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2020年广东省东莞市中考数学一模试卷 解析版

2020年广东省东莞市中考数学一模试卷

一.选择题(共10小题)

1.计算|﹣2|的结果是()

A.2B.C.﹣D.﹣2

2.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

3.我市2019年参加中考的考生人数约为52400人,将52400用科学记数法表示为()A.524×102B.52.4×103C.5.24×104D.0.524×105

4.下列运算正确的是()

A.a﹣2a=a B.(﹣a2)3=﹣a6

C.a6÷a2=a3D.(x+y)2=x2+y2

5.函数y=中自变量x的取值范围是()

A.x≥﹣1且x≠1B.x≥﹣1C.x≠1D.﹣1≤x<1

6.如图,P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为()

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A.65°B.130°C.50°D.100°

7.实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试,每人投篮六次,投中的次数统计如下:5,4,3,5,5,2,5,3,4,1,则这组数据的中位数,众数分别为()

A.4,5B.5,4C.4,4D.5,5

8.一个多边形每个外角都等于30°,这个多边形是()

A.六边形B.正八边形C.正十边形D.正十二边形9.如图在同一个坐标系中函数y=kx2和y=kx﹣2(k≠0)的图象可能的是()

A.B.

C.D.

10.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止,若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y 与x之间函数关系的图象是()

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A.B.

C.D.

二.填空题(共7小题)

11.实数81的平方根是.

12.分解因式:3x3﹣12x=.

13.抛物线y=2x2+8x+12的顶点坐标为.

14.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点,则CD的长为.

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15.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,∠D=67°,则∠ABC等于度.

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16.已知一副直角三角板如图放置,其中BC=6,EF=8,把30°的三角板向右平移,使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上,则两个三角板重叠部分(阴影部分)的面积为.

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17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,对称轴是直线x=﹣1,有以下结论:①abc>0;

②4ac<b2;③2a﹣b=0;④a﹣b+c>0;⑤9a﹣3b+c>0.其中正确的结论有.

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三.解答题(共8小题)

18.计算:()﹣1﹣4sin60°﹣(1﹣)0+.

19.先化简:(1+)÷,请在﹣1,0,1,2,3当中选一个合适的数a代入求值.20.如图,在△ABC中,∠C=90°.

(1)用尺规作图法作AB边上的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);

(2)连结BD,若BD平分∠CBA,求∠A的度数.

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21.央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查.对收集的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题:

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图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”、C表示“一般”,D表示“不喜欢”.

(1)被调查的总人数是人,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为;

(2)补全条形统计图;

(3)若该校共有学生1800人,请根据上述调查结果,估计该校学生中A类有人;

(4)在抽取的A类5人中,刚好有3个女生2个男生,从中随机抽取两个同学担任两角色,用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.

22.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,线段AG分别交线段DE,BC于点F,G,且=.

(1)求证:△ADF∽△ACG;

(2)若=,求的值.

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23.草莓是云南多地盛产的一种水果,今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元.经试

销发现,销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)符合一次函数关系,如图是y与x的函数关系图象.

(1)求y与x的函数解析式;

(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元,求W的最大值.

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24.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.

(1)求证:AE为⊙O的切线;

(2)当BC=4,AC=6时,求⊙O的半径;

(3)在(2)的条件下,求线段BG的长.

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25.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(8,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).

(1)求A、B两点的坐标;

(2)设△OMN的面积为S,直线l运动时间为t秒(0≤t≤12),求S与t的函数表达式;

(3)在(2)的条件下,t为何值时,S最大?并求出S的最大值.

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参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.计算|﹣2|的结果是()

A.2B.C.﹣D.﹣2

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数,可得答案.

【解答】解:|﹣2|的结果是2.

故选:A.

2.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;

B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;

C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;

D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意.

故选:C.

3.我市2019年参加中考的考生人数约为52400人,将52400用科学记数法表示为()A.524×102B.52.4×103C.5.24×104D.0.524×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

【解答】解:52400=5.24×104,

故选:C.

4.下列运算正确的是()

A.a﹣2a=a B.(﹣a2)3=﹣a6

C.a6÷a2=a3D.(x+y)2=x2+y2

【分析】根据同底数幂的除法,底数不变指数相减;合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;同底数幂的乘法,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘,对

各选项计算后利用排除法求解.

【解答】解:A、a﹣2a=﹣a,故错误;

B、正确;

C、a6÷a2=a4,故错误;

D、(x+y)2=x2+2xy+y2,故错误;

故选:B.

5.函数y=中自变量x的取值范围是()

A.x≥﹣1且x≠1B.x≥﹣1C.x≠1D.﹣1≤x<1

【分析】根据分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于0;当一个式子中同时出现这两点时,应该是取让两个条件都满足的公共部分.

【解答】解:根据题意得到:,

解得x≥﹣1且x≠1,

故选:A.

6.如图,P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为()

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A.65°B.130°C.50°D.100°

【分析】由P A与PB都为圆O的切线,利用切线的性质得到OA垂直于AP,OB垂直于BP,可得出两个角为直角,再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,由已知∠C 的度数求出∠AOB的度数,在四边形P ABO中,根据四边形的内角和定理即可求出∠P 的度数.

【解答】解:∵P A、PB是⊙O的切线,

∴OA⊥AP,OB⊥BP,

∴∠OAP=∠OBP=90°,

又∵∠AOB=2∠C=130°,

则∠P=360°﹣(90°+90°+130°)=50°.

故选:C.

7.实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试,每人投篮六次,投中的次数统计如下:5,

4,3,5,5,2,5,3,4,1,则这组数据的中位数,众数分别为()

A.4,5B.5,4C.4,4D.5,5

【分析】根据众数及中位数的定义,结合所给数据即可作出判断.

【解答】解:将数据从小到大排列为:1,2,3,3,4,4,5,5,5,5,

这组数据的众数为:5;

中位数为:4.

故选:A.

8.一个多边形每个外角都等于30°,这个多边形是()

A.六边形B.正八边形C.正十边形D.正十二边形【分析】根据多边形的外角和为360°,而多边形每个外角都等于30°,可求多边形外角的个数,确定多边形的边数.

【解答】解:∵多边形的外角和为360°,360°÷30°=12,

∴这个多边形是正十二边形,

故选:D.

9.如图在同一个坐标系中函数y=kx2和y=kx﹣2(k≠0)的图象可能的是()A.B.

C.D.

【分析】分两种情况进行讨论:k>0与k<0进行讨论即可.

【解答】解:当k>0时,函数y=kx﹣2的图象经过一、三、四象限;函数y=kx2的开口向上,对称轴在y轴上;

当k<0时,函数y=kx﹣2的图象经过二、三、四象限;函数y=kx2的开口向下,对称轴在y轴上,故C正确.

故选:C.

10.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止,若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y 与x之间函数关系的图象是()

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A.B.

C.D.

【分析】作AH⊥BC于H,根据等腰三角形的性质得BH=CH,利用∠B=30°可计算出AH=AB=2,BH=AH=2,则BC=2BH=4,利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s,Q点运动到C需8s,然后分类讨论:当0≤x≤4时,作QD⊥BC于D,如图1,BQ=x,BP=x,DQ=BQ=x,利用三角形面积公式得到y=x2;当4<x≤8时,作QD⊥BC于D,如图2,CQ=8﹣x,BP=4,DQ=CQ=(8﹣x),利用三角形面积公式得y=﹣x+8,于是可得0≤x≤4时,函数图象为抛物线的一部分,当4<x≤8时,函数图象为线段,则易得答案为D.

【解答】解:作AH⊥BC于H,

∵AB=AC=4cm,

∴BH=CH,

∵∠B=30°,

∴AH=AB=2,BH=AH=2,

∴BC=2BH=4,

∵点P运动的速度为cm/s,Q点运动的速度为1cm/s,

∴点P从B点运动到C需4s,Q点运动到C需8s,

当0≤x≤4时,作QD⊥BC于D,如图1,BQ=x,BP=x,

在Rt△BDQ中,DQ=BQ=x,

∴y=?x?x=x2,

当4<x≤8时,作QD⊥BC于D,如图2,CQ=8﹣x,BP=4

在Rt△BDQ中,DQ=CQ=(8﹣x),

∴y=?(8﹣x)?4=﹣x+8,

综上所述,y=.

故选:D.

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二.填空题(共7小题)

11.实数81的平方根是±9.

【分析】首先根据平方根的定义可以求得结果.

【解答】解:实数81的平方根是:±=±9.

故答案为:±9.

12.分解因式:3x3﹣12x=3x(x﹣2)(x+2).

【分析】注意将提取公因式与乘法公式综合应用,将整式提取公因式后再次利用公式分解.

【解答】解:3x3﹣12x

=3x(x2﹣4)﹣﹣(提取公因式)

=3x(x﹣2)(x+2).

13.抛物线y=2x2+8x+12的顶点坐标为(﹣2,4).

【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标,然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标.

【解答】解:x=﹣=﹣2,

把x=﹣2代入得:y=8﹣16+12=4.

则顶点的坐标是(﹣2,4).

故答案是:(﹣2,4).

14.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点,则CD的长为.

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【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD,故AB=BD+AD=BD+CD,设CD =x,则BD=4﹣x,在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可.

【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,

∴CD=AD,

∴AB=BD+AD=BD+CD,

设CD=x,则BD=4﹣x,

在Rt△BCD中,

CD2=BC2+BD2,即x2=32+(4﹣x)2,

解得x=.

故答案为:.

15.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,∠D=67°,则∠ABC等于23度.

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【分析】根据圆周角定理得到∠A=∠D=67°、∠ACB=90°,根据直角三角形的性质

计算,得到答案.

【解答】解:由圆周角定理得,∠A=∠D=67°,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠ABC=90°﹣67°=23°,

故答案为:23.

16.已知一副直角三角板如图放置,其中BC=6,EF=8,把30°的三角板向右平移,使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上,则两个三角板重叠部分(阴影部分)的面积为12﹣.

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【分析】根据特殊角的锐角三角函数值,求出EC、EG、AE的长,得到阴影部分的面积.【解答】解:在直角△BCF中,∵∠F=45°,BC=6,

∴CF=BC=6.

又∵EF=8,

则EC=2.

在直角△ABC中,∵BC=6,∠A=30°,

∴AC=6,

则AE=6﹣2,∠A=30°,

∴EG=AE=6﹣,

阴影部分的面积为:(EG+BC)?EC=×(6﹣+6)×2=12﹣.

故答案是:12﹣.

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17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,对称轴是直线x=﹣1,有以下结论:①abc>0;

②4ac<b2;③2a﹣b=0;④a﹣b+c>0;⑤9a﹣3b+c>0.其中正确的结论有

①②③④.

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【分析】由图象可知:a<0,c>0,根据对称轴及a与b的符号关系可得b<0,则可判断①的正误;根据抛物线与x轴有两个交点,可得△>0,则可判断②的正误;由对称轴是直线x=﹣1,可判断③的正误;由当x=﹣1时,y>0,可判断④的正误;由当x =﹣3时,y<0,可判断⑤的正误.

【解答】解:由图象可知:a<0,c>0,

又∵对称轴是直线x=﹣1,

∴根据对称轴在y轴左侧,a,b同号,可得b<0,

∴abc>0,

故①正确;

∵抛物线与x轴有两个交点,

∴△=b2﹣4ac>0,

∴4ac<b2,

故②正确;

∵对称轴是直线x=﹣1,

∴﹣=﹣1,

∴b=2a,

∴2a﹣b=0,

故③正确;

∵当x=﹣1时,y>0,

∴a﹣b+c>0,

故④正确;

∵对称轴是直线x=﹣1,且由图象可得:当x=1时,y<0,

∴当x=﹣3时,y<0,

∴9a﹣3b+c<0,

故⑤错误.

综上,正确的有①②③④.

故答案为:①②③④.

三.解答题(共8小题)

18.计算:()﹣1﹣4sin60°﹣(1﹣)0+.

【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用零指数幂法则计算,最后一项化为最简二次根式,计算即可得到结果.

【解答】解:原式=2﹣4×﹣1+2=1.

19.先化简:(1+)÷,请在﹣1,0,1,2,3当中选一个合适的数a代入求值.【分析】直接将括号里面通分运算,再利用分式的混合运算法则计算得出答案.

【解答】解:原式=?

=?

=,

当a=﹣1,0,1时,分式无意义,

故当a=2时,

原式=.

20.如图,在△ABC中,∠C=90°.

(1)用尺规作图法作AB边上的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);

(2)连结BD,若BD平分∠CBA,求∠A的度数.

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【分析】(1)直接利用线段垂直平分线的作法得出即可;

(2)利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD,再利用角平分线的性质求出即可.【解答】解:(1)如图所示,DE为所求作的垂直平分线;

(2)∵DE是AB边上的垂直平分线,

∴AD=BD,∴∠ABD=∠A,

∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠ABD=∠A,

∵∠C=90°,∴∠CBD+∠ABD+∠A=90°,

∴∠A=30°.

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21.央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查.对收集的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题:

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图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”、C表示“一般”,D表示“不喜欢”.

(1)被调查的总人数是50人,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为216°;

(2)补全条形统计图;

(3)若该校共有学生1800人,请根据上述调查结果,估计该校学生中A类有180人;

(4)在抽取的A类5人中,刚好有3个女生2个男生,从中随机抽取两个同学担任两角色,用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.

【分析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得总人数,用360°乘以C部分人数所占比例可得;

(2)总人数减去其他类别人数求得B的人数,据此即可补全条形图;

(3)用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得;

(4)用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率.

【解答】解:(1)被调查的总人数为5÷10%=50人,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×=216°,

故答案为:50、216°;

(2)B类别人数为50﹣(5+30+5)=10人,

补全图形如下:

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(3)估计该校学生中A类有1800×10%=180人,

故答案为:180;

(4)列表如下:

女1女2女3男1男2

女1﹣﹣﹣女2女1女3女1男1女1男2女1

女2女1女2﹣﹣﹣女3女2男1女2男2女2

女3女1女3女2女3﹣﹣﹣男1女3男2女3

男1女1男1女2男1女3男1﹣﹣﹣男2男1

男2女1男2女2男2女3男2男1男2﹣﹣﹣

所有等可能的结果为20种,其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8,

∴被抽到的两个学生性别相同的概率为=.

22.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,线段AG分别交线段DE,BC于点F,G,且=.

(1)求证:△ADF∽△ACG;

(2)若=,求的值.

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【分析】(1)由∠AED=∠B、∠DAE=∠CAB利用相似三角形的判定即可证出△ADE ∽△ACB;根据相似三角形的性质再得出∠ADF=∠C,即可证出△ADF∽△ACG;

(2)由(1)的结论以及相似三角形的性质即可求出答案.

【解答】(1)证明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,

∴△AED∽△ABC,

∴∠ADF=∠C,

又∵,

∴△ADF∽△ACG;

(2)解:∵△ADF∽△ACG,

∴,

∵=,

∴,

∴.

23.草莓是云南多地盛产的一种水果,今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元.经试销发现,销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)符合一次函数关系,如图是y与x的函数关系图象.

(1)求y与x的函数解析式;

(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元,求W的最大值.

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【分析】(1)利用待定系数法求解可得;

(2)根据总利润=每千克的利润×销售量列出函数解析式,并配方成顶点式,再利用二次函数的性质求解可得.

【解答】解:(1)设y=kx+b,

将x=20、y=300和x=30、y=280代入,得:,

解得:,

∴y=﹣2x+340(18≤x≤40);

(2)根据题意,得:W=(x﹣18)(﹣2x+340)

=﹣2x2+376x﹣6120

=﹣2(x﹣94)2+2716,

∵a=﹣2<0,

∴当x<94时,W随x的增大而增大,

∴在18≤x≤40中,当x=40时,W取得最大值,最大值为8548.

24.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.

(1)求证:AE为⊙O的切线;

(2)当BC=4,AC=6时,求⊙O的半径;

(3)在(2)的条件下,求线段BG的长.

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