函数，对于任意的[],x a b ∈，1
()
n n f x ∞
=∑
收敛于().S x 求证()S x 在[],a b 上a.e. 可导
且''
1
()
()..n n S x f x a e ∞
==
∑
于[],a b .
证明 显然()S x 是[],a b 上单调增的有限是函数。由本节的勒贝格定理，
()
S x 和每个()n f x 都在[],a b 上
a.e.可导且导数a.e. 非负.再由逐项积分定理（第
五章
§3定理5）得，
[
]
[
]
'
,,1
1
(()()
n n a b a b n n f x d x f x ∞
∞
===
∑∑??‘
1
(()())()()+n
n n d x f
b f a S b S a ∞
=≤
-=-<∞∑.所以1
n ∞
=∑
'
()
n f x 在E 上a.e.收敛.
令()n S x =1
()
n
k k f x =∑
，则对于任意的自然数 n ，()n S x 作为x 的函数在[],a b 上单
调增，对于任意的x ∈[],a b ，当n →∞时()()
n S x S x →
且对于a.e.的x ∈[],a b ，
'
()n S x 关于单调增且n →∞
时'
()n S x →1
n ∞
=∑
'
()n f x .
令1
()(()())
n k k k n g x f x f a ∞
=+=-∑
，则对于任意的自然数n,()n g x 作为x 的函数在[]
,a b 上非负单调增，且对于任意的x ∈[],a b ，当n →∞时，()n g x →0.这样存在严格单调增的自然数列{}1j j n ∞
=，使得x ∈[],a b 时10
()().2
j
j
n n j
g x g b ≤≤≤
于是1
()
j n j g x ∞
=∑在[],a b 上一致收敛，因而处处收敛由上面所证，'1
()j
n j g
x ∞
=∑
在[],a b 上a.e.收敛.所
以J →∞时'()j
n
g x →
0a.e.于[],a b .而
()
S x =1()()j
j
j
n
n k
k n S x g x f a ∞
=+++
∑
（）. 故'
()
S
x ='()
j
n S
x +'()
j
n g
x a.e.于[],a b .所以'
()
S
x =lim
j →∞
'
()j
n S x =
'
1
()
n n f x ∞
=∑
a.e.于
[],a b .
函数，对于任意的[],x a b ∈，1 () n n f x ∞ =∑ 收敛于().S x 求证()S x 在[],a b 上a.e. 可导 且'' 1 () ()..n n S x f x a e ∞ == ∑ 于[],a b . 证明 显然()S x 是[],a b 上单调增的有限是函数。由本节的勒贝格定理， () S x 和每个()n f x 都在[],a b 上 a.e.可导且导数a.e. 非负.再由逐项积分定理（第 五章 §3定理5）得， [ ] [ ] ' ,,1 1 (()() n n a b a b n n f x d x f x ∞ ∞ === ∑∑??‘ 1 (()())()()+n n n d x f b f a S b S a ∞ =≤ -=-<∞∑.所以1 n ∞ =∑ ' () n f x 在E 上a.e.收敛. 令()n S x =1 () n k k f x =∑ ，则对于任意的自然数 n ，()n S x 作为x 的函数在[],a b 上单 调增，对于任意的x ∈[],a b ，当n →∞时()() n S x S x → 且对于a.e.的x ∈[],a b ， ' ()n S x 关于单调增且n →∞ 时' ()n S x →1 n ∞ =∑ ' ()n f x . 令1 ()(()()) n k k k n g x f x f a ∞ =+=-∑ ，则对于任意的自然数n,()n g x 作为x 的函数在[] ,a b 上非负单调增，且对于任意的x ∈[],a b ，当n →∞时，()n g x →0.这样存在严格单调增的自然数列{}1j j n ∞ =，使得x ∈[],a b 时10 ()().2 j j n n j g x g b ≤≤≤ 于是1 () j n j g x ∞ =∑在[],a b 上一致收敛，因而处处收敛由上面所证，'1 ()j n j g x ∞ =∑ 在[],a b 上a.e.收敛.所 以J →∞时'()j n g x → 0a.e.于[],a b .而 () S x =1()()j j j n n k k n S x g x f a ∞ =+++ ∑ （）. 故' () S x ='() j n S x +'() j n g x a.e.于[],a b .所以' () S x =lim j →∞ ' ()j n S x = ' 1 () n n f x ∞ =∑ a.e.于 [],a b .
线性代数 符号意义 A，B，C，... 矩阵 m×n阶矩阵A A的第i 行第j列元素为a ij (i=1,2,…,m；j=1,2,…,n) 矩阵A的转置矩阵 r(A)矩阵A的秩 矩阵A的逆矩阵 AX= B 矩阵方程, 线性方程组 矩阵A的行列式 A*A的伴随矩阵 线性方程组系数矩阵A的增广矩阵 集合与逻辑 符号意义符号意义 R 全体实数的集合,同 (∞- ,+∞) {x∣p(x)} 具有性质p(x)的对象x组成的集 合 Z 全体整数的集合( a , b ) { x∣a 数列、函数与极限 符号意义符号意义u1,u2,…,u n,… 或{u n} 以u n为通项的数列 n趋于无穷大时数列{y n} 的极 限 以u n为通项的无穷级数和 x 趋于无穷大时函数 f(x)的极限 有限项u1+u2+…+u n的和 x趋于正无穷大时函数f(x)的 极限 x在对应规律f下对应到 y x趋于负无穷大时函数f(x)的 极限 函数f ：X为定义域，f 为对应规律，x为自变量， y为因变量 x趋于a时函数f(x)的极限 D f函数f的定义域 x>a且x趋于a时函数 f(x)的右极限 R f函数f的值域 x 二年级数学综合实践课 <<奇妙的数学符号>>教学设计 一、活动内容：奇妙的数学符号 二、活动目标： 1、通过学生搜集资料，以故事形式介绍数学符号的来历，激发学生主动探索和研究的精神。 2 、通过巧填数学符号的学习，用扑克牌算24的游戏，培养学生灵活的计算能力和初步的逻辑推理能力。 3、使学生感受数学知识的有趣和有用，激发学生学习数学的兴趣。 三、理论依据： 1、马克思主义科学实践观马克思主义认为，认识是在实践基础上产生进行新的探索和研究：同时，实践也不断提供的，一切真知都来源于实践。变化的实践不断给人们提出新的认识课题，推动人们去解决新课题的经验材料以及日益完备的认识:工具另外，实践还改造了人的主观世界锻炼和提高人的认识能力。美国教育家彼得克来恩也认为：“学习的三大要素是接触、综合分析、实际参与。”讲的也是这个道理。 2、“人本心理学”理论该理论由美国心理学家罗杰斯提出，它重视人的自我实现、社会活动、人际关系以及亲身经历，是目前西方流行的一个心理学派。 四、活动准备：1、自制多媒体课件2、扑克牌若干副，数学符号的头饰五个五。 活动过程： （一）、引入师：今天老师想和小朋友一起去数学王国里去玩一玩，高兴吗？（画面显示：数学王国，并配以优美音乐）师：数学王国的大门上有一组有趣的算式。仔细观察，你发现这些算式有趣在哪里？（出示）：3 +3 －3－ 3 = 3 +3－3 ÷3= 3 －3 +3÷ 3 = 3+ 3+ 3 －3 = 3÷3－3÷3 = 3 +3 +3 ÷3 = 3× 3 －3 －3 = 3 ×3 －3 ×3 = （3 ×3 +3）÷3 = 3 ×3 +3 －3 = 师：是呀，这10个算式中的各个运算符号都不一样。那么，计算结果会出现什么情况呢？一起来算一算。（指名口算，屏幕上随机显示计算结果）集体校对。师：你发现计算结果一样吗？为什么算式中的数字都是3，计算结果却不一样呢？指名回答。师：看来，数学符号真是神通广大、奇妙无比。数学课上，我们常常要和这些符号们打交道，数学符号成了我们天天见面的好朋友。你们看，展现在面前的这座又大又神奇的宫殿里就住着奇妙的数学符号们。（出示课题：奇妙的数学符号）齐读。 （二）、介绍数学符号来历1、过渡：我们都认识哪些数学符号呢？（画面随机显示各种符号）师：早在几千年以前，我国古代人们就会计算加减法和乘除法了，但是却没有想到用符号来表示这些运算，而是用汉字的相加、相减、相乘、相除来表示。想一想，那该有多麻烦！所以，一些聪明的人就发明了运算符号。这些运算符号都是谁发明的，你想了解它们吗？2、指名表演师：你们看，他们来了！（五位小朋友戴着头饰走上讲台）他们很愿意自我介绍，掌声欢迎他们，好吗？表演对话：加号:我是加号减号:我是减号合: 问：谁还有补充？师：小朋友了解的可真多。不过他们介绍的只是几个数学符号的来历，数学王国里还有很多的符号，课后，小朋友可以找找书，也可以上网查查。 （三）、探索应用1、学生独立或合作思考，探求答案师：这里有一些不完整的算式，请你填上合适的数学符号，使等式成立。出示：3 3=0 3 3=6 3 3=1 3 3=9 指名口答。再出示：3 3 3=0 3 3 3=2 学生独立思考解答。再出示：3 3 3 3=3 3 3 3 3=9 同座讨论，寻找答案。问：还有不一样的方法吗？再出示：3 3 3 3 3 3=1 3 3 3 3 3=2 小组讨论，寻找答案。问：还有不 让学生经历符号化的过程 ——结合教学实际谈学生符号感的培养 邯郸市涉县教研室李书朝 符号是语言的一种形式，数学符号是数学语言的一部分，在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。符号的使用，极大地简化和加速了思维的进程。我们学生要会正确使用数学符号，培养学生的符号感。但在教学时我发现很多学生都不会正确使用数学符号，或者说没有运用数学符号的意识。如何培养学生的符号感呢？方法很多，其中让学生让学生经历符号化的过程我认为非常重要。下面以“加法交换律”一课的教学谈谈如何培养学生的符号感。 教学实录： 一、情境导入 1．谈话引入 师：知道金老师这学期上班用什么交通工具了吗 生：自行车。 师：你真是太细心了，是啊，塞翁失马，焉知非福呢？金老师的电动车被偷啦，现在我改用自行车了，这骑车啊，好处还真多呢，谁能说说。 生：能锻炼身体，还是环保的交通工具…… 师：是啊，这么多好处，这不，有位李叔叔正骑车去旅行呢？（多媒体演示，李叔叔骑车旅行的场景） 2．获得信息 问：你可以从中得到哪些信息？（指名说。） 3．解决问题 问：你能列式计算解决这个问题吗？（直接口答） 生1：40+56=96（千米）板书 生2：56+40=96（千米）板书 问：两个算式都表示什么？得数怎样？○里填什么符号？ 40+56○56+40 二、探究新知 1．举例说明。 问：你还能说出像这样的例子吗？ 生答后师追问：“你是怎样想到这个例子的？” 2．总结规律 师：同学们说出了这么多的例子，看来这些例子都有共同的地方，你能从中发现什么吗？ 同桌交流。 生答后教师总结板书。 交换加数的位置和不变，这叫做加法交换律。 出示课题：加法交换律 3．个性化的符号表示 问：你还能说出一些加法交换律的例子吗？ 生答后。 问：这样的例子有多少个？说得完吗？ 问：那怎样表示出这所有的例子呢？ 小组交流。生1：一个加数+另一个加数=另一个加数+一个加数 生2：甲数+乙数=乙数+甲数 生3：△+□=□+△ 生4：☆+○=○+☆ 生5：A+B=B+A …… 师：你们真不简单，会用这么多的方法表示加法交换律。 用这种方法表示与刚才我们用数表示，你感觉怎样？ 生：用这种方法表示能包含所有的算式。 4．统一字母 师：这么多符号算式可以来表示加法交换律，那你喜欢那一种？ 生答。 师：大家都有自己喜欢的方式，这样一来，会（不统一），看来我们有必要选一个作为代表。 Mathematica函数大全--运算符及特殊符号一、运算符及特殊符号 Line1;执行Line，不显示结果 Line1,line2顺次执行Line1，2，并显示结果 ?name关于系统变量name的信息 ??name关于系统变量name的全部信息 !command执行Dos命令 n! N的阶乘 !!filename显示文件内容 a-b减 a*b或a b 乘 a/b除 a^b 乘方 base^^num以base为进位的数 lhs&&rhs且 lhs||rhs或 !lha非 ++,-- 自加1，自减1 +=,-=,*=,/= 同C语言 >,<,>=,<=,==,!=逻辑判断（同c） lhs=rhs立即赋值 lhs:=rhs建立动态赋值 lhs:>rhs建立替换规则 expr//funname相当于filename[expr] expr/.rule将规则rule应用于expr expr//.rule 将规则rule不断应用于expr知道不变为止param_ 名为param的一个任意表达式（形式变量）param__名为param的任意多个任意表达式（形式变量） 二、系统常数 Pi 3.1415....的无限精度数值 E 2.17828...的无限精度数值 Catalan 0.915966..卡塔兰常数 EulerGamma 0.5772....高斯常数 GoldenRatio 1.61803...黄金分割数 Degree Pi/180角度弧度换算 I复数单位 Infinity无穷大 15符号函数绘图法绘制函数x=sin(3t)cos(t)，y=sin(3t)sin(t)的图形， t 的变化范围为[0,2π] >> syms t >> ezplot(sin(3*t)*cos(t),sin(3*t)*sin(t),[0,2*pi]) 16有一组测量数据满足-at e =y ，t 的变化范围为0~10，用不同 的线型和标记点画出a=0.1、a=0.2和a=0.5三种情况下的曲线，并加入标题和图列框（用代码形式生成） >> t=0:0.5:10; >> y1=exp(-0.1*t); >> y2=exp(-0.2*t); >> y3=exp(-0.5*t); >> plot(t,y1,'-ob',t,y2,':*r',t,y3,'-.^g') >> title('\ity\rm=e^{-\itat}','FontSize',12) >> legend('a=0.1','a=0.2','a=0.5') 17 x= [66 49 71 56 38]，绘制饼图并将第五个切块分离 >> x=[66 49 71 56 38]; >> L=[0 0 0 0 1]; >> pie(x,L) 18 2 2 y x xe z --=，当x 和y 的取值范围均为-2到2时，用建立子窗口 的方法在同一个图形窗口中绘制出三维线图、网线图、表面图和带渲染效果的表面图 >> [x,y]=meshgrid([-2:.2:2]); >> z=x.*exp(-x.^2-y.^2); >> mesh(x,y,z) >> subplot(2,2,1), plot3(x,y,z) >> title('plot3 (x,y,z)') >> subplot(2,2,2), mesh(x,y,z) >> title('mesh (x,y,z)') >> subplot(2,2,3), surf(x,y,z) >> title('surf (x,y,z)') >> subplot(2,2,4), surf(x,y,z), shading interp >> title('surf (x,y,z), shading interp') 19 在区间]1,1[-画出函数x y 1sin =的图形 程序如下： >> fplot('sin(1/x)',[-pi/12,pi/12]) >> grid >> title('graph of sin(1/x)') 结果如下： 数学符号读法大全 大写小写英文注音国际音标注音中文注音Ααalpha alfa 阿耳法 Ββbeta beta 贝塔 Γγgamma gamma 伽马 Δδdeta delta 德耳塔 Εεepsilon epsilon 艾普西隆 Ζζzeta zeta 截塔 Ηηeta eta 艾塔 Θθtheta θita 西塔 Ιιiota iota 约塔 Κκkappa kappa 卡帕 ∧λlambda lambda 兰姆达 Μμmu miu 缪 Ννnu niu 纽 Ξξxi ksi 可塞 Οο omicron omikron 奥密可戎 ∏πpi pai 派 Ρρrho rou 柔 ∑σsigma sigma 西格马 Ττtau tau 套 Υυupsilon jupsilon 衣普西隆 Φφphi fai 斐 Χχchi khai 喜 Ψψpsi psai 普西 Ωωomega omiga 欧米伽 符号表 符号含义 i -1的平方根 f(x) 函数f在自变量x处的值 sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值，常被写作ex a^x a的x次方；有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 ax 同 a^x logba 以b为底a的对数； blogba = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于 sin x/cos x cot x 余切函数的值或 cos x/sin x sec x 正割含数的值，其值等于 1/cos x csc x 余割函数的值，其值等于 1/sin x asin x y，正弦函数反函数在x处的值，即 x = sin y acos x y，余弦函数反函数在x处的值，即 x = cos y atan x y，正切函数反函数在x处的值，即 x = tan y acot x y，余切函数反函数在x处的值，即 x = cot y asec x y，正割函数反函数在x处的值，即 x = sec y acsc x y，余割函数反函数在x处的值，即 x = csc y 角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间θ 中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 Excel函数用途、参数、用法速查表（按Ctrl+F搜索） Excel常用函数功能及用法介绍 .xls 文件下载 函数名功能用途示例ABS求出参数的绝对值。数据计算 条件判断AND“与”运算，返回逻辑值，仅当有参数的结果均为逻辑“真（TRUE）”时返回 逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。 AVERAGE求出所有参数的算术平均值。数据计算 COLUMN显示所引用单元格的列标号值。显示位置CONCATENATE将多个字符文本或单元格中的数据连接在一起，显示在一个单元格中。字符合并COUNTIF统计某个单元格区域中符合指定条件的单元格数目。条件统计 DATE给出指定数值的日期。显示日期DATEDIF计算返回两个日期参数的差值。计算天数DA Y计算参数中指定日期或引用单元格中的日期天数。计算天数DCOUNT返回数据库或列表的列中满足指定条件并且包含数字的单元格数目。条件统计 FREQUENCY以一列垂直数组返回某个区域中数据的频率分布。概率计算 条件计算 IF根据对指定条件的逻辑判断的真假结果，返回相对应条件触发的计算结 果。 数据定位INDEX返回列表或数组中的元素值，此元素由行序号和列序号的索引值进行确 定。 INT将数值向下取整为最接近的整数。数据计算 逻辑判断ISERROR用于测试函数式返回的数值是否有错。如果有错，该函数返回TRUE，反 之返回FALSE。 LEFT从一个文本字符串的第一个字符开始，截取指定数目的字符。截取数据LEN统计文本字符串中字符数目。字符统计 MA TCH返回在指定方式下与指定数值匹配的数组中元素的相应位置。匹配位置MAX求出一组数中的最大值。数据计算MID从一个文本字符串的指定位置开始，截取指定数目的字符。字符截取MIN求出一组数中的最小值。数据计算MOD求出两数相除的余数。数据计算MONTH求出指定日期或引用单元格中的日期的月份。日期计算 NOW给出当前系统日期和时间。显示日期时 间 逻辑判断 OR仅当所有参数值均为逻辑“假（FALSE）”时返回结果逻辑“假（FALSE）”， 否则都返回逻辑“真（TRUE）”。 RANK返回某一数值在一列数值中的相对于其他数值的排位。数据排序RIGHT从一个文本字符串的最后一个字符开始，截取指定数目的字符。字符截取 奥数精华资讯免费订阅 猜谜与数学有着密切的关系，因此也离不开数学的思维活动。 一、顺推法 如谜面“１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０。”打一数学名词。数数与读数的顺序是从小到大的，运用顺推思维方法，谜底为“正数”。同理，谜面“１０、９、８、７、６、５、４、３、２、１”的谜底为“倒数”。 二、逆推法 谜面“００００”打一成语。“００００”缺“１”，否则是“１００００”，谜底为“万无一失”。 三、加法 谜面“千里草，何青青；十日卜，不得生。”——打一《三国》人名。运用加法的思维方法，“千＋里＋草头＝董；十＋日＋卜＝卓；人名：董卓。” 四、减法 谜面“白”——打一自然数。运用减法思考：“百－一＝白”，谜底为“１００－１＝９９”。 五、除法 谜面“七十二小时。”——打一字。运用除法思考：一日２４小时，７２÷２４＝３（日），谜底为“晶”字。 有趣的数字谜语：1=5，2=10，3=15，4=20，5=？(2)谜语答案：5=1（因为前面说1=5了）有趣的数字谜语：3+4=？(2谜语答案：不3不4。因为3+4的答案不可能是3也不可能是4。) 有趣的数字谜语：把8分成两半，是多少？(2)谜语答案：2个0趣的数字谜语：左边有100000元右边有100元你要哪个？(谜语答案：都要有趣的数字谜语：4-3在什么情况下等于5？(2)谜语答案：四角形减一角（三角形）等于五角形有趣的数字谜语：四月初三是什么日子？(2)谜语答案：四月初 三出生的人的生日有趣的数字谜语：明天是几号啊？(2)谜语答案：今天加一号什么情况下，0大于2，2大于5，5大于0？(2)谜语答案：石头剪子布的时候经典的数字脑筋急转弯(2)谜语题目：有一个数字，去掉二变成十五，去掉五变成二十，去掉十变成二五。请问是啥数字？谜语答案：二十五什么样的情况下，一加一绝对不等于二？(谜语答案：一大杯水加进一堆面粉里，只会变成一块面团脑筋急转弯数学题谜语题目：有一本书，兄弟俩都想买。如果用哥哥的钱单买要缺5元钱，如果用弟弟的钱买缺1角钱，如果两人把钱和起来只买一本书，钱仍然不够。那么这本书的价钱是多少呢？谜语答案：这本书的价钱是5元。哥哥没钱，弟弟只有4元9角谜语答案：这本谜语题目：进行多少次比赛？在有100个代表队参加的足球淘汰赛中，要决出冠军队，至少需要进行多少次比赛？谜语答案：一次只淘汰一个队，当然要进行99次比赛书的价钱是5元。哥哥没钱，弟弟只有4元9角谜语答案：年龄老师收到了几束花？谜语题目：王芬和李丽是同班最要好的同学，她们约好去医院探望老师，王芬买了5束花，李丽买了4束花，进病房后她俩将花合在一起送给了老师，你知 道她们的老师一共收到 了几束花？谜语答案：一束鲜花谜语题目：1-10哪个数字最酷？谜语答案：6（酷六）数学谜语： 成绩是多少[答案] 数学符号及读法大全符号含义 i -1的平方根 f(x) 函数f在自变量x处的值 sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值，常被写作e x a^x a的x次方；有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同 a^x log b a 以b为底a的对数； b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于 sin x/cos x cot x 余切函数的值或 cos x/sin x sec x 正割含数的值，其值等于 1/cos x csc x 余割函数的值，其值等于 1/sin x asin x y，正弦函数反函数在x处的值，即 x = sin y acos x y，余弦函数反函数在x处的值，即 x = cos y atan x y，正切函数反函数在x处的值，即 x = tan y acot x y，余切函数反函数在x处的值，即 x = cot y asec x y，正割函数反函数在x处的值，即 x = sec y acsc x y，余割函数反函数在x处的值，即 x = csc y θ角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b)a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ 表示求和，通常是某项指数。下边界值写在其下部，上边界值写在其上部。 如j从1到100 的和可以表示成：。这表示 1 + 2 + … + n M 表示一个矩阵或数列或其它 |v> 列向量，即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量 数学百科知识试题 1、阿拉伯数字1、 2、 3、……是由人明的。 2、“李善兰恒等式”是由中国数学家发明的，用“”表示“+”；用“”表示“－”。 3、在我国，人们曾把叫做“因”，叫做“归”。叫做“实”，叫做“法”，叫做“积”，叫做“商”。 4、罗马数字是古人创造的，数字只有个：Ｉ代表；Ｖ代表；Ｘ代表；L代表；C 代表；D代表；M代表。罗马数字没有。 5、数的运算分为三级：是第一级运算；是第二级运算；是第三级运算。 6、“陈氏定理”：1742年，德国人写信给大数学家，提出两个猜想：⑴；⑵。1937年，苏联数学家应用法证明了第⑵题；1966年，我国数学家用法证明了第⑴题，即：。 7、“韩信点兵”计算法：如果随便抓一把蚕豆，先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数也记下来。然后就能计算出原来拿了多少蚕豆。计算方法：用3个一数剩下的余数，将它用去乘；5个一数剩下的余数，将它用去乘；7个一数剩下的余数，将它用去乘，将这些数加起来，若超过，就减去，如果剩下的数还比大，就再减去，直至得数比小为止。这样，所得的数就是原来的数了。 8、“七巧板”又叫“”，是我国劳动人民发明的。从公元1803年到现在，七巧板问题大体上可归纳为三类： ⑴模拟形态和表情,以及花卉、静物等等； ⑵研究用七巧板的一部分或全部组件，或者用几副七巧板来搭一些； ⑶近期的研究是中的一些数学问题。 9、““纵横图”相传在我国什么时留下来的一种九种花纹图？后叫“洛书”，请叙述其计算原理及方法？ 10、圆周率π的来历：我国东汉时的天文学家、数学家最早算出圆周率等于的平方根。魏晋时的数学家在《九章算术》里得出π=，是最早提出π值正确计算方法的人。南北朝时的科学家在《缀术》一书中精密地算出π的值，是世界上最早的算出位小数精确值的人。 11、“费马大定理”：当n大于的自然数时，没有自然数组的a、b、c能满足n> 的“勾股定律”。 12、“代数”作为学科的名称源于阿拉伯数学家之手。 13、“几何”一词是1607年明代科学家与意大利来华传教士，合译古希腊数学家得的几何著作《原本》时，创设的一个数学名词。 14、应用“蔡勒公式”可以计算年以后的某一天是星期几。 15、科克曼女生问题和斯坦纳三元系问题是由我国数学家解决的。 16、我国的数学竞赛开始于年。 17、最早举办数学竞赛的国家是，始于年。 18、举办国际数学竞赛（国际数学奥林匹克），东欧一些国家始于年，60年代末扩大到西方国家。 19、罗马数字标号：1：；2：；3：；4：；5：；6：；7：；8：；9：；10：；20：；30：；40：；50：；60：；70：；80：；90：；100：；200：；300：；400：；500：；600：；700：；800：；900：；1000：。 20、国际数学家大会每年一次，会上将颁发国际上最重要的数学奖。如1991年在日本召开的数学家大会上，有四个人获奖，即日本的森重文、苏联的德林费尔德、美国的琼斯、英国的维汀。 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． （一）马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． （二）早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义． 1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量 m a t l a b符号运算函数大 全 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 算术符号操作 命令 +、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵 A的列数等于矩阵B的行数。即：若 A n*k* B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m= C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则 将返回一出错信息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型 阵列，或至少有一个为标量。即： A n*m.* B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij， i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。 A\B 矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近 似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信 息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方 程组必须是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为 与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗 略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信 息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方 程组必须是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与 另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A^B 矩阵的方幂。 函数符号的故事 正弦的符号开始记为sine，这一词是由阿拉伯人创造的，但是最早把它应用于三角函数上面的是雷基身蒙坦，他是15世纪西欧数学界的领导人物，在他1464年著的《论各种三角形》一书中，首先使用了“sine".这本书是专门讲三角学脱离了天文学，成为一门独立的数学分支。 余割开始记为cosecnat,它是由锐梯卡斯在16世纪创造的，最早见于他1596年著的《宫廷乐曲》一书中。 正割和正切开始记为secant和tangent，它们是由16世纪初期丹麦数学家箍马斯·芬克首先创造并使用的，最早见于他的著作《圆几何学》中。 余弦和余切记为cossine和cotangent,它们是由英国人根目尔在1620年出版的《炮兵测量学》一书中首先创造并使用的 后来，人们在使用中，发现这些符号比较长，而且写起来容易出错，1626年，阿贝尔物把“sine","tangent","secant",简写为“sin"，"tan","sec".到了1675年，英国人奥斯特又把"cosine","cotangent","cosecant"简写为“cos","cot","csc",但是这些符号并没有通行开来，直到地1748年，经过数学家欧拉的提倡，才得以普及。 约翰．伯努利於1694年首次提出函数（function）概念，并以字母n 表示变量z 的一个函数；至 1697年，他又以大写字母 X 及相应之希腊字母ξ表示变量 x 的函数。同期（1695年），雅．伯努利则以p 及q 表示变量x 的任何两个函数。 1698年，莱布尼茨以及表示x 的两个函数；以及表示两个变量x,y 的函数。 1734年，欧拉以f() 表示的函数，是数学史上首次以“f”表示函数。同时，克莱罗采用大写希腊字母Πx，Φx及Δx（不用括号）表示 x 的函数。1745年，达朗贝尔以Δu,s及Γu,s表示两个变量u,s 的函数，并以Φ(z)表示z 的函数。1753年，欧拉又以Φ:(x,t)表示x 与t 的函数，到翌年，更以f:(a,n)表示 a 与 n 的函数。 1797年，拉格朗日大力推动以f、F、Φ及y 表示函数，对後世影响深远。时至今日，函数主要都以这几个字母表达。 1820年，赫谢尔以f(x)表示 x 的函数，并指出f(f(x))=f2(x)及fmfn(x)=fm+n(x)，还以f-1(x)表示其函数 f 为x 的量。1893年，皮亚诺开始采用符号y=f(x)及x=f(y)，其後又与赫谢尔符号结合，成为现今通用的符号：y=f(x)及x=f-1(y)。 函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。 数学百科知识竞赛题 一、判断题（共40小题） 1. 自然数的平方都是合数。（） 2. 以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于以另外两个以直角边为边长的正方形的面积之和。是我国著名数学家华罗庚的华氏定理。（） 3 阿贝尔奖是数学界的奖项。（） 4..著名的勾股定理是祖冲之最早证明的。（） 5.设三角形的三边分别为a.b.c. 若a2+b2 =c2，则△ABC是直角三角形（即∠C=90°）；若a2+b2 ＞c2，△ABC是锐角三角形。（） 7.《孙子算经》后来传到日本，变成了“鹤龟算”。（） 8. 费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点. （） 9. "研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．"是费马评价欧拉说的。（） 10.被誉为“中国数学史上的牛顿”是刘徽. （） 11.世界上数学界的最高奖项是“菲尔兹奖”. （） 12.著名数学家丘成桐先生获得了“阿贝尔奖”的. （） 13. 庞加莱猜想，是七大“数学世纪难题”之一. （） 14. 若p是q的充分条件，c也是q的充分条件，那么p=c （） 15. 任意一个多边形的内角之和都为。（） 16. 若a能够推出b，b也能够推出a,那a是b的充分必要条件。 17. 判断大小>与（） 18.圆周率是祖冲之发现的。（） 19．圆周率的值是3.14159256。（） 20．三角形的外心是角平分线的交点。（） 21.两个面垂直，若第三个面垂直其中一个面，则必于另一个面平行。（） 22.sin^2a-cos^2a=cos2a （） 23两个奇数的积不一定是奇数。（） 24．０是自然数。（） 25．牛顿研究过微积分。（） 26.X为实数，x/x可以等于０。（） 27.华罗庚是中国第一位数学家。（） 28.函数f(x)=x/x与g(x)=1是相同的。（） 29.e（自然对数）是有理数。（） 30.１是８的８倍。（） 31.充要条件是必要条件。（） 32．5个2加上4个3是2的倍数。（） 33．2是质数。（） 34. 能被5整除的整数个位只能是5。（） 35. 0是偶数（） 36.条直线可以组成4个三角形。（） 37.8个2与2个8相等。（） 38. 5+1+6-1=7-2+8-3 （） 39. f{x}=sinx…f{x}的定义域是R。（） 一、一次函数与二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =- 时，2 min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,) 2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2 max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂 的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂 等于0． ②正数的负分数指数幂 的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 常用符号计算函数 ●主要用法： ●compose(f, g) 返回复合函数f(g(y))，其中f=f(x),g=g(y). x和y分别为findsym从f、g中找到的符号变量. ●compose(f, g, z) 返回复合函数f(g(z)), f=f(x), g=g(y), x,y含义同上一种用法. 最后用指定变量z代替变量y. ●compose(f, g, x, y, z) 返回复合函数f(g(z)). 将x=g(y)代入f(x)中, 最后用 指定的变量z代替变量y ●示例： ●syms x y t ●f = 1/(1+x); ●g = sin(y)^2 ●h = compose(f,g,x,y,t)●运行结果： ●f = 1/(x + 1) ●g = sin(y)^2 ●h = 1/(sin(t)^2 + 1) 计算极限函数：limit ●函数一般使用格式： ●limit(f,x,a): 计算f(x)当x趋向于a的极限●limit(f,x,a,'right'): 计算右极限 ●limit(f,x,a,'left'): 计算左极限 示例：求一元函数极限，并绘图观察函数在变量x 趋于0时函数的变化趋势。 x x x )sin(lim 0 编程实现： syms x y=sin(x)/x; s=limit(y,x,0)% 求函数y 的极限 x=-1:0.02:1; y=sin(x)./x; %计算离散点的坐标 plot(x,y,'k.’); %绘制黑色的散点图 ●示例：计算数列的极限。● 编程实现： ●syms n ●an=(1+1/n)^n; ●S=limit(an,n,inf) %计算数列极限● 返回结果： ●S = exp(1)n n n a )11(+= 由键盘输入三个整数a、b、c，按从小到大的顺序输出这三个数。 main() { int a,b,c,t; scanf("%d,%d,%d",&a,&b,&c); if (a>=b) t=a,a=b,b=t; if (b>=c) t=b,b=c, c=t; if (a>=b) t=a,a=b,b=t; printf ("%d,%d,%d",a,b,c); } 由键盘输入非零整数x，判断该数正负，正数输出positive，负数输出negative，接着判断该数的奇偶性，奇数输出odd，偶数输出even。 main() { int a,b; scanf("%d",&a); if(a>0) printf("positive\n"); else printf("negative\n"); b=a%2; if(b==0) printf("even"); else printf("odd"); } 从键盘输入一个不大于100000000的正整数，输出构成该数的最大数字字符。void main() { long a,c; int i,p,q;float s=1; scanf("%d",&a); p=a%10; for(i=1;i<9;i++) {s=s*10; c=a/s; q=c%10; p=p>q? p:q;} printf("%d",p); } 由键盘输入一行字符，将其中每个数字字符所代表的数值累加起来，输出结果。 main() { int s=0; char ch; for(;(ch=getchar())!='\n';) if(ch>47&&ch<58) s=s+ch-48; printf("%d",s); } 写一个函数实现：输入一行字符，以空格分割单词，回车结束输入，输出单词的个数main() { int s=1; char ch; if(ch=getchar()==' ') for(;(ch=getchar())==' ';);奇妙的数学符号
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