长风破浪会有时，直挂云帆济沧海 1
南京城市职业学院课程教案
第三象限：0,0.<
三角函数符号的来历和读法 古印度数学家阿耶波多Aryabhata最初研究正弦函数时，因该函数图酷似半张弓弦，命名其为ardha-jya【半弦】。 这是一个非常传神的定义。这个名称也可写成“jya-ardha”，有时还简写成jya 或jiva。。Arayabhata的《Arayabhatiya》是第一本明确提出正弦函数的著作。 阿耶波多(Aryabhata)（476～550）相当于中国南北朝的祖冲之（429-500）那个年代。1976年，为纪念阿耶波多诞生1500周年，印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。 阿拉伯人继承和发扬了印度的数学成就，他们保留了“jiva”单词，却没有翻译出它的意思，由于阿拉伯语发音的原因，该词转写为jiba（请不要笑）。
并且被读作jiba或jaib（因我不识阿拉伯语，不知其详），而恰好“jaib”在阿拉伯 语中的意思是“胸部、海湾或曲线”。当欧洲人将阿拉伯人的作品翻译成拉丁文时， 就用拉丁文中表示“胸部、海湾或曲线的单词“sinus”替代了阿拉伯语的“jaib”， sinus这个词在欧洲就被广泛采用，简写符号“sin”最初由冈特开始采用，冈特还 发明了“tan”符号。 弦的简写sin是英国天文学教授冈特Edmund Gunter所率先使用的，他还率先将余弦写作cosinus，后者是对拉丁语comlementi sinus【正弦的补】的简写。 与此相似，余切cotangent是正切tangent的补，符号为cot；余割cosecant是正割secant的补，符号位csc。之所以是补，因为他们每对之间角度和都是直角。 正切函数起源于古代的日影测量，其主要作用是天文计时。早先人们用日晷的投影和晷长之比来判定时间，而这个比值即为正切函数的雏形。人们将直立杆在地面的投影称之为umbra recta【直立杆之投影】，将垂直于墙面的水平杆在墙面的投影称为umbra versa【倒杆之投影】，这二者分别演变成后来的正切函数和余切函数。 最早的正切和余切表建立于公元860年天文学家al-Battani(美索不达米亚人),他得出垂直日晷的影子与日晷高度之比。但未用cot这个符号。1583年，丹麦数学家Thomas Fincke,使用术语umbra recta(直影），来描述垂直日晷的水平投影的大小。1620年，Edmund Gunter首先使用cotangents这个词。 现代的正切函数是1573年丹麦数学家芬克Thomas Fincke命名的，他将这个函数称为tangens，后者是拉丁语动词tangere （‘to touch’）的现在分词
第二课时三角函数值的符号及公式一 课标要求素养要求 1. 能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等. 通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养 . 教材知识探究 地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化的周期性，而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢？ 问题如图，角α的终边OP绕原点O，旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗？ 提示相等，根据任意角的三角函数的定义可得，终边相同角的同一三角函数值相等. 1.三角函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 2.公式一函数名称不变 (1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)式子表示：???sin （α＋k ·2π）＝sin α， cos （α＋k ·2π）＝cos α，其中k ∈Z .tan （α＋k ·2π）＝tan α， (3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. 教材拓展补遗 [微判断] 1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√) 2.若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角.(×) 提示 sin α·cos α>0，则sin α，cos α同号，则α为第一、三象限角. 3.终边相同角的同名三角函数的值相等.(√) 4.sin 3>0，cos 4<0.(√) 5.sin α>0，则α为第一、二象限角.(×) 提示 α的终边位于第一、二象限或y 轴正半轴. [微训练] 1.sin 390°的值为( ) A.32 B.22 C.12 D.－12 解析 sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝1 2，故选C. 答案 C 2.下列4个实数中，最小的数是( ) A.sin 1 B.sin 2 C.sin 3 D.sin 4 解析 ∵4位于第三象限，故sin 4<0，故选D. 答案 D 3.计算：sin(2π＋π6)＝________，cos 19π 3＝________. 解析 sin(2π＋π6)＝sin π6＝12，cos 19π3＝cos(6π＋π3)＝cos π3＝1 2. 答案 12 12
第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 ： 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转 到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的 始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: | 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。 如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合： |22, 2 k k k Z π απαππ ?? +<<+∈ ?? ??。 （3）第三象限角的集合： 3 |22, 2 k k k Z π αππαπ ?? +<<+∈ ?? ??。
（4）第四象限角的集合： 3|222,2k k k Z παπαππ?? +<<+∈?? ?? 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 < 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα???? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 | 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=。 3602π=，180rad π=， 10.01745()180rad rad π= ≈，1801()57.30 rad π=≈ （3 {
正确认识三角函数符号 内蒙古师范大学锦实验中学 孟庆林 024400 任意角的三角函数定义告诉我们，角的终边的位置决定着这个角的三角函数的符号，这一点必须引起我们的重视，否则就会犯错误，看下面的例子： 例：求证角θ为第二象限的充分必要条件是 ? ??<>)2(0cos )1(0sin A A 【常见错解】 (1) 先证充分性 ∵角A 为第二象限的角 ∴有sinA>0，cosA<0 (2) 再证必要性 由sinA>0得A 在一、二象限 由cosA<0得A 在二，三象限 综上所知A 在第二象限。 ∴求证角A 为第二象限的充分必要条件是? ??<>)2(0cos )1(0sin A A 【诊断分析】 本题的证明存在以下几个方面的错误:1是在证明充分性和必要性时出现了顺序性的错误，误把必要性证成了充分性，也误把充分性证成了必要性；2是由sinA>0得A 在一、二象限是错误的，sinA>0得A 可在一、二象限，也可在y 轴的正半轴上，由cosA<0得A 在二，三象限也是错误的，由cosA<0得A 可在二，三象限，也可在x 轴的负半轴上，这样的推理才严密。 事实上，证明一个命题的充分必要性，首先要把所给的命题写成标准的命题形式，那么本题的标准命题形式应该是: 如果???<>) 2(0cos )1(0sin A A ，那么角A 为第二象限的角。 也就是说在证充分性时，应该从? ??<>)2(0cos )1(0sin A A 证到角A 为第二象限的角，证明它的必要性应该从角A 为第二象限的角到?? ?<>)2(0cos )1(0sin A A 。 【正确解答】 (1) 先证充分性 由sinA>0得A 在一、二象限或在y 轴的正半轴上，由cosA<0得A 在二，三象限或在x 轴的负半轴上，综上所知A 在第二象限。 (2) 再证必要性 ∵角A 为第二象限的角 ∴有sinA>0，cosA<0
三角函数值符号 三角学是研究三角函数及其应用的一个数学分支．三角函数包括正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，再加上正矢，余矢，在我国总称为八线． 在建立了直角坐标系以后，人们利用坐标的观点，给出了三角函数的意义．如图所思，在角α终边上任取一点P（x，y），它到原点的距离为r，则 r= 角α的六个三角函数的定义如下： 1464年，德国数学家雷基奥蒙坦在其著作《论各种三角形》中，开始用符号“sine”表示正弦．1626年，数学家阿贝尔特·格洛德进一步把sine简化为“sin”，这就是正弦号． 英国数学家根日尔，1620年在伦敦出版的著作《炮兵测量学》中，开始用符号“cosine”“cotangent”分别表示余弦、余切．到1675年，英国数学家奥屈特进一步把“cosine”“cotan- gent”简化为“cos”“cot”，它们分别是余弦号和余切号．丹麦数学家托玛斯·劳克，1591年在其著作《圆几何学》一书中，采用符号“secant”“tangent”分别表示正割和正切．到1626年，还是阿贝尔·格洛德，把“secant”“tangent”，简化为“sec”“tan”，它们分别是正割号和正切号．建国后，由
于受前苏联教材的影响，把“cot”改成为“ctg”，“tan”改成为“tg”，至今仍在我国使用着． 1596年，英国数学家锐梯卡斯在他的著作《宫廷乐曲》一书中，用符号“cosecant”表示余割，到1675年，英国人奥屈特把cosecant进一步简化为“csc”，这就是余割号． 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，它们都是以角为自变量，比值为函数值的函数，总称为三角函数． 我国对三角早有研究．春秋战国时代，齐国有一部叫《考工记》的书，书中就记载过几种特殊角的名称，比如把90度的角叫做“矩”，45度的角叫做“宣”，135度角叫做“罄折”等． 公元3世纪我国著名数学家刘徽在计算圆内接正六边形的边长及13世纪数学家赵友钦在计算圆内接正方形的边长时，实际上已求得了某些特殊的正弦值．我国古代历法中，根据竿的不同影长来确定季节的方法，实际上已构成了一份余切值表． 18世纪末期，数学家欧拉把三角函数看成是线段比的新观点，使三角学无论在理论上，还是应用方面都得到了较大的发展． 欧拉本人非常欣赏前人创用的三角函数符号，由于他的大力倡导，表示三角函数的符号终于得到了公认．
三角函数的值在各象限的符号 教材：三角函数的值在各象限的符号 目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。 过程：【一】复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值 【二】提出课题 然后师生共同操作： 第一象限：0,0.>>y x ∴sin >0,cos >0,tan >0,cot >0,sec >0,csc >0 第二象限：0,0.> 三角函数值在各限符号 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 胶南职业中专 2010---2011学年度第二学期电子教案 （试用） 学科：数学 授课人：王新花 使用班级：10级 年月日 年月日备第七章第二单元共4 课时本节为第 2 课时 课题三角函数的值在各象限的符号 教学目标知识 目标 通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号 能力 目标 培养学生的观察能力和图形结合的逻辑思维能力 情感 目标 培养学生的辩证唯物主义观点。 教材分析 教学 重点 根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象 限的符号 教学 难点准确确定三角函数的值在各象限的符号 教学 关键 理解定义，理解象限角 课型新授课 教法、学法讲授法,举例子,引导探究使用教具多媒体 完成目标的教学过程及教学内容 双边活动及教 法运用 组织教学： 清点人数，稳定学生情绪 〖复习提问〗任意角的三角函数的概念 〖引入新课〗 复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值， 然后师生共同操作： 〖讲授新课〗 1．第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0,cot α>0,sec α>0,csc α>0 第二象限：0,0.> 特殊角三角函数值表： 函数名 在平面直角坐标系xOy 中，从点O 引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r ，P 点的坐标为（x，y ）有 正弦函数sin θ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tan θ=y/x 余切函数cot θ=x/y 正弦（sin ）: 角α的对边比斜边余弦（cos ）: 角α的邻边比斜边 正切（tan ）: 角α的对边比邻边余切（cot ）: 角α的邻边比对边 特殊函数人倒数关系: tan α?cot α=1 sin α?csc α=1 cos α?sec α=1 特殊函数人商数关系: tan α=sin α/cos αcot α=cosα/sin α 特殊函数人平方关系：sin α2+cosα2=1 1+tan α2=sec α2 1+cot α=csc α2 以下关系，函数名不变，符号看象限 sin （π+α）=-sin αcos （π+α）=-cos α tan （π+α）=tan αcot （π+α）=cot α sin （π－α）=sin αcos （π－α）=-cos α tan （π－α）=-tan αcot （π－α）=-cot α sin （2π－α）=-sin αcos （2π－α）=cosα tan （2π－α）=-tan αcot （2π－α）=-cot α 以下关系，奇变偶不变，符号看象限 sin （90°- α）=cosαcos （90°-α）=sin α tan （90°- α）=cot αcot （90°-α）=tan α sin （90° + α）=cosαcos （90° + α）=sin α tan （90° + α）=-cot αcot （90° + α）=-tan α 特殊三角函数人积化和差的关系： sin α?cos β=（1/2 ）*[sin （α+β）+sin （α－β）] cosα?sin β=（1/2 ）*[sin （α+β）－sin （α－β）] cosα?cos β=（1/2 ）*[cos （α+β）+cos（α－β）] sin α?sin β=（1/2 ）*[cos （α+β）－cos（α－β）] 特殊三角函数- 和差化积公式 sin α+sin β=2*[sin( α+β)/2]*[cos( α- β)/2] sin α-sin β=2*[cos( α+β)/2]*[sin( α- β)/2] cosα+cosβ=2*[cos( α+β)/2]*[cos( α- β)/2] cosα-cos β=-22*[sin( α+β)/2]*[sin( α- β)/2]三角函数值在各限符号
特殊角三角函数值表
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