C
B
O
A
D
C
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O
A
B
D
弦切角定理测试卷 姓名 _____ 1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 _______ . 2.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 ___ .
3.如图，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知 ∠BAC=800，那么∠BDC =______.
4.如图，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为弧AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.
5.如图，PA ， PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB==________.
2题图 3题图 4题图 5 题图 6、如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D
? ，则DBE D的大小为( ) A.
20° B. 40° C. 60° D. 70°
7、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为( ) A.105° B.115° C.120° D.125°
8、如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为（ ） A.2 B.3 C.23 D.4
9、如图，AB 是⊙ O 的直径， AC ， BC 是⊙ O 的弦， PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350
，那么∠ACP
等于（ ）A. 350 B. 550 C. 650 D. 125
6题图 7题图 8题图 9题图 10、如图，在⊙ O 中， AB 是弦， AC 是⊙ O 的切线， A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=（ ）
A. 300
B. 450
C. 500
D. 600
11、如图，E 是⊙O 内接四边形 ABCD 两条对角线的交点，CD 延长线与过 A 点的⊙ O 的切线交于F 点，若
∠ABD=440，∠AED=1000
，弧AD=弧AB ， 则∠AFC 的度数为（ ）
A.780
B.920
C.560
D. 1450
C
B
A
D
C
B
A
D
P
O
C
B
D E O
A
F
B P
C
O A
C
B D
A P
O
A E
B C
O D
O
A C
T B
12、过圆内接△ABC 的顶点 A 引切线交 BC 延长线于D ，若∠B=350，∠ACB=800
，则 ∠D 为（ ）
A.450
B.500
C.550 D ．600
13、如图，过圆内接四边形ABCD 的顶点C 引切线 MN ，AB 为圆直径，若∠BCM=380
，则∠ABC=（ ）
A.380
B. 520
C. 680
D. 420
14、如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）
A. 70°
B. 35°
C. 20°
D. 10°
10题图 11题图 13题图 14题图
15、如图,AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过BC 的中点D,DE ⊥AC.求证:DE 是⊙O 是切线.
16、经过⊙O 上的点T 的切线和弦AB 的延长线相交于点C ，求证：∠ATC=∠TBC
A O
B
D
C E C
B
D E
O
A
A
B
C D
E
F A
O
C
B
D
N
M
O
A B C
切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直 线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相 等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆 外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆 外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5） 圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定 理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦 定理 ⊙O中，AB、CD为 弦，交于P. PA·PB＝ PC·PD. 连结AC、BD，证： △APC∽△DPB.
相交弦定理的推论⊙O中，AB为直 径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB.用相交弦定理. 切割线定理⊙O中，PT切⊙O于 T，割线PB交⊙O于 A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两 条割线，交⊙O于 A、C PA·PB＝ PC·PD 过P作PT切⊙O于 T，用两次切割线定 理 圆幂定理⊙O中，割线PB交 ⊙O于A，CD为弦 P'C·P'D＝r2－ OP'2 PA·PB＝OP2－ r2 r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于 M，延长OP'交⊙O 于N，用相交弦定理 证；过P作切线用 切割线定理勾股定 理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
C B O A D C E O A B D 弦切角定理测试卷 姓名 _____ 1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 _______ . 2.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 ___ . 3.如图，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知 ∠BAC=800，那么∠BDC =______. 4.如图，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为弧AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 5.如图，PA ， PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB==________. 2题图 3题图 4题图 5 题图 6、如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ? ，则DBE D的大小为( ) A. 20° B. 40° C. 60° D. 70° 7、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为( ) A.105° B.115° C.120° D.125° 8、如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为（ ） A.2 B.3 C.23 D.4 9、如图，AB 是⊙ O 的直径， AC ， BC 是⊙ O 的弦， PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350 ，那么∠ACP 等于（ ）A. 350 B. 550 C. 650 D. 125 6题图 7题图 8题图 9题图 10、如图，在⊙ O 中， AB 是弦， AC 是⊙ O 的切线， A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=（ ） A. 300 B. 450 C. 500 D. 600 11、如图，E 是⊙O 内接四边形 ABCD 两条对角线的交点，CD 延长线与过 A 点的⊙ O 的切线交于F 点，若 ∠ABD=440，∠AED=1000 ，弧AD=弧AB ， 则∠AFC 的度数为（ ） A.780 B.920 C.560 D. 1450 C B A D C B A D P O C B D E O A F B P C O A C B D A P O A E B C O D
弦切角定理及其推论 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 证明：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 弦切角定理推论：两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。 应用举例：
第一个算出地球周长的人 ──埃拉托色尼 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼。 埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。 细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。 埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。
弦切角 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：弦切角定理是本节的重点也是本章的重点内容之一，它在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有重要的作用；它与圆心角和圆周角以及直线形角的性质构成了完美的角的体系，属于工具知识之一． 难点：弦切角定理的证明．因为在证明过程中包含了由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想，虽然在圆周角定理的证明中应用过，但对学生来说是生疏的，因此它是教学中的难点． 2、教学建议 （1）教师在教学过程中，主要是设置学习情境，组织或引导学生发现问题、分析问题、研究问题和归纳结论，应用知识培养学生的数学能力；在学生主体参与的学习过程中，让学生学会学习，并获得新知识； （2）学习时应注意：（Ⅰ）弦切角的识别由三要素构成：①顶点为切点，②一边为切线，③一边为过切点的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理时，首先要根据图形准确找到弦切角和它们所夹弧上的圆周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的证明，体现了从特殊到一般的证明思路． 教学目标： 1、理解弦切角的概念； 2、掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题； 3、进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法． 教学重点：弦切角定理及其应用是重点． 教学难点：弦切角定理的证明是难点． 教学活动设计： （一）创设情境，以旧探新
1、复习：什么样的角是圆周角? 2、弦切角的概念： 电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A 旋转至与圆相切时，得∠BAE． 引导学生共同观察、分析∠BAE的特点： (1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切． 弦切角的定义： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性： 判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由： 以下各图中的角都不是弦切角． 图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件； 图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件； 图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件； 图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件． 通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可。 （二）观察、猜想
一、填空 1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____． 2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，则∠CAB=____ ． 3．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____． 4．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____． 二、选择 5．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于（） A．62.5°B．55° C．50°D．40° 6．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径， 则图中与∠PAB相等的角的个数为（） A．1 个B．2个C．4个D．5个 7．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径， MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是 A．38°B．52°C．68°D．42° 三、解答 8．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°， AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数． 9．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于 P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求 ∠A的度数．
10．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长． 2 11．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC． 12．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证： （1）△ABE为等腰三角形； （2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．
2019年中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆） 一．选择题 1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（） A．50°B．55°C．60°D．65° 2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（） A．97°B．104°C．116°D．142° 3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（） A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125° 4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°， ∠B＝60°，则的度数为何（） A．50°B．60°C．100°D．120° 5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（） A．30°B．40°C．50°D．60° 6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）
A．30°B．60°C．90°D．120° 7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（） A．40°B．50°C．60°D．70° 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（） A．110°B．115°C．120°D．125° 9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B 连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA 长） 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . （特殊情况） 用相交弦定理.
切割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 （记忆的方法方法） 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延 长OP'交⊙O 于N ，用相交 弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。 图1 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt△ADE 中，由勾股定理 ∴， ，
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理 【知识要点】 切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论： PA=PB PO⊥AB,且PO平分AB APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠ 弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 【典型例题】 【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______. 图1 图2 图3 举一反三： 1.如图2，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的切线，C为AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 2.如图3，PA，PB切⊙ O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙ O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 举一反三： 1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交 AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC. C B O A D C B A D P O
P B A O 【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为 A ． 1 个； B ．2个； C ．4个； D ．5个． 【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 举一反三： 1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 2．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm ．求BC 、AC 的长． 3．已知：如图，△ABC 三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．
弦切角 .弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 .弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段 圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O， 过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm， BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。 3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线， 则________。 4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O 于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则 圆心O到AB的距离是___________cm。 5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于 点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：； （2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。 6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD 的延长线于E。 求证： 7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB 8.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的 一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在 圆的切线，交边DC于点F，G为切点。 当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点； 9.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的 切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
圆周角定理及圆的内接四边形 副标题 一、选择题（本大题共5小题，共15.0分） 1.如图，A，B，C是上三个点，，则下列说 法中正确的是 A. B. 四边形OABC内接于 C. D. 【答案】D 【解析】解：过O作于D交于E， 则， ，， ， ， ， ， ，故C错误； ， ， ， ，故A错误； 点A，B，C在上，而点O在圆心， 四边形OABC不内接于，故B错误； ， ， ，故D正确； 故选D． 过O作于D交于E，由垂径定理得到，于是得到，推出，根据三角形的三边关系得到，故C错误；根据三角形内 角和得到， ，推出，故A错误；由点A，B， C 在上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于，故B错误；根据余角的性质得到，故D正确； 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线
是解题的关键． 2.如图，四边形ABCD内接于，AC平分，则下列 结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A、与的大小关系不确定，与AD不一定相等，故本选项错误； B、平分，，，故本选项正确； C、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误； D、与的大小关系不确定，故本选项错误． 故选：B． 根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 3.如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是平行四 边形，则的大小为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：设的度数，的度数； 四边形ABCO是平行四边形， ； ，；而， ， 解得：，，， 故选：C． 设的度数，的度数，由题意可得，求出即可解决问 题． 该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用． 4.如图，已知AC是的直径，点B在圆周上不与A、 C重合，点D在AC的延长线上，连接BD交于 点E，若，则
、填空 1 已知：如图 7 — 143,直线BC 切O O 于B 点，AB=AC , AD=BD ，那么/ A= ___________ 2. 已知：如图7 — 144,直线DC 与O O 相切于点 C, AB 为直径，AD 丄DC 于D ，/ DAC=28 则/ CAB= _______ . 3. 已知：如图 7 — 145, PA 切O O 于点 A ，/ P=15°，/ ABC=47 °，则/ C= __________ . 4. 已知：如图 7 — 146,三角形 ABC 的/C=90 °，内切圆 0与厶ABC 的三边分别切于 D , E , F 三点，/ DFE=56 °，那么/ B= _______ . 延长线于P ,则/ APB 等于（ ） A . 1个 B . 2个 C . 4个 D . 5个 7.已知如图7— 150,四边形ABCD 为圆内接四边形，AB 是直 径，MN 切O O 于C 点，/ BCM=38 °，那么/ ABC 的度数是 A . 38° B . 52° C . 68° D . 42° 三、解答 &已知：如图7 — 152 , PT 与O O 切于C, AB 为直径，/ BAC=60 AD 为O O 一弦.求/ ADC 与/ PCA 的度数. 9. 已知：如图7— 154,O O 的半径 OA 丄OB ，过A 点的直线交 OB 于P,交O O 于Q,过Q 引O O 的切线交OB 延长线于C,且PQ=QC .求 A . 62.5 B . 55° C . 50° 40° PB 切O O 于A , B 两点, 直径，则图中与/ PAB 相等的角的个数为（ ） 6.已知: 如图 7 — 149, PA , 5. 已知：△ ABC 内接于O O ,Z ABC=25 ，/ ACB= 75。，过A 点作O O 的切线交 BC 的 團 7-150
【知识要点】 一、切线长定理： 1．切线长概念： 在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R ，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 4．两个结论： 圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 二、弦切角定理： 1．弦切角概念： 理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3．弦切角定理的推论： 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等． 【典型例题】 例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若 PO=13㎝，PED ?的周长为24㎝，40APB ∠=?， 求：①⊙O 的半径；②EOD ∠的度数．
例2 如图，⊙O 分别切ABC ?的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=?，求内切圆半径r ． 例3 如图，⊙O 是ABC ?的外接圆， ACB ∠的平分线CE 交AB 于D ，交⊙O 于E ，⊙O 的切线EF 交CB 的延长线于F ．求证：2AE AD EF =? 例4 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC CD ⊥于C ，BD CD ⊥于D ，PQ AB ⊥于Q ． 求证：2PQ AC BD =? B C
弦切角定理及其应用 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 弦切角定义 图1 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。 弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 （2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧) 过A作直径AD交⊙O于D, E 若在优弧m所对的劣弧上有一点 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90° ∴∠CDA=∠CAB
∴（弦切角定理） 3弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与 点C，求证：∠CAB=∠CBA。 解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。 例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A 的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求 证：EF//BC. 证明：连接DF AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC 例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB 于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，
弦切角定理 弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角 ∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 B点应在A点左侧 （2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）
切线长定理 切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O 的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点 P到⊙O的切线长． 切线长定理：从圆外一点引圆的两 条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．切线长定理推论：圆的外切四边形的两组对边的和相等 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 相交弦定理说明： 若弦AB、CD交于点P 则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC2=PA·PB（相交弦定理推论） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
【精品】2020年中考数学总复习专题讲义★☆ 弦切角 .弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 .弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段 圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O， 过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm， BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。 3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线， 则________。 4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O 于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则 圆心O到AB的距离是___________cm。 5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于 点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：； （2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。 6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD 的延长线于E。 求证： 7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB 8.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的 一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在 圆的切线，交边DC于点F，G为切点。 当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点； 9.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的 切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
弦切角定理证明 弦切角定理的统一证明 结论：如图1，AB是⊙O的切线，切点为P，弦CD//AB，则 图1 证明：作直径PQ，因为AB是⊙O的切线，切点为P 所以 因为CD//AB 故，从而 已知如图2，图3，图4所示，AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，是弦切角 所夹的弧， 所对的圆周角。 求证： 图2图3图4 证明：作弦PD//AB交⊙O于D，连结AD，则 因为 所以 由于AB是⊙O的切线 所以 从而 于是 是篇二:《弦切角定理及推论》
弦切角定义 顶点在圆上，一边和圆相交，另 图示 一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。 弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠ TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 B点应在A点左侧 （2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m 所对的 劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+
让盲生在动态图形中学习几何 ——《弦切角》教学设计与反思 一、教材分析 (一)本课在教材中的地位 本节是人民教育出版社九年义务教育三年制初级中学《几何》(第三册)第七章第7.11节第一课时，主要内容是弦切角的概念、弦切角定理及其推论。圆是最常见的几何图形之一，在日常生活中随处可见。而圆心角、圆周角、弦切角又是圆中最常见的角。弦切角是在学生学过了圆心角、圆周角以及切线等有关知识后，作为选学内容出现。 弦切角与这些知识之间有着密切的联系。通过弦切角的学习将会对这些知识起到巩固与深化的作用。同时，弦切角定理为探究与圆有关的角及之间的关系，这对解决一些实际问题和进一步学习很重要，因此对于选学这部分内容的学生应将其作为掌握的重点来学习。 弦切角与圆周角同样，整个过程中蕴含着丰富的数学思想和方法。通过弦切角的学习有利于帮助学生树立已知与未知，特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生进一步学会分类讨论和把一般问题化为特殊问题的思考方法，从而提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。 (二)教学重难点分析 依据弦切角在教材中的地位与作用，同时，现代的教学理念特别强调过程，强调学生的探索经历和得出新发现的体验。因此，确定本节课的教学重点为：(1)掌握弦切角概念；掌握弦切角定理、推论并能对它进行初步应用。(2)引导学生充分经历体验弦切角的概念形成，弦切角定理发现与证明及其它的初步运用的全过程。 由于弦切角定理的证明过程中蕴含众多的数学思想，初三学生虽然具备了一定的推理能力和逻辑上的思维能力，但要求学生自主发现证明此定理还是比较困难的。因此，确定本节课的难点是：弦切角定理的证明。(难点突破：学生不太容易想到把弦切角的(2)(3)种情况“转化”为(1)．教学中可提醒学生注意圆周角定理的证明方法。) (三)教材处理 鉴于以上对教材的分析，我对教材作如下处理： (1)弦切角概念。首先通过复习圆心角与圆周角的特征及它们之间的联系，激发想象。经过动手摸图或用眼看图，比较分类，确定这一节课所要研究的角，然后在识图训练中并结合反例逐步形成对弦切角特征的认识。 (2)弦切角定理的发现与证明。先通过引导学生从最简单的特殊情形──弦切角的弦是直径入手，进行探索猜想，然后再推广到一般的情形，得出弦切角定理。并在证明过程中渗透分类转化等各种思想和方法以及有效的解决问题的策略。这里教师适时作恰当的引导，帮助学生突出难点。 (3)在应用上充分挖掘课本中练习1、练习2与例 1图形之间的联系，采用逐步加“线”的方法得到的不同图形，达到一图多用，一图多变的效果，引导学生尝试一题多解，初步学会，运用弦切角定理，解决一些简单的问题。 整个过程中，鼓励学生自主探索与合作交流，使整个学习过程充满观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决习题的能力。这样使数学的学习方式不再是单一的，枯燥的，以被动听讲和练习为主的方式：它是一个生动活泼，主动的和富有个性的充满生命力的过程。 二、教学目标分析 鉴于上述对教材的分析，以及数学课程标准和学生已有的认知水平与认知规律，同时，根据现代教育教学理论：目标不再只是让学生获得必要的数学知识，技能，它还应当包括在启迪思维、解决问题，情感与态度等方面的发展，故本节课从以下四个方面制定教学目标： 1.知识与技能：经历探究弦切角概念，确切角定理及其推论以及简单应用的过程，掌握弦切角概念，弦切角定理、推论以及并能进行初步应用。
5. 中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆） ?选择题 BD 于 F 点.若/ ADE= 19°,则/ AFB 的度数为何？（ 点A 、B 重合），则/ ACB 等于（ ） 如图为△ ABC 和一圆的重迭情形， 此圆与直线BC 相切于C 点，且与AC 交于另一点D.若1. 如图，AB 是O O 的直径, DB DE 分别切O O 于点B 、C,若/ AC 巨25°，则/ D 的度数是 2. B. 55° C. 60° D. 65° 如图，BD 为圆0的直径, 直线 ED 为圆0的切线，A 、 C 两点在圆上，AC 平分/ BA D 且交 3. B. 104° C. 116 ° 点P 是O 0外一点，PA PB 分别切O 0于点A B,Z P = 70°, 占 八 D. 142 ° C 是 O O 上的点（不与 A. 70° B. 55° C. 70° 或 110° D. 55° 或 125° 4. / A = 70°,/ B= 60°, 则 的度数为何（ B. 60° C. 100 ° D. 120 ° 如图，AB 是O O 的直径, DE 为O O 的切线，切点为 B,点C 在O O 上，若/ CBE= 40°, 则/A 的度数为（ B. 40° C. 50° D. 60° A. 97° A. 30°
7.如图，△ ABC 内接于O Q BD 切O O 于点 B, AB= AC 若/ CBD= 40°,则/ ABC 等于（ ） &如图，四边形ABCD 内接于O Q AB= BCAT 是O Q 的切线，/ BAT= 55 °，则/ D 等于（?：） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120 ° B. 50° C. 60° D. 70° A. 110° B. 115° C. 120 ° D. 125 ° 9.如图，AB 为O Q 的直径, C D 为O Q 上的点，直线 MN 切O Q 于V 点，图中与/ BCt 互余 A. 40