当前位置：文档之家› 九年级二次函数中考真题汇编[解析版]

九年级二次函数中考真题汇编[解析版]

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．已知函数2266()

22()

x ax a x a y x ax a x a ?-+>=?-++≤?（a 为常数，此函数的图象为G ）

（1）当a ＝1时，

①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标

（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围（3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围

【答案】（1）①2266(1)

22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤?

，②(1,1),(31),(31)--+--；（2）

0a <或

2635a <<；（3）1a -<，1

153a <<，113a <<-【解析】【分析】

（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；

②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；

（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；

（3）先求出2

66y x ax a =-+的对称轴为直线6321

x a -=-

=?，顶点坐标为(

)

23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()

221a

x a =-

=?-，顶点坐标为()2

,2a a

a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解

即可．【详解】

（1）①1a =时，2266(1)

22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤?

②当1x >时，

2661x x -+=-

2670x x -+=

1233x x ==当1x ≤时，

2221x x -++=-

2230x x --=

121,3x x =-=（舍）

∴坐标为(1,1),(31),(31)---- （2）当0a <时

266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线

6321

x a -=-

=?，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点）当0a ≥时，

266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点

顶点坐标为(

)

3,96a a a -+

当x a =时，2

56y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点

将①的两边同时除以a ，解得65a <；将②的两边同时除以a ，解得23

a > ∴

2635

a << 即当

a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点，综上，0a <或26

a <<

（3）2

66y x ax a =-+的对称轴为直线6321a

x a -=-

=?，顶点坐标为()

23,96a a a -+ 222y x ax a =-++的对称轴为直线

()

221a x a =-=?-，顶点坐标为()

2,2a a a + ①当a ＜0时，

()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +

由()2

10a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1

而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x

＞3a ，y ＞225666a a a a a a ?+=-+-

当22

21561

a a a a ?+与x 轴有两个交点

解得：315

a --<

；

当

561

a a

?+>

-+>-

时，()

222

y x ax a x a

=-++≤与x轴有两个交点，()

266

y x ax a x a

=-+>与x轴有一个交点

解得：1a

-+<<，与前提条件a＜0不符，故舍去；

②当a≥0时，

()

222

y x ax a x a

=-++≤中，当x=a时，y的最大值为22

a a

+，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x轴的距离为1

而()

266

y x ax a x a

=-+>，此时当x=3a时，y的最小值为2

a a

-+，由

()2

310

--≤可得2

961

a a

-+≤，即此图象必有一个点到x轴的距离为1

当

561

961

a a

?+<

-+>

-+>-

?-+≠

时，()

222

y x ax a x a

=-++≤与x轴只有一个交点，

()

266

y x ax a x a

=-+>与x轴有两个交点

解得：

<<-+且1

a≠；

当

561

961

a a

?+<

-+<

-+<-

?-+≠

时，()

222

y x ax a x a

=-++≤与x轴只有一个交点，

()

266

y x ax a x a

=-+>与x轴有两个交点

此不等式无解，故舍去；

当

561

961

a a

?+>

-+<

-+>-

?-+≠

时，()

222

y x ax a x a

=-++≤与x轴有两个交点，

()

266

y x ax a x a

=-+>与x轴有一个交点

此不等式无解，故舍去；

综上：

-<或

或

<<-

【点睛】

此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．

2．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2

(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）

(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．

【解析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．

如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，

∴E（2，1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值

3．如图，过原点的抛物线y=﹣1

x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，

连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．

（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；

（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m的值；

（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2122

y x x =-

+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=

27时，抛物线向左平移．【解析】【分析】

（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；

（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2

），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；

（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．【详解】

解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12

-x 2

+bx+c ．得0

c b b c =??

-++=?，

∴0

c b =??

=?． ∴2211

2(2)222

y x x x =-

+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．

（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．

∴△PDC 为等腰直角三角形．如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．

∵O′P=OP=m ． ∴C′D=

12O′P=1

m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（3

2m ，2

m ）．

当点O′在y=12

-x 2

+2x 上．则?

m 2

+2m ＝m ．解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2．当点C′在y=12

-x 2

+2x 上，则12-

×(32

m )2+2×3

2m ＝12m ，

解得：120

m =，20m =（舍去）． ∴m=

209

（3）存在n=2

，抛物线向左平移．

当m=

209时，点C′的坐标为（103

，10

9）．

如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．

以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短．

∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A （4，0），点C′（103

，10

9），点B （2，2）． ∴点A′（

83，8

）． ∴点A″的坐标为（

83，289

）．设直线OA″的解析式为y=kx ，将点A″代入得：8

283

k =，解得：k=

． ∴直线OA″的解析式为y=76

x ．将y=2代入得：7

x=2，解得：x=

127

， ∴点B′得坐标为（12

，2）． ∴n=212277

=． ∴存在n=2

，抛物线向左平移．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2

）以及点B′的坐标是解题的关键．

4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为

()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ?的面积的最大值;

(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．

【答案】（1）21233y x x =-

++；（2）当9

2n =时，PBA S ?最大值为818

；（3）存在，

Q 点坐标为((0,-或，理由见解析

【解析】【分析】

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 2

1,233

n n n ?

?-++ ??

求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 2

1,233

t t t ??-++ ??

,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使

60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对

的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】

解：()1抛物线顶点为()3,6

∴可设抛物线解析式为()2

36y a x =-+

将()0,3B 代入()2

36y a x =-+得

396a =+ 1

a ∴=-

∴抛物线()2

1363y x =-

-+，即21233

y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，

PBA BPO PAO ABO S S S S ????=+-

设P 点坐标为2

1,233

n n n ??-++ ??

1133222

BPO x S BO P n n ?=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ???

=-++=-++ ???

11933222

ABO S OA BO ?=

=??= 2

2231

99191981322

2222228PBA

S n n n n n n ?????=+-++-=-+=--+ ? ????? ∴当9

2n =

时，PBA S ?最大值为818

()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ?

?-++ ???

过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,

则213,6233DG t CG t t ??

=-=--++ ???

30ACD ∠=

2DG DC ∴=

在Rt CGD ?中有

222243CG CD DG DG DG DG =+=-=

)21336233t t t ??

-=--++ ???

化简得(1

133303t t ??---= ???

13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+

3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ?中

229276AD AG GD =+=+=

6,120AD AC CAD ∴==∠=

Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上

此时1

602

CQD CAD ∠=

∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径

则AQ 2=OQ 2+OA 2, 62=m 2+32

即2936m +=

∴1233,33m m ==-

综上所述，Q 点坐标为()()

0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.

【点睛】

(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.

(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.

5．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，

()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；

（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位

置关系，并说明理由；

（3）抛物线2

y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线

于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理

由，并对所有的泛对称点

(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（1）

；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0 【解析】【分析】

（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.

（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）的坐标，利用二元一次方程组证出k 1=k 2，所以AB ∥PQ.

（3）由二次函数与x 轴交点的特征，得到D 点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案. 【详解】

（1）解：因为点（1，2），（3，a ）是一对泛对称点，设3t ＝2 解得t ＝

所以a ＝t×1＝

（2）解：设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），其中0＜p ＜q ，t ＞0. 因为PA ⊥x 轴于点A ，QB ⊥y 轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，

所以点A ，B ，C 的坐标分别为：A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）设直线AB ，PQ 的解析式分别为：y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，其中k 1k 2≠0. 分别将点A （p,0），B （0,tp ）代入y ＝k 1x ＋b 1，得

111pk b tp b tp +=??=?. 解得11

k t

b tp =-??

=? 分别将点P （p,tq ），Q （q,tp ）代入y ＝k 2x ＋b 2，得

2222

pk b tp qk b tp +=??

+=?. 解得22k t

b tp tp =-??=+? 所以k 1＝k 2.

所以AB∥PQ

（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D，

所以点D的坐标为（0,c）.

因为DM∥x轴，

所以点M的坐标为（x M,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.可得ax M 2＋bx M＋c＝c，即x M（ax M＋b）＝0.

解得x M＝0或x M＝－b a .

因为点M不与点D重合，即x M≠0，也即b≠0，

所以点M的坐标为（－b

,c）

因为直线y＝ax＋m经过点M，

将点M（－b

,c）代入直线y＝ax＋m可得，a·（－

）＋m＝c.

化简得m＝b＋c

所以直线解析式为：y＝ax＋b＋c.

因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋b＋c交于另一点N，由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.

因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，

解得x1＝－b

，x2＝1.

即x M＝－b

，x N＝1，且－

≠1，也即a＋b≠0.

所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）

要使M（－b

,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点，

则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－b

a ）.

也即a＋b＋c＝（－b

a ）·c

也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.

因为a＋b≠0，

所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.

因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.

此时点M的坐标为（－b

,－a），点N的坐标为（1,b）.

所以M，N两点都在函数y＝b

（b≠0）的图象上.

因为a＜0，

所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当y M＞y N时，0＜x M＜1；

当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足y M＞y N，此时x M＜0.

综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（x M,y M），N（x N,y N），当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0.

【点睛】

本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.

6．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点

C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6

(x＞0)

经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(5

，0)，F(0，

)；（3）t=9﹣15

【解析】

【分析】

（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；

（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】

解；（1）C(0，3)

∵CD⊥y，

∴D点纵坐标是3．

∵D在y=6

上，

∴D(2，3)，

将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，

∴a=﹣1，b=2，

∴y=﹣x2+2x+3；

（2）M(1，4)，B(3，0)，

作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，

则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，

∴M'D'直线的解析式为y=﹣7

，

∴N(5

，0)，F(0，

)；

（3）设P(0，t)．

∵△PBO和△CDP都是直角三角形，

tan∠CDP=3

，tan∠PBO=

，

令y=tan∠BPD=3 2

t t

，

∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，

△=﹣15y2+30y+1=0时，

15415

(舍)或y=

15415

，

∴t=

﹣

，

∴t=9﹣215，

∴P(0，9﹣215)．

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．

7．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．

①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；

②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，

；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】

【分析】

（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣

）2+

即可求解；

②分PM ＝PC 、PM ＝MC 两种情况，分别求解即可．【详解】

解：（1）对于y ＝x ﹣3，令x ＝0，y ＝﹣3，y ＝0，x ＝3，故点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：930

3b c c ++=??

=-?

，

解得：3

c b =-??

=-?，

故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；

（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3）， ①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94

， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：9

； ②存在，理由：

PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2； PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2； MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；

（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2，解得：x ＝0或2（舍去0），故x ＝2，故点P （2，﹣3）；

（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，

解得：x ＝0或（舍去0和），

故x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣，

故点P （3，2﹣）．

综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3，2﹣)．【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点

(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）△ANM 与ABD ?是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等

于．（直接写出答案）

【答案】（1）2113442y x x =-

-+；（2）点M （0，3

2）、点N （34

，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，3

）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为12

．【解析】【分析】

（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=2339

2055

x x -

-+，即可求解．【详解】

解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：1

a =-，故函数的表达式为：2113

442

y x x =--+…①，则点C （0，

）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35， ①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，

直线AD 所在直线的k 值为

，则直线AM 表达式中的k 值为34-，

则直线AM 的表达式为：3(2)4

y x =--，故点M （0，3

2），

AD AB AM AN =，则AN=5

4，则点N （34

，0）；

（Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，3

），故点M （0，

32）、点N （34

，0）或点M （0，3

2），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，

（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，

∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12

， AM ：y=12-

（x-2），则点M （-1，3

）、点N （-3，0）；（Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，

AD BD AM AN

=，即35

35=

，解得：AN=9

，

故点N （14-

，0）、M （-1，3

）；故：点M （-1，

32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，3

）；综上，点M （0，

32）、点N （34

，0）或点M （0，3

2），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，3

2）；（3）如图所示，连接PH ，

由题意得：tan ∠PQH=

43，则cos ∠PQH=35

，则直线AD 的表达式为：y=

x -，

2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.

【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1）【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A

北京国子监中学数学二次函数中考真题汇编[解析版]

北京国子监中学数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．

二次函数中考真题汇编[解析版]

二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．

一元二次函数中考试题选编

一元二次函数综合练习题 1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是A ．0c > B ．20a b += C ．2 40b ac -> D ．0a b c -+> 2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；② 1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 第2题第3题第题 3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（） A ．0