第十章 全同粒子
10.1 两个自旋为
2
3的全同粒子组成一个体系，问体系对称的
自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？
解 2
31=
S ，2
32=
S ，体系的可能S 值为
21S S S +=，121-+S S ，221-+S S ，…，21S S -
于是
?
???
???=-=-+=-+=-+=+=+0
3122132
3232121212121
S S S S S S S S S S 当S 给定时，z S 可取12+S 个值，故
3=S 时，z S 取7个值???????±±±0
12
3
2=S 时，z S 取5个值???
??±±0
12
1=S 时，z S 取3个值???±0
1
0=S 时，z S 取1个值 0 于是，总共应有16个状态。
对每个粒子而言，因2
32,1=
S ，其在z 方向投影可取
412
3212=+?
=+l 个值，即z S 1，2
1,232±
±=z
S
，故每个粒
子可能有4个态，即对第一个粒子有
)1(2
1χ，)1(2
1
-
χ
，)1(2
3χ，)1(2
3-
χ
对第二个粒子亦有
)2(2
1χ，)2(2
1-
χ
，)2(2
3χ，)2(2
3-
χ
由它们可组成16个彼此独立的可能组合：
)1(S
χ=)1(2
1χ)2(2
1χ， )2(S
χ
=)1(2
1-
χ)2(2
1-
χ )3(S
χ
=)1(2
3χ)2(2
3χ， )4(S
χ
=)1(2
3-
χ
)2(2
3-
χ
??????
???????+=+=+=+=+=+=-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
)
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1(2
32
12
12
32
32
32
32
32
12
32
32
12
12
12
12
12
12
32
32
12
12
32
32
1)10()9()8()7()6()5(χ
χχχ
χχχ
χ
χχχ
χχχ
χχχ
χ
χχχ
χ
χ
χ
χχχχχχS
S
S
S S
S
??????
???????-=-=-=-=-=-=-
-
-
-
------
-
-)
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1(2
32
12
12
32
32
32
32
32
1
2
32
32
1
2
12
1
2
1
2
12
1
2
32
32
1
2
12
32
32
1)6()5()4()3()2()1(χ
χχχ
χχχ
χ
χχχ
χχχ
χχχ
χ
χχχ
χ
χ
χ
χχχχχχA
A A A A A
第一、二组是对称态共10个，第三组是反对称态共6个，在这些态
中，z S ?的本征值列表如下：
10.2一个体系由三个全同的玻色子组成，玻色子间无相互作用，玻色子只有两个可能的单粒子态，问体系的可能状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
解 设两个单粒子态为α?，
β
?
4)!
12(!3)!133()!
1(!)!
1(=--+=
--+=
单态数粒子数单态数粒子数态数
列表如下
波函数为
)3()2()1(ααα???=I Ψ
)}1()3()2()
2()3()1()3()2()1({3
1II
βααβααβαα?????????++=
Ψ
)}
2()1()3()
1()3()2()3()2()1({3
1III
ββαββαββα?????????++=
Ψ
)3()2()1(βββ???=IV
Ψ
10.3 两个质量为m 的粒子以频率
π
ω
2分别作一维谐振动，二
粒子间以引力)(y x C -相互作用，其中C 为一常数，求粒子的能级和波函数。
解 设两粒子的坐标分别为x 和y ，则此二粒子体系的薛定谔方程为
])(2
12
12
1[22
2
22
22
2
2
22
=--
-
-
+
??+
??ψωωψψy x C y M x M E M y
x
（1）
引进 )(21y x +=ξ，)(21y x -=η （2） 即 )(2
1ηξ+=
x ，)(2
1ηξ-=
y （3） 又令 ε=E M 2
2
，βω=
M ，γω=
M （4）
则薛定谔方程变成 0][2
2222
2
2
2
=--+??+
??ψηδξβεη
ψξ
ψ
（5）
式中 2
2
2
22
2
2
)(
][
+
≡+
=
+=ωωγβδM M
C M （6）
则 M
C +
=+2
2
ωω （7）
用分离变数法解方程（5），令
)()(),(21ηψξψηξψ= （8） 代入（5）式后用)()(21ηψξψ除全式得
εηδη
ψ
ψ
ξβξ
ψ
ψ-=-+
-2
22
22
2
2
22
1
2
111d d d d
因而有
???????????+==-+=-+2
122
222
2212
212
1
20)(0)(εεεψηδεηψψξβεξψd d d d )11()10()9( 将（4）、（6）式代入（9）、（10）、（11）式可将（9）、（10）、（11）式化成
??
?
?????
???+==--=-++2
122
22
222212
12
2
2120)21(0)21(E E E M E M d d M E M d d ψωη
ψψωξψ )11()01()9(''' 现（9'）、（01'）两式都是一维谐振子的方程，其能量分别为
?????+=+=+
),
2
1(),21
(21n E m E ωω )13()
12(
代入（11）式得二粒子体系的总能量
)2
1()2
1(+
++
=+n m E mn ωω （14）
波函数分别为
)(
)(2
211ξβξψβξ
m m H e N -= （15）
)()(2
212ηδηψδη
n n H e
N -= （16）
代入（8）式得二粒子体系的总波函数
)()(),(2
212
21ηδξβηξψδη
βξ
n m n m H H e
N N --=
（17）
10.4 两个自旋为
2
1的粒子间有磁相互作用，设它们的质量很
大，动能可以忽略，2
10???S S ?=λH ，求这个体系的所有能量本征值、简并度及本征函数。 解 体系的哈密顿算答为
)2
3?(2?222
10 -=?=S S S λλH 其中 21???S S S +=
故体系0
?H 的本征态即2?S 的本征态，其本征值为 2
02
3)1([2
-
+=
S S E λ
当1=S 时，体系3度简并，本征函数分别是
)2()1(2
12
1)
1(χχχ
=S
， )2()1(2
12
1)2(--=χχχ
S
，
)]1()2()2()1([2
12
12
12
12
1)3(--+=
χ
χχ
χχ
S
本征值 2
04
3 λ-
=E
当0=S 时，不简并，本征函数为
)]1()2()2()1([2
12
12
12
12
1---=
χ
χχ
χχA
本征值 2
04
3 λ=
E
10.5 有两个质量都是m ，自旋都是2
1的全同粒子，处于宽度
为a 2的一维无限深势阱中，忽略两个粒子间的相互作用，求描写这两个粒子体系的能量本征值和本征函数。并写出基态和第一激发态波的具体形式，指出它们的简并度。
解 由于不考虑两粒子的相互作用，故体系的总能量为
)(82
2212
2221n n a
E E E +=
+=μπ
， ,3,2,1,21=n n
体系的波函数为
)()(z S x χψψ=
对于全同费米子体系，波函数应是反对称的，即
)()(z A S S x χψψ=， A χ是单态
或 )()(z S A S x χψψ=， S χ是三重态
)
()()(21x x x n n S ψψψ=
)]()()()([21)(12212
1
2
1
x x x x x n n n n S ψ
ψ
ψψ
ψ+= 21n n ≠
)]()()()([2
1
)(12212
1
2
1
x x x x x n n n n A ψ
ψ
ψ
ψ
ψ-=
，
基态121==n n ，
0)(=x A
ψ
)
(2sin
)(2sin
1)(21a x a
a x a
a x S ++=
π
π
ψ )
1()2()2()1(2
1)(2
12
1
2
12
1---=
χ
χχ
χχx A
)
(2sin
)(2sin
2
1)()(21a x a
a x a
a S x z A S ++=
=ππχψψ
)]
1()2()2()1([2
12
1
2
12
1
---?χ
χ
χ
χ
第一激发态11=n ，22=n )()(z A S S x χψψ=
)]
(sin
)(2sin
)(sin
)(2[sin
211221a x a
a x a
a x a
a x a
a +++++=π
π
π
π
)]1()2()2()1([2
12
1
2
12
1
---?χ
χ
χ
χ
)()(z S A S x χψψ=是三重态
)(sin
)(2[sin
2
1212
,1a x a
a x a
a ++=ππψ
)]2()1([)](sin
)(2sin 2
12112±±?++-χ
χ
π
π
a x a
a x a
)(sin
)(2[sin
21213a x a
a x a
a ++=
π
π
ψ
)](sin
)(2sin
12a x a
a x a
++-π
π
)]1()2()2()1([2
12
12
12
1---?χ
χχ
χ
第十一章 宏观量子效应
11.1 证明速度算符ν?满足以下对易关系：
[][
]
[]?
??
?
????
?===y x z x z y z y
x B c q
i B c q
i B c
q
i 222?,??,??,?μυυμυυμυυ
证 根据定义 )(1
)(1?ΑΑΡq i q -?-=-= μ
μυ
????
?????-??-=-??-=-??-=)
(1
?)(1
?)(1
?z z y y x x qA z
i qA y i qA x i
μυμυμυ
[]ψυυυυ
ψ
υυ)????(?,?x y y x y
x
-=
ψ
μ))((1
2
y x qA y
i qA x
i -??--??
-=
ψ
μ
))((1
2
x y qA x
i qA y
i -??--??--
?
????+???-=ψψμy A x q i y x 222
1
ψψy x x
A A q y
qA i 2
+??+
ψ
ψx A y
q
i y
x ??-???
+
2
2
?
??-??
-ψψx y y
A A q x
qA
i 2
?
????+??
+??=ψψψμy
qA i x
qA i x A q i x
y
y 2
1
?
??
??
-??-??-ψψψx qA i y
qA i y
A q
i y
x
x
ψμ)(2y A x A q i x y ??-??= ψμz B q i 2 =
因为ψ是任意的，故得
[]z
y
x
B
q i 2?,?μ
υυ =
同理可得其余二式。
11.2 证明在（40-16）和（40-17）式的规范变换下，薛定谔方程形式不变（即证明（40-18）式）。 证 作如下规范变换
()()?
?
?
??
??-='→?+='→t t t ，，r r χ???χA A A （1）
则举电粒子在电磁场中的哈密顿量
()[]()()t V t q t q H ，，r r r A p ++-=?μ
2
,21?
V q q i ++???
??-?=?μ2
21A (2)
变成 V q q i H +'+??
? ??'-?='?μ2
21?A (3)
若再作规范变换
()()()
t t q i
e t Ψ,,,r r r ?χ
=' （4）
则dinger o
Schr 方程 ()H
t Ψt
i ?,=??r
()
t r 1? （5）
将变为 ),(?),(t ΨH
t Ψt
i r r ''='??
（6） 两题具有相同的形式，现证明如下： 注意到
??
?
???+?='?χψψχ
q i e t Ψq i
),(r （7）e
?='?χ
q i
e t Ψ
),(2
r
???
?
?
??-?+???+??Ψq Ψq i Ψq i Ψ222
22)(2χχχ （8） )(
),(t
x Ψ
q i t
Ψe t Ψt
q i
??+
??='??
χ
r (9)
及（3）式的展开式
??'+
?-='A (2?2
2
m
iq H
μ
V Ψq q
+''+
'??+
_2)2
12
2
A A μ
（10）
将（7）~（10）式代入（6）式
??
? ????+??t Ψq i t Ψ
e
i q h
i χχ
=??
?'??+??'+?-）
A A 21(222m q i μ ΨV q q
e q h i χ?μ???++'+1
2
2
2A ?????
????+?-=χμ
χ
Ψip Ψe q i
222
2
????-
?+
Ψq
Ψq i 2
22
2
)(χχ
??
????+??+??+
ΨΨq i
Ψm q i χχA A
[]
?
??
+??-+?+??++
??
??+
??+
?+
ΨV Ψt q
Ψq ΨA
q
ΨΨΨq i )()(2221
2
1)(2
2
2
2
2
χ
χχμ
χχA A
整理后得
ΨH t
Ψi =?? (5)
这就证明了（6）式和（5）式具有相同的形式，即在规范变换
下dinger o
Schr 方程具有不变性。 11.3 证明概率密度ρ和概率流密度j 满足规范不变性。 证
① ΨΨ*
=ρ的规范不变性
Ψe
Ψiq
χ
='
ΨΨ''='*
ρΨe
Ψe
iq *
iq
χ
χ?=-ρ==ΨΨ*
② ])()([21***Ψq ΨΨq ΨA p A p j -+-=μ
])()([21***Ψq ΨΨq '-'+''-'='A p A p j ψμ
ψχμχχ
h iq *iq e q i Ψe ?
???+-?-=-)([21Α ?
???+-?-+-
*
iq iq Ψe
q i Ψe
χχ
χ*
)]([A
][21?
???-?-=-Ψe q -Ψe q Ψe i Ψe iq iq iq *iq χ
χχχχμA
?
???--?-+--*
-][*
iq *
iq iq iq Ψe
q Ψe q Ψe i Ψe
χχχχ
χA
）
Ψe
q -Ψe
q -Ψe Ψe iq i Ψe iq iq iq iq *iq
χ
χ
χ
χχχχμ?????+?-=-A )([21
?
?
??-?+?-
+-
--
-
-
]([*
iq *
iq *
iq *
iqx iq Ψe
-q Ψe q Ψ
e
Ψe
iq i Ψe
χχχχχχA
][21Ψe q -Ψe i Ψe iq iq *iq χ
χχμA ?
???-=- ?
??-?+--][*
iq *
iq iq Ψe
q Ψe
i Ψe
χχχ
A
])()([21*
*
*
*
*
Ψe q -ΨΨΨ
Ψq -ΨΨA p A p ?+?=
μ
j A p A p
=-+-=])()([21*
*
*
Ψq ΨΨq Ψμ
11.4 用（55-10）式的波函数计算粒子的概率流密度x j 和y j 。 解：已知
)]
([1),(0)
(,2
02
2
1x x H e
L
y x n x x iky k
n -=--αψ
α
])()([21***ΨΨΨΨA p A p j
q q -+-=μ ∴ ])?()?([21*
*
*
ΨΨΨx x x x x qA p qA p
-+-=
μ
j
)]([1210)
(2
022
1x x H e L
n x x iky -??
?=
---αμα
)]
([1)
(0)
(2
022
1x x H e
L
qA x i n x x iky x --??-?--αα
)]
([10)
(2
02
2
1x x H e
L
n x x iky -+
--αα
)]([1210)
(2
022
1x x H e L
n x x iky -???=---αμα
())]
([1)
(0)
(2
2
022
1x x H e
L
i n x x iky ---?--ααα
)]([21)(01
)
(2
022
1x x H
n e
L i n x x iky -?-+---αα
)
)]([10)
(2
022
1x x H e
L
qA n x x iky x ----αα
)]
([10)
(2
022
1x x H e
L n x x iky -+
--αα
())]([1)
(0)
(2
2
02
2
1x x H e
L
i n x x iky --?---ααα )]([2101
)
(2
02
2
1x x H
n e
L
i n x x iky -?+----αα
)}
)]([10)
(2
02
2
1x x H e
L
qA n x x iky x
-----αα
)]([2102)(2
202x x H e L
i n x x -???=--ααμα )]([)]([2010)(2
02x x H x x H e L
n i n n x x ------ααα )]
([02)(202x x H e L qA n x x x ----αα )]
([02
)(2
202x x H e L i n x x ----ααα )]
([)]([2010)(202x x H x x H e L n i n n x x --+---ααα )]
([02)(202x x H e L qA n x x x ----αα )([02
)(202x x H e L
qA n x x x --=--αμα
又 ])?()?([21*
*
*
ΨΨΨΨy y y y y qA p qA p
j -+-=
μ
)]([1210)
(2
02
2
x x H e
e
L
n x x iky
-???=---αμα
)]([1)
(0)
(2
02
2
x x H e
e L
qA y
i n x x iky
y --??-?--αα
)]([10)
(2
022
x x H e
e
L
n x x iky
-+--αα ?
?
?
--???---)]([1)
(0)
(2
022
1x x H e
e
L
qA y
i n x x iky
y αα
)]([1210)
(2
022
1x x H e e L
n x x iky
-?
??=
---αμα
)]
([1)(0)
(2
02
2
1x x H e
e
L
ik i n x x iky
- ??
?-?--αα
??
?
----)]([1
0)
(2
022
1x x H e
L
qA
n x x iky y
αα
)]([10)
(2
022
1x x H e
L
n x x iky -+--αα
)]([1)
(0)
(2
022
1x x H e
L ik i n x x iky - ?
?-?---αα ?
??
????-----)]([1
0)
(2
2
2
1
x x H e
L
qA
n x
x iky y
αα
)]([2102
)(202x x H e L
k n x x -??
?=
--αμα )]([02
)
(2
02x x H e
L qA n x x y
--
--αα
)]([02
)
(2
02x x H e
L
k
n x x -+
--αα
)]([02
)
(2
02x x H e
L
qA
n x x y
--
--αα
)]([102)(202x x H e L k n x x -?=--αμα )]([1
02
)
(2
02x x H e
L
L qA
n x x y
-?
---αα
)]([102
)(20
2x x H e L
u qA k n x x y -?-=--αα
11.5 证明引起A-B 效应的相因子是一种Berry 相因子，即由
（50-18）式可得到（50-10）式。
证：设想电子被禁闭于一个盒子中，盒子绕磁通Φ作闭合运动。系统的哈密顿量为
),(???R r A p --+=e H H H e
B （1） 式中B H ?为盒子的哈密顿量，R 是盒子质心的坐标，p 和r 是电子的动量和坐标，),(?R r A p --e H e
中包含电子的动能和禁闭势能。设无势时，电子定态的Born-Oppenheimer 绝热波函数为
)(R r -n ψ，R 可看作为电子运动的外参数，n 是标志不同定态的量子数。在无场有势时，由规范变换可得波函数为
)()()(R r r R r r
R
-'?'=>-?n i
d e
n e ψr A
（2）
其中A 为电磁势。于是矢量势
>-?-<=)()()(R r R r R R n n i n A
?-+?---=)]()()([)(*3
R r R r R R r n
n n
ie r d i ψψψR
A
)(R A
e
= (3)
由此可见，)(R n A 在A -B 效应中与电磁势A 成正比，而
)(R B n 则与磁感应强度B 成正比。
将（3）式代入Berry 相因子 ????=
?=
c
s
n
n d d c S R B
R
R )()()(A γ
第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!)0(ax H k a x k k k πψ = ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0( dx k k x k k k k k ? ∞ ∞ -+-++ ? = }2 12 { 1 )0(1 )0(1 *)0(' 'ψ ψ α ψ
1 ,1 ,' ' 2 112 1+-++ = k k k k k k δα δα （5） 由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是： ,1' -=k k 这时2 1,1' k k x x k k k α= =- （6） ,1' +=k k 这时2 11 ,1'+= =+k k x x k k k α 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2 11( 34102 2 2 210ωρα π q W = )(321010 2 2 2 ωρμωπ q = ~447~ [2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） a x k a x k πψsin 2)(= （1） 根据此式计算矩阵元： dx a x k x a x k a x a x k k ππsin sin 2 ' '??= ?= dx a x k k a x k k x a a x ?=+--= ' ' ])(cos )([cos 1 ππ 利用不定积分公式： 2 cos sin cos p px x p px pxdx x x + ?= ? (2)
第二章 1.波函数/平面波： （1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。 （2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数 2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子. 3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。 （2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。 4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2 5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ?Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2 故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2 d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。 8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞ -∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。 11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程： 两个方程的特点：都是以一 个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。 →哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程: 13.几率流密度 单位时间内通过τ的封闭 表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。 14.质量守恒定律： 15.电荷守恒定律：
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
4.29——6.1 4.29证明在z L ?的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z = [] x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ， ( )( ) ( ) 011 1 =-=-=-= ∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L 同理有：0=y L 。 附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y l ?的平均值不为零，能够证明：,2 1 2y x y x l l i m l l -== 说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ，2?y l 的平均值见下题。 4.30 设粒子处于()?θ,lm Y 状态下，求()2 x L ?和() 2 y L ? 解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程 ()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =， 利用基本对易式 L i L L =?， 可得算符关系 () ()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2 () x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2 将上式在lm 态下求平均， 使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 2 2 y x L L = 又()[] 222 2 2 1 m l l L L L z y x -+=-=+ ()[] 222 2 12 1 m l l L L y x -+= = ∴ 上题已证 0==y x L L 。 ()() ()[] 222 2 2 2 2 12 1 m l l L L L L L L x x x x x x -+= =-=-=?∴
第五章： 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21 ,??????[222z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21 ],??????[2 2 2 z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ （３） 前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４） ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-=
第一章 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反 比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。 解：黑体辐射的普朗克公式为：) 1(833 -=kT h e c h ν νν πρ ∵ v=c/λ ∴ dv/dλ= -c/λ2 又 ∵ ρv dv= -ρλdλ ∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e hc/λkT -1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1) 求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得： 5(e x -1)=xe x 可得： x≈4.965 ∴ b=λm T=hc/kx ≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23) ≈2.9*10-3（m K ） 1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J 故其德布罗意波长为： 07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ? 1.3 √.氦原子的动能是E= 32 KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012 kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K 故其德布罗意波长为： λ = 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2 ≈0 1.2706A 或λ= 而KT E 23 =601.270610A λ-==? 1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求： a ） 一维谐振子的能量： b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ) 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh 得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π) 又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5
第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量
第一章绪论 一、填空题 1、19２3年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等,也具有波动性，对于质量为1克，速度为１米／秒的粒子，其德布洛意波长为 (保留三位有效数字)。 2、自由粒子的质量为m,能量为E,其德布罗意波长为_＿__＿____＿__＿___＿（不考虑相对论效应）。 3、写出一个证明光的粒子性的实验＿_＿___＿___＿___＿_________＿_。 4、爱因斯坦在解释光电效应时,提出概念。 5、德布罗意关系为（没有写为矢量也算正确）。 ７、微观粒子具有二象性。 8、德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系,其表达式为。 9、德布罗意波长为λ，质量为m的电子,其动能为＿___ _ 。 １0、量子力学是的理论。 1１、历史上量子论的提出是为了解释的能量分布问题。用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 12、设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为 nm。 1３、索末菲的量子化条件为，应用这个量子化条件可以 E。 求得一维谐振子的能级= n 14、德布罗意假说的正确性,在19２７年为戴维孙和革末所做的子衍射实验所证实,德布罗意关系(公式)为和。 15、1923年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性。根据其理论,质量为μ,动量为ｐ的粒子所对应的物质波的频率为 ,波长为。若对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 16、1923年, 提出物质波概念,认为任何实物粒子,如
电子、质子等，也具有波动性，对于经过电压为1０0伏加速的电子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 二、选择题 1、利用提出的光量子概念可以成功地解释光电效应。 A．普朗克 B. 爱因斯坦 C. 玻尔 D. 波恩 2、192７年和等人所做的电子衍射试验验证了德布洛意的物质波假设。 Ａ. 夫兰克赫兹 B. 特恩革拉赫 C. 戴维逊盖末 D. 康普顿吴有训 ３、能量为０．1eＶ的自由中子的德布罗意波长为 A. 0.92? B.1.2３? C. １2．6 ? D.０.17 ? ４、一自由电子具有能量1５0电子伏,则其德布罗意波长为 A.1 A B．15 A C.10 AＤ．1５0 A 5、普朗克在解决黑体辐射时提出了。 Ａ、能量子假设Ｂ、光量子假设 Ｃ、定态假设 D、自旋假设 ６、证实电子具有波动性的实验是。 Ａ、戴维孙——革末实验Ｂ、黑体辐射 C、光电效应 D、斯特恩—盖拉赫实验 7、1９00年12月发表了他关于黑体辐射能量密度的研究结果,提出原子振动能量假设，第一个揭示了微观粒子运动的特殊规律：能量不连续。 Ａ. 普朗克Ｂ．爱因斯坦 C. 波尔Ｄ. 康普顿８、普朗克量子假说是为解释 (A) 光电效应实验规律而提出来的 (B) X射线散射的实验规律而提出来的 (C) 黑体辐射的实验规律而提出来的 (D) 原子光谱的规律性而提出来的 ９、康普顿效应的主要特点是
第一章 量子力学基础与原子结构 一、单项选择题（每小题1分） 1．一维势箱解的量子化由来（ ） ① 人为假定 ② 求解微分方程的结果 ③ 由势能函数决定的 ④ 由微分方程的边界条件决定的。 2．下列算符哪个是线性算符（ ） ① exp ② ▽2 ③ sin ④ 3．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0+)（ ） ① sinx ② e -x ③ 1/(x-1) ④ f(x) = e x ( 0 x 1); f(x) = 1 ( x 1) 4．基态氢原子径向分布函数D(r) ~ r 图表示（ ） ① 几率随r 的变化 ② 几率密度随r 的变化 ③ 单位厚度球壳内电子出现的几率随r 的变化 ④ 表示在给定方向角度上，波函数随r 的变化 5.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是（ ） ①薛定谔 ② 狄拉克 ③ 海森堡 ③波恩 6．立方势箱中22 810m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 7 ④ 2 7.立方势箱在22 812m a h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为（ ） ①5，20 ② 6，6 ③ 5，11 ④ 6，17 8．下列函数哪个是22 dx d 的本征函数（ ） ① mx e ② sin 2x ③ x 2+y 2 ④ (a-x)e -x 9．立方势箱中22 87m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 10．立方势箱中22 89m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 11.已知x e 2是算符x P ?的本征函数，相应的本征值为（ ） ① i h 2 ② i h 4 ③ 4ih ④ πi h
第十一章 散射 11.1 引言 11.1.1 经典散射理论 设想单个粒子入射到某一散射中心（比如说，一个质子撞击一个重原子核）。其入射能量为E ，碰撞参数为b ，以散射角θ出射?如图11.1所示（为了简单起见，假定靶在方位角方向是对称的，那么轨道将在一个平面上，并且靶很重，反冲可以忽略）。经典散射理论的基本问题是给定碰撞参数，计算散射角。一般来说，碰撞参数越小，散射角越大。 图11.1：经典散射问题，碰撞参数为b ，散射角为θ。 图11.2：弹性刚球散射。 例题11.1 刚球散射。假定靶是一个半径为R 的刚球，入射粒子被它弹性散射（如图11.2所示）。用α表示，碰撞参数为sin b R α=，散射角为2θπα=-，所以，
sin cos 222b R R πθθ???? =-= ? ????? [11.1] 显然， ()12cos ,if , 0, if .b R b R b R θ-?≤=?≥? [11.2] 一般地，入射到横截面面积为d σ的无穷小面元内的粒子将被散射到相应的无穷小立体角d Ω内（如图11.3所示）。若d σ越大，d Ω将越大；比例系数，()/D d d θσ≡Ω，称为微分（散射）截面： 1 图11.3：入射到面积d σ内的粒子被散射到立体角d Ω内。 [11.3] 利用碰撞参数和方位角φ，d bdbd σφ=，sin d d d θθφΩ=，所以， ()θ θθd db b D sin = [11.4] (由于θ通常是关于b 的减函数，导数实际上是负的—所以要加上绝对值符号。) 例题11.2 刚球散射（续上例）。对刚球散射（例11.1）， ?? ? ??-=2sin 21θθR d db [11.5] 从而， 1 这是很不恰当的用语：D 不是微分，它也不是截面。就我所知，用d σ代表名词“微分截面”更为恰当。 但是恐怕我们还得使用这个术语。我也想提醒你们注意记号D (θ)是不标准的：大多数人把它称为/d d σΩ —这使得等式11.3看起来像是同义反复。我认为如果我们单独用一个符号来代表微分截面的话，它将会带来较少的混淆。
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数
（二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数
2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 ,
第四章态叠加原理及力学量的算符表示 4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4) 4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6） 4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？ （2）是否厄米算符？ 4-4 证明下列算符哪些是厄米算符： 4-5 （1）证明（2） 4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2） 4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。又问，算符的情况下，是什么样的算符？ 4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。进而求的本征值。 4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。 4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？ 4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。试证明之。 4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。 4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？ 4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？ （2）它的动量有没有确定值？ 4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。（a）试求C3的数值。（b）写出在t时的波函数。（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？
4-16 证明下列对易关系： ，4-17 证明下列对易关系：
第四章：力学量用算符表示 [1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[] .2)(,2hipf q f p q = （证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q []qf p f qp fq p f qp f p q 2222 2 ,-=-= f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-= （2）)(])(,[pf fq ih p q pf q += （证明）同前一论题 )(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-= （3）ihfp p q f q 2])(,[2 = [证明]同前一题论据： fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2 hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-= （4）i f p i h q f p p 22 )](,[= [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 i f i h q f p = )](,[ dq df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-= 物83-309蒋 ~80~
i f p i h f p p 22],[= = （5）p pf i h p q pf p i = ])(,[ （证明）论据同（4）： p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-= p pf i h i = （6）2 2 ])(,[p f i h p q f p i = （证明）论据同（4）： 2 2222)(],[p f i h p fp pf fp pfp fp p i = -=-= (2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。 以及 看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。 ~81~
第一章 绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温 度T 成反比，即 b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。 [解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为 ννπνρννd e c h d kT h 1 183 3 -= 由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =, λ λ νd c d 2 + = 因而有： λλπλλρλ d e hc d kT hc 1 1 8)(5 -= 令 λkT hc x = 所以有： 11 )(5 -=x e Ax λρ （44558c h T k A π=常数） 由 0 ) (=λλρd d 有 0)1(115)(254=??????---=λλλρd dx e e x e x A d d x x x 于是，得： 1 )51(=-x e x 该方程的根为 965.4=x 因此，可以给出， k hc xk hc T m 2014.0== λ 即 b T m =λ （常数） 其中 k hc b 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--????? = k m ??=-310898.2
[注] 根据 1183 3 -= kT h e c h νννπρ 可求能量密度最大值的频率： 令 kT h x ν= 11 3 -=x e Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dx e Ax dx d d d x 因而可得 1 31=??? ?? -x e x 此方程的解 821.2=x h kT h kTx 821.2max == ν b T T b '=?'=-1 max max νν 其中 3423 1062559.610380546.1821 .2821.2--??=='h k b 1910878.5-???=s k 这里求得m ax ν与前面求得的m ax λ换算成的m ν的表示不一致。 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 [解] 德布罗意公式为 p h = λ 因为价电子能量很小，故可用非相对论公式 μ22 p E = 代入德布罗意公式得 λ= = 这里利用了电子能量 E eV =。将普朗克常数h ，电子质量μ和电子 电量电e 的数值代入后可得
第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω= 中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω= ==。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 得ω ωπm n m nh a 22== （3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-?arcsin 222222 2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, 粒子能量 1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用,,2,1,20 ==?n nh d p π ?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2?=。 解：平面转子的转角（角位移）记为?。 它的角动量. ??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件
第十章：散射问题 [1]用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面： （1） a r a r V r V >a (3) r e r V ar -=β )( )0(>a (4) ar e V r V -=0)( )0(>a (5) 2 )(r a r V = (解) （1）先列出玻恩近似法的基本公式。根据理论，如果散射粒子所在的势场是)(r V 。粒子质量是μ，粒子的波数是k （因是弹性散射，在散射前后都用此文字表示，它与能量E 的关系是2 2 2 E k μ= ）散射角度是θ，而)(θq 表示以下参数： 2 sin 2)(θ θk q = （1） 则与散射方向θ对应的散射振幅用下述一维定积分计算 ? ∞ ??-= 2 sin )(2)(dr r qr r V q f μθ （2） 是为玻恩的散射振幅公式一般适用于高能量散射，若)()(0a r V r V <-= 代入（2）： ? ??= a dr r qr q V f 0 2 0sin 2)( μθ 利用积分公式 qx q x qx q qxdx x cos sin 1sin 2 - = ? 于前一式，注意上下限为a 和0。 )c o s s i n (2)(2 20q qa a q qa q V f --= μθ （3） 微分截面：
2 2 2 4 2 022 )c o s s i n ( 4) ()(q qa a q qa q V f - = = μθθσ ~400~ 第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!) 0(ax H k a x k k k πψ= ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0(
第二章（一维）算符理论 本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。 1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上 ①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =?=αβ 。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。 ②微分算子：在微积分中2222,,,i i x f x f dx f d dx df ???? 也可简写成f f f D Df 22,,,??。前两种在解 欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算 ③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f D mix μ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数 ⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。 考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征方程是ψ=ψλQ ?或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」 （或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ， 如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ） ⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i λ。在这次测量后，假设得到
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 λ h P =。 所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0?=<<），满足 e k m p E 22 =， 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1， eV c m e 621051.0?=。 最后，对 E m h e 2= λ 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 自然单位制： 在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c ，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k ）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV ）。例：1nm=5.07/keV ，1fm=5.07/GeV ， 电子质量m=0.51MeV . 核子（氢原子）质量M=938MeV ，温度5 18.610K eV -=?.