机密★启用前 考试时间：2015年7月1日15：00-17：00
惠州市2016届高三第一次调研考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1）已知全集{}，，，，，43210=U 集合{}，，，321=A {}，，42=B 则U C A B （）为（ ）．
（A ）{
}421，， （B ）{}432，， （C ）{}420，， （D ）{}4320，，， （2）复数i
-+
25
1（i 是虚数单位）的模等于（ ）．
（A ）10 （B ）10 （C （D ）5 （3）下列命题中的假命题是（ ）．
（A ）0lg ,=∈?x R x （B ）0tan ,=∈?x R x （C ）02,>∈?x R x （D ）0,2>∈?x R x
（4）已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-
，且//m n
，则实数a ＝（ ）．
（A ）－1 （B ）2或－1 （C ）2 （D ）－2
（5）ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,a b c A ===∠则＝
（ ）． （A ）O
30 （B ）O
45 （C ）O
60 （D ）O
90
（6）已知函数???≤>=0
,20,log )(3x x x x f x
，则))91((f f =（ ）. （A ）
12 （B ）14 （C ）16 （D ）1
8
（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是
边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）． （A ）2 （B ）1 （C ）
21 （D ）1
3
（8）已知实数,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤??
--≤??≥?
，则2z x y =+的最大值为（ ）．
（A ）2- （B ）2 （C ）1 （D ）1- （9）函数x x x f 3
2
cos 32sin
)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）． （A ）3π （B ）π34 （C ）π23 （D ）π6
7
（10）设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为（ ）．
（A ）αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥ （B ）m αγ= ，αγ⊥，βγ⊥ （C ）αγ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥ （11）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就
读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ）种。 （A ）150 （B ）180 （C ）240 （D ）540
（12）已知抛物线281x y =与双曲线)0(12
22>=-a x a
y 有共同的焦点F ，O 为坐标原点，
P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP FP ?
的最小值为（ ）．
（A ）323- （B ）332- （C ）4
7-
（D ）43
主视图
侧视图
俯视图
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）若3
sin(
)25π
α+=，则cos 2α= ． （14）4
)31(x
x -的展开式中常数项为 ．（用数字表示） （15）
22
1cos x dx π
π-+?()= ．
（16）如下面数表为一组等式：某学生猜测221(21)()n S n an bn c -=-++，若该学生回答
正确，则3a b += ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．
123451,235,45615,7891034,111213141565,
s s s s s ==+==++==+++==++++=
C
C 1
B 1
A
A 1
B
D
18．（本小题满分12分）
一个盒子中装有大量．．形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），
（Ⅰ）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（Ⅱ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
19．（本小题满分12分）
如右图,三棱柱111ABC A B C -中,112AB AC AA BC ====,1160AAC ∠=?,平面
1ABC ⊥平面11AAC C ,1AC 与1AC 相交于点
D . （Ⅰ）求证:BD ⊥平面
11AAC C ； （Ⅱ）求二面角1C AB C --的余弦值.
20．（本小题满分12分）
如图，曲线C 由上半椭圆22
122:1(0,0)y x C a b y a b
+=>>≥和部分抛物线
22:1C y x =-+ (0)y ≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点
,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程.
21．（本小题满分12分）
已知函数()()2
f x x x a =-，()()2
1g x x a x a =-+-+(其中a ∈R ).
（Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并直接写出函数
()f x 的单调区间；
（Ⅱ）令()()()F x f x g x =-，讨论函数()y F x =在区间[]1,3-上零点的个数。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .
证明：（Ⅰ）FEB CEB ∠=∠；
（Ⅱ）2
EF AD BC =?.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为1(2x t
t y t
=+??
=+?为参数）
，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为
θθρsin 32cos 2+-=．
（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标；
（Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知1m >且关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集为[0,4]. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22
a b +的最小值.
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理科数学参考答案与评分标准
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
（1）【解析】{}40，
=A C U ，又{}42，=B ，故选C ． （2）【解析】i i
+=-+
325
1，故模为10，故选A ． （3）【解析】对选项D ，由于当0=x 时，02=x ，故选D ．
（4）【解析】因为//m n
，所以2)1(-=-a a ，解得022=--a a ，故21=-=a a 或，故选B ．
（5）【解析】由余弦定理2229471cos 22322b c a A bc +-+-===??，又由(0,180)A ∈??，得
60A =?，故选C ．
（6）【解析】291log )9
1
(3
-==f ，412)2(2==--f ，所以4
1
))91((=f f ，故选B ． （7）【解析】该几何体为直三棱柱，故体为11
11122
V Sh ==???=，故选C ．
（8）【解析】由于可行域为三角形，且三角形的三个顶点分别为(0,1)-，(1,0)，(0,1)，
所以最优解为(0,1) 时可使目标函数取得最大值为2，故选B ．
（9）【解析】222
()sin
cos 3334f x x x x π??=+=+ ???，周期23T ππω==，相邻的两条对称轴间距离为
12
T ，所以距离为32π，故选C ．
（10）【解析】对于选项A ，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m ?α，故不正确；
对于选项B ，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m 与β不一定垂直，故不正
确；
对于选项C ，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m 与β不一定垂直，故不正确；
对于选项D ，由n ⊥α，n ⊥β，可得α∥β，而m ⊥α，则m ⊥β，故正确，故选D ． （11）【解析】分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学，方法数为
902
41513=C C C ，第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为60223513=A C C ，故不同保送的方法数为150种，故选A ．
（12）【解析】抛物线22
188y x x y =?=，焦点F 为(0,2)，则双曲线2221y x a
-=的2c =，
则2
3a =，即双曲线方程为2
213
y x -=，设(,)P m n ，(n ≥，则
2
2
33
n m -=2
2113
m n ?=-， 则
(,)(,2)OP FP m n m n ?=?- 2222
12123m n n n n n =+-=-+-2437()344
n =--
，
因为n ≥n =323-，故选A ． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）725-
（14）2
3
（15）2π+ （16）4 （13）【解析】33sin()cos 255παα+=?=，则cos 2α=2
72cos 125
α-=-．
（14）【解析】4)31(x x -
的展开式的通项为r r
r r r r r r x C x x C T )3
1()31(244441-=-=---+， 故常数项为3
2)3
1
(2
2
43=
-=C T
（15）【解析】
222
2
1cos (sin )2x dx x x π
π
π
π
π--
+=+=+?）
（16）【解析】可由待定系数法求得???
??=++=++=++13395241
c b a c b a c b a ，解得1,2,2=-==c b a ，所以
43=+b a
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
【解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知11
2282412a d a d +=??+=? ………………2分
解得12,2a d ==…………………………………………………………4分 所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=,得2n a n =…………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得21()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n n n ++=
==+=+ ……………8分 ∴3236a =?=，12(1)k a k +=+，2k S k k =+
因 31,,k k a a S + 成等比数列，所以2
13k k
a a S +=，从而
22(22)6()k k k +=+，………10分
即 220k k --=，*
k N ∈,解得2k = 或1k =-（舍去）
∴ 2k = ……………………………………………………………………12分
（18）（本小题满分12分）
【解】（Ⅰ）由题意，得
()0.020.0320.018101
a +++?=，解得
0.03a =；………………………1分
又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20
（克），………2分
而
50
个样本小球重量的平均值为：
0.2100.32200.3300.18
X =?+?+?+?=（克） 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6
克；…………………………4分
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为
0.2，………………………………5分
则
1
(3,)
5
X B ~.
X
的可能取值为
、
1
、
2
、
3，…………………………………………………6分
()0303
1464055125P X C ????=== ? ?????，()2
131448155125
P X C ????==?= ? ?
????， ()2
231412
255125
P X C ????==?=
? ?????，
()3
33
141355125
P X C ????
===
? ?????. ………………10分
.
12分
（19）（本小题满分12分）
【解】(Ⅰ)依题意,侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点,因为1BA BC =,所以
1BD AC ⊥,……2分
又平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ?平面1ABC ,平面1ABC 平面111AAC C AC =
所以BD ⊥平面11AAC C .…………………………………………5分
(Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知BD ⊥平面11AAC C ,CD ?面11AAC C ,所以CD BD ⊥,
C
C 1
B 1
A
A 1
B
D
H 第18题
第18题
又1CD AC ⊥,1AC BD D = ,所以CD ⊥平面1ABC , 过D 作DH AB ⊥,垂足为H ,连结CH ,则CH AB ⊥
, 所以DHC ∠为二面角1C AB C --的平面角. …………8分 在
Rt DAB ?中,1,2AD
BD AB ===,
所以AD DB DH AB ?==
CH ==……10分
所以cos DH DHC CH ∠==
,即二面角1C AB C --……………12分
[向量法]以D 为原
点,建立空
间直角坐标系D xyz -如图所示, …………………………………6分
由已知可得1
12,1,AC AD BD AD
DC BC =====故()()(()(
)
10,0,0,1,0,0,
,1,0,0,
D A B C C -,
则((,AB BC =-=
,………………8分
设平面ABC 的一个法向量是(),,x y z =n
,
则00
AB BC ??=?
??=??
n n ,
即0
x ?-=?=,
解得x y z ?=??=
?? 令1z =,得)
=
n ………………………………………9分
显然()
DC =
是平面1ABC
的一个法向量, ……………10分
所以cos ,5DC DC DC
?<>==
=
n n n ,即二面角1C AB C --的余弦值是………12分 （20）（本小题满分12分）
【解】(Ⅰ)因为抛物线2
1y x =-+与x 轴交于点(1,0),(1-，
所以
1b =…………………………1分
由因
为24e a ===，所以椭圆方程为
2
214
y x +=………………………3分 (Ⅱ)因为(1,0)B ，若过点B 的直线l 斜率不存在时，不满足题意，所以直线l 斜率存在，……………4分
设直线l 的斜率为k
，则直线l 的方程为(
1)y k x =-，设112(,),(,)P x y Q x y ，………………………5分 联
立
22
(1
14
y k
y x =-
???+=??2
(k ?22
(4)(4)(1)0k x k x ???+---=??……
………7分
212
4
4
k x k -?=+，所以
2111
2248(1)(1)44
k k
y k x k y k k --=-=-?=++，所以
22248,44k k P k k ??
-- ?++??
………8分 联
立
2
(1
1
y k y x =-??=-+?2
10x kx k ?+--=(x ?21x k ?=--………………
………9分 所
以
222
1
(
1)(2)2y k
x k k y k =-=
-
-?=-
，所以2(1,2)Q k k k ----…………………………10分
由
AP AQ ⊥0AP AQ ??= 222481,4
4k k k k ??--?+ ?++??2
(,2)0
k k k ?---=………………
…………11分
化简得380k +=，所以83k =-
，所以直线l 的方程为8
(1)3
y x =--即8380x y +-=……12分
（21）（本小题满分12分）
【解】(Ⅰ)()()2
322
2f x x x a x ax a x =-=-+,
则
()()()22343f x x ax a x a x a '=-+=--, (1)
分
令()0f x '=,得x a =或3a ,而二次函数()g x 在12
a x -=处有极大值, 所
以
12a a -=或
123
a a
-=,解得
1
a =-或
3a =； …………………………………………3分
当3a =时,()f x 的递增区间为
()
,1-∞,
()
3,+∞,递减区间为
()1,3.………………………4分
当1a =-时,()f x 的递增区间为
()1
,1,,3??-∞--+∞ ???
,递减区间为
11,3?
?-- ???
.……………5分
(Ⅱ)()()()()22
1f x g x x x a x a x a ??-=---+-+??()()()2
1x x a x a x =-+-+
()()2
11x a x a x ??=-+-+??,…………………………………………
………6分
令()()2
11h x x a x =+-+,()()()2
1413a a a ?=--=+-,
1 当0?<即13a -<<时，()0h x =无实根，故()y F x =的零点为[]1,3x a =∈-，满
足题意， 即
函
数
()
y F x =有唯一零点
[]1,3x a =∈-；………………………………………………………
7分 2 当0?=即1a =-或3a =时,
若1a =-，则()0h x =的实数解为1x =-，故()y F x =在区间[]1,3-上有唯一零点
1x =-；
若3a =，则()0h x =的实数解为1x =，故()y F x =在区间[]1,3-上有两零点，1x =或3；……8分
3 当0?>即1a <-或3a >时，
若1a <-，由于()()()110,01,31330h a h h a -=+<==->，
此时()0h x =在区间[]1,3-上有一实数解，故()y F x =在区间[]1,3-上有唯一零点； ……9分
若3a >时，由于()()()114,010,3133h a h h a -=+>=>=-， 当1330a -≤即13
3
a ≥时，数形结合可知()0h x =在区间[]1,3-上有唯一实数解， 故
()
y F x =在
区
间
[]
1,3-上有唯一零
点；……………………………………………………10分
若1330a ->即3133<
1 -=a x ，故3 5 211<-< a ， 又,0313)3(,01)1(>-=>=a h h 且0>?， 所 以 ) (x h 在区间 [] 3,1-上有两个不等零