第十一章：量子跃迁
[1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求：
（1）跃迁选择定则。
（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。
（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。
（1）跃迁选择定则：
为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396）
)(34/
/'2
22
2
k k k k k k r q W ωρπ→
=
（1）
式中2
'
→
k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→
k
k
r /
仅有一项
2
/k
k x )(34/
/'2
22
2
k k k k k k x q W ωρπ
= （2）
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ?
∞
∞
-=
)
0('
/ψ （3）
式中)(2
)(!)0(ax H k a
x k k
k
πψ
=
，
μω=
a
~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2
12
{
1
)0(1
)0(1
)0(+-++
=
k k k
k k x ψ
ψ
α
ψ
（4）
代入（3），利用波函数的正交归一化关系：
mn n
x
n
dx δψ
ψ
=?)0(*
)0(
dx
k k x k k k
k k ?
∞
∞
-+-++
?
=
}2
12
{
1
)0(1
)0(1
*)0('
'ψ
ψ
α
ψ
1
,1
,'
'
2
112
1+-++
=
k k
k k
k k δα
δα
（5）
由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是：
,1'
-=k k 这时2
1,1'
k k x x k k k α=
=- （6）
,1'
+=k k 这时2
11
,1'+=
=+k k x x k k k α
因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。
（2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2
11(
34102
2
2
210ωρα
π
q W =
)(321010
2
2
2
ωρμωπ q
=
~447~
[2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。
（2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。
（解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端）
a
x k a
x k πψsin
2)(=
（1）
根据此式计算矩阵元： dx a
x k x a
x k a
x a
x k k ππsin
sin
2
'
'??=
?=
dx a
x
k k a
x
k k x a
a
x ?=+--=
'
'
])(cos
)([cos
1
ππ
利用不定积分公式：
2
cos sin cos p
px x p
px pxdx x x
+
?=
?
(2)
a
x
k k k k ax a
x
k k k k a
a
x
k k k k ax a x k k ππ
ππ
ππ)(sin
)()(cos
)()(sin )({1
'
'
'
2
2
'
2'
''++---+
--=
~448~
a
a
x
k k k k a
0'
2
2
'
2})(cos
)(ππ
+--
2
2
2
'2
'
)
(1
)1(4'
k k
ka
k k
k ---?
=
+π
(3)
从最后一式知道，要使矩阵元0'
≠k k x ，k k +'必需要是奇数。但这个规律也可以用别种
方式叙述，当k k +'是奇数时
k k k k k -=-+'
'
2
必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数
),2,1,0()
12('
=-=±n n k k
因此',k k 二者之中，一个是奇另一个是偶。 （2）跃迁速率：依前题公式（1） )(34'
''2
2
2
2k k k
k k k x q W ωρπ
=
)(]1)
1[()
(364''
2
4
2
2
'22
'2
2
2
2
k k k
k k k
k
k q a ωρπ?--?-?=
+
（4）
=±k k '偶数时0'=k k W ，=±k k '
奇数时
)()
(3256'
'4
2
2
'22
'22
2
2
k k k k k k
k
k h
q W ωρππ-?=
（5）
粒子从基态1=k ，跃迁到任何一个偶数态n k 2'
=的速率：
)()
14()
(
3
10241,24
2
2
2
1,2n n n n
qa
W ωρπ-=
~449~
[3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z 轴方向、电场沿z 轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是： ???
??><=-)
()
0()
0(0
)(10为常数τεετ
t e
t t
求时间充分长后，氢原子跃迁到2s ，或2p 态的几率。
（解）按照习惯表示法，氢原子的初态（k 态）的波函数是：100ψ，末态（'
k 态）的波函数是200
ψ
或m
21ψ
，它们的显式是如下：
1s 态 a
r e
a -
=
3
1001
πψ （1）
2s 态 a
r e
a
r a 23
200
)2(321
-
-
=
πψ
（2）
2p 态 ?
θπψ
i a
r e e a r
a ?=
-
s i n )(8123
211
（3a ）
?
θπψ
i a
r e
e a r
a --
-?=
s i n )(81
231
,21 （3b ）
θπψ
cos )(32123
210
a
r e
a
r
a
-
=
（3c ）
~450~
这些公式后面都要用来计算几率。从题意看来，原子所受的微扰是个随时间变化的函数，而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不同（光的电磁场是看作各向同性的），因此只能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式§ 11-1公式（24）
dt e
H t C k k i t
k k i
k k )
(0
''
''1)(ωω-?
=
（4）
微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：
微扰算符Λ
'H 在初态k ψ（即100ψ）以及末态（即200
ψ或m
21ψ
）'
k
ψ
之间的矩阵元是：
将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用∞→t 表达：
~451~
（7）
（前式中利用了1
)
(
'=
-t
i
k
k
eω
ω
）
其次计算偶极矩阵元与无关部分
k
k
ez
'
)
(，按题意，要求两种跃迁几率，下面分别进行：)
2
1(s
s→跃迁，即从态
200
100
ψ
ψ跃迁到的几率：
?
θ
θ
π
θ
π
?
θ
d
drd
r
e
a
er
a
a
r
a
ez
a
r
a
r
r
sin
]
1
][
cos
[
]
)
2(
32
1
[
)
(
2
3
2
3
100
,
200
?
-
=
-
-
?
?
?
sin
cos
)
2(
32
1
2
3
2
3
=
?
-
=??
?-
-
∞
=
ππ
?
θ
θ
θ
π
d
d
r
d
r
e
a
r
a
a
r
a
r
r
（8）
代入（4）中知道s
s
W
C2
1
,0
100
,
200
100
,
200
向
即自
=
=的跃迁不存在。再考察)
2
1(p
s→的跃迁，由于2p有三种不同态，自1s跃迁到每一态都有一定几率，因而要分别计算再求总和。
?
θ
θ
π
θ
θ
π
?
?
θ
d
drd
r
e
a
er
e
e
a
r
a
ez
a
r
i
a
r
r
sin
]
1
][
cos
[
]
sin
)
(
8
1
[
)
(
2
3
2
3
100
,
211
?
=
-
-
?
?
?
??
?
==
-
?
?
=
π
θ
π
?
??
θ
θ
θ
π
2
2
2
3
4
4
cos
sin
8
d
e
d
dr
e
r
a
e
i
a
r
r
（9）
~452~
同理可求
?
θθπθθπ?
?
θd drd r e a er e
e a
r
a ez a
r i a
r
sin ]1
][
cos []
sin )(81[
)(2
3
23
100,211?=
---
???
???=--?
?=
ππ
??
?θθθπ0
20
2
234
4
cos sin 8d e
d dr
e r a
e
i a
r
（10）
?
θθπθθπd drd r e
a er a
a
r
a ez a
r a
r sin ]1
][
cos []
cos )(321[
)(2
3
23
100,200?=
-
-
???
?
?
?∞
====-
?
?
=
r r a
r d d dr e
r a
e 0
20
2
234
4sin cos 32πθπ
??θθθπ
ππ
θπ20
)
cos 3
1()3
2(
!4323
5
4
-
?-??=
a a
e
ae 5
5*73
2
=
（11）
将三种值分别代入（7），得0,0100,121100,211==-C C
相应的跃迁几率（态——态自210
100ψ
ψ）因a
e
E a
e E k k 282
12
2'-=
=
-=
=
ωω
~453~ 量子力学题解（P454—P473）
??
+
=?
-+=?+
-=
=32
)
83(
2
2
2
2
22
15
2
11
3
215]2)'(21[2
220223
2
15
]
2
1
)'(2
[22022|100
210|2
100210ω
ωτωωτE ω
τωωE τ
E
τa e a e k k a e
k a e
，C W ，
#
[4]计算氢原子的第一激发态的自发辐射系数。 （解）按照爱因斯坦辐射理论，这系数是：
|34'
|2
2
3
2'
'
r c
e A k
k k
k k
k ω=
（1） 第一激发态是指E 2的态（四度简并的），从第一激发态只能跃迁到基态E 1。关于偶极矩阵元，应注意到：
||
|
|'
|
'|
'|
'|2
2
2
2
z y x r k
k
k k k
k k
k ++= （2）
现在应当分别就四种跃迁计算其跃迁的几率，最后求总和，这才能代表E 2—> E 1的跃迁。 （i ）（200—100跃迁）按照氢原子选择定则：
1
01'
'
±±=-==-=或m m m l l l ?? （课本P397） r
的矩阵元才不全为零。因此这种跃迁是禁约的（l ='l =0）
。但是我们也可以不用这个定则，直接用波函数得出这结果：
()
31
1
1
20
2
2332
3
23
100
210cos sin )2(32sin cos sin )2(32==
?
=
???--???
-
-
-
π
π
?
?θπ?
θθπ?θπd dr e r a r
a
d drd r
e a
r e
a r
a
x
r
a
r a
r
a
r ，
（3a ）
()
2
3
1
1
1
20
2332
3
23
100
210sin sin )2(32sin sin sin )2(32==
?
=
???--???
-
-
-
π
π
?
?θθπ?θθπ?θπd d dr e r a r
a
d drd r
e a
r e a r
a
y
r
a
r a
r
a
r ，
（3b ）
()
20
cos sin 323)2(323
1sin 23
1
cos 2)2(3231100210=???-
-=
-
?--
???
=π?
π
θθθπ?
θθπθ
πd d dr
r
e
r a r a r a
d drd r
e
a r
a r e
a
r a r a
z ，
（3c ）
代入（2）和（1）得
100
210=A
，
（4）
（ii ） （210->100跃迁），这种跃迁不违背定则，是可能的。
[]
020cos cos 0sin 2
423324
1
sin 23
1cos sin cos 2)(3231100210=???-=
????
????-????????
?????-=π
??θθθππ?
θθπ?θθπd d dr r
e r a r a d drd r e a r a r e a r a
r
a x ，（5a ）
020
sin cos 0
sin 2
4233241
100210=???-
=
π
??θθθπ
πd d dr
r
e r a r a y ，
（5b ）
()()
a a a
d d dr
r
e
r a r
a z ，35
25723
23
25!4324
120
cos
20sin 4233241
100210?=??
?=
????-
=
π
ππ?θ
θπ
θπ
（5c ）
代入（1）得
a c
k k c A ，35
2572
333
'42100210??= ω
（6）
前式中的共振频率ωk ’k 用k ’=2,k =1代入，并使用氢原子能级公式：
()
832223
4
2
4
2
2
4
2
1
1
211e e
e
E
E
，μμμω
=????
? ?
?
+
-=-
=
? 代入（6）得：
6
3
10
8
2
10
15
3
3
2100
210323
2
833422
3
4
c e e e c e A
，μμμ?
=????
? ??=
??? ?????
? ??????
?
? （7） （iii ）211—>100跃迁：仿照前一计算：
[]
()
a a a d e i d r dr
e r a r a d drd r e a r a r r e i e a
r
a r x 3527cos 31cos 3
03
2!
45
841
20
cos 0sin 30
42384
1sin 231cos sin sin )(23100,211=????
?
?
??
?
?+-=?=??=??∞
=-
=???
?????-????????
?
??????
-=θθπππ
????θθπθπ?θθπ?
θθ??θ
（8a ）
[]
()
[]
ai i a a d e i d r dr e r a r a d drd r e a r a r r e i a r a
a r y 3
527
3cos 3
1cos 03
2!45
84120
sin 0sin 3042384
1sin 231sin sin sin )(3812100,211=???
?
?
????
?+-=
?=??=??∞=-=???
?????-??????????
?
??????-=πθ
θπππ
??
??θθπθπ?
θθπ?θθ??θπ
（8b ）
[]
20
cos 0sin 20423831
sin 231cos sin )(3812100,211=?=??=??∞=-=???
?????-??????????
?
??????-=π
???θθθπθπ?
θθπθθ??θπd e i d r dr e r a r a d drd r e a r a r r e i a r a
a r z
（8c ）
因而有：
a
a
a
z y x r 2
10
15
2
10
14
2
10
142
2
2
2
3
23
23
2|
|
||100,211|
100,211|
100,211|
100,211|
=
+
=
++=在代入（1）有：
6
3
10
8
2
3
321
2
100
21132|
34100,211|
c e r c
e A
，μω
?
=
=
??? ??
（9）
（iv ）21-1—>100跃迁：
关于这种跃迁，在偶极矩阵元的计算上，只是Ψ21-1的ψ部分有差异即应将Ψ211中的e i ψ
更换
成e
-i ψ
，计算所得数值与（8a ）、（8b ）、（8c ）相同，即（只是
ai
y
，3
25
7
100
121-=
-，不影
响A 的值）：
6
3
10
8
100
12132c e
A
，μ?
=
??? ??-
（10）
按题意，从第一激发态跃迁到基态的几率，应当包括第一激发态的四种简并Ψ200，Ψ211，Ψ21-1，Ψ210分别跃迁到Ψ100的总几率，所以应当将（7）
、（9）、（10）求总和，于是有： ()()()
6
310
3728631032863103286310328100,121100,211100,210100,20012c e c e c e c e A A A A A s p μμμμ?
=?+?+?=-+++=→
根据前一题计算所得到的自发辐射系数A 2p->1s ，以及相应的发射频率ω21的值，我们可以求得赖曼系中第一条线的强度I 21（ω2,1）。
()
8
3214
362522483631037282212212112c e n p e c e n p A n p I s p μμμωω??
=????
?
??????? ????=??=→
这里n 2p 是辐射前处在2p 态上的氢原子数目。其它能级间有跃迁时，I k ’k （ωk ’k ）的计算也按上述步骤。 #
[5]设有一个自旋是2/ 的粒子，相应的磁矩是s g =μ，粒子置于旋转磁场中，磁场是：
t B B
x
ωcos 0
=
t B B
y
ωs i n 0
=
B
B
z
=
（常数）
粒子与磁场的作用能是：
B s g B ?-=?-μ
又设粒子原先处于2/ 的态讨论情况和跃迁几率。
（解）本题是一个具有自旋的体系，所受的微扰是随时间变化的，但不同于光照射，因此不能使用光照跃迁公式（12）也要用最普遍的随时间变化的跃迁公式（24和25式）,计算中的算符可用角动量表象。 微扰算符 ：
??
???
?????---=
???
?
????-+--=
∧
-
∧
-
∧
-=
∧
-∧-∧-=∧+∧+∧
-=?-=∧
B e t
i B e
t i B B
g B
t i t B t i t B B
g x
B g x t B g x t B g s z gB s y t gB s x t gB s B z t s B y t s x B g B
s g H ωωωωωωσσωσωωωωω0
02)
sin (cos 0)sin (cos 022
sin 2
0cos 2
0sin 0cos 0)
0sin 0cos (0'
（1）
其次，设法来表示体系的初末状态，因为有自旋，所以波函数适宜用旋量式，按题意粒子的自旋的初态是正的自旋，因此若设定轨道运动为)
(r k
ψ
??
????=
01)
()
,(r s r k
x
k
ψψ
末态方面，由于自旋只可能有两种，因而只会有两种指定的末态。此外，因为微扰是磁场，它引起的附加能量只与自旋有关，与轨道运动无关，轨道波函数是不变的，所以，所述两种末态波函数是：
??
?
???=
01)
()
,('
r s r k
x
k
ψψ （3a ）
??
?
???=
01)
()
,('
'r s r k
x
k
ψψ
（3b ）
在能量方面，若一开始粒子就在磁场之中，则除轨道运动能量外应考察自旋轨道相互作用：
2
)0(ghB E
E
k
k
-
=
（4）
但E k )
0(是轨道能量，同理，末态的总能量是：
2)0('
ghB E E k
k -=
（5a ） 2
)0('
'ghB E
E k
k
+
=
（5b ）
根据（3）的两个式子，配合（1）和（2），可算得矩阵元。先对第一种跃迁进行计算，即k —>k ’情形，假定)
(r k
ψ
是归一化的。
[][]
)
6(2
100
,1
2)()(*
'01000
,12),('),(*''B g e t i B B g d r k r k B e t
i B e
t i B B g d s x r k H s x r k H k
k -=
????
?
??
???-=
???????????????
????
?---=
∧
???=ωτψτψωωτ
ψτ
ψ
再根据与时间有关的微扰跃迁振幅公式（24）
dt
H e i
t C k k t
t
k k i k k '
)'('1)(?-=
ωω
（7）
此式中
)]2)0(()2)0('[(1
)'(1
)'(=---=-=
-B g E k B g E k E k E k k k
ωω
将此结果连同（6）代入（7）式，得：
gBit t B g i
t C k
k 2
1)2
(1)('=
-
=
跃迁几率
t
B g t C
t P k
k k
k
k
2
22
2
4
1)
()
('=
=
（8）
这是指粒子处在原状态的几率，是与时间平方成正比的。 再计算第二种跃迁几率，即k —>k ’’的情形
同样可以用（7）来计算跃迁振幅，此式中的频率跃变（实际上是能量跃变） gB
B g E k
B g E k E k E k k k =-
-+=
-=-
)]2
)0(()2
)0('
[(1
)''(1
)''(
ωω
代入（7）式（k ’更改为k ’’）
dt
e B gi dt e
B g e
hi
t C t
t gB i t
gBt i k k t
i ?+=
?-=
)(0)(0
)
(''2
2
1)(0
ωω
最后一式是虚指数积分，近似地用δ函数表示（时间很长以后）
e
gB t gB B
g gB i e B g t C
i
gB t
gB i k
k
2
)()('
')
()
2
(
sin )
(21)(2
2
ωωωω
ω+=
+++-+--=
跃迁几率
)2
(
4
''20
2
2
20
2
)
()
2(
sin )(ω
δπωω
+>
-++=gB t
k
k B
g gB t gB B
g t P
（10）
[][
]
)
9(02
101,02)()(*'0
10001
,02),('),(*''''''e
t
i B B g e t i B B g d r k r k B e t i B e
t i B B
g d s r k H s x r k H
k k ωωτψτψωωτψτψ -=
?????
??
???-=
????
???????????
????
?---=∧
???=
若将（10）式展开t 2项再和（8）式相加，近似地验证了跃迁几率的守恒性质。 #
[6]氢原子处于基态加上交变电场)(0e
e
t
i t
i ωω-+=
E E
，>>
ω 电离能，用微扰论
一级近似，计算氢原子的每秒电离的几率。
（解）本题的性质属周期性微扰问题范围，但这过程中的末状态是电离态，电离态可以包括一切方向传播的平面几率波，因此在跃迁几率方面要用类似于弹性散射的积分计算。 根据11.3章周期性微扰论，若体系受微扰：
)(2
'e
e H
t
i t i W ωω-∧
+
=
（1）
则在较长的时间以后，体系从一个单态E k ，跃迁到一个单态E k ’的跃迁几率W k ’k
是以下式表示的：
()ω
δπ
h E E W
W
k
k
k
k k
k -
-
=
'
'
'2
2
见P388—389公式（6）
在本题的情形，微扰能量乃是器原子在交变电场中的势能（忽略磁势能），将原子看作偶极子OP （附图），则微扰算符是：
))(('0e
e
E r
e E
r e H
t
i t
i ωω-∧
+
?=
=
?
假定电场矢量的振幅E 0在参考系中的分量是（E 0x ，E 0y ，E 0z ）用球坐标表示电子位置时，有：
)
)(cos 0sin sin 0cos sin 0())(000('e t i e t i r E z r E y r E x e e t i e t i z E z y E y x E x e H
ωωθ?θ?θωω-+++=-+++=∧
（2）
因此微扰算符中坐标有关的部分是：
)
(cos sin sin cos sin 2
1000^
θ
?
θ?
θr E r E
r E e W
z
y
x
+
+
=
（3）
为了计算单态与单态间的跃迁速率（2），需要求初末态矩阵元W k ’k ，按题意，初态是氢的基态，其波函数是：
e
a
a
r
-=
πψ
2
100
1
（a 是玻尔半径）
跃迁的末态是自由态（即正的能态），它的波函数是平面德布罗意波，但这种态的波矢量k （与动量p 成正比）与能量E k 的关系：μ
22
2k
E k =
是任意的，方向亦是任意的。我们
假定波矢量k 已经确定，并且沿z 轴，又假设氢原子关闭在体积L 3的立方体中（箱归一化），则可写出末态的波函数：
e
L
e
L
ikr ik k
θ
π
ψ
cos 3
3
1
1
=
=
（4）
下面计算微扰的空间部分W 在前述两单态中的矩阵元：
)
5(sin 2
2
)cos 0sin sin 0cos sin 0(2cos 3
1100^
*1
,?
θθπθ?θ?θθτψτψd drd r a e a
r r E z r E y r E x e e ikr L
d W k W
k ?-
?
++?-???
=???= 注意这个积分包括三部分，并且积分变量r ，θ，?是分离的。与?有关的积分中，因：
?==π
??
?20
0cos d
?==π
??
?20
0s i n d
因此（5）式中只有与E 0x 有关的积分不为零，在下面的计算中，积分的次序是r ，θ，?：
?∞---+-----+-?=
?∞-----?=
?∞-+----?=
?∞=?=?-+-?-=
?∞=??=-?-=
?∞=?=--?==0)](2)([13
3400
}{
2133400}|cos |01{213
3400}0sin cos |cos cos |0{1333400
0cos )cos (1333400
)0cos sin cos (32033201,dr e ikr a r
e ikr a r r e ikr a r e ikr a r ik
r ik L a E e x dr e ikr ikr e e ikr ikr e a r r ik L a E e x dr
e ikr ikr e e ikr ikr e a r r ik L a E e x r dr d e ikr e ikr ikr e a r r L
a E e x
r dr d e ikr d d ikr e a r r L a E e x
r dr d e
ikr e a r
r d L a E
e x
W k ππππθππππθθθθθθππππθθθθθ
πππθθθθθπ??π利用定
积分公式：
a
n dx x e
n n
ax
1
!0
+=
?∞
-
于前一积分得：
)221(3
335640]}
)
1(22
)
1(21
[1])
1(21
)
1(21
[21{3
3401,k a L a E
ek a i
ik a ik a ik ik a ik a k L a E
e x W k +-=
++--
+---
=
πππ
代（2）得：
)()
1(21222
20211
10
6
3
3
1
,ωδππ
--?+?
=
E E k a L a k
E e a W
k x k
（7）
其次计算自初态跃迁到末态为中心的，包括一切邻近态在内的总跃迁速度，根据11.2章常微扰相类似，要考虑累计效应，在箱归一化的条件下，电子的动量分量是量子化的，表示为：
n
L p
x
x
π2=
，
n
L
p
y
y
π2=
n
L
p
z
z
π2=
而在动量相空间（P x ，P y ，P z ）中，若以（L
π2）为线度将相空间分割成
立方形细胞，则每一立方形相当于一个不同的动量态，因而“单位相空间
体积”中的态数目是
)
2(
)2(
/13
3
ππL L
=
在相空间体元?
θθτd d d p dp
d p d '
'
'
2
sin 2
ΩΩ=
=
之中，独立态数目是：
dp
d p L
d L dN
Ω==2
)2(
)2(
3
3
πτπ
（8）
另一方面，根据态密度ρ的定义，在指定方向（θ'
，?'
）上，单位立方体角和单位能量间隔的态数目是态密度ρ，因而在立方体角Ωd 和能量间隔dE
k
中的态数目是
Ω
μ
μ
ΩΩρρρd d d dE
d dN
pdp p
1
)2(
2
=
=
=
（9）
*注：本页第二行起到下页第九行公式（11）为止一段文字，是为使读者容易理解起见插入的有关“态密度”的补充说明。
将（8）（9）二式等起来，就得到箱归一化自由粒子的态密度公式：
E L p L k
μμ
πμπρ2)2(
)2(
3
3
==
（10）
由于独立事件的几率可以相加，因此，从同一单态E 1跃迁到各种末态的总几率用积分计算，首先，对于末端动量p 在立体角Ωd 之内，能量间隔在dE k 之内的态数目是：
E d d dN
k
Ω=ρ
每一种跃迁的速率（单位时间的几率）都看作W k1（即7式）
，则对于所述的一系列跃迁的
总的跃迁速率是个微量
dE
d w dN
w dw
k
k k Ω?=
=
ρ1
1
（11）
因而向一切可能末态跃迁的总速率：
E d d w w k
E k
k ΩρΩ??=1dE k
E E k E a k E k E k
E k L a E x e a L
dE k E E k k a L a z k
E e a E k
E k
L
d )1()
222
1(6
2
22332
0221110)2(34)1(
)
221(6
332202211102)2(3
ωδμμμμπππωδππ
μμπ
--+????
?=--?+?
??ΩΩ=利用δ函
数的变换性质于前一式，简化数字系数后，得以下的结果：
)]
(2[)(22
)()
21(22
12
2
6
12
/36
2
2
02/5211
7
12
2
6
2
2
02/5211
7
6
2/3ωμωπ
μ
ωδμπμ
+++?
=
?
--+
=
E a E E e a dE
E E E a E E e a w x
E k k
x
k
k
k
#
[7]一维运动的体系从|m>态跃迁到|n>态所相应的振子强度定义为：
|
|||22
><=
m x n j
nm
nm
μω
μ
为振子质量，求证：1
=∑
n
nm
j
（∑n
指对一切能量本征态求和）。这称为Thomas —Reieh
—Kuhn 求和规则。
（证明）第一法：用薛定谔图象（表象）：设|m>|n>是能量算符H ^
的本征矢，其相应的本征值是E m 和E n ，即|m>|n>满足：
>
>=>
>=n E n H m E m H n
m
||||^
^
（1）
现将特征一式等号左方用能量本征值表示，再利用前两个本征方程式的特点将本征值换成哈
氏算符如下：
>
<>
<-
=
m x n m x n E E j
m n nm
||||2*
2
)(
μ
>
<><-
><><=
><><-
><><=>
<><-=m xH n n x m m x n n xH m m x n n x m E m m x n n x m E n m x n n x m E m E n ||||22||||2
2||||2
2||||2
2||||)(2
2 μ
μμ
μμ
将前述的j nm 对n 求和（m 固定），并利用两个矩阵乘积法则，即
>
>=<><∑ ||||||^ ^^^ （2） ) 3(||1||||1||2|)]}(22 22[2)](2222[{|22|2 |22] ||||||||[2 2>+<-=> ??+??<->=<> ??-??->= +??--+??-<=> -<=><><-><><∑=∑m px xp m h i m x x x x m m m m x x x x m m x x m m x V x x x x V x x m m H x xHx m m xH n n x m m x n n xH m n n j nm μμμ μμ 在第四章的习题（8）中证明过：形如2 p x x p A n m m n nm +∑ 的算符是厄密算符，因 而xp+px 是厄密算符，它在任何态|m>的平均值是实数，故 ><∑ - = m x n E E j m n n nm ||22 2 )( μ 看来∑ j nm 的每一项是实数，因而j nm 是实的，可见（i/ ） 第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!)0(ax H k a x k k k πψ = ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0( dx k k x k k k k k ? ∞ ∞ -+-++ ? = }2 12 { 1 )0(1 )0(1 *)0(' 'ψ ψ α ψ 1 ,1 ,' ' 2 112 1+-++ = k k k k k k δα δα （5） 由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是： ,1' -=k k 这时2 1,1' k k x x k k k α= =- （6） ,1' +=k k 这时2 11 ,1'+= =+k k x x k k k α 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2 11( 34102 2 2 210ωρα π q W = )(321010 2 2 2 ωρμωπ q = ~447~ [2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） a x k a x k πψsin 2)(= （1） 根据此式计算矩阵元： dx a x k x a x k a x a x k k ππsin sin 2 ' '??= ?= dx a x k k a x k k x a a x ?=+--= ' ' ])(cos )([cos 1 ππ 利用不定积分公式： 2 cos sin cos p px x p px pxdx x x + ?= ? (2) 量子力学习题第一部分 一基本概念: Plank量子论，Bohr量子论，德布罗意关系，Bohr量子化条件，波函数的统计诠释，量子力学基本假设，坐标波函数和动量波函数的关系，不确定关系，定态，守恒量，全同性原理。 二基本实验现象及规律: 黑体辐射，光电效应，Davisson和Germer实验，正常Zeeman效应，反常Zeeman效应，光谱精细结构，Stark效应，自旋存在的实验证据，Stern-Gerlach实验，自旋单态，自旋三重态。 三简单证明： 1. 若坐标波函数是归一化的，则动量波函数也是归一化的。 2. 由薛定谔方程证明几率守恒。 3. 证明定态的叠加不是定态。 4. 证明在定态下，任意力学量的平均值不随时间改变。 5. 证明在定态下，任意力学量的测值几率分布不随时间变化。 6. 证明对一维运动，若一函数是薛定谔方程的解，则其复共轭也是解，且对应于同一能级。 7. 证明对一维束缚态总可以取实函数描述。 8. 证明对于一维定态问题，若粒子处于有限阶梯形方势阱中运动，则波函数及其一阶导数连续。 9. 证明对于一维运动，若势函数具有反射不变性，则体系有确定的宇称。 10. 证明坐标和动量的对易关系。 11. 证明角动量间的对易关系。 12. 证明坐标和角动量的对易关系。 13. 证明动量和角动量的对易关系。 14. 证明厄米算符的本征值是实数。 15. 证明在任何态下平均值为实数的算符必为厄米算符 16. 证明厄米算符的本征值必为实数。 17. 证明若体系有两个彼此不对易的力学量，则体系的能级一般是简并的。 18. 证明书中求和规则（两题）。 19. 证明（）() =+ i() 20. 证明a和a+ 分别为下降和上升算符，并求它们在占有数表象下的表示。 四计算： 1. 设一维运动粒子具有确定动量，验证不确定关系。 2. 设一维运动粒子具有确定位置，验证测不准关系。 3. 设一维运动粒子用gauss波包描述，验证测不准关系。 4．一维自由运动粒子，求波函数。 5. 粒子处于一维无限深势阱中，求能级和波函数。 6. 二维无限深势阱中运动的粒子，求能级和波函数，并讨论简并度。 7. 求平面转子的能级和波函数。 8. 求角动量z分量的本征值和本征态。 9. 粒子处于一维无限深势阱中，求坐标和动量的平均值，并对结果给予解释。 10. 求带电谐振子处于外电场中时的能级和波函数。 11. 确定三维中心力场中运动粒子体系的力学量的完全集。 第十六章 量子力学基础 16-1试比较概率波与经典物理中的波的不同特性。 答：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数(),r t ψ来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波，也称为概率波。它与经典物理中的波有如下区别： （1）描述微观粒子的波函数(),r t ψ并不表示某物理量的波动，它的本身没有直接的物理意义。这与经典物理中的波是不同的。 （2）微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2 ,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。这与经典物理中的波也是不同的。 （3）在经典物理学中，波函数(),r t ψ和(),A r t ψ(A 是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。也就是说，对于空间任意两点i r 和j r 下面的关系必定成立： ()() ()() 222 2 ,,,,i i j j r t A r t r t A r t ψψ= ψψ 所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。这与经典物理中的波也是不同的。 16-2概述概率波波函数的物理意义。 答：概率波波函数的物理意义：微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2 ,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。 波函数具有：（1）单值性、连续性和有限性；（2）波函数满足归一化条件。（3）波函数允许包含一个任意的常数因子（即：(),r t ψ与(),A r t ψ描述同一个量子态）（4）满足态叠加原理，即如果函数 第一章 量子力学基础和原子结构 一、填空题 1、若用波函数ψ来定义电子云，则电子云即为_________________。 2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。 3、有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道， 第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。 (1)原子势能较低的是______， (2) 原子的电离能较高的是____。 4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1， 氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3， 请写出E 1，E 2，E 3的从大到小顺序。_____________。 5、对氢原子 1s 态： (1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值 (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值； (3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。 6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV， He +(气态)的电离能为 _______ eV。 二、选择题 1、波长为662．6pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值? （A ）106：3663 （B ）273：1 （C ）1：C （D ）546：1 2、一电子被1000V 的电场所加速．打在靶上，若电子的动能可转化 为光能，则相应的光波应落在什么区域? （A） X光区(约10-10m) （B）紫外区（约10-7m） （C）可见光区（约10-6m）（D）红外区（约10-5m 3、普通阴极管管径为10-2m数量级．所加电压可使电子获得105ms-1速度，此时电子速度的不确定量为十万分之一，可用经典力学处理．若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理? （A）约10-7m （B）约10-5m （C）约10-4m （D）约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是 （A）连续（B）单值（C）归一（D）有限或平方可积 5、己知一维谐振子的势能表达式为V＝kx2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为 6、粒子处于定态意味着 （A）粒子处于概率最大的状态 （B）粒子处于势能为0的状态 （C）粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态 量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年 第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。 第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 第十九章 量子力学基础（Ⅱ） (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1.（基础训练10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，21?)． (B) (2，0，0，21 )． (C) (2，1，-1，21?)． (D) (2，0，1，2 1 )． 【提示】p 电子：l ＝1，对应的m l 可取－1、0、1， m s 可取 21或2 1?。 [ C ]2.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3.（自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4.（自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． 【提示】隧道效应 二. 填空题 1.（基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是_________． 【提示】L 壳层：n ＝2，能够填充的最大电子数是2n 2＝8。考虑到本题m s 只取2 1 ，此时能够填充的最大电子数是4。 2.（基础训练20）在下列给出的各种条件中，哪些是产生激光的条件，将其标号列下：(2) (3 ) (4) (5)． (1)自发辐射．(2)受激辐射．(3)粒子数反转．(4)三能极系统．(5)谐振腔． x O U (x )U 0 a 3.(自 提高16)有一种原子，在基态时 =1和〃 =2的主壳层都填满电子, 3s 次壳层也 作业+—(第十九章 量子力学简介(II)) (薛定谱方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 电子组态 [C ]1.(基础训练10)氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(〃，I, 可能 取的值为 (A ) (2, 2, 1, ")? (B ) (2, 0, 0, O (C ) (2, 1, -1, 少 (D ) (2, 0, 1, 1 【提示】P 电子:Z=b 对应的叫可取一1、0、1,风可取上或一 2 2 2.(基础训练17)在主量子数// =2,自旋磁量子数=上的量子态中，能够填充的最大电 2 子数是 4 . 【提示】主量子数〃 =2的L 克层上最多可容纳2^=8个电子(电子组态为2$22p6),如 仅考虑自旋磁量子数=-的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。 2 填满电子，而3p 壳层只填充一半.这种原子的原子序数是_15 ,它在基态的电子组态为 “2 2s? 2I )6 3S 2 31)3 . 4.(自测提高17)在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子 中电子的状态： 1 I (1) n =2, / = 1 ，如=一1, in.=—. 2 n 1 (2) (2) n =2, / =0, nil = 0 , in,=—. ------ 2 If 1 (3) 〃 =2, / =1? mi — m s =—或-—. 2 2 【提示】/的取值：0,1,2,……(〃-1); 叫的取值：0,±1,±2,……±/; 的取值:±1 激光 [C ]5,(基础训练11)在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性. (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性. (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. 第十一章 散射 11.1 引言 11.1.1 经典散射理论 设想单个粒子入射到某一散射中心（比如说，一个质子撞击一个重原子核）。其入射能量为E ，碰撞参数为b ，以散射角θ出射?如图11.1所示（为了简单起见，假定靶在方位角方向是对称的，那么轨道将在一个平面上，并且靶很重，反冲可以忽略）。经典散射理论的基本问题是给定碰撞参数，计算散射角。一般来说，碰撞参数越小，散射角越大。 图11.1：经典散射问题，碰撞参数为b ，散射角为θ。 图11.2：弹性刚球散射。 例题11.1 刚球散射。假定靶是一个半径为R 的刚球，入射粒子被它弹性散射（如图11.2所示）。用α表示，碰撞参数为sin b R α=，散射角为2θπα=-，所以， sin cos 222b R R πθθ???? =-= ? ????? [11.1] 显然， ()12cos ,if , 0, if .b R b R b R θ-?≤=?≥? [11.2] 一般地，入射到横截面面积为d σ的无穷小面元内的粒子将被散射到相应的无穷小立体角d Ω内（如图11.3所示）。若d σ越大，d Ω将越大；比例系数，()/D d d θσ≡Ω，称为微分（散射）截面： 1 图11.3：入射到面积d σ内的粒子被散射到立体角d Ω内。 [11.3] 利用碰撞参数和方位角φ，d bdbd σφ=，sin d d d θθφΩ=，所以， ()θ θθd db b D sin = [11.4] (由于θ通常是关于b 的减函数，导数实际上是负的—所以要加上绝对值符号。) 例题11.2 刚球散射（续上例）。对刚球散射（例11.1）， ?? ? ??-=2sin 21θθR d db [11.5] 从而， 1 这是很不恰当的用语：D 不是微分，它也不是截面。就我所知，用d σ代表名词“微分截面”更为恰当。 但是恐怕我们还得使用这个术语。我也想提醒你们注意记号D (θ)是不标准的：大多数人把它称为/d d σΩ —这使得等式11.3看起来像是同义反复。我认为如果我们单独用一个符号来代表微分截面的话，它将会带来较少的混淆。 () 一. 选择题 [ C]1.（基础训练2）下面四个图中，哪一个 正确反映黑体单色辐出度 M Bλ (T)随λ 和T的变化关 系，已知T2 > T1． 解题要点: 斯特藩-玻耳兹曼定律：黑体的辐 射出射度M0(T)与黑体温度T的四次方成正比，即 . M0 (T)随温度的增高而迅速增加 维恩位移律：随着黑体温度的升高，其单色辐出度最大值所对应的波长 m λ向短波方向移动。 [ D]2.（基础训练4）用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能 为E K；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K．(B) 2hν - E K．(C) hν - E K．(D) hν + E K． 解题要点: 根据爱因斯坦光电效应方程：2 1 2m h mv A ν=+， 式中hν为入射光光子能量， A为金属逸出功，2 1 2m mv为逸出光电子的最大初动能，即 E K。所以有：0 k h E A ν=+及' 2 K h E A ν=+，两式相减即可得出答案。 [ C]3.（基础训练5）要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁 到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV．(B) 3.4 eV．(C) 10.2 eV．(D) 13.6 eV． 解题要点: 根据氢原子光谱的实验规律，莱曼系： 2 11 (1 R n ν λ ==- 式中，71 1.09677610 R m- =?，称为里德堡常数，2,3, n= 最长波长的谱线，相应于2 n=，至少应向基态氢原子提供的能量1 2E E h- = ν， 又因为 2 6. 13 n eV E n - =，所以l h E E h- = ν=?? ? ? ? ? - - - 2 21 6. 13 2 6. 13eV eV =10.2 eV [ A]4.（基础训练8）设粒子运动的波函数图线 分别如图19-4(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒 子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 解题要点: 根据动量的不确定关系： 2 x x p ???≥ (B) x (A) x (B) x (C) x (D) 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对 第十章：散射问题 [1]用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面： （1） a r a r V r V >a (3) r e r V ar -=β )( )0(>a (4) ar e V r V -=0)( )0(>a (5) 2 )(r a r V = (解) （1）先列出玻恩近似法的基本公式。根据理论，如果散射粒子所在的势场是)(r V 。粒子质量是μ，粒子的波数是k （因是弹性散射，在散射前后都用此文字表示，它与能量E 的关系是2 2 2 E k μ= ）散射角度是θ，而)(θq 表示以下参数： 2 sin 2)(θ θk q = （1） 则与散射方向θ对应的散射振幅用下述一维定积分计算 ? ∞ ??-= 2 sin )(2)(dr r qr r V q f μθ （2） 是为玻恩的散射振幅公式一般适用于高能量散射，若)()(0a r V r V <-= 代入（2）： ? ??= a dr r qr q V f 0 2 0sin 2)( μθ 利用积分公式 qx q x qx q qxdx x cos sin 1sin 2 - = ? 于前一式，注意上下限为a 和0。 )c o s s i n (2)(2 20q qa a q qa q V f --= μθ （3） 微分截面： 2 2 2 4 2 022 )c o s s i n ( 4) ()(q qa a q qa q V f - = = μθθσ ~400~ 第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!) 0(ax H k a x k k k πψ= ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0( 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= --)1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为 玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能 量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ， 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?； 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。 10-11 设有自由粒子在长度L 的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件 )2 ()2(L L ψψ=-，简并的波函数取为 1,0,2,sin 2,cos 2)0(2)0(1==== n L n k kx L kx L πψψ， 设粒子还受一个“陷阱”的作用，)()(?22/0 'L a e U x H a x <<-=-，试用简并微扰论计算能量一级修正。 10-12 一个粒子在一维无限深势阱中运动，?? ?∞<<=其它地方 ,,0,0),(a y x y x U ，若加上微扰 ),0(?'a y x xy H ≤<=λ，求基态和第一激发态（是二重简并态）的能量修正。 10-13 设在0 H 表象中，),()0(2)0(1为实数b a a E b b a E H ???? ? ?++=，用微扰论求能量修正（到二级近似），并与严格求解比较。 10-14 求氢原子n=3时的斯塔克分裂。 10-15 一维谐振子受到微扰)1(2 ?22' ≤=λωλ x m H 的作用，试求能级的一、二级微扰修正， 并与精确解比较。 10-16设粒子在球对称谐振子势阱)(2 1 )(2222z y x m r U ++= ω中运动，试写出能级和能量本征函数。它受到微扰)1(?2222' <<+=λω λλz y x xyz H 的作用，（1）计算基态的能级 移动（准确到2 λ），（2）用微扰后的基态（一级近似），计算r 。 10-17 将由两个自旋为1/2粒子组成的体系置于沿Z 方向的均匀磁场中，与自旋有关的哈密 顿量为2121?σσσσ ?++=c b a H z z ，试就弱磁场),(b a c >>和强磁场),(c b a >>两种 情形，用微扰论计算体系的能级（二级近似），并与精确解比较。 10-18 设在0?H 表象中，H ?的矩阵表示为??? ? ? ? ?=)0(3 * *)0(2 )0(10 E b a b E a E H ，试用微扰求能量的二级修正。 10-19 试用变分法求谐振子的归一化基态波函数和基态能量，设试探波函数为2 x ce λψ-=，其中c 为归一化常数，λ为与x 无关的变分参数。 第十章～第十一章 1、简述定态微扰论的基本思想。 解答：量子力学体系的哈密顿算符不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 时，若可以把不显函时间的分为大、小两部分 ，其中 ，即的本征值和本征函数是可以精确求解的，或已有确定的结果。 满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数（），将微扰写成 ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以的幂级数展开 与称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按的幂次称为一级修正、二级修正、…。 2、非简并定态微扰论的适用条件是什么？ 解答：非简并定态微扰论的适用条件为，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔较大。 3、量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同? 解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求解。 4、设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得 得 ∴能量的二级修正值为 5．设一个定域电子处于沿x方向的均匀磁场中B中（不考虑电子的轨道运动），电子内禀磁矩与外磁场的作用为 设初始时刻电子自旋态为的本征态即（采用表象） 求在t时刻电子自旋态 解：体系的能量本征态，即的本征值和本征态分别为 电子自旋初态为，按，t时刻自旋态为 6．设在H0表象中，的矩阵为： 试用微扰论求能量的二级修正。（提示：先找到和微扰） 解：微扰算符的的矩阵是 （1） 根据无简并微扰论，一级能量修正量是： 从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量 又二级能量公式是： 所需的矩阵元已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有： 故 第十二章 散射理论 12-1 粒子受势能为2)(r r U α =的场的散射。求S 分波的微分散射截面。 12-2 慢速粒子受到势能为???><=a r a r U r U 当当,0,)(0的场的散射，若0,00><-=a r a r b r r ze r U s 当当,0,)(2场中散射的微分散射截面。式中22s ze a b = 。 12-6用玻恩近似法求粒子在势能)0()(0>-=-a e U r U a r 场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下可以 应用玻恩近似法。 12-7 设势场20/)(r U r U = ，用分波法求l 分波的相移。 12-8 计及S 波，P 波及d 波情况下，给出截面与散射角θ的依赖关系的一般表示式。 12-9用玻恩近似法计算粒子对δ势)()(0r U r U δ=的散射截面。截面有何特点？并与低能粒子的散射截面与库仑势的散射截面的特点比较。 12-10 考虑中子束对双原子分子H 2 的散射。中子束沿z 轴方向入射，两个氢原子核位于a x ±=处，中子与电子无相互作用，中子与氢原子核（即质子）之间的短程作用为[])()()()()()()(0z y a x z y a x U r U δδδδδδ++--=，为简单起见，不考虑反冲。试用玻恩一级近似公式计算散射振幅及微分截面。 12-11 设有两个电子，自旋态分别为????? ? ??=???? ??=-2/2/2sin 2cos 01??θθξi i e e x 与，（1）证明两个单电子处于自旋单态（S=0）及三重态（S=1）的几率分别为)2cos 1(212θ-=a W )2 cos 1(212θ+=s W ，（2）设有两束这样的极化电子散射，证明[]13)cos 1()cos 3(4 1)(q q q θθθ-++=，其中3q 与1q 分别表示两个电子处于三重态及单态下的散射截面。 12-12 质量为m 的粒子束被球壳δ势场散射，)()(0a r U r U -=δ，在高能近似下，用玻恩近似计算散射振幅和微分截面。 第十章 量子力学基础 思 考 题 10-1 什么是绝对黑体？它与平常所说的黑色物体有何区别？ 答：(1)在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光，这种物体称为绝对黑体，简称黑体。但黑体自身要向外界辐射能量，黑体并不一定是黑色，它的颜色是由它自身所发射的辐射频率决定的。若温度较低，则它辐射的能量就很少，辐射的峰值波长会远大于可见光波长，会呈现黑色；若温度较高，则它辐射的能量就很大，辐射的峰值波长处于可见光波长范围内，会呈现各种颜色。 (2)平常所说的黑色的物体，用肉眼看起来是黑色的，只表明它对可见光强烈吸收，并不能说它对不可见光（红外线、紫外线）都强烈吸收，所以黑色物体的单色吸收本领并不恒等于1，一般不能称为黑体。 10-2 若一个物体的温度(绝对温度数值)增加一倍，它的总辐射能增加到多少倍? 答：根据斯特藩－玻耳兹曼定律，绝对黑体的总辐出度(总辐射能)为 ()()40 d T T M T M B B σλλ==?∞ 现在，212=T T ，于是 1624 4 1212==??? ? ??=T T M M 即绝对黑体的温度增加一倍，它的总辐射能将增至为原来的16倍。 10-3 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩位移定律估算人体的电磁辐射中单色辐出度的最大波长（设人体的温度为310K ）。 答：根据维恩位移定律 m T b λ= 可得 (m)1035.9310 10898.263 --?=?==T b m λ 10-4 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？ 答：物体要能够被眼睛观察到，必须需要两个条件：（1）物体要发射或者反射出眼睛能感觉到的可见光，其波长范围大约为0.40～0.78μm ；（2）可见光的能量要达到一定的阈值。根据黑体辐射，任何物体在一定温度下都发射出各种波长的电磁辐射，在不同温度下单色辐出度的峰值波长不同。黑暗中周围物体的温度等于环境温度（近似为人体温度），单色辐出度的峰值波长在10μm 附近，在可见光波长范围的电磁辐射能量都比较低，因此不能引起眼睛的视觉响应。 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态 能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态) cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===) 0(3)0(2)0(1。在不含时 微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为???? ? ? ?=* *21 1 00E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将 ψ(,) r t 改写为 ψ(,) r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如 何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 二（20分）设粒子在三维势场()a x a z y x U <>?? ?∞ =x 0 ,,中运动，求粒子定态能量 和波函数。 三（20分）一维运动的粒子在态()0 00 <>?? ?=-x x Axe x x 当当λψ中运动，其中 0>λ。求()()???2 2 =???p x 四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 五（20分）对自旋为2 1= s 的粒子，求在 S y 表象中 S x 、 S y 、 S z 的矩阵表示。 B —1—1 第十九章量子力学简介（Ⅱ） (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ ]1.（基础训练10）氢原子中处于2p状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n，l，m l，m s)可能取的值为 (A) (2，2，1，)． (B) (2，0，0，)． (C) (2，1，-1，)． (D) (2，0，1，)． [ ]2.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ ]3.（自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ ]4.（自测提高9）粒子在外力场中沿x轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为E< U0从左向右运动的粒子，若用ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x 二. 填空题 1.（基础训练17）在主量子数n=2，自旋磁量子数的量子态中，能够填充的最大电子数是_________． 2.（基础训练20）在下列给出的各种条件中，哪些是产生激光的条件，将其标号列下： (1)自发辐射．(2)受激辐射．(3)粒子数反转．(4)三能极系统．(5)谐振腔． 3.（自测提高16）有一种原子，在基态时n= 1和n= 2的主壳层都填满电子，3s次壳层也填满电子，而3p壳层只填充一半．这种原子的原子序数是 4.（自测提高17）在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态： (1) n =2，l =_____，m l= -1，． (2) (2) n =2，l =0，m l =_____，． (3) n =2，l =1，m l = 0，m s = ． 三. 计算题 1.（自测提高22）已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的波函数为 ，n = 1, 2, 3, … 试计算n = 1时，在x1 = a/4 →x2 = 3a/4区间找到粒子的概率。量子力学曾谨言习题解答第十一章
量子力学习题第一部分
第十六章 量子力学基础
第一章 量子力学基础和原子结构
量子力学习题.(DOC)
第十九章 量子力学基础2(答案)
11第十九章量子力学基础2作业答案.doc
量子力学课件第十一章
作业10量子力学基础( I ) 作业及参考答案
周世勋量子力学习题及解答
量子力学曾谨言第十章第十一章习题答案
量子力学习题解答
量子力学练习题
量子力学第十章习题
第十章～第十一章习题+解答
量子力学第十二章习题
第10章量子力学基础
量子力学习题分析
第十九章 量子力学基础(Ⅱ)
相关主题
文本预览