第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<
学号：13481120 常州大学 《机电一体化系统》课程设计 题目增量编码器方向判别和计数电路设计 学生王春来 学院机械工程学院专业班级机电131 校内指导教师俞竹青专业技术职务教授 校外指导老师专业技术职务 二○一七年一月
任务书 1．设计题目 增量编码器方向判别和计数电路设计 2. 设计内容 设计内容主要包括：查资料、总体设计、原理图、元器件选型、PCB、课程设计说明书六个部分。课程设计的最后要求是写出课程设计说明书，把总体设计、原理图、元器件选型、PCB过程进行全面的说明，上升到一定高度。 具体设计步骤如下： 2.1总体方案设计 根据技术指标的功能要求，确定电路的总体构成，一般为信号拾取电路、信号处理电路、显示电路等。 2.2关键元器件选型 根据技术要求和设计总体方案选择合适的元器件，以实现电路的功能。 2.3电路原理图 根据设计总体方案和关键元器件的型号参数设计电路原理图。 2.4 PCB图 根据电路原理图和元器件封装形式设计PCB图。 2.5 编写设计说明书 把设计过程的总体设计方案、参数计算、元器件选型依据、实现的波形等内容编写成设计说明书。
增量式编码器方向判别和计数电路设计 摘要：本设计电路分为电源电路、方向判别电路和计数电路。电源电路通过变压器降压和全桥整流，将交流电压转化成单脉冲电压。然后使用电容滤波和稳压器稳压，将电压控制在各芯片的电源电压5V。方向判别电路由芯片AT288a芯片根据A、B两信号顺序，将增量式编码器的两相脉冲信号转化为正向和反向的脉冲信号，来作为计数电路的输入方向信号。计数电路是将两片74LS192组合实现8位电路计数的功能。 因为正转时A相超过B相90°，反转时A相落后B相°，而且脉冲的个数与位移量成比例的关系，当对象发生变化时，对脉冲个数的计算（有方向地累加和减少）得到相应的位移，可以更好地实现闭环有效的控制。 最后将计数电路所得到的二进制转数利用74LS283和74LS46的芯片转化成BCD码在LED数码管上显示。 关键词：增量式编码器；电源电路；判别电路；计数电路；显示电路
江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题解答 一、（10分）举例说明如何在数值计算过程中防止相近数相减及避免“大数吃小数”。 答：1）防止相近数相减举例：当x 充分大时，即1x >>时，计算 会出现相近数相减， 可以用下述数学上等价的表达式 来计算，以避免相近数相减。 ………… 5 分 2） 避免“大数吃小数”举例： 设,1:1000,i i δ=为区间[0, 0.5]上的随机数，在字长为5的计算机上计算 12100012345S δδδ=++++ 时，如果采用上述给定的顺序计算S ，则会出现大数吃小数的现象；要避免大数吃小数，这里可以采用表达式：212100012345S δδδ=++++规定的顺序来计算即可。 ………… 5 分 注：学生的举例只要符合要求均可以算对。 二、(15分) （1）叙述Newton 插值方法的方法思想； (2) 设(1)0,(2)1,(3)3,(4)5f f f f ====, 试求)(x f 的三次Newton 插值多项式； (3) 利用上述插值公式近似计算(2.3)f . 解： (1) 牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式 01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++-- 其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保 证在增加节点时， 原先的计算量能够被充分利用。 ………… 6 分 (2) 根据列表函数可得差商表如下： 0 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 3.0000 2.0000 0.5000 0 5.0000 2.0000 0 -0.1667 )(x f 的三次Newton 插值多项式为: 3()(1)0.5(1)(2)0.1667(1)(2)(3)N x x x x x x x =-+------ ………… 6 分 (3) 3(2.3)(2.3) 1.5405f N ≈≈ ………… 3 分 三、（15分） （1）简要叙述求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想。 （2）选用适当的迭代方法求方程3 2 210x x x ---=在0 2.5x =附近的一个根, 精度 为3 10-。 解：（1）求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想： 将方程()0f x =改写成 ()x x ?=
第一章：9.设2 cos 1)(x x x f -= ，给出计算函数值)012.0(f 的一个合适算法，并在字长m 给定的，十进制计算机上给出数值计算结果。 解：由 )24 21(242)2421(1)cos(1224242x x x x x x x -=-=+- -≈- 得 )24 21(cos 1)(22x x x x f -≈-= 10. 字长为5的十进制计算机上计算 )015.0(f 和)015.0(g ，并与)015.0(f 的精确值 1.79比较，说明差异存在理由，其中x e x f x 1)(-=，24 621)(3 2x x x x g +++=。
12.对任意给定的实数a 、b 、c 、试编写Matlab 程序,求方程02 =++c bx ax 的根。 解：利用教材例11的方法： 当b>0时，a ac b b x 2421---=，b ac b c x +--=4222。 13.利用1 ,753arctan 7 53<+-+-=x x x x x x 及 () 3/3arctan 6 =π ，给出一个计算π的方 法，根据此方法编写程序，给出π的至少有10位有效数字的近似值。 解：根据题中所给公式，容易得到：
() 1 2)3/3(16)3/3arctan(61 21 1 --≈=-=+∑i i n i i π 14.分别利用下式给出计算ln2的近似方法，编写相应程序并比较算法运行情况。 11,32) 1()1ln(321 1 ≤<-+++-=-=+∑∞ =+x n x x x x n x x n n n n 11),1253(21 2211ln 1253112<<-+-++++=-=-+-∞ =-∑x n x x x x n x x x n n n 解： 由运行结果可知， 方法二的绝对误差比方法一的误差要小得多。 这是因为方法一给出的计算公式含有相近数相减项，损失了有效数字。 而方法二给出的计算公式避免了相近数相减，具有较好的精度。
习 题 六 解 答 1、在区间［0，1］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。 (1)210(1)(0)2y y y '?=--?=?(2)sin (0)0x y x e y -'?=+?=? 解：（1）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--= 由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2； x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出： 可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。 （2）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(sin )(0,1,2,)n x n n n y y h x e n -+=++= 由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=0； x 1=0.1， 02 1000 (sin )00.1(sin 0)00.1(01)0.1x y y h x e e -=++=+?+=+?+= x 2=0.2， 122110.1 (sin )0.10.1(sin 0.1)0.10.1(0.10.9)0.2 x y y h x e e --=++=+?+=+?+= 指出： 本小题的求解过程中，函数值计算需要用到计算器。 2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。 22(00.5) (0)1 y x y x y '?=-≤≤? =? 解：(1) 取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 2 1(2)(0,1,2,)n n n n y y h x y n +=+-= 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：
第三章作业 1.设节点x 0=0,x 1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8,x4=π/2,试适当选取上述节点，用拉格朗日插值法分别构造cosx 在区间[0，π/2]上的一次、二次、四次差值多项式P 1（x ）,P 2(x)和P 4（x)，并分别计算P 1（π/3）,P 2(π/3)和P 4（π/3). 解： x0 x1 x2 x3 x4 x π/8 π/4 3π/8 π/2 y=cosx 1 0.923879 0.707106 0.382683 （1）选择x0=0,x4=π/2的节点 y0=cosx0=1,y4=cosx4=0,可得 ) () ()()()(0101 1010 1x x x x y x x x x y x P --+--=，即 333333 .0)3/(1636620.0)(11≈+-≈πP x x P （2）选择x0=0,x2=π/4,x4=π/2的节点 y0=cosx0=1,y2=cosx2=0.707106,y4=cosx4=0,可得 ) )(())(())(() )(())(())(()(1202102 2101201 2010210 1x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----+----+----=,即 145968 .1)3/(1511124.5482067.1)(222≈++-≈πP x x x P （3）选择x0=0,,x1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8，x4=π/2的节点y0=cosx0=1,y1=cosx1=0.923879,y2=cosx2 =0.707106,y3=cosx3=0.382683,y4=cosx4=0可得 ) ( )(4 ,04 4∏ ∑≠==--=i j j j i j i i x x x x y x P ， 得 P3(x)=1+0.0031x-0.51542x +0.02423 x +0.02 844 x 4(3) 0.5001P π=/ 7.解： 选取0123=0=1=2=3x x x x ，，，为节点 >> T0=[0.0 0.5];x=[1 2 3]';y=[1.25 2.75 3.5]';x0=2.8;T=aitken(x,y,x0,T0) T = 0.0000 0.5000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.2500 2.6000 0.0000 0.0000 2.0000 2.7500 3.6500 4.4900 0.0000 3.0000 3.5000 3.3000 3.2300 3.4820 16 1）拉格朗日差值 ．选取 函数 ],[),sin()cos(ππ-∈+=x x x y x0=-pi:0.5*pi:pi; y0=cos(x0); x=-pi:0.05*pi:pi; if length(x0)~=length(y0) error('The length of x0 must be equal to it of y0'); end w=length(x0); n=w-1; L=zeros(w,w); for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j if abs(x0(k)-x0(j)) 常州大学2009~2010学年第 2 学期硕士生考试试题评分标准 1. （10分）当x 充分大时, 试比较 算上的差异？并叙述常见的防止误差的一些原则。 解：当x 充分大时，两个表达式在理论上恒等， 但其数值计算结果不同，前者会出现相近数相减，失去有效数位，降低计算结果精度的问题；后者避免了相近数相减的问题，尽可能地保证了计算结果的精度。 防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数； 2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减； 4） 避免使用不稳定的算法； 注意简化计算步骤，减少运算次数； ………… 5 分 2. （15分）已知列表函数 利用Newton 插值方法求()f x 的插值逼近多项式3()N x ，利用插值多项式近似计算 (1.52)f 。 解： Newton 差商表： D = 1.0000 -1.0000 - 2.0000 3.0000 4.0000 3.0000 2.0000 -1.0000 -2.5000 -1.8333 ………… 5 分 3() 1.8333^38.5000^28.6667 1.0000N x x x x =-+-+ ………… 5 分 3(1.52)(1.52) 1.0268f N ≈=。 ………… 5 分 3. （10分）已知列表函数 解：写出正规方程组 42 5.15 26 6.09 a b a b +=?? +=? ………… 5 分 解上述正规方程组得 0.9360,0.7030a b == ………… 5 分 4. （15分）写出龙贝格（Romberg ）方法的数值积分公式，并用龙贝格方法计算 1 sin 0 x e dx ? ， 要求误差不超过2 10-。 解：龙贝格（Romberg ）方法计算定积分 ()b a f x dx ? 的数值积分公式如下： 211122221(),, 2241 3316115156416363 n n n i i i i n n n n n n n n n h b a T T f x h x x n S T T C S S R C C --=-=+=-==-=-=-∑， 其中1[()()]2 b a T f a f b -= +。 ………… 7 分 利用上述公式计算可得 romberg_table = 1.6599 1.6301 1.6319 1.6375 1.6318 1.6332 ………… 8 分 5. （10分）设213212408A -????=---????--?? , 3312b -????=??????，试用高斯消去法或LU 分解法解线性方程组Ax b =。 解：利用LU 分解法可得 121311212113A LU -???? ????==--???? ????--???? 分别解,Ly b Ux y ==可得方程组的解为112x ?? ??=-????-?? 。 6. （15分）写出解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代法方法及Gauss-Seidel 迭代方法的分 量形式；对下述线性方程组 12312312 3335333 x x x x x x x x x --=?? +-=??+-=-? 给出一个收敛的Gauss-seidel 迭代格式，并说明收敛的理由。 解：设() ()() () 12(,, ,)'k k k k n x x x x =为方程组的第k 次迭代解， 则解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代法方法及Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式分别为 4.(1)T=1/2(3+1)=2 S=1/6(3+8+1)=2 计算其准确的结果为2 与精确值比较，T的误差为0 S的误差为0 7（1）复合梯形公式T2n的matlab 实现： function I= trapezoid(fun,a,b,n) n=2*n; h=(b-a)/(n-1); x=a:h:b; f=feval(fun,x); I=h* (0.5*f(1)+sum(f(2:n-1))+ 0.5*f(n)); function trapezoid_and_sinpsom clc; format long syms x Iexact= int(x*exp(x^2),x,0,1); a=0; b=1; for n=2:1:4 t=trapezoid(@f,a,b,n) s=simpson(@f,a,b,n) err1=vpa(Iexact-t,5) err2=vpa(Iexact-s,5) end function y=f(x)y= x*exp(x^2); return 从而得出的结果： n=2 t=1.000576811286697 s=0.860997139578795 err1=-0.14144 err2=-0.0018562 n=3 t=0.923798756293777 s=0.859533825596209 err1=-0.064658 err2=-0.00039291 n=4 t=0.895892057505771 s=0.859268455239111 err1=-0.036751 err2=-0.00012754 13.function [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) d0=1/x0; Dc=(f(x0+h)-f(x0-h))/(2*h); err=Dc-d0; return function [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) d0=1/x0; Sc=4/3*dfDc(f,x0,h/2)... -1/3*dfDc(f,x0,h); err=Sc-d0; return function [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) d0=1/x0; Cc=16/15*dfSc(f,x0,h/2)... -1/15*dfSc(f,x0,h); err=Cc-d0;return f=@(x)log(x); x0=2;h=0.1; [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) Dc=0.500417292784913 err=4.172927849132035e-04 Sc=0.499999843400513 err= -1.565994868224507e-07 Cc=0.500000000017481 err=1.748101663423540e-11 14. 3.示位法的MATLAB实现：Function [c,k]=fapo(f,a,b,epsilon,max1) Use false position to find the toot of function Input:f=the function a,b=left and right brachets of root 姓名：李俊乾专业：化学 用最小二乘法求形如y=axe的拟合函数。 答：Matlab程序 function [a,b]=ec(x,y) Y=log(y)'; A=zeros(5,3); for i=1:5 A(i,1)=1; A(i,2)=log(x(i)); A(i,3)=i; end c=inv(A'*A)*(A'*Y); a=exp(c(1)); b=c(3); for i=1:5 y=a*x.*exp(b*x); end return x=[1 2 3 4 5]; y=[1.222 2.984 5.466 8.902 13.592]; [a,b]=ec(x,y) 输出结果为： a = 1.000202219673205 b = 0.200293860504786 plot(x,y,'b*',x,1*x.*exp(0.2*x),'r-') 7、已知人体表面积S和人体身高h，体重w有近似关系式S=α0hα1wα2。试根据身高，体重及相应的人体表面积的一组观测值 工程（专）学号：14102932 （h i,w i,S i）(i=0,1,2….n)来估计参数α0α1 α2的大小 答：Matlab程序： function [a0,a1,a2]=ec2(h,w) S=log(s)';N=length(h); A=zeros(N,3); for i=1:5 A(i,1)=1; A(i,2)=log(h(i)); A(i,3)=log(w(i)); end c=inv(A'*A)*(A'*S); a0=exp(c(1)); a1=c(2); a2=c(3); return %给出数据 h=[175 172 183 164 156]; w=[80 90 80 70 65]; s=[1000 900 1200 750 800]; [a0,a1,a2]=ec2(h,w,s) 输出结果为： a0 =1.614815742043648e-04 a1 =3.383163094165866 a2 =-0.419165011582663 8、学习Matlab内部的函数lsqcurvefit，并 设计数值实验使用lsqcurvefit。 答：Matlab内部函数lsqcurvefit是用来解决 非线性拟合的最小二乘问题的。其调用格式为： x= lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata ,lb,ub) x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata ,lb,ub,options) [x,resnorm] = lsqcurvefit(…) 1.1解： m=3; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 121 ans =121 实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别： m=2; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 120 ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。 1.2解： （1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字 （2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字 （3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字 1.3 解; 记圆的面积为S，由题意有|e(S)|≤1%。由S=πr2知：dS=2πrdr所以 dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r) ∴|e(r)|≈1／2|e(S)|≤0.5×1%=0.5% 1.4 解： 由题有：|e(x)|≤1/2×10^-2 ; |e(y)|≤1/2×10^-2; |e(z)||≤1/2×10^-2 ∴|e（S）|≈|xe(x)+ye(y)|+ |ze(z)|^2≈x|e(x)|+y|e(y)|+z^2|z(z)|^2≤4.21×0.005+1.79×1.005+2.11×2.11×0.005^2=0.03≤1/2×10^-1 又S=4.21*1.79+2.11^2=11.988 ∴S至少具有3位有效数字。 在字长为3的计算机上运行，误差为： S1=4.21*1.79+2.11; S2=digit(digit(4.21*1.79,3)+digit(2.11^2,3),3); err=S1-S2 err = -2.3541 1.6 解： clc disp('Please input the coefficients of'); disp('quadratic equation ax^2+bx+c=0, respectively') a=input('a='); b=input('b='); c=input('c='); m=4; % m-digit rounding arithmetic 第一章 1、按规模划分，集成电路的发展已经经历了哪几代？它的发展遵循了一条业界著名的定律，请说出是什么定律？ 答：集成电路发展历程：小规模集成（SSI）→中规模集成（MSI）→大规模集成（LSI）→超大规模集成电路(VLSI)→特大规模集成电路(ULSI)→GSI →SoC 。 Intel公司前董事长Gordon Moore首次于1965提出摩尔定律。 2、什么是无生产线集成电路设计？列出无生产线集成电路设计的特点和环境。 答：无生产线集成电路设计：集成电路的设计、工艺制造和封装分立运行，集成电路设计单位根据代工单位的设计包进行电路的设计。特点：只进行集成电路设计，与工艺制造，封装分立运行。 环境：IC产业生产能力剩余，客户需要更多的功能芯片设计。 3、多项目晶圆（MPW）技术的特点是什么？对发展集成电路设计有什么意义？ 答：MPW的特点：把几到几十种工艺上兼容的芯片拼装到一个宏芯片上，然后按规则排列到一个晶圆上。 意义：可以有效地降低成本，加速产品的市场化。 4、集成电路设计需要哪4个方面的知识？ 答：系统知识：计算机、通信、信息、控制学科；电路知识：更多的知识、技术和经验；工具知识：任务和内容→相应的软件工具；工艺知识：元器件的特性和模型、工艺原理和过程。 第二章 1、GaAs和InP材料各有哪些特点？ 答：砷化镓(GaAs)特点：能工作在超高速超高频，载流子迁移率更高，近乎半绝缘的电阻率，f T可达150GHz，可制作发光器件，工作在更高的温度，更好的抗辐射性能。 磷化铟(InP)：能够工作在超高速超高频；广泛应用于光纤通信系统中，覆盖了玻璃光纤的最小色散（1.3μm）和最小衰减（1.55μm）的两个窗口。适合做MESFET HEMT HBT 2、在怎样的条件下金属与半导体形成欧姆接触？在怎样的条件下金属与半导体形成肖特基接触？ 答：欧姆接触：如果半导体掺杂浓度足够高，隧道效应抵消势垒的影响，形成了双向低欧姆电阻值。 肖特基型接触：金属和掺杂浓度较低半导体结合面形成。类似PN结3、说出多晶硅在CMOS工艺中的作用。 答：因为非掺杂的多晶硅薄层实质上是半绝缘的，电阻率为300 W·cm 。而通过不同杂质的组合后，多晶硅的电阻率可被控制在 上机练习二参考解答 江苏工业学院数理学院 徐明华 2008-5-21 一、实验目的 1、 熟悉插值法的理论基础和方法基础 2、 了解软件Matlab 中有关函数插值的工具 二、实验内容 1、 对自己给定的函数()y f x =，选取适当的节点，编写MA TLAB 程序，分别给出利用Lagrange 插 值方法、Newton 插值方法确定的逼近()y f x =的插值逼近多项式，并将函数()y f x =、逼近多项式及插值余项的图形画在同一坐标系中。 要求：在数值实验中观察不同的被插函数()y f x =及不同的插值节点选取对插值余项的影响，并结合插值余项定理做适当的解释。 1） 算法介绍 已知列表函数 求一个次数不超过n 的多项式()n P x 逼近上述列表函数，满足条件： (),0,1,2,,n i i P x y i n == （1） 其中 ,0,1,2,,i x i n = 互不相同，称为插值节点；条件（1）称为插值条件；满足条件（1）的多项式() n P x 称为插值逼近多项式。插值多项式的计算方法如下： 方法一：古典方法 （1） 方法介绍 方法一是一种很自然的想法。简要过程如下： 令 2012()n n n P x a a x a x a x =++++ 由插值条件（1）可得待定系数01,,,n a a a 的一个线性方程组： 2010200020112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=? （2） 方程组（2）的系数矩阵的行列式为 2000 21112111n n n n n n x x x x x x x x x 这是一个范德蒙（Vandermonde ）行列式，当, 0,1,2,,i x i n = 互不相同时不为零，因此，方程组 一．（1）已知函数2 4 ()73f x x x =++，用秦九昭方法计算(2)f ； （2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要多少次乘法？ （3）至少写出四种减少误差危害的常用手段。 解：（1）2 4 2 2 ()73(31)7f x x x x x =++=++ 22(2)(321)2759f =?++=………… 5 分 （2） 秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要n 次乘 法。………… 5 分 （3） A ）防止大数“吃”小数； B ）避免除数绝对值远远小于被除数绝 对值的除法；C ）避免相近数相减；D ）避免使用不稳定的算法；E ）注意简化计算步骤，减少运算次数；………… 5 分 二．给定方程组 123311413132156x x x ????????????-=??????????? ?-?????? （1）以分量形式写出解此线性方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss -Seidel 迭代格式； （2）求1A 和A ∞； （3）判断Gauss -Seidel 迭代格式的敛散性。 解：（1）Jacobi 迭代 (1)()() 123(1)()()213(1)()()312(4)/3 (3)/3(62)/5 k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++=--=+-=-+， 0,1,2,k = Gauss-Seidel 迭代 (1)()() 123(1) (1)() 2 13(1)(1)(1) 312(4)/3 (3)/3 (62)/5 k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++=--=+-=-+， 0,1,2, k = ………… 5 分 （2）17 A =， 8A ∞=；………… 5 分 （3）因为方程组系数矩阵严格对角占优，所以Gauss -Seidel 迭代格式收敛。………… 5 分 三． 已知方程2 ()30x f x e x =-=， （1）证明该方程在区间[0.6,1.2]上存在唯一实根； （2）叙述牛顿法求方程()0f x =根的方法思想； （3）以初值01x =，用牛顿法求上述方程的近似解，要求误差不超过2 10- 。 电子（四人抢答器）实习报告 班级：姓名：学号： 实习时间：2月22日——3月9日 一、实习目的 学会认识辨别各电子元件及其功能配置，掌握protel应用技术，学会自己设计和思考，熟练焊接技术，最终做出能够正常工作的项目，增强我们的实践经验。 二、实习内容 1、听取与本次实习相关理论讲座； 2、理解四人抢答器原理，设计四人抢答器电路； 3、学会使用protel软件，并作出四人抢答器的原理图和相应的PCB图； 4、学习制版，并熟练掌握焊接技术； 5、分析电路，焊接制作四人抢答器并调试，最终得到成品。 三、实习设计 四人抢答器的功能是供四人进行抢答，四人分别各用四个抢答器，S1、S2、S3、S4，还有一个是复位开关S5供主持人进行抢答器的复位。该抢答器可以通过发光二极管及蜂鸣器来显示四人的抢答情况，一次抢答只会显示一个发光二极管，也就是只有一人能够抢到答题的机会，禁止其他选手抢答，且只要抢到，蜂鸣器会一直响，除非复位。 四人抢答器设计原理图如下： 原理图生成的PCB图（双面板）如下： 原理图生成的PCB图（单面板）如下： 四、问题以及解决 1、关于protel 99： 1）原理图中元件封装问题：从原理图生成PCB图，必经过对原理图各电子元件的封装，将各元件在PCB中适合元件与原理图中各元件的footprint一一对应； 2）对应的焊盘的designator与原理图中的最好相同，否则会导致无法识别而产生error。 2、关于焊接： 1）有些元器件之间的导线很短，并且有的焊点要连接两条甚至三条导线，集成块的各引脚靠的很近，焊不好极易造成短路，这就需要一步步静下心来，细心加 耐心； 2）在焊接过程中尽量不要用手直接接触电路板背面个焊点，防止造成虚焊； 3）在实习中得注意材料的节省，在焊接过程中合理使用工具，以防烫伤及各种其他伤害。 五、结果与调试 实物图： 姓名：李俊乾专业：化学 1、高斯消元法求解下列方程组： 2x1-x2+3x3=1 4x1+2x2+5x3=4 x1+2x2=7 11x1-3x2-2x3=3 -23x1+11x2+x3=0 x1+2x2+2x3=-1 答：（1）A = 2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7 [x,flag]=gauss(A) 结果如下： x = 9 -1 -6 flag = 1 （2）A = 11 -3 -2 3 -23 11 1 0 1 2 2 -1 [x,flag]=gauss(A) 结果如下： x = 0.2124 0.5492 -1.1554 flag =1 4、用Doolittle分解法求方程组 5x1+7x2+9x3+10x4=1 6x1+8x2+10x3+9x4=1 7x1+10x2+8x3+7x4=1 5x1+7x2+6x3+5x4=1 答：A=[5 7 9 10; 6 8 10 9; 7 10 8 7; 5 7 6 5] b=[1;1;1;1] [L,U]=lup(A) y = L\b 工程（专）学号：14102932 x = U\y A = 5 7 9 10 6 8 10 9 7 10 8 7 5 7 6 5 b =1 1 1 1 L = 1.0 0.0 0.0 0.0 1.2 1.0 0 .0 0.0 1.4 -0.5 1.0 0.0 1.0 0.0 0.6 1.0 U = 5.0 7.0 9.0 10.0 0.0 -0.4 -0.8 -3.0 0. 0 0.0 -5.0 -8.5 0.0 0 .0 0 .0 0.1 y = 1.0 -0.2 -0.5 0.3 x = 20.0 -12.0 -5.0 3.0 9、设X=[2，－4，3]T,求‖X‖1，‖X‖2，‖X‖∞答：X=[2，－4，3]T norm(x,1) ans =9 norm(x,2) ans =5.3852 norm(x,inf) ans = 4 11、设A=[2 1 －3 －1；3 1 0 7；－1 2 4 －2；1 0 －1 5]，求‖X‖1，‖X‖2，‖X‖∞答：A=[2 1 -3 -1; 3 1 0 7; -1 2 4 -2; 1 0 -1 5] norm(A,1) A = 2 1 - 3 -1 3 1 0 7 -1 2 4 -2 1 0 -1 5 专业：材料学 学号：14101316 姓名：李松彦 第 1 页 第四章 6.已知表函数 X i 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Y j 1.222 2.984 5.466 8.902 1 3.592 用最小二乘法求形如bx axe y =的拟合函数。 解：t y x = 令，则变换为求t bx ae =的拟合函数，即lnt ln a bx =+的拟合函数 xi 1 2 3 4 5 lnti 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T A =[1 1 1 1 1 1 2 3 4 5] T T lna A A =A Y b ?????? , 解之得a=1，b=0.2 0.2y x xe = 7.已知人体表面积S 和人的身高h ，体重w 有近似关系 ,210a a h a S ω= 试根据身高、体重及相应的人体表面积的一组观测值（),,i i i S h ω ),,2,1,0(n i =来估计参 数210a a a 的大小。 解： 12 00ln ln 1ln 2ln S h S h αααωαααω ==++ 拟合函数 102132()1,()=1,()=lnh,()ln x w ωφαφαφα== 1ln ln A h w ?? ??=?? ???? 012ln S T T A A A ααα?? ??=?????? t 100 200 300 400 500 C/10-3 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 t 600 700 800 900 1000 C/10-3 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59 8.学习Matlab 内部函数lsqcurvefit 的用法，并 计算数值实验使用函数lsqcurvefit 。 解： function test_lsqcurvefit() x0=[ ]; Y0=[ ]; If length(x0) Coeffo=[24 23 -13 46 0.27 2.10]; [coeff,resnorm,residual]=lsqcurvefit(@myfun,coeffo,x0,y0) Coeff Y=myfun(coeff,x0); Plot(x0,Y ,’r -’,x0,y0,’b -’,’linewidth’,2) Legend(‘The fitting curve’,’The original Date’) Function y=myfun(coeffo,x) Y=(coeffo(1)-coeffo(2)*x.^coeffo(3).*(max(x)-x).^coeffo(4); y=(c1-c2X c3))max(x)-x)c4 return 常州大学数值分析作业 —第二章 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 20.分别用Jacobi 迭代法、Gauss-seidel 迭代法解方程组??? ??=++=++=-+. 122,1,122321 321321x x x x x x x x x 解：Jacobi 迭代法收敛???? ? ?????-=??????????133321x x x ，Gauss-seidel 迭代法不收敛。 27.编写LU 分解法、改进平方根法、追赶法的Matlab 程序，并进行相关数值实验。 3.将矩阵????? ???? ???-=11 00 11021110 0201A 进行Doolittle 和Crout 分解 解：Doolittle 分解：结果如下，程序见后面。 ????? ???????-?????????????-==2.100015001110020112.00001020010000 1LU A Crout 分解：结果如下，程序见后面。? ? ??? ?? ?????-??????????? ??-==100 2.0100 1110 0201 2.1100 05020010 0001 LU A 7.用改进平方根法解方程组???? ? ? ??????=?????????????????????? ???----000142002511013101144321x x x x 解：结果如下，程序见后面。???? ????? ?? ?--=????????????0256.00513.00769.02821.04321x x x x 8（2）.用追赶法求解方程组????? ???? ???????=?????????????????????????????????--------00001210001210001210001210001254321x x x x x 1.解： （1）x = [ 3*π/8 π/2]; Y = cos(x); x0 = π/3; [A,Y] = lagrange(x,y,x0); P1 = vpa(poly2sym(A),3) 结果如下： P1 = 1.53*x - 0.974 Y = 0.5102 （2）x = [π/4 3*π/8π/2]; Y = cos(x); [A,Y] = lagrange(x,y,x0); P2=vpa(poly2sym(A),3) 结果如下： P2 = 1.18*x^2 - 0.455*x - 0.189 Y = 0.4973 （3）x = [0 π/8 π/4 3*π/8 π/2]; Y = cos(x); [A,Y]=lagrange(x,y,x0); 结果如下： P3 = x^4 + 0.00282*x^3 - 0.514*x^2 + 0.0232*x + 0.0287 Y = 0.5001 7.function [T]=aitken(x,y,x0,T0) If nargin == 3 T0=[]; end n0=size(T0,1); m=max(size(x)); n=n0+m;T=zeros(n,n+1); T(1:n0,1:n0+1)=T0;T(n0+1:n,1)=x;T(n0+1:n, 2)=y; if n0==0 i0=2; else i0=n0+1; End x=[0 1]; y=[0.5 1.25]; x0=2.8; T0=aitken(x,y,x0); T=T0; x=[3.0,4.0]'; y=[3.5,2.75]';x0=2.8; T=aitken(x,y,x0,T0); n=max(size(x))+size(T0,1); for i=1:n for j=1:i+1 fprintf('%10.4f',T(i,j)); end fprintf('\n'); End Return 0.0000 0.5000 0 0 0 1.0000 1.2500 2.6000 0 0 3.0000 3.5000 3.3000 3.2300 0 4.0000 2.7500 2.0750 2.2850 3.4190 16.function [C,D,Y]=newpoly(x0,y0,x) if nargin < 2 | nargin> 3 error( 'Incorrect Number of Inputs'); end if length(x0)~=length(y0) error('The length of x0 must be equal to it of y0'); end n=length(x0); D=zeros(n,n); D(:,1)=y0'; for j=2:n%计算差商表 for k=j:n If abs(x0(k)-x0(k-j+1))常州大学数值分析09-10试卷及参考答案
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