BCE 中，BC 2＋EC 2＝BE 2．∴OB 2＋OE 2＝BC 2＋CE 2． ∵OB 2＝y ，∴y ＋y ＝x 2＋(8－x)2． ∴y ＝x 2－8x ＋32

∴当x=4时，y 有最小值是16．

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．

3．二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．

（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63

m m

y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；

（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；

②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．

【答案】（1）P （2，

）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】

【分析】

（1）把m =1代入二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；

（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63

m m

y x x m m =

-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；

（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；

②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】

解：（1）当m =1时，二次函数为212

163

y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，

）；（2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263

m m

b a a m =

-+，即：2263

m m

b m a a -=

- ∵0b m ->， ∴

2263

m m a a -＞0， ∵m ＞0，

∴2263

a a -＞0，解得：a ＜0或a ＞4，

∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；

（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，

∵二次函数的解析式为2263

m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，

），当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；

设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，

）代入，得： 23

m b m

k b =??

?=+??，解得：3m k b m

=-?

??=?，

∴直线AP 的解析式为y=3

-x+m ，当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；

∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中，

DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠??

∠=∠??=?

，

∴△ADF ≌△ABO （AAS ），

∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），

∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，

∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3

2363

m m

m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．

∵0m >，∴2

184m m m -≤

，∴2

18(2)4m m

--≤，显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，

当5m ≥时，2

(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m

-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；

当x = m +3时，y ≥3，可得2

(3)2(3)

363

m m m m m ++-+≥，

∵0m >，∴2

1823m m m ++≥

，即2

18(1)2m m

++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，

当2m ≥时，2

(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m

++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；

综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】

本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．

4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为

()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ?的面积的最大值;

(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．

【答案】（1）21233y x x =-

++；（2）当9

2n =时，PBA S ?最大值为818

；（3）存在，

Q 点坐标为((0,-或，理由见解析

【解析】【分析】

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 2

1,233

n n n ?

?-++ ??

求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 2

1,233

t t t ??-++ ??

,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使

60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对

的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】

解：()1抛物线顶点为()3,6

∴可设抛物线解析式为()2

36y a x =-+

将()0,3B 代入()2

36y a x =-+得

396a =+ 1

a ∴=-

∴抛物线()2

1363y x =-

-+，即21233

y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，

PBA BPO PAO ABO S S S S ????=+-

设P 点坐标为2

1,233

n n n ??-++ ??

1133222

BPO x S BO P n n ?=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ???

=-++=-++ ???

11933222

ABO S OA BO ?=

=??= 2

2231

99191981322

2222228PBA

S n n n n n n ?????=+-++-=-+=--+ ? ????? ∴当9

2n =

时，PBA S ?最大值为818

()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ?

?-++ ???

过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,

则213,6233DG t CG t t ??

=-=--++ ???

30ACD ∠=

2DG DC ∴=

在Rt CGD ?中有

222243CG CD DG DG DG DG =+=-=

)21336233t t t ??

-=--++ ???

化简得(1

133303t t ??---= ???

13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+

3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ?中

229276AD AG GD =+=+=

6,120AD AC CAD ∴==∠=

Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上

此时1

602

CQD CAD ∠=

∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径

则AQ 2=OQ 2+OA 2, 62=m 2+32

即2936m +=

∴1233,33m m ==-

综上所述，Q 点坐标为()()

0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.

【点睛】

(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.

(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.

5．已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -．（1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；

（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，

()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，

OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ?有一个内

角为60，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：

PA 平分MPN ∠．

【答案】（1）21b a =-；（2）22y x =-；（3）见解析. 【解析】【分析】

（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ?为等腰三角形，结合其有一个60?的内角可得出ABC ?为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；

（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，2

12)x -+、点N 的坐标为2(x ，

2)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出21

x x =-

，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠．【详解】

解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得

2420c a b c =-?

-+=?

．所以21b a =-．

（2），如图1，

当120x x <<时，()()12120x x y y --<，

120x x ∴-<，120y y ->， ∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；

同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，

∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，

0b ∴=．

OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ， ABC ∴?为等腰三角形，

又ABC ?有一个内角为60?， ABC ∴?为等边三角形．

设线段BC 与y 轴交于点D ，则BD CD =，且30OCD ∠=?，又2OB OC OA ===，

·303CD OC cos ∴=?=，·

301OD OC sin =?=．不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为(3，1)．点C 在抛物线上，且2c =-，0b =，

321a ∴-=，

1a ∴=，

∴抛物线的解析式为22y x =-．

（3）证明：由（1）可知，点M 的坐标为1(x ，212)x -，点N 的坐标为2(x ，2

22)x -．

如图2，直线OM 的解析式为()110y k x k =≠．

O 、M 、N 三点共线，

10x ∴≠，20x ≠，且221212

x x x x --=，

1212

x x x x ∴-

=-， ()121212

2x x x x x x -∴-=-

，

122x x ∴=-，即21

x x =-

，

∴点N 的坐标为12(x -

，21

2)x -．设点N 关于y 轴的对称点为点'N ，则点'N 的坐标为12(x ，21

2)x -．点P 是点O 关于点A 的对称点，

24OP OA ∴==，

∴点P 的坐标为()0,4-．

设直线PM 的解析式为24y k x =-，

点M 的坐标为1(x ，2

12)x -，

212124x k x ∴-=-，

2121

2x k x +∴=，

∴直线PM 的解析式为211

4x y x x +=-．

()

222111221111224224

·42x x x x x x x +-+-==-， ∴点'N 在直线PM 上，

PA ∴平分MPN ∠．【点睛】

本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上．

6．如图，已知抛物2

(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且

OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12

x =

． (1)求抛物线的解析式；

(2) 在x 轴上方有一点P ，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，记PBC ?的面积为S ，求当10.5S =时点P 的坐标

(3)在(2)的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的

10.5S =时点P 的坐标；直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点(C '在B '的左侧)，若以点,,C B P ''为顶点的三角形是直角三角形，求出t 的值．

【答案】（1）211

322

y x x =--（2）(2,6)（3）19或32 【解析】【分析】

（1）确定点A 的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；

（2）确定直线AP 的解析式，用m 表示点P 的坐标，由面积关系求S 和m 的函数关系式即可求解；

（3）先确定点P 的坐标，当'''90B PC ∠=，利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标，利用''2B C PE =建立方程求解，当''''90PC B ∠=时，确定点G 的坐标，进而求出直线''C G 的解析式，得出点''C 的坐标即可得出结论．【详解】

（1）∵OC OB =，且B 点坐标为(3,0)， ∴C 点坐标为(0,3)-．

设抛物线解析式为2

()2

y a x k =-+．

将B 、C 两点坐标代入得2504

134a k a k ?

=+????-=+??，解得12258a k ?=????=-

．

∴抛物线解析式为22112511

()-322822

y x x x =

-=--．（2）如图1，设AP 与y 轴交于点'C ．

∵PAB CAB ∠=∠，OA OA =，90AOC AOC ∠'=∠=?， ∴AOC ?≌AOC ?'， ∴3OC OC ='=， ∴(0,3)C '． ∵对称轴l 为直线12

x =

，

∴(2,0)A

-， ∴直线AP 解析式为3

y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ， ∴直线BC 解析式为-3y x =， ∴31

3(3)622PF x x x =

+--=+， ∴13

924

PBC S OB PF x ?=

??=+， ∵10.5S =，∴3

910.54

x +=， ∴2x =．

此时P 点的坐标为(2,6)．

（3）如图2，由211

-322

y x x y x ?=-??

?=+??得6,12P （），

当90C PB ∠=''?时，取''B C 的中点E ，连接PE ．则2B C PE ''=,即224B C PE =''．设1122(,),(,)B x y C x y ''．

由211-322y x x y x t

?=-???=+?得23(26)0x x t --+=， ∴12123,(26)x x x x t +==-+， ∴点33

)22

E t +，

22222

1212121212

()()2()2()41666

B C x x y y x x x x x x t

=-+-=-+-=+

''，2222

33261

(6)(1221

222

PE t t t

=-+-=-+

），

∴2

261

16664(21)

t t t

+=-+，

解得：19

t=或6（舍去），

当90

PC B''''

∠=?时，延长C P''交BC于H，交x轴于G．

则90,45

BHG PGO

∠=?∠=?，

过点P作PG x

⊥轴于点Q，则12

GQ PQ

==，

∴(18,0)

G，

∴直线C G

''的解析式为18

y x

=-+，

由

-3

-18

y x x

y x

?=+

得

或

（舍去），

∴(7,25)

C'-

'，

将(7,25)

C'-

'代入y x t

=+中得32

t=．

综上所述，t的值为19或32．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣

x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣

x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与

对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求点N的坐标．

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝

时，求点F的坐标．

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．

【答案】（1）y＝﹣

x2+

x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（

，﹣

）；（4）

535

3593535

35935

t t

S t

???

≤≤

? ?

???

=-<≤

+<≤

．

【解析】

【分析】

（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；

（2）抛物线的对称轴为：x＝

，点N的横坐标为：

+=，即可求解；

（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；

（4）分0≤t

3535

＜t

3535＜t5

【详解】

解：（1）直线y＝﹣

x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），

则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣

x2+bx+2，

将点C坐标代入上式并解得：b＝3 2

，

故抛物线的表达式为：y＝﹣

x2+

x+2…①；

（2）抛物线的对称轴为：x＝

，

点N的横坐标为：

+=，

故点N的坐标为（5，-3）；

（3）∵tan∠ACO＝

==＝tan∠FAC＝

，

即∠ACO＝∠FAC，

①当点F在直线AC下方时，

设直线AF交x轴于点R，

∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，

设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝

，

即点R的坐标为：（

，0），

将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：

m n

，解得：

，

故直线AR的表达式为：y＝﹣

x+2…②，

联立①②并解得：x＝

，故点F（

，﹣

）；

②当点F在直线AC的上方时，

∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，

2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.

【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1）【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A

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