构造母子型相似解决阿氏圆题型

2019 届初中数学总复习微专题

构造母子型相似解决阿氏圆题型

何求 阿氏圆题型是这几年在中考中也是逐渐火热 , 出题频率越来越高 , 成为近 几年中考填空、解答的压轴热点题型。阿氏圆题型 ,很多同学感觉困难 ,但是掌握

、阿氏圆题型：

例、在 Rt △ABC 中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙O 的

半径为 2，P 为⊙ O 上一动点 ,则 PA 1 PB 的最小值为

2 二、阿氏圆题型特点： 动点 P 在圆 （圆弧）上运动且圆心 O 到动点 P 的距离 OP

与圆心 O 到定点 B 的距离 OB 的比值为定值 k,求 PA+k ·PB （k ≠1）最小值的题型 .

三、阿氏圆解题方法：

初中数学解决阿氏圆问题 ,要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方

法。构造母子型三角形相似，结合两点之间线段最短进行求解就是解决阿氏圆 题型的核心武器 !

步骤如下：（口诀：找母作子定最值）

1. 找母三角形：标出半径（圆心到动点的线段 OP ）与定线段 （圆心到定点的线段

OB ）及其夹角 （∠BOP ）的三角形；

2. 作子三角形：利用标出两边的夹角 ,构造一条线段 ,使其长度与半径比为 K,构造

出子三角形 ,由于共角 ,那么母子三角形相似 ;

3. 得到去除系数 k 的线段 ,结合两点之间线段最短进行求解 .

了特点和方法 ,困难就能迎刃而解 !

A

O

例1、在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙ O的半径为2，P为⊙ O上一动点,则PA 1 PB的最小值为.

2

基本思路：

构造母子型三角形相似，将 （1/2）PB 转化成 （PE/PB ）=（1/2）, 只需求 PA+PE 最小，结合两点之间线段最短进行求解 .

解：在 OB 上截取 OE=(1/2)OP,连接 PE.

∵(OP/OB)=(OE/OP)=(/12),∠POB=∠EOP

∴△ POB ∽△ EOP

∴PE=(1/2)PB=1

∴PA+(1/2)PB=PA+PE 当点 E 、P 、A 三

点共线时， 即

PA+(1/2)PB 的最小值为√

((1^2)+(3^2))=√(10) 练习 1、已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2点 P 是

圆 B 上的个动点 , 求 PD+PC 的最小值 .

练习 2、在正方形 ABCD 中,G 为正方形内一点 ,AD=4,

1

P 为BC 中点,且 BG=BP,则DG 1 GC 的最小值是

例 2、在平面直角坐标系中 ,A （2,0）,B （0，2）,C （4,0）,D （3，2）,P

是

△AOB 外部的第一象限内一动点 ,且∠BPA=135°,则 2PD+PC 的最小值是

PA+PE 最小， A

的中点，点 P 在菱形内部，且∠ EPF=150°，则 PD 21PC 的最小值为

练习 4、练习 4、如图,菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC 为 60°,⊙A 与 BC 相切于

点 E,在⊙A 上任取一点 P,则 PB+ 23 PD 的最小值为

拓展题： 拓展 1、如图 ,点 A 、B 在⊙A 上，且 OA=OB=12，OA ⊥OB ，点 C 是 OA 的中点 , 点 D 在 OB 上， OD=10，动点 P 在⊙O 上,则 PC 1PD 的最小值为

2

a 3 x 3 a 0 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交 于点 B.在 x 轴上有一动点 E(m,0)(0

作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N,

P

D

B

ax 2

交抛物线于点

P,过点P 作PM⊥AB 于点M.

(1) 求 a 的值和直线AB的函数表达式；

(2) 设△ PMN的周长为C1,△AEN

的周长为C2,若C1 6,求m的值;

C2 5

(3) 如图 2.在(2)的条件下,将线段0E绕点0 逆时针旋转得到OF,旋转角为 a

2 FB 的最小值.

3

附：阿氏圆定理:(定理内容较为抽象，了解即可.)

一动点P 到两定点A、B 的距离之比等于定比m:n,则P 点的轨迹,是以定比m:n 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.(这个轨迹最先由古希

(0°

腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.)

最值二

1、已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°BC=1,AC=2 2 ,点P是AC上的个动点, 则

3BP+AP的最小值.

2、如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,延长BC至 D 使

CD=BC, 连接AD.

(1)求证:△ABD是等边三角形;

(2)若E为线段CD的中点,且AD=4,点P为线段AC上一动点,连接

EP,BP.

①求EP+的最小值;

②求2BP+AP的最小值.

C E

母子型相似三角形模型 典型

母子型相似三角形 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 基本图形(母子三角形）举例: 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，C Ｄ为斜边AB 上的高． 结论:（1）△ＡCD ∽△C ＢD ，△BDＣ∽△BCA ，△CDA∽△BCA (2）△ACＤ∽△ＣBD 中，2 CD AD BD = △BＤＣ∽△ＢＣＡ中，2 BC BD AB = △CDA∽△BCA 中，2 AC AD AB = 2、条件:如图，已知∠ＡCD=∠ＡB Ｃ 结论:△AＣD ∽△ABC 中，2 AC AD AB = 【例题解析】 类型一:三角形中的母子型 【例1】1.如图，ΔABＣ中，∠A=∠ＤBC ，BC= ,SΔＢCD ∶SΔABC=2∶3,则ＣD ＝_＿____. D C B A 【练】如图，D 是 △ＡBC 的边ＡB 上一点,连结CD ．若AD ＝ ２,B Ｄ = 4, ∠ACD ＝∠B 求AC 的长. 【例2】如图,在△ABC 中，A Ｄ为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交ＡD 于E,交BC 的延长线 于Ｆ,求证： FC FB FD ?=2 A D C B A D C B

【练】已知C Ｄ是ABC ?的高,,DE CA DF CB ⊥⊥，如图３-１，求证：CEF CBA ??∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例１】．如图，在△AＢC 中，AD 、B Ｅ分别为B Ｃ、ＡC 边上的高,过Ｄ作AB 的垂线交A Ｂ 于F,交BE 于G,交AC 的延长于H ，求证：2 DF FG FH =? H G F E D C B A 【练】如图５,R ｔΔABＣ中,∠AC Ｂ=９０°,CD ⊥AB,AC ＝8，ＢC=6,则ＡＤ=____，CD ＝__＿___＿. 【例2】如图1,∠AD Ｃ＝∠ＡＣB ＝９０°,∠１=∠B,AC=5,AB=6,则ＡD=＿___＿_． A 【练】如图,CD 是 Rt △ＡBC 斜边上的高.若A Ｄ= 2，BD = 4, 求C Ｄ的长. 类型三:四边形中的母子型 【例1】1.如图,矩形ＡB ＣＤ中，B Ｈ⊥A Ｃ于H ，交ＣD 于G,求证:2 BC CG CD =?。 H A E A C B F 2.如图,菱形ＡB ＣD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交ＢD 于E,求证: 21 2AD DE DB = ?。 类型四：圆中的母子型 【例1】1.如图,△ABC 内接于⊙Ｏ,∠B ＡC 的平分线交B Ｃ于Ｄ,交⊙O 于Ｅ，

相似三角形(2)母子型相似复习过程

相似三角形（2） 教学目标： 1．知识目标：能识别基本图形母子三角形并能熟练应用 2．能力目标：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用 3．情感目标： 教学重难点 重点：让学生能识别基本图形母子三角形并能熟练应用 难点：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 基本图形（母子三角形）举例： 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =g △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =g △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =g 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC 结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =g 【例题解析】 类型一：三角形中的母子型 【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠ DBC,BC=2,:BCD ABC S S V V =2∶3,则CD=______. 2.D 是 Rt △ABC 直角边BC 上的一点,且满足∠CAD =∠B,若AC= 2，BD = 3, 求CD 的长. D C B A A D C B A D C B

求AC的长. D C B A 【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FC FB FD? = 2 【练】已知CD是ABC ?的高，, DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ?? ∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例1】如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证：2 DF FG FH =? H G F E D C B A 【练】如图,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.

初三数学的相似三角形的常见模型

相似三角形常见模型一【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行）

（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=， 求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F

::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相 交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A

子母型相似解析

学员学校：年级：初三课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T-手拉手模型C-子母型相似 教学目标1. 掌握字母型相似基本性质和构建 2. 探索、拓展类习题练习 授课日期及时段 年月日—— 教学内容

知识结构 母子型相似三角形 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 基本图形（母子三角形）举例： 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB = 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC 结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB = A D C B A D C B

【例1】1.如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______. 【练】如图，D 是△ABC的边AB上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC的长. D C B A 【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FC FB FD? = 2

【练】已知CD是ABC ?的高，, DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ?? ∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例1】.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE 于G，交AC的延长于H，求证：2 DF FG FH =? H G F E D C B A 【练】如图5,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.

母子型相似三角形

母子型相似三角形 （三）母子型 A B C D C A D 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别 交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证： FC FB FD ?=2． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB A C D E B

3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE · DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积． A C B P D E （第25题图） G M F E H D C B A

相似三角形模型分析大全之母子型

、相似三角形判定的基本模型认识 （一） A 字型、反A 字型（斜 A 字型） 第五讲 相似三角形模型分析大全 （平行） （不平行） （二） 8字型、反8字型 （平行） （三） 母子型 （不平行） 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五） 一线三直角型： （六） 双垂型： 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到 C C 8字型拓展

一线三直角的变形 母子型相似三角形 例1:如图，梯形ABCD中，AD// BC,对角线AC BD交于点O, BE// CD交CA延长线于E. 2 求证：OC OA OE . ABC . 2、已知：AD是Rt△ ABC中/ A的平分线，/ 延长线交于一点No 求证：⑴△ AM0A NMD; (2)ND 2=NC- 3、已知：如图，在△ ABC中，/ ACB=90 , 求证：EB- DF=AE- DB 共享性B 一线三等角的变形 A 例2 :已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD上，DEB 2 1、如图，已知AD ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD 2 FB FC . BC 的

4. 在ABC中，AB=AC高AD与BE交于H, EF BC，垂足为F,延长AD到G,使DG=EF M是AH勺中

求证：GBM 90 5. (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、( 3)小题满分各5分) 已知：如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, BO2, AC=4, P是斜边AB上的一个动点，PDLAB 交边AC于点D (点D与点A、C都不重合)，E是射线 / A. DC上一点，且/ EPD 设A P两点的距离为x,A BEP的面积为y. (1)求证：AE=2PE (2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当厶BE￡A ABC相似时，求△ BEP的面积.

母子型相似三角形讲解学习

母子型相似三角形

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 母子型相似三角形 （三）母子型 A B C D C A D 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别 交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证： FC FB FD ?=2． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB A C D E B

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于 H ， EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使 DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积． A B P D E （第25题图） G M F E H D C B A

相似三角形模型分析大全(精)

第一部分相似三角形知识要点大全 知识点1.．相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同． （3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同． 例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)． 解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥． 知识点2．比例线段 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c b d =（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a c b d =（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段 有顺序性． （2）在比例式a c b d =（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即a b b c =或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求a b ． 分析：求a b 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比． 例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3 2 dm，求c的长度． 分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c． 知识点3．相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？ 分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1 3 ，再根据相似多 边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知识点4．相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”； （5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．

相似三角形模型分析大全之母子型

相似三角形模型分析大 全之母子型 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

第五讲：相似三角形模型分析大全 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E （平行） C B D E （不平行） （二）8字型、反8字型 （平行） （不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型： 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展

C B E D A 共享性G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 A C D E B

九年级数学相似三角形--母子型

相似三角形之母子三角形 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 基本图形（母子三角形）举例： 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理） 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB = 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC （母子） 结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB = 【例题解析】 类型一：三角形中的母子型 【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC=2∶3,则CD=______. 【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长. 【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ?=2 D C B A

【练】已知CD 是ABC ?的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ??∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =? 【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______. H G F E D C B A

相似三角形常见模型(总结)

第一部分 相似三角形模型分析 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型：

C A D 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上,ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2） DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点， CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设 A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． A C D E B B P G M F E H D C B A

相似三角形模型分析大全之母子型

第五讲 、相似三角形判定的基本模型认 识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） 相似三角形模型分析大全 （平行） （二）8字型、反8字 型 （平行）（三）母子型（不平行） 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型： （六）双垂型： 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到（不平行） b ■ a c IiI 1 -- =—a h c

厶4 — S 亠弘六TTZ 一线三直角的变形 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD// BC,对角线AC BD 交于点O, BE// CD 交CA 延长线于E. 2 K 如图.已知AD ABC 的角平分线.EF 为AD 的垂直平分线?求证: 求证：OC OA OE . ABC. 2、已知：AD 是RtA ABC 中/ A 的平分线，/延长线交于一点No 求证：□)△ AMOA NMD; (2)ND 2 =NC ?3、已知：如图，在厶 ABC 中，/ ACB=90 ,求证：EB- DF=AE ? DB A E 共享性B 相关练习: 2 FD 2 FB FC . 例2:已知：如图，A ABC 中，点E 在中线AD 上，DEB 例3:已知: CF1 BE F Fo CD!ABT D”E

4. 在ABC中，AB=AC高AD与BE交于H, EF BC,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF M是AH勺中

求证：GBM 90 5. (本题满分14分，第⑴小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分) 已知：如图，在RtA ABC中，/ C=90°, BO2, AC=4, P是斜边AB上的一个动点，PDLAB DC上一点，且/ EPD 交边AC于点D (点D与点A、C都不重合)，E是射线/ A. 设力 P两点的距离为x,A BEP的面积为y. (1) 求证：AE=2PE (2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； ⑶当厶BE￡A ABC相似时，求厶BEP的面积.

相似三角形典型模型及例题

1:相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型 (一)A字型、反Ａ字型(斜A字型） B ?（平行）(不平行) （二）8字型、反8字型 B C B C（蝴蝶型） (平行） (不平行) (三)母子型 B (四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形）或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:

(五）一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景,或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角,几种常见的基本图形如下: 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似, 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 ( 六）双垂型： C A D 二:相似三角形判定的变化模型 旋转型：由Ａ字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性 一线三等角的变形 G A B C E F

一线三直角的变形 ２:相似三角形典型例题 (１）母子型相似三角形 例１：如图,梯形AＢCD中,AD∥ＢC，对角线AC、BＤ交于点O，BE∥CD交ＣA延长线于E．求证：OE OA OC? = 2． 例２：已知：如图,△ABC中,点E在中线AD上, ABC DEB∠ = ∠. 求证:（1)DA DE DB? = 2; （2)DAC DCE∠ = ∠. 例３：已知:如图,等腰△ＡBC中，AB＝AＣ,AＤ⊥ＢC于Ｄ，CＧ∥AＢ,BG分别交AＤ、AＣ于E、Ｆ. 求证：EG EF BE? = 2． １、如图,已知ＡD为△AＢC的角平分线，EF为ＡD的垂直平分线．求证:FC FB FD? = 2. A C D E B

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行）（不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C（蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

（五）一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 （六）双垂型： C A D 二：相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性 一线三等角的变形 G A B C E F

一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题 （1）母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OE OA OC? = 2． 例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABC DEB∠ = ∠． 求证：（1）DA DE DB? = 2；（2）DAC DCE∠ = ∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EG EF BE? = 2． 1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FC FB FD? = 2． A C D E B

第五讲：相似三角形模型分析大全之母子型

第五讲：相似三角形模型分析大全 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） （平行） （不平行） （二）8字型、反8字型 （平行） （不平行） （三）母子型 B B B C B C B

（四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型： 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展

一线三等角的变形 一线三直角的变形 母子型相似三角形 例1 ：如图，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． B

例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上,ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于 E 、 F ．求证：E G EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． A C D E B

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB

相似三角形母子型

1 相似三角形判定母子型 平行线分线段成比例定理： = = = 一．复习引入： 1、相似三角形的定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形。 2、相似三角形的预备定理：如果一条直线 于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。 3、判定定理1： 对应相等，两三角形相似。 4、判定定理2： 对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 母子三角形： = = = = = 类型一：直角三角形中的母子型 1.如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 2.如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______. 3. 如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长. 类型二：四边形中的母子型 1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =?。 F A B C D E a b c D A B C C B A D H D A C B G

2 2.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：2 1 2 AD DE DB = ?。 3. 如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC 于H ，求证：QH ⊥DH ． 类型三：圆中的母子型 1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ， 求证：2EB DE AE =?。 2.如图，PA 切⊙O 于A ，AB 为⊙O 的直径，M 为PA 的中点，连BM 交⊙O 于C ， 求证：（1）2AM MC MB =? （2）∠MPC=∠MBP 。 3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D ，弧AC=弧CE ，AE 交CD 于F ，求证：2CE AF AE =?。 E D A C B F D O A B C E C O A P B M F O B A C D E

构造母子型相似解决阿氏圆题型(课堂参照)

2019届初中数学总复习微专题 构造母子型相似解决阿氏圆题型 何求2019.6.10 阿氏圆题型是这几年在中考中也是逐渐火热,出题频率越来越高,成为近几年中考填空、解答的压轴热点题型。阿氏圆题型,很多同学感觉困难,但是掌握了特点和方法,困难就能迎刃而解! 一、阿氏圆题型： 例、在Rt △ABC 中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙O 的 半径为2，P 为⊙O 上一动点,则1 2 PA PB 的最小值为 . 二、阿氏圆题型特点：动点P 在圆 (圆弧)上运动且圆心O 到动点P 的距离OP 与圆心O 到定点B 的距离OB 的比值为定值k ,求PA+k ·PB (k ≠1)最小值的题型. 三、阿氏圆解题方法： 初中数学解决阿氏圆问题,要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。构造母子型三角形相似，结合两点之间线段最短进行求解就是解决阿氏圆题型的核心武器! 步骤如下：（口诀：找母作子定最值） 1.找母三角形：标出半径（圆心到动点的线段OP ）与定线段(圆心到定点的线段OB)及其夹角(∠BOP )的三角形； 2.作子三角形：利用标出两边的夹角,构造一条线段,使其长度与半径比为K,构造出子三角形,由于共角,那么母子三角形相似; 3. 得到去除系数k 的线段,结合两点之间线段最短进行求解. 例1、在Rt △AOB 中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙O 的半径 O B P

为2，P 为⊙O 上一动点,则12 PA PB +的最小值为 . 基本思路： 构造母子型三角形相似，将(1/2)PB 转化成(PE/PB)=(1/2), 只需求PA+PE 最小，结合两点之间线段最短进行求解. 解：在OB 上截取OE=(1/2)OP,连接PE. ∵(OP/OB)=(OE/OP)=(1/2),∠POB=∠EOP ∴△POB ∽△EOP ∴PE=(1/2)PB=1 ∴PA+(1/2)PB=PA+PE 当点E 、P 、A 三点共线时，PA+PE 最小， 即PA+(1/2)PB 的最小值为√((1^2)+(3^2))=√(10) 练习1、已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2点P 是 圆B 上的个动点,求PD+?PC 的最小值 . 练习2、在正方形ABCD 中,G 为正方形内一点,AD=4, P 为BC 中点,且BG=BP,则1 2 DG GC +的最小值是 . 例2、在平面直角坐标系中,A （2,0）,B(0，2),C （4,0）,D(3，2),P 是 △AOB 外部的第一象限内一动点,且∠BPA=135°,则2PD+PC 的最小值是 . B A P C B G O B P E

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法如下： 反比性质： c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）

6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8.相似三角形的传递性 如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2 相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型反A字型反8字型 母子型旋转型双垂直三垂直 相似三角形判定的变化模型

相似三角形模型分析大全之母子型

第五讲：相似三角形模型分析大全 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E （平行） C B D E （不平行） （二）8字型、反8字型 （平行） （不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型： 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展

C B E D A 共享性G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 A C D E B

相似三角形典型模型及例题

1:相似三角形模型 :相似三角形判定的基本模型 （三）母子型 （四）一线三等角型: 三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形 为背景，一个与 形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示: （一） A 字型、 A 字型（斜A 字型） （二） 8字型、 8字型 （平行） （蝴蝶型） 腰三角 C

（五）一线三直角型: 三直角相似可以看着是"一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似, 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 （六）双垂型:

:相似三角形判定的变化模型

/ B E C 一线三直角的变形 2:相似三角形典型例题 （1）母子型相似三角形 例1:如图，梯形 ABCDK AD// BC 对角线 AC BD 交于点O, BE/ CD 交CA 延长线于E. 例 3 :已知：如图，等腰△ ABC 中, AB= AC ADL BC 于 D, CG/ AB BG 分别交 AD AC 于 E 、F. 求证： BE 2 EF EG . 1、如图，已知 AD ^^ ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线.求证： FD 2 FB FC . DEB ABC . DAC . A

2、已知：AD 是Rt △ ABC 中/A 的平分线，/ C=90 , EF 是AD 的垂直平分线交 AD 于M, EF 、BC 的延长线 交于一点 M 求证：⑴△ AME^A NMD; (2)ND 2=NC- NB 5已知：如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, B(=2, AC=4, P 是斜边 AB 上的一个动点，PD 丄AB 交边 AC 于 点D (点D 与点A C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EP[=Z A.设A 、P 两点的距离为 x , △ BEP 的 面积为y . (1)求证：AE=2PE (2) 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域; (3)当厶BEP-与^ABC 相似时，求△ BEP 的面积. 3、已知：如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 , 求 证：EB- DF=AE DB CDL AB 于D, E 是AC 上一点，CF 丄BE 于F 。 4.在 ABC 中，AB=AC 高 AD 与 BE 交于 H, EF BC ，垂足为F ,延长AD 到G,使DG=EF M 是AH 的中点。 证：GBM 90 G