4.1 圆的方程
一、圆的标准方程
1．圆的标准方程
基本
要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径
标准
方程 圆心为(,)Cab，半径为r的圆的标准方程是222()()=xaybr
图示
说明 若点,()Mxy在圆C上，则点M的坐标适合方程222()()xaybr；反之，若点,()Mxy的坐标适合方程222()()xaybr，则点M在圆C上
2．圆的标准方程的推导
如图，设圆的圆心坐标为(,)Cab，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设()，Mxy为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合|PMMCr.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为22()()xaybr ①，①式两边平方，得222()()=xaybr.
3．点与圆的位置关系
圆C：222()(0())xaybrr，其圆心为,()Cab，半径为r，点00(,)Pxy，设2200||()()xadPCyb.
位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 ____dr
22200()()xaybr
点在圆上 ____dr
22200()()xaybr
点在圆内 ____dr
22200()()xaybr
二、圆的一般方程
1．圆的一般方程的定义
当2240DEF时，方程220xyDxEyF表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r.
2．圆的一般方程的推导
把以(,)ab为圆心，r为半径的圆的标准方程222()()xaybr展开，并整理得22222220xyaxbyabr.取2222,2,DaEbFabr，得：
220xyDxEyF ①.
把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224DEDEFxy.
第四章
§4.1
4.1.1共43页
圆与方程
圆的方程
的标准方程自学导引（学生用书卩83）2
共43页3
1•掌握圆的标准方程及其特点，会根据圆心的位置和半径写出 的标准方程.
2•能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
3•初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.
共43页111
课前热身（学生用书卩83）4
共43页共43页 5
1•设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则圆的标准方程是
(x・a)2+(y・b)2=r2 当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径
为r,则圆的标准方程是
_________ .
2•设点P到圆心的距离为d,圆的半径为I•，点P在圆外 111 HI 111 111
111 <=> d>r ;^P在圆上o d=r ；点卩在圆内 111 111 <=> d
名师讲解共43页 6
（学生用书P$3）共43页 7
仁点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内■圆上■圆外•其判断方法是由
两点间的距离公式，求出该点到圆心的距离,再与圆的半径
比较大小即可.
设点P(x0,y0)到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C的距离为d,则
〃 =1 PC l=^(x0 - a)2 +(y° —
所以当d沙即当(x0-a)2+(y0-b)2>rW5点P在圆C的外部;当 111
111 共43页 8
(x0-a)2+(y0-b)2< 2 时，点 P在圆 C 的内部;当(x0-a)2+(y0-
b)2=『2时，点p在| C上■反之也成立. 共43页 9
(1)几何法
利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程
得结果.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方
程中的三个参数，从而确定圆的标准方程•它是求圆的方程 最常用的方法，一般步骤是:先设方程,再列式，后求2 ■求圆的标准方程的常用方法 111 共43页 10
1 圆的标准方程
【一】教学背景分析
1． 教材结构分析
《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.
2.学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征 ，我制定如下教学目标：
3． 教学目标
(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题．
(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．
4. 教学重点与难点
重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．
难 点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：
【二】教法学法分析
1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程.
2．学法分析 通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求rba、、的过程.
4.1.1 圆的标准方程
一·教学目标
1．知识与技能
（1）会推导圆的标准方程。
（2）能根据圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。
（3）能根据所给有关圆心、半径或圆上点的坐标等具体条件准确地求出圆的标准方程。
2．过程与方法
通过圆的标准方程的探究，进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，在由已知条件求解圆标准方程的过程中，引导锻炼学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
3．情感态度与价值观
通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。
二·重点难点
1.重点：圆的标准方程的推导及求法。
2.难点：根据所给有关圆心、半径等具体条件准确地求出圆的标准方程。
三·教学过程
【导入新课】
前几节课我们在平面直角坐标系中研究了直线，得到直线的表达式是关于x,y的二元一次方程。那么曲线会有怎样的表达式呢？这节课我们就来一起学习最常见也是最美的一种曲线——圆的方程。
【推进新课】
（一）圆的标准方程
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？我们知道圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。因此，确定一个圆最基本要素是圆心和半径。
如图，在平面直角坐标系中，圆心的坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）。设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是
|MA|=r 即√（x-a）2+（y-b）2 =r
两边同时平方得：
（x-a）2+（y-b）2 =r2 ----(1)
对方程(1)，有
1、若点M(x,y)在圆上，点M的坐标满足方程(1)；
2、若点M(x,y)满足方程(1)，则点M在圆上。
故我们把方程(1)称为圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，叫做圆的标准方程。
思考：1、圆的方程形式有什么特点？
