题型1 函数的性质
一、基础知识
例1.判别函数ln(y x =的奇偶性. 【答案】 ()()0f x f x +-=,奇函数.
例2.在(,)-∞+∞内函数2
2
(1)()1x f x x
+=+为 【D 】 (A)奇函数. (B)偶函数. (C)无界函数. (D)有界函数. 例3.(04－34)函数2
sin(2)
()(1)(2)
x x f x x x x -=
--在下列哪个区间内有界 【A 】
(A)(1,0)-. (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3). 练习
1.设sin ()tan x
f x x xe
=，则()f x 是 【C 】
(A) 偶函数. (B)周期函数. (C)无界函数. (D)单调函数.
题型2 数列的极限
二、例题 (1) 考查定义
例1.下列命题中正确的是 【D 】
(A)当n 越大时,n u A -越小,则{}n u 必以A 为极限 (B) 当n 越大时,n u A -越接近于零,则{}n u 必以A 为极限
(C)0,0,N ε∀>∃>当n N >时,有无穷项满足n u A ε-<,则{}
n u 必以A 为极限 (D) 0,0,N ε∀>∃>当n N >时,仅有有限多项不满足n u A ε-<,则{}n u 必以A 为极限 (2)利用“单调有界准则”证明极限存在,求递归数列的极限
例2.(022)设103x <<,1n x +=(1,2,)n =,证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限.
【答案】
32
例3 (06-12-12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. (Ⅰ)证明lim n x x →∞
存在,并求该极限 .
(Ⅱ)计算2
1
1lim n x n n n x x +→∞
⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【答案】0,16e - 练习
1.设1211
11
2,2,,2,n n
x x x x x +==-=-
证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限. 【答案】 1
2.
的极限存在,并求此极限.
【答案】2
3.(96-1)设
110,
x
=
1
n
x
+
=(1,2,)
n =,试证数列{}n x的极限存在,并求此极限.
【答案】3
（3）利用“夹逼准则”与“定积分的定义”求n项和的极限
例4.(04-2)lim ln(1)
n n
→∞
+【B】
（A）
22
1
ln xdx
⎰. （B）2
1
2ln xdx
⎰. （C）2
1
2ln(1)x dx
+
⎰. （D）22
1
ln(1)x dx
+
⎰.
例5. （98-1）求
2
sin sin sin lim()
11
1
2
n
n n
n n n
n
ππ
π→∞
+++
++
+
. 【答案】
2
π
.
练习
1.(02-2)
1
lim 1cos
n n
→∞
+=
π
.
2.(99-4)设函数()(0,1),
x
f x a a a
=>≠则
2
1
lim ln[(1)(2)()]
n
f f f n
n
→∞
=
1
ln
2
a.
题型3 函数的极限(**)
ln ,
x a ,x x n
．
起到简化运算的作用
(一) 考查定义、性质、定理
例1.设0
lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都不存在,则 【D 】
(A)0
lim[()()]x x f x g x →+一定不存在.
(B) 0
lim[()()]x x f x g x →－一定不存在.
(C)当0
lim[()()]x x f x g x →+与0
lim[()()]x x f x g x →－有一个存在，则另一个一定存在.
(D)0
lim[()()]x x f x g x →+与0
lim[()()]x x f x g x →－都有可能存在.
例2．设0x x →时，()f x 不是无穷大，则下述结论正确的是 【D 】 (A)若()g x 是无穷小，则()()f x g x 必是无穷小. (B) 若()g x 不是无穷小，则()()f x g x 必不是无穷小. (C)若在0x x =的邻域内()g x 无界，则()()f x g x 必是无穷大. (D) 若在0x x =的邻域内()g x 有界，则()()f x g x 必不是无穷大. （二）0,00∞∞-∞⋅∞∞
，，型未定式极限
例3.(07-2) 30arctan sin lim
x x x x →-=1
6
-
. 例4.(07-34)323
1
lim
(sin cos )2x x x x x x x →+∞++++=0. 例5.(06-2) 0
ln(1)
lim
1cos x x x x
→+-=2.
例6.(06-34-7分)设1sin
(,),0,01arctan x
y y
y
f x y x y xy
x
π-=->>+求
（1）()lim (,)y g x f x y →+∞
=;
（2）0
lim ()x g x +
→. 【答案】(1) 11()arctan x
g x x x π-=-; (2)π. 例7.(05-34) 1
2sin lim 2+∞→x x
x x = 2.
例8.0
11lim(
)1x x x e x →++-= 12
-. 练习
1.0
lim ln (0)n
x x x n +
→>=0.
