转化常量与变量的角色
漳浦一中 杨跃民 363200
我们知道,常量即固定不变的已知量,变量即变化着的未知量.但变量与常量的地位是相对的,灵活、正确处理变量与常量角色的相对关系对问题的解决有着天壤之别,极具神奇的艺术魅力.在数学问题的解决中,常常会碰到常量与变量关系处理的现象.改变审视的角度,灵活变换它们的角色,有时将常量看成变量,而将变量当作常量,将能起到出奇制胜的作用.正确处理常量与变量的角色转化是一种重要的数学思想方法和解题策略,是一门具有高层品味的科学艺术,在数学问题的解决中占有重要的地位,教学中我们绝不可低估它的作用.它是一种有动态、带逆向思维特性和综合艺术品性的解决问题的上策或良策.尤其是随着新课程的实施及高考模式的改革,高考的数学试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性,重在考查知识的综合灵活运用,它着眼于知识点新颖巧妙的有机组合,试题新而不偏奇,活而不过难;着眼于合理调控综合程度,坚持多角度、多层次的考查;着眼于对数学思想方法、数学能力与素质的考查.因此,数学问题解决的教学中要注意自觉克服绝对化的僵化思维,充分挖掘数学问题中潜在的有机结合而形成的特殊性和简单性,尽力打破常规,克服思维定势,灵活处理数学问题中的常量与变量角色的相对性.引导培植学生综合全面的优秀思维品质和良性的分析问题和解决问题的能力,构建学生科学探究、自主学习的能力的框架体系.
一、巧理对称关系式问题中量间角色的平等性
对称关系式中,量间的地位是平等的,处理时有一定的困难,但当把式中量间角色的平等性加以剥离, 有的量成为常量,有的量成为变量,使它们成为不平等,处理时常常能起到奇妙的效果.
例1:设a>0,x 、y 、z ∈R,x+y+z=a,222z y x ++=2
a ,求x 、y 、z 的取值范围. 分析 该问题中x 、y 、z 均为变量,地位均等,条件中的两式都是轮换对称式,相结合消去z 得到()2
22y x a y x --++=2
a ,将此式中的变量x 当作常量看待,整理成关于
变量y 的一元二次方程得2y +(x-a)y+(2
x -ax)=0,因为该方程有实根
∴△=()2
a x --4(2
x -ax)≥0?32
x -2ax-2
a ≤0
将x 看成变量,则此式是关于x 的一元二次不等式,解得-
3
a
≤x ≤a
同理可得-
3a ≤y ≤a, -3
a
≤z ≤a. 例2:在ΔABC 中,求证:cosA+cosB+cosC ≤2
3
.
分析 该问题中A 、B 、C 都是变量,地位均等, 该求证式是轮换对称式. ∵在ΔABC 中, A+B+C=π,∴当令y=cosA+cosB+cosC 时, 可得y=2cos 2B A +cos 2
-B A +1-2sin 22C
= -2sin 2
2C +cos 2
-B A sin 2C +1 ∴2sin
22C - 2cos 2
-B A sin 2C +y-1=0 ① 将①式的sin 2C 看成变量, y 、cos 2
-B A 看成常量, 则①式即为关于sin 2C 的二次方程. ∵sin
2
C
为实数, ∴①有实数根 ∴Δ=(2 cos
2
-B A )2
-8(y-1)≥0 ∴y ≤1+21cos 22-B
A ≤1+21=23
当且仅当A=B=C=
3
π
等号成立.
故 cosA+cosB+cosC ≤2
3
.
这里我们把sin 2
C
看作变量其余的看成常量,使问题转化为一元二次方程有解问题加以解决.
二、巧换方程问题中常量与变量的角色着装
某些带有参数的方程问题,循着问题中对常量与变量的设定去处理,有时是很复杂,甚至是无法解决问题的.方程问题中的常量(参数或具体数值)与变量的地位并非是一成不变的,它们是具有相对性的,若能打破常规,对问题中常量与变量的角色着装加以巧妙置换,常常会发现问题的处理变得豁然开朗起来,其过程也是极其简单.
例3:已知关于x 的方程m 2
x -2(m-3)x+m-2=0中的m 为负整数,试求使方程的解至少有一个为整数时的m 值.
分析 这里x 是变量,m 为常量,按常规求出x=
()m
m
m 493-±
-,再对m 分类讨
论,但十分繁琐.如果置换方程中变量x 与常量m 的角色,将原方程视为关于变量m 的方程,则有()2
1-x m=2-6x ,x≠1,故m=
()
2
162--x x
.因m 为负整数,故m≤-1,∴2-
6x≤-()2
1-x ,即2
x -8x+3≤0.解得4-13≤x≤4+13,且x≠1,∴x 的整数值
为2,3,4,5,6,7,代入m=
()
2
162--x x
中进行验算,得到m 值为-10,-4.
例4:解方程: x 3
+23x 2
+3x+3-1=0.
分析 直接按x 是变量求解方程,显然难度极大,若适当转换角色,则求解十分容易.令3=a ,将a 看成作变量,x 看作常量.则原方程化为关于a 的方程:
x 3
+2ax 2
+2
a x+a-1=0
即x 2a +(2x 2+1)a+ x 3-1=0,因式分解化为(a+x-1)(xa+x 2
+x+1)=0 ∴a+x-1=0或者xa+ x 2
+x+1=0,将a=3代入得 x=1-3或者x 2
+(3+1)x+1=0 ∴原方程的根为x=1-3或者x=
2
1
(-3-1±23). 三、巧调恒成立问题中常量与变量的地位
同方程问题中的常量与变量的相对特性类似,恒成立问题中的常量与变量按常态处理起来同样非常棘手,但若能巧调常量与变量的地位,则与方程问题的处理具有同等奇妙的效果.
例5:已知()?
?
? ??-=12x
m x f ,()12-=x x g , 当|m|≤2时,()x f 的图象都在
()x g 图象的下方,求x 的取值范围.
分析 依题意知,当|m|≤2时,?
?
? ??-12x
m <12-x 恒成立,
它是关于x 的不等式,这里x 为变量,m 为参变量,可构造函数()x F =?
?
? ??-12x m -12+x ,按常规求解极其
繁琐,但若转换一下m 与x 的角色就简明多了.
构造函数()m G =m x
?
?
? ??-12-12+x ,它是关于m 的函数,这里m 为变量,为x
参变量,依题意知,当|m|≤2时,其图象总在m 轴的下方.
∴???<<-0)2(0)2(G G ??????<+--<+---0
12)12(2012)12(2x x x x ???????
?+<<--->+-<2312
3127
1271x x x 或
∴2
3
1271+<--
x
. 例6:对于11≤≤-a ,求使不等式1221212
-+??
?
??<+??? ??a x ax x 恒成立的x 的取
值范围.
分析 由1221212
-+??
?
??<+??? ??a x ax x 得122-+>+a x ax x 恒成立,这里x 为变
量,a 为参变量,按常规求解极其繁琐.但若转换一下a 与x 的角色就简明多了,整理成关于a 的不等式
0122)1(>+-+-x x a x ,构造函数()f a =122)1(+-+-x x a x ,则
()()10
10
f f ->???
>??,由此易得到x 的取值范围为20> )(3 x x x f += (I )求f (x )的单调区间; (Ⅱ)当k k x f k x 2)4()(],1,1[,]2 1,2[2 --+<-∈--∈λλ对任意实数时恒成立,求实数λ的取值范围. 分析(I )定义域:(-∞,0)∪(0,+∞) 2 233)(x x x f - =' 令f ′(x )>0,则x <-1或x >1,∴f (x )的增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞) 令f ′(x )<0,则-1 3 3)(x x x f - ='=0,则x =±1 x ∈[-2,-1]时,f (x )为增函数;x ∈[-1,-2 1 ]时, f (x )为减函数.x =-1时,f (x )max =f (-1)=-4 ∴λ2+(k -4) λ-2k>-4对任意k ∈[-1,1]恒成立 即k ∈[-1,1]时(λ-2)k+λ2-4λ+4>0恒成立 若将k 视为常量,而λ为变量,问题将变为十分复杂; 将k 视为变量,而λ为常量,问题则变为十分简单.为此 令g(k)=( λ-2)k+λ2-4λ+4 只需???>>-0)1(0)1(g g 时,满足题意这时,?????>+-+?->+-+--0 441)2(044)2)(1(22 λλλλλλ 解得λ<1或λ>3即为所求. 四、巧置轨迹问题中动定点的相对参照性 自然界物体的动与静是相对的,参照系使然而已,因此轨迹问题中动点与定点同样是具有相对性的.以静止的观点处理轨迹问题中的动定点,有时是极其困难,甚至是无所适从的,但若能置换动定点的相对参照性,互换地位,以动点为定点,定点为动点,常常使问题得以简单地迎刃而解. 例8:已知抛物线系:y=x 2 +(2m+1)x+m 2 -1=0,求各抛物线的公切线方程. 分析 在这里(x,y)为变量, m 为参变量对于每一个m 值,可以确定一条抛物线,若让(x,y)固定, m 作为变量,则方程可化为 m 2 +2xm+(x 2+x-y-1)=0 ① 一般地,给定一个(x,y)的值,方程①可得二个解m 1、m 2,而每个m 决定一条抛物线,由此说明经过点(x,y)有两条抛物线,而当这两条抛物线重合时, 点(x,y)恰好在公切线上,此时方程①有重根.事实上,公切线上的点(x,y)都能使方程①有重根,而使方程①有重根的点(x,y)也都在公切线上.于是解答如下. 解 将原方程化为:m 2 +2xm+(x 2 +x-y-1)=0 令Δm =(2x)2-4(x 2 +x-y-1)=0 即得抛物线系公切线方程: x-y-1=0. 例9:过椭圆13 42 2=+y x 内一点M(1,1)作动弦AB,过A 、B 两点分别作椭圆的切线 l 1、l 2,求l 1与l 2的交点P 的轨迹方程 分析:先让动点P 固定,求出切点弦AB ,由AB 过M 即可得M 与P 的关系. 设P(x,y),M ()00,y x ,A ()11,y x ,B ()22,y x ,则椭圆13 42 2=+y x 上过A 、B 两点 的切线l 1、l 2的方程分别为 l 1: 13411=+y y x x ;l 2:13 422=+y y x x ∴动弦AB 的方程为 13 40 0=+yy xx ①,其中M ()00,y x 为动点,P(x,y)为定点 由已知0x =1,0y =1,代入方程为①得点P(x,y)的方程为13 4=+y x 即3x+4y-12=0. 5.4 生活中的常量与变量 一、选择题: 1.下列关于圆的面积S与半径R之间的函数关系式S=πR2中,有关常量和变量的说法正确的是() A.S,R2是变量,π是常量 B.S,R是变量,2是常量 C.S,R是变量,π是常量 D.S,R是变量,π和2是常量 2.据调查,北京石景山苹果园地铁站自行车存车处在某星期日的存车量为4000次,其中电动车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是() A.y=0.1x+800(0≤x≤4000) B.y=0.1x+1200(0≤x≤4000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4000) D.y=-0.1x+1200(0≤x≤4000) 3.某同学在测量体温时意识到体温计的读数与水银柱的长度之间可能存在着某种函数关系,就此他与同学们选择了一种类型的体温计,经历了收集数据、分析数据、得出结论的探索过程.他们收集的数据如下: 请你根据上述数据分析判断,水银柱的长度L(mm)与体温计的读数t℃(35≤t≤42)之间存在的函数关系式为() A.L= 1 10 t-66 B.L= 113 70 t C.L=6t- 307 2 D.L= 3955 2t 二、填空题 4.小明带10元钱去文具商店买日记本,已知每本日记本定价2元,则小明剩余的钱y(元)与所买日记本的本数x(元)之间的关系可表示为y= 10- 2x.在这个问题中______是变量,_______是常量. 5.在函数y= 1 2 x- 中,自变量x的取值范围是______. 6.某种活期储蓄的月利率是0.16%,存入10000元本金,按国家规定,取款时应缴纳利息部分20%的利息税,则这种活期储蓄扣除利息税后,实得本息和y(元)与所存月数x 之间的函数关系式为________. 三、解答题 型 二、常量与变量 程序执行过程就是数据处理过程,有些数据在程序执行过程中是不变的,而有些数据在程序执行过程中是可变的。 不变的数据是常量,可变的数据是变量。 例1:根据输入的圆半径计算圆面积。 解题思路: 找到根据圆半径求圆面积的公式,面积=π×半径2 将面积、圆周率、半径用C语言表示出来 面积(area)、圆周率(PI)、半径(r) 输入半径r,根据公式(area=PI*r*r)求解area,输出结果 例2 将华氏温度转变为摄氏温度输出。 解题思路: 找到根据华氏温度求摄氏温度的公式, 将摄氏温度、华氏温度、、32表示出来 摄氏温度(C)、华氏温度(F)、、32 输入华氏温度F,根据公式C=*(F-32)求解C,输出结果 例3 根据银行年利率计算一年的本息和 解题思路: 输入存款本金p和利率r 根据公式计算本息和sum 输出本息和 变量:程序运行期间,值可以改变的量。 常量:程序运行期间,值不变的量。 三、变量定义语言C为什么要定义数据类型 用客人订酒店比喻数据存储 常量与变量概念的引出 举例 动画演示 动画演示 重点: 用酒店和内存类比,引出变量名、变量值和变量地址的概念。 1、变量定义的作用 指定变量名和变量的数据类型。 例1:根据输入的圆半径计算圆面积。 输入r的值 area=PI*r*r 输出area的值 #include "" main() { float area,r; printf("Input r:"); scanf("%f",&r); area=*r*r; printf("area=%f\n",area); } 例2 将华氏温度转变为摄氏温度输出。 输入F的值常量的数据类型 重点: 变量要先定义后使用。 重点 N-S流程图表示顺序结构程序 第5章一次函数 5.1 常量与变量 A组 1.下列说法中,正确的是(B) A. 常量是指永远不变的量 B.具体的数一定是常量 C.字母一定表示变量 D. 球的体积公式v=错误!πr3,变量是π,r 2.(1)一个长方体的宽为b(定值),长为x,高为h,体积为V,则V=bxh,其中变量是(D) A.xB.h C.V D.x,h,V (2)笔记本每本a元,买3本笔记本共支出y元,在这个问题中:①a是常量时,y 是变量;②a是变量时,y是常量;③a是变量时,y也是变量;④a,y可以都是常量或都是变量.上述判断中,正确的有(B) A.1个B.2个 C.3个 D.4个 (第3题) 3.如图,一个四棱柱的底面是一个边长为10 cm的正方形.当它的高变化时,体积也随着变化. (1)若高为h(cm),体积v(cm3),则v与h之间的关系式为v=100h. (2)变量是四棱柱的高、体积; 常量是四棱柱的底面边长. 4.设路程为s(km),速度为v(km/h),时间为t(h),指出下列各式中的常量与变量. (1)v=错误!,常量是__8__,变量是__v,s__. (2)s=45t,常量是__45__,变量是__s,t__. (3)v t=100,常量是__100__,变量是__v,t__. 5.完成以下问题: (1)某人持续以a(m/min)的速度在t(min)内跑了s(m),其中常量是__a__,变量是__t,s__. (2)在t(min)内,不同的人以不同的速度a(m/min)跑了s(m),其中常量是__t__,变量是__a,s__. (3)s(m)的路程,不同的人以不同的速度a(m/min)各需跑t(min),其中常量是__s__,变量是__a,t__. (4)根据以上叙述,写一句关于常量与变量的结论:在不同条件下,常量与变量是 第二章 VB程序设计初步 为了设计应用程序中特定对象上的事件处理过程,尤其是嵌在事件处理过程中算法的描述,要用到数据(各种类型的常量和变量)、基本运算、标准函数、表达式,以及各种类型的语句,以实现从问题的原始数据出发,对数据进行一步一步的加工处理,直至获得最终计算结果的过程。 2.1 数据类型、常量与变量 数据是程序的必要组成部分,也是程序处理的对象。VB预定义了丰富的数据类型,不同数据类型体现了不同数据结构的特点,如表2-1所示。 数据类型名类型说明字节数取值范围和有效位数Integer 整型 2 精确表示-32768~32767 范围内的整数 Long 长整型 4 精确表示-2147483648~2147483647 范围内的整数 Single 单精度浮点型 4 -3.402823×1038~-1.401298×10-45 1.401298×10-45~3.402823×10387位有效位数 Double 双精度浮点型8 -1.79769313486232×10308~-4.94065645841247×10-324 4.94065645841247×10-324~1.79769313486232×10308 15位有效位数 String 字符串型表示一段文字与符号,字符串中每个字符占1个字节,每个字符串最多可存放约20亿个字符 Date 日期型8 表示日期,范围:100.1.1~9999.12.31 Boolean 逻辑型 2 True或False 表2-1中,“字节数”表示该类型数据所占内存空间的大小。 在这节,我们将介绍如何声明变量的类型。了解不同类型变量的取值范围和有效位数,便于我们在设计时根据实际需要正确地选择数据类型。 如:声明变量a用于存放某个同学一学期各门功课的总分(一般不超过32767),可以声明“Dim a As Integer”,VB处理系统会为变量a分配2个字节的存储空间。声明变量b 用于存放某大学所有职工的工资总和(一般不小于32767),则应声明“Dim a As Long”,VB处理系统会为变量b分配4个字节的存储空间。 又如:计算圆柱体的体积,并存入变量v,声明v为Single类型,半径和圆周率也采用Single类型,则结果v具有7位有效数字;如果要求计算结果具有更高的精确度,可以考虑采用Double类型。 不同类型的数值数据,其数值范围和有效位数的差别,或是由于所占用的存储空间大小不同、或是由于存储格式不同。 如:VB用2个字节(16个2进制位)存储Integer类型的数据,首位为符号位(正数为0、负数为1),因此其最大值为(0111111111111111)2,即32767。七年级数学上册 第五章 代数式与函数的初步认识 5.4《生活中的常量与变量》综合拓展练习 (新版)青
常量与变量教学设计
秋浙教版八年级数学上《5.1常量与变量》同步练习含答案
数据类型、常量与变量
2.1.1(一)变量与函数的概念教案