第十章：散射问题
[1]用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面：
（1） a
r a r V r V >
?-=0
)(0
（2） 2
0)(ar e V r V -= )0(>a (3) r
e
r V ar
-=β
)( )0(>a
(4) ar e V r V -=0)( )0(>a (5) 2
)(r
a r V =
(解) （1）先列出玻恩近似法的基本公式。根据理论，如果散射粒子所在的势场是)(r V 。粒子质量是μ，粒子的波数是k （因是弹性散射，在散射前后都用此文字表示，它与能量E 的关系是2
2
2
E k
μ=
）散射角度是θ，而)(θq 表示以下参数：
2
sin
2)(θ
θk q = （1）
则与散射方向θ对应的散射振幅用下述一维定积分计算
?
∞
??-=
2
sin )(2)(dr r qr r V q
f μθ （2）
是为玻恩的散射振幅公式一般适用于高能量散射，若)()(0a r V r V <-=
代入（2）：
?
??=
a
dr r qr q
V f 0
2
0sin 2)( μθ
利用积分公式
qx q
x qx q
qxdx x cos sin 1sin 2
-
=
?
于前一式，注意上下限为a 和0。 )c o s s i n (2)(2
20q qa
a q
qa q V f --= μθ （3） 微分截面：
2
2
2
4
2
022
)c o s s i n (
4)
()(q
qa
a q
qa q
V f -
=
= μθθσ
~400~
第十一章：量子跃迁
[1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求：
（1）跃迁选择定则。
（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。
（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则：
为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396）
)(34/
/'2
22
2
k k k k k k r q W ωρπ→
=
（1）
式中2
'
→
k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→
k
k
r /
仅有一项
2
/k
k x )(34/
/'2
22
2
k k k k k k x q W ωρπ
= （2）
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ?
∞
∞
-=
)
0('
/ψ （3）
式中)(2
)(!)
0(ax H k a
x k k
k
πψ=
，
μω=
a
~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2
12
{
1
)0(1
)0(1
)0(+-++
=
k k k
k k x ψ
ψ
α
ψ
（4）
代入（3），利用波函数的正交归一化关系：
mn n
x
n
dx δψ
ψ
=?)0(*
)0(
dx
k k x k k k
k k ?
∞
∞
-+-++
?
=
}2
12
{
1
)0(1
)0(1
*)0('
'ψ
ψ
α
ψ
1
,1
,'
'
2
112
1+-++
=
k k
k k
k k δα
δα
（5）
由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是：
,1'
-=k k 这时2
1,1'k k x x k k k α=
=- （6）
,1'
+=k k 这时2
11
,1'+=
=+k k x x k k k α
因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。
（2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2
11(
34102
2
2
210ωρα
π
q W =
)(321010
2
2
2
ωρμωπ q
=
~447~
[2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。
（2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。
（解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端）
a
x k a
x k πψsin
2)(=
（1）
根据此式计算矩阵元： dx a
x k x a
x k a
x a
x k k ππsin
sin
2
'
'??=?=
dx a
x
k k a
x
k k x a
a
x ?=+--=
'
'
])(cos
)([cos
1
ππ
利用不定积分公式：
2
cos sin cos p
px x p
px pxdx x x
+
?=
?
(2)
a
x
k k k k ax a
x
k k k k a
a
x
k k k k ax a x k k ππ
ππ
ππ)(sin
)()(cos
)()(sin )({1
'
'
'
2
2
'
2'
''++---+
--=
~448~
a
a
x
k k k k a
0'
2
2
'
2})(cos
)(ππ
+--
2
2
2
'2
'
)
(1
)1(4'
k k
ka
k k
k ---?
=
+π
(3)
从最后一式知道，要使矩阵元0'
≠k k x ，k k +'必需要是奇数。但这个规律也可以用别种
方式叙述，当k k +'是奇数时
k k k k k -=-+'
'
2
必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数
),2,1,0()
12('
=-=±n n k k
因此'
,k k 二者之中，一个是奇另一个是偶。 （2）跃迁速率：依前题公式（1） )(34'
''2
2
2
2k k k
k k k x q W ωρπ
=
)(]1)
1[()
(364''
2
4
2
2
'22
'2
2
2
2
k k k
k k k
k
k q a ωρπ?--?-?=
+
（4）
=±k k '偶数时0'=k k W ，=±k k '
奇数时
)()
(3256'
'4
2
2
'22
'2
2
2
2k k k k k k
k
k h
q W ωρππ-?=
（5）
粒子从基态1=k ，跃迁到任何一个偶数态n k 2'=的速率：
)()
14()
(
3
10241,24
2
2
2
1,2n n n n
qa
W ωρπ-=
~449~
[3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z 轴方向、电场沿z 轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是： ???
??><=-)
()
0()
0(0
)(10为常数τεετ
t e
t t
求时间充分长后，氢原子跃迁到2s ，或2p 态的几率。
（解）按照习惯表示法，氢原子的初态（k 态）的波函数是：100ψ，末态（'k 态）的波函数是200
ψ
或m
21ψ
，它们的显式是如下：
1s 态 a
r e a -=
3
1001
πψ （1）
2s 态 a
r e
a
r a 23
200
)2(321
-
-
=
πψ
（2）
2p 态 ?
θπψ
i a
r e e a r
a ?=
-
s i n )(8123
211
（3a ）
?
θπψ
i a
r e
e a r
a --
-?=
s i n )(81
231
,21 （3b ）
θπψ
cos )(32123
210
a
r e
a
r
a
-
=
（3c ）
~450~
这些公式后面都要用来计算几率。从题意看来，原子所受的微扰是个随时间变化的函数，而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不同（光的电磁场是看作各向同性的），因此只能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式§ 11-1公式（24）
dt e
H t C k k i t
k k i
k k )
(0
''
''1)(ωω-?
=
（4）
微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：
微扰算符Λ
'H 在初态k ψ（即100ψ）以及末态（即200
ψ或m
21ψ
）'
k
ψ
之间的矩阵元是：
将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用∞→t 表达：
~451~
（7）
（前式中利用了1
)
(
'=
-t
i
k
k
eω
ω
）
其次计算偶极矩阵元与无关部分
k
k
ez
'
)
(，按题意，要求两种跃迁几率，下面分别进行：)
2
1(s
s→跃迁，即从态
200
100
ψ
ψ跃迁到的几率：
?
θ
θ
π
θ
π
?
θ
d
drd
r
e
a
er
a
a
r
a
ez
a
r
a
r
r
sin
]
1
][
cos
[
]
)
2(
32
1
[
)
(
2
3
2
3
100
,
200
?
-
=
-
-
?
?
?
sin
cos
)
2(
32
1
2
3
2
3
=
?
-
=??
?-
-
∞
=
ππ
?
θ
θ
θ
π
d
d
r
d
r
e
a
r
a
a
r
a
r
r
（8）
代入（4）中知道s
s
W
C2
1
,0
100
,
200
100
,
200
向
即自
=
=的跃迁不存在。再考察)
2
1(p
s→的跃迁，由于2p有三种不同态，自1s跃迁到每一态都有一定几率，因而要分别计算再求总和。
?
θ
θ
π
θ
θ
π
?
?
θ
d
drd
r
e
a
er
e
e
a
r
a
ez
a
r
i
a
r
r
sin
]
1
][
cos
[
]
sin
)
(
8
1
[
)
(
2
3
2
3
100
,
211
?
=
-
-
?
?
?
??
?
==
-
?
?
=
π
θ
π
?
??
θ
θ
θ
π
2
2
2
3
4
4
cos
sin
8
d
e
d
dr
e
r
a
e
i
a
r
r
（9）
~452~ 同理可求 ?
θθπθθπ?
?
θd drd r e a
er e
e a
r
a ez a
r i a
r r
sin ]1
][
cos []
sin )(81[
)(2
3
23
100,211?=
---
???
???=--
?
?=
ππ
??
?θθθπ0
20
2
234
4
cos sin 8d e
d dr
e r a
e
i a
r （10）
?
θθπθθπd drd r e
a er a
a
r
a ez a
r a
r sin ]1
][
cos []
cos )(321[
)(2
3
23
100,200?=
-
-
???
?
?
?∞
====-
?
?
=
r r a
r d d dr e
r a
e 0
20
2
234
4sin cos 32πθπ
??θθθπ
ππ
θπ20
)
cos 3
1()3
2(
!4323
5
4
-
?-??=
a a
e
ae 5
5*73
2
=
（11）
将三种值分别代入（7），得0,0100,121100,211==-C C
相应的跃迁几率（态——态自210
100ψ
ψ）因a
e
E a
e E k k 282
12
2'-=
=
-=
=
ωω
~453~ 量子力学题解（P454—P473）
??
+
=?
-+=?+
-=
=32
)
83(
2
2
2
2
22
15
2
11
3
215]2)'(21[2
220223
2
15
]
2
1
)'(2
[22022|100
210|2
100210ω
ωτωωτE ω
τωωE τ
E
τa e a e k k a e
k a e
，C W ，
#
[4]计算氢原子的第一激发态的自发辐射系数。 （解）按照爱因斯坦辐射理论，这系数是：
|34'
|2
2
3
2'
'
r c
e A k
k k
k k
k ω=
（1） 第一激发态是指E 2的态（四度简并的），从第一激发态只能跃迁到基态E 1。关于偶极矩阵元，应注意到：
||
|
|'
|
'|
'|
'|2
2
2
2
z y x r k
k
k k k
k k
k ++= （2）
现在应当分别就四种跃迁计算其跃迁的几率，最后求总和，这才能代表E 2—> E 1的跃迁。 （i ）（200—100跃迁）按照氢原子选择定则：
1
01'
'
±±=-==-=或m m m l l l ?? （课本P397） r
的矩阵元才不全为零。因此这种跃迁是禁约的（l ='l =0）
。但是我们也可以不用这个定则，直接用波函数得出这结果：
()
31
1
1
20
2
2332
3
23
100
210cos sin )2(32sin cos sin )2(32==
?
=
???--???
-
-
-
π
π
?
?θπ?
θθπ?θπd dr e r a r
a
d drd r
e a
r e
a r
a
x
r
a
r a
r
a
r ，
（3a ）
()
2
3
1
1
1
20
2332
3
23
100
210sin sin )2(32sin sin sin )2(32==
?
=
???--???
-
-
-
π
π
?
?θθπ?θθπ?θπd d dr e r a r
a
d drd r
e a
r e a r
a
y
r
a
r a
r
a
r ，
（3b ）
()
20
cos sin 323)2(323
1sin 23
1
cos 2)2(3231100210=???-
-=
-
?--
???
=π?
π
θθθπ?
θθπθ
πd d dr
r
e
r a r a r a
d drd r
e
a r
a r e
a
r a r a
z ，
（3c ）
代入（2）和（1）得
100
210=A
，
（4）
（ii ） （210->100跃迁），这种跃迁不违背定则，是可能的。
[]
020cos cos 0sin 2
423324
1
sin 23
1cos sin cos 2)(3231100210=???-=
????
????-????????
?????-=π
??θθθππ?
θθπ?θθπd d dr r
e r a r a d drd r e a r a r e a r a
r
a x ，（5a ）
020
sin cos 0
sin 2
4233241
100210=???-
=
π
??θθθπ
πd d dr
r
e r a r a y ，
（5b ）
()()
a a a
d d dr
r
e
r a r
a z ，35
25723
23
25!4324
120
cos
20sin 4233241
100210?=??
?=
????-
=
π
ππ?θ
θπ
θπ
（5c ）
代入（1）得
a c
k k c A ，35
2572
333
'42100210??= ω
（6）
前式中的共振频率ωk ’k 用k ’=2,k =1代入，并使用氢原子能级公式：
()
832223
4
2
4
2
2
4
2
1
1
211e e
e
E
E
，μμμω
=????
? ?
?
+
-=-
=
? 代入（6）得：
6
3
10
8
2
10
15
3
3
2100
210323
2
833422
3
4
c e e e c e A
，μμμ?
=????
? ??=
??? ?????
? ??????
?
? （7） （iii ）211—>100跃迁：仿照前一计算：
[]
()
a a a d e i d r dr
e r a r a d drd r e a r a r r e i e a
r
a r x 3527cos 31cos 3
03
2!
45
841
20
cos 0sin 30
42384
1sin 231cos sin sin )(23100,211=????
?
?
??
?
?+-=?=??=??∞
=-
=???
?????-????????
?
??????
-=θθπππ
????θθπθπ?θθπ?
θθ??θ
（8a ）
[]
()
[]
ai i a a d e i d r dr e r a r a d drd r e a r a r r e i a r a
a r y 3
527
3cos 3
1cos 03
2!45
84120
sin 0sin 3042384
1sin 231sin sin sin )(3812100,211=???
?
?
????
?+-=
?=??=??∞=-=???
?????-??????????
?
??????-=πθ
θπππ
??
??θθπθπ?
θθπ?θθ??θπ
（8b ）
[]
20
cos 0sin 20423831
sin 231cos sin )(3812100,211=?=??=??∞=-=???
?????-??????????
?
??????-=π
???θθθπθπ?
θθπθθ??θπd e i d r dr e r a r a d drd r e a r a r r e i a r a
a r z
（8c ）
因而有：
a
a
a
z y x r 2
10
15
2
10
14
2
10
142
2
2
2
3
23
23
2|
|
||100,211|
100,211|
100,211|
100,211|
=
+
=
++=在代入（1）有：
6
3
10
8
2
3
321
2
100
21132|
34100,211|
c e r c
e A
，μω
?
=
=
??? ??
（9）
（iv ）21-1—>100跃迁：
关于这种跃迁，在偶极矩阵元的计算上，只是Ψ21-1的ψ部分有差异即应将Ψ211中的e i ψ
更换
成e
-i ψ
，计算所得数值与（8a ）、（8b ）、（8c ）相同，即（只是
ai
y
，3
25
7
100
121-=
-，不影
响A 的值）：
6
3
10
8
100
12132c e
A
，μ?
=
??? ??-
（10）
按题意，从第一激发态跃迁到基态的几率，应当包括第一激发态的四种简并Ψ200，Ψ211，Ψ21-1，Ψ210分别跃迁到Ψ100的总几率，所以应当将（7）
、（9）、（10）求总和，于是有： ()()()
6
310
3728631032863103286310328100,121100,211100,210100,20012c e c e c e c e A A A A A s p μμμμ?
=?+?+?=-+++=→
根据前一题计算所得到的自发辐射系数A 2p->1s ，以及相应的发射频率ω21的值，我们可以求得赖曼系中第一条线的强度I 21（ω2,1）。
()
8
3214
362522483631037282212212112c e n p e c e n p A n p I s p μμμωω??
=????
?
??????? ????=??=→
这里n 2p 是辐射前处在2p 态上的氢原子数目。其它能级间有跃迁时，I k ’k （ωk ’k ）的计算也按上述步骤。 #
[5]设有一个自旋是2/ 的粒子，相应的磁矩是s g =μ，粒子置于旋转磁场中，磁场是：
t B B
x
ωcos 0
=
t B B
y
ωs i n 0
=
B
B
z
=
（常数）
粒子与磁场的作用能是：
B s g B ?-=?-μ
又设粒子原先处于2/ 的态讨论情况和跃迁几率。
（解）本题是一个具有自旋的体系，所受的微扰是随时间变化的，但不同于光照射，因此不能使用光照跃迁公式（12）也要用最普遍的随时间变化的跃迁公式（24和25式）,计算中的算符可用角动量表象。 微扰算符 ：
??
???
?????---=
???
?
????-+--=
∧
-
∧
-
∧
-=
∧
-∧-∧-=∧+∧+∧
-=?-=∧
B e t
i B e
t i B B
g B
t i t B t i t B B
g x
B g x t B g x t B g s z gB s y t gB s x t gB s B z t s B y t s x B g B
s g H ωωωωωωσσωσωωωωω0
02)
sin (cos 0)sin (cos 022
sin 2
0cos 2
0sin 0cos 0)
0sin 0cos (0'
（1）
其次，设法来表示体系的初末状态，因为有自旋，所以波函数适宜用旋量式，按题意粒子的自旋的初态是正的自旋，因此若设定轨道运动为)
(r k
ψ
??
????=
01)
()
,(r s r k
x
k
ψψ
末态方面，由于自旋只可能有两种，因而只会有两种指定的末态。此外，因为微扰是磁场，它引起的附加能量只与自旋有关，与轨道运动无关，轨道波函数是不变的，所以，所述两种末态波函数是：
??
?
???=
01)
()
,('
r s r k
x
k
ψψ （3a ）
??
?
???=
01)
()
,('
'r s r k
x
k
ψψ
（3b ）
在能量方面，若一开始粒子就在磁场之中，则除轨道运动能量外应考察自旋轨道相互作用：
2
)0(ghB E
E
k
k
-
=
（4）
但E k )
0(是轨道能量，同理，末态的总能量是：
2)0('
ghB E E k
k -=
（5a ） 2
)0('
'ghB E
E k
k
+
=
（5b ）
根据（3）的两个式子，配合（1）和（2），可算得矩阵元。先对第一种跃迁进行计算，即k —>k ’情形，假定)
(r k
ψ
是归一化的。
[][]
)
6(2
100
,1
2)()(*
'01000
,12),('),(*''B g e t i B B g d r k r k B e t
i B e
t i B B g d s x r k H s x r k H k
k -=
????
?
??
???-=
???????????????
????
?---=
∧
???=ωτψτψωωτ
ψτ
ψ
再根据与时间有关的微扰跃迁振幅公式（24）
dt
H e i
t C k k t
t
k k i k k '
)'('1)(?-=
ωω
（7）
此式中
)]2)0(()2)0('[(1
)'(1
)'(=---=-=
-B g E k B g E k E k E k k k
ωω
将此结果连同（6）代入（7）式，得：
gBit t B g i
t C k
k 2
1)2
(1)('=
-
=
跃迁几率
t
B g t C
t P k
k k
k
k
2
22
2
4
1)
()
('=
=
（8）
这是指粒子处在原状态的几率，是与时间平方成正比的。 再计算第二种跃迁几率，即k —>k ’’的情形
同样可以用（7）来计算跃迁振幅，此式中的频率跃变（实际上是能量跃变） gB
B g E k
B g E k E k E k k k =-
-+=
-=-
)]2
)0(()2
)0('
[(1
)''(1
)''(
ωω
代入（7）式（k ’更改为k ’’）
dt
e B gi dt e
B g e
hi
t C t
t gB i t
gBt i k k t
i ?+=
?-=
)(0)(0
)
(''2
2
1)(0
ωω
最后一式是虚指数积分，近似地用δ函数表示（时间很长以后）
e
gB t gB B
g gB i e B g t C
i
gB t
gB i k
k
2
)()('
')
()
2
(
sin )
(21)(2
2
ωωωω
ω+=
+++-+--=
跃迁几率
)2
(
4
''20
2
2
20
2
)
()
2(
sin )(ω
δπωω
+>
-++=gB t
k
k B
g gB t gB B
g t P
（10）
[][
]
)
9(02
101,02)()(*'0
10001
,02),('),(*''''''e
t
i B B g e t i B B g d r k r k B e t i B e
t i B B
g d s r k H s x r k H
k k ωωτψτψωωτψτψ -=
?????
??
???-=
????
???????????
????
?---=∧
???=
若将（10）式展开t 2项再和（8）式相加，近似地验证了跃迁几率的守恒性质。 #
[6]氢原子处于基态加上交变电场)(0e
e
t
i t
i ωω-+=
E E
，>>
ω 电离能，用微扰论
一级近似，计算氢原子的每秒电离的几率。
（解）本题的性质属周期性微扰问题范围，但这过程中的末状态是电离态，电离态可以包括一切方向传播的平面几率波，因此在跃迁几率方面要用类似于弹性散射的积分计算。 根据11.3章周期性微扰论，若体系受微扰：
)(2
'e
e H
t
i t i W ωω-∧
+
=
（1）
则在较长的时间以后，体系从一个单态E k ，跃迁到一个单态E k ’的跃迁几率W k ’k
是以下式表示的：
()ω
δπ
h E E W
W
k
k
k
k k
k -
-
=
'
'
'2
2
见P388—389公式（6）
在本题的情形，微扰能量乃是器原子在交变电场中的势能（忽略磁势能），将原子看作偶极子OP （附图），则微扰算符是：
))(('0e
e
E r
e E
r e H
t
i t
i ωω-∧
+
?=
=
?
假定电场矢量的振幅E 0在参考系中的分量是（E 0x ，E 0y ，E 0z ）用球坐标表示电子位置时，有：
)
)(cos 0sin sin 0cos sin 0())(000('e t i e t i r E z r E y r E x e e t i e t i z E z y E y x E x e H
ωωθ?θ?θωω-+++=-+++=∧
（2）
因此微扰算符中坐标有关的部分是：
)
(cos sin sin cos sin 2
1000^
θ
?
θ?
θr E r E
r E e W
z
y
x
+
+
=
（3）
为了计算单态与单态间的跃迁速率（2），需要求初末态矩阵元W k ’k ，按题意，初态是氢的基态，其波函数是：
e
a
a
r
-=
πψ
2
100
1
（a 是玻尔半径）
跃迁的末态是自由态（即正的能态），它的波函数是平面德布罗意波，但这种态的波矢量k （与动量p 成正比）与能量E k 的关系：μ
22
2k
E k =
是任意的，方向亦是任意的。我们
假定波矢量k 已经确定，并且沿z 轴，又假设氢原子关闭在体积L 3的立方体中（箱归一化），则可写出末态的波函数：
e
L
e
L
ikr ik k
θ
π
ψ
cos 3
3
1
1
=
=
（4）
下面计算微扰的空间部分W 在前述两单态中的矩阵元：
)
5(sin 2
2
)cos 0sin sin 0cos sin 0(2cos 3
1100^
*1
,?
θθπθ?θ?θθτψτψd drd r a e a
r r E z r E y r E x e e ikr L
d W k W
k ?-
?
++?-???
=???= 注意这个积分包括三部分，并且积分变量r ，θ，?是分离的。与?有关的积分中，因：
?==π
??
?20
0cos d
?==π
??
?20
0s i n d
因此（5）式中只有与E 0x 有关的积分不为零，在下面的计算中，积分的次序是r ，θ，?：
?∞---+-----+-?=
?∞-----?=
?∞-+----?=
?∞=?=?-+-?-=
?∞=??=-?-=
?∞=?=--?==0)](2)([13
3400
}{
2133400}|cos |01{213
3400}0sin cos |cos cos |0{1333400
0cos )cos (1333400
)0cos sin cos (32033201,dr e ikr a r
e ikr a r r e ikr a r e ikr a r ik
r ik L a E e x dr e ikr ikr e e ikr ikr e a r r ik L a E e x dr
e ikr ikr e e ikr ikr e a r r ik L a E e x r dr d e ikr e ikr ikr e a r r L
a E e x
r dr d e ikr d d ikr e a r r L a E e x
r dr d e
ikr e a r
r d L a E
e x
W k ππππθππππθθθθθθππππθθθθθ
πππθθθθθπ??π利用定
积分公式：
a
n dx x e
n n
ax
1
!0
+=
?∞
-
于前一积分得：
)221(3
335640]}
)
1(22
)
1(21
[1])
1(21
)
1(21
[21{3
3401,k a L a E
ek a i
ik a ik a ik ik a ik a k L a E
e x W k +-=
++--
+---
=
πππ
代（2）得：
)()
1(21222
20211
10
6
3
3
1
,ωδππ
--?+?
=
E E k a L a k
E e a W
k x k
（7）
其次计算自初态跃迁到末态为中心的，包括一切邻近态在内的总跃迁速度，根据11.2章常微扰相类似，要考虑累计效应，在箱归一化的条件下，电子的动量分量是量子化的，表示为：
n
L p
x
x
π2=
，
n
L
p
y
y
π2=
n
L
p
z
z
π2=
而在动量相空间（P x ，P y ，P z ）中，若以（L
π2）为线度将相空间分割成
立方形细胞，则每一立方形相当于一个不同的动量态，因而“单位相空间
体积”中的态数目是
)
2(
)2(
/13
3
ππL L
=
在相空间体元?
θθτd d d p dp
d p d '
'
'
2
sin 2
ΩΩ=
=
之中，独立态数目是：
dp
d p L
d L dN
Ω==2
)2(
)2(
3
3
πτπ
（8）
另一方面，根据态密度ρ的定义，在指定方向（θ'
，?'
）上，单位立方体角和单位能量间隔的态数目是态密度ρ，因而在立方体角Ωd 和能量间隔dE
k
中的态数目是
Ω
μ
μ
ΩΩρρρd d d dE
d dN
pdp p
1
)2(
2
=
=
=
（9）
*注：本页第二行起到下页第九行公式（11）为止一段文字，是为使读者容易理解起见插入的有关“态密度”的补充说明。
将（8）（9）二式等起来，就得到箱归一化自由粒子的态密度公式：
E L p L k
μμ
πμπρ2)2(
)2(
3
3
==
（10）
由于独立事件的几率可以相加，因此，从同一单态E 1跃迁到各种末态的总几率用积分计算，首先，对于末端动量p 在立体角Ωd 之内，能量间隔在dE k 之内的态数目是：
E d d dN
k
Ω=ρ
每一种跃迁的速率（单位时间的几率）都看作W k1（即7式）
，则对于所述的一系列跃迁的
总的跃迁速率是个微量
dE
d w dN
w dw
k
k k Ω?=
=
ρ1
1
（11）
因而向一切可能末态跃迁的总速率：
E d d w w k
E k
k ΩρΩ??=1dE k
E E k E a k E k E k
E k L a E x e a L
dE k E E k k a L a z k
E e a E k
E k
L
d )1()
222
1(6
2
22332
0221110)2(34)1(
)
221(6
332202211102)2(3
ωδμμμμπππωδππ
μμπ
--+????
?=--?+?
??ΩΩ=利用δ函
数的变换性质于前一式，简化数字系数后，得以下的结果：
)]
(2[)(22
)()
21(22
12
2
6
12
/36
2
2
02/5211
7
12
2
6
2
2
02/5211
7
6
2/3ωμωπ
μ
ωδμπμ
+++?
=
?
--+
=
E a E E e a dE
E E E a E E e a w x
E k k
x
k
k
k
#
[7]一维运动的体系从|m>态跃迁到|n>态所相应的振子强度定义为：
|
|||22
><=
m x n j
nm
nm
μω
μ
为振子质量，求证：1
=∑
n
nm
j
（∑n
指对一切能量本征态求和）。这称为Thomas —Reieh
—Kuhn 求和规则。
（证明）第一法：用薛定谔图象（表象）：设|m>|n>是能量算符H ^
的本征矢，其相应的本征值是E m 和E n ，即|m>|n>满足：
>
>=>
>=n E n H m E m H n
m
||||^
^
（1）
现将特征一式等号左方用能量本征值表示，再利用前两个本征方程式的特点将本征值换成哈
曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录 第三版序言 我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。 这里涉及到科学上的继承和创新的关系。“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。 讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。 要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。 量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观 从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18； 人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18； 康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21； 在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21； 微观粒子波粒二象性的准确含义：P29； 电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31 在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32； 经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32； 波函数归一化不影响概率分布：P32 多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。例如，两个粒子的体系，波函数刻画的是六维位形空间中的概率波。这个六维空间，只不过是标志一个具有6个自由度体系的坐标的抽象空间而已。 动量分布概率： 1 波包的频谱分析 具有一定波长的平面波可表示为： ()e x p ()k x i k x ψ= （A1.1） 波长2/k λπ=,其特点是是波幅(或强度)为常数.严格的平面波是不存在的,实际问题中碰到的都是波包,它们的强度只在空间有限区域不为0.例如,高斯波包 221()exp()2x a x ψ=- (A1.2) 其强度分布222()exp()x a x ψ=-,如图A.1所示.可以看出,波包主要集中在1 x a < 区域中. 所以波包宽度可近似估计为:
第五章： 对称性及守恒定律 ［１］证明力学量A ?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2 22 H H A A dt d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A ? 不显含t ，有 ]?,?[1H A i dt A d = （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量 ]?,?[1H A i 的平均值，则有： ]?],?,?[[1]?],?,?[1 [ 1222 H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2 即得待证式。 ［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。 （证明）设A ?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有： ???= τ τψψ d A A ?* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1） ???-≡= τ τψψd A H H A i H A i dt A d )????(*1]?,?[1 （１） 今ψ代表H ?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H =? （E 为本征值） （２） 又因为H ?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ d A H d A H ??????=)? (*)?()~ (?* （３） （题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：
τψψτψψd A H i d H A i dt A d )? (*)?(1)?(?*1?????? -= ??? ???-= τψψ τψψd A i E d A i E ?**?* 因*E E =，而0=dt A d ［３］设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2 。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r d t d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21,??????[2 22z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21],??????[2 2 2z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式 可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[2122 2 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x ++++ + = μ μ μ （３）
目次 第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书 1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。1979 3．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。1982 4．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。1972 7．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics (有中译本：陈洪生译。科学) 1951 9. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics （英译本） Springer V erlag 1973 11. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 https://www.doczj.com/doc/7512282776.html,ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ?? -- = 1 1 )0(>n (2) )cos sin (sin 2 2 bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+= ? (3) = ?axdx e ax cos )sin cos (2 2 bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2 -=? (5) = ?axdx x sin 2 ax a x a ax a x cos )2( sin 22 2 2 - + (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2 +=? (7ax a a x ax a x axdx x sin )2( cos 2cos 3 2 2 2 - += ?)
第一章 量子力学的历史渊源 §1.1 Planck 的能量子假说 经典物理学的成就 到19世纪末，已经建立了完整的经典物理学理论： (1)、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学(从天空到地上的各种尺度力学物体的机械运动)， (2)、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论(光的波动理论、电磁现象的规律)； (3)、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大量微观粒子的热现象等）。 这些理论能令人满意地解释当时所常见的物理现象，让当时绝大多数的物理学家相信物理学基本理论已经完成，剩下的工作在需要在细节上作一些补充和修正。 经典物理学所遇到的问题 (1)、黑体辐射现象，(2)、光电效应；(3)、原子的光谱线系；(4)、原子的稳定性；(5)、固体的低温比热。 一、黑体辐射的微粒性 1、黑体辐射的几个物理量 黑体：所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。 辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用(,)E T ν表示。 所以在t ?时间，从面积S ?上发射出频率在ννν-+?范围内的能量表示为： (,)E T t S νν???
因此，(,)E T ν的量纲为： 2 2 =1×? 能量焦耳米 秒米 秒。 可以证明： （(,)v T ρ的单位为 3 ?焦耳秒米 ）。 吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额， 用(,)A T ν表示。 G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明： 对任何一个物体，辐射本领(,)E v T 与吸收率(,)A T ν之比是一个普适的函数，即 （f 与组成物体的物质无关）。 对于黑体的吸收率(,)1A v T =， 故其辐射本领(,)(,)E T f T νν=（等于普适函数与物质无关）。所以只要黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。 辐射本领也可以用(,)E T λ描述, 由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为： (,)(,)E v T dv E T d λλ∞ ∞ =?? 由于c νλ=知2 c d d νλλ =- 代入上式得：0 2 (,) (,)c E v T d E T d λλλλ ∞ ∞ -=?? 32 2 (,)(,) (,)(,) ( )E v T E T E T E v T c c λνλλ??= = 焦耳米秒或 2、黑体的辐射本领 黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。实验测得的辐射曲线满足下列定律： (i)、斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann Law ） 黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度4T 成正比， 即
第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2, ,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a 22 == （3） 代入（2），解出 ,3,2,1, ==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==? ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量
第五章： 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： )],,(,[21 ],??????[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ （３） 前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： 2 22?2??x x x p i p i p i =+= （４） x V x i ??=?? （５） 将（４）（５）代入（３），得： 代入（１），证得题给公式： V r p p r dt d ??-=? μ 2?)( （６） （２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ?的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r A ??? ?= 则0)??(*2=??-= ?=????V r p d p r p r dt d τμτψψ （７） 但动能平均值 μτψμψτ 22?*22p d p T =≡??? 由前式 V r T ??= 2 1 P249 设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ）
第一章 量子力学的诞生 设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===??Λ )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = （3） 代入（2），解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量
Unit 1 1 The state of a microscopic particle is described by(A) (A) wave function (B) Schrodinger Equation (C) Born’s statistical interpretation (D) operator 2 Suppose you do measure the position of a particle, and you find it to be at the point M, then, before you made the measurement (B) (A) the particle was at M (B) the particle was not really anywhere (C) refuse to answer (D) all above answers was wrong 3 A measurement on the given state wave functionΨ(x,t), the physical process is (C) (A)“Measurements” in which Ψ does not evolve in a leisurely fashion under the Schrodinger Equation (B)Measurements” in which the particle is not really anywhere (C)Measurements” in which Ψ suddenly and discontinuously collapses (D) Measurements” in which the more precisely determined a particle’s position is, the more precisely its momentum is determined 4 According to the uncertainly principle (A) (A)The more precise a particle’s position is, the less precise is its wavelength (B)The more precise a particle’s position is, the more precise is its momentum