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距离之和最小值

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利用轴对称求距离之和最小值

1．(1)观察发现

如题26(a)图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．

做法如下：作点B关于直线l的对称点B，连接AB，与直线l的交点就是所求的点P

再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这 点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．

题26(a)图 题26(b)图

(2)实践运用 如题26(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是AD⌒ 的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

题26(c)图 题26(d)图

(3)拓展延伸 如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

2．如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），

B（－1, －3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M为y轴上任意一点，当点△ABMD的周长最小时，求此时点M的坐标和周长的最小值；

x y

C B _ D _ A

O

图9 3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）

（1）求点A、E的坐标；

（2）若y=cbxx7362过点A、E，求抛物线的解析式。

（3）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

4.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50kmABA，、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和1SPAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和2SPAPB．

（1）求1S、2S，并比较它们的大小； （2）请你说明2SPAPB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

A

B C O D E y

x

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巧用同侧异侧互化求解距离最值问题

巧用同侧异侧互化求解距离最值问题

巧用同侧异侧互化求解距离最值问题

在解析几何中，经常遇到一个动点到两个定点的距离之和与差的最值问题，此类问题的条件是动点在某条定曲线上，定点往往有分布在曲线同侧或者异侧，曲线有封闭型或者非封闭型，距离又有和或差，最值也有最大或最小，所以看似解法各异，解法灵活，实则是同类问题，这类问题的根本解决之道是同侧化异侧，异侧化同侧，再应用三角形的基本性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”加以解决.通用模式为：设A，B为两定点，P为一动点，则当点P在线段AB的延长线上时， ；当点P在线段BA的延长线上时， ；当点P在线段AB上时， .

例1 在直线 上求一点P使得：

（1）点P到点 和点 的距离之差最大，并求点P的坐标；

（ 2）点Q到点 和点 的距离之和最小，并求点Q的坐标.

解：（1）如图所示，设点B关于 的对称点 的坐标为 ， 则 ，即 ，所以 .①

线段BB′的中点坐标为 ，且中点在直线l上，

所

图1

以 ，即 .②

解①②得a＝3，b＝3，即 ．

于是直线AB′的方程为 . 解 得 ，即l与直线AB′的交点坐标为 ，且此时点P到点A、B的距离之差最大，而且最大值为 ．

（2）如图2所示，设点C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为 ．

∴AC′所在直线的方程为 ，

解

图2

得直线AC′和l交点坐标为 ，

故Q点坐标为 ，且此时点Q到点A、C的距离之和最小，最小值为 ．

变式1：求 的最小值.

解：将原式变形为 ，令 、 、 ，则原题可以看做是求点P与点A、点B距离之和的最小值，即 的最小值，作 关于x轴的对称点 ,因此 ，即所求最小值为5.

变式2：已知 ，点M是圆 上的动点，点N是圆 上的动点，求 的最大值.

解析：因为M是圆O1上的点，N是圆O2上的点，两圆的半径都是. 又 在直线 上，由圆的性质可知： ， ，则求 的最大值就是求 即 的最大值，

而 的最大值是点 到关于直线 对称点 到 的距离．所以 的最大值是2.

异侧和最小同侧差最大——到两定点距离之和与差的最值问题的新观察

异侧和最小同侧差最大——到两定点距离之和与差的最值问题的新观察

第６期　王怀学，等：异侧和最小　同侧差最大　・９・　

异侧和最小　同侧差最大　

——到两定点距离之和与差的最值问题的新观察　

●王怀学　吕从军　（海头高级中学江苏赣榆２２２１１１）　

１问题提出　

解析几何中，我们常遇到１个动点到２个定点　

距离之和与差的最值问题，此类问题的条件通常是　

给出２个定点和１个动点，动点往往有固定的轨　

道，所求的问题一般是动点到２个定点的距离之和　

或差．此类问题往往因为定点处于轨道的异侧与同　

侧之分，轨道也有直线与曲线之别，距离又分和差，　

最值有最大也有最小，所以看起来解法各异，甚是　

灵活．不少学生遇到这些问题，往往都是不同问题　

应用不同方法，一题一议，一题一法．然而笔者在教　

学实践中却意外发现，它们的处理方式虽形式各　

异，但本质上都可以转化为初中学生都明白的２个　

简单的数学模型．　

２　２个经典的最值应用模型　

“两点之间，线段最短”，简单的８个字蕴涵着　

生活的哲理，它是我们都熟悉的一个“距离公理”，　

它的应用也非常广泛．大家最熟悉的一个例子：张　

庄和李庄是位于公路２旁的２个村庄，若要在公路　

上建一个汽车站，欲使２个村庄到该车站的距离之　

和最小，试设计出车站的最佳位置，并说明理由．这　是该数学公理最简单也是最典型的实例，影响深　

远，由此可以抽象出如下的数学模型：　

模型１如图１，已知点Ａ，　在直线２的异侧，　

在ｚ上求一点　，使得ＭＡ＋ＭＢ最小．　

分析根据两点之间，线段最短，联结ＡＢ，与　

直线Ｚ的交点是　便是要求的点　

证明　在直线２上任取一点Ｍ，得ＭＡ＋ＭＢ≥　

ＡＢ，当且仅当点Ｍ与　重合时有　＋　Ｂ＝　

ＡＢ，因此ＭＡ＋ＭＢ的最小值是ＡＢ的长度．　上面这个模型最典型的特征是：（１）定点Ａ，　

位于动点运动轨道的异侧；（２）可求距离之和的最　

小值．简单地说，就是“异侧和最小”　上述最值的证明所采用的原理是“两点之间，　

线段最短”，但事实上也可以理解为“三角形两边　

之和大于第三边”．从这一角度看，既然“三角形两　边之和大于第三边”，那么同时也应该有“三角形　

费马点最值问题(解析版)

费马点最值问题(解析版)

费马点最值问题

一．模型例题（共4小题）

1．问题的提出：

如果点P是锐角ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到ABC的三顶点的距离之和PAPBPC的

值为最小？

问题的转化：

把APC绕点A逆时针旋转60度得到△APC，连接PP，这样就把确定PAPBPC的最小值的问题转

化成确定BPPPPC的最小值的问题了，请你利用图1证明：PAPBPCBPPPPC．

问题的解决：

当点P到锐角ABC的三顶点的距离之和PAPBPC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的

点P的位置120APBAPC．

问题的延伸：

如图2是有一个锐角为30的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，

求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

【解答】解：问题的转化：

如图1，由旋转得：60PAP

，PAPA

，

APP

是等边三角形，

PPPA

，

PCPC

，

PAPBPCBPPPPC．

问题的解决：

满足：120APBAPC时，PAPBPC的值为最小；

理由是：如图2，把APC绕点A逆时针旋转60度得到△APC，连接PP，

由“问题的转化”可知：当B、P、P

、C

在同一直线上时，PAPBPC的值为最小，

120APB，60APP

，

180APBAPP

，

B、P、P

在同一直线上，

由旋转得：120APCAPC

，

60APP

，

180APCAPP

，

P、P

、C

在同一直线上，

B、P、P

、C

在同一直线上，

此时PAPBPC的值为最小，

故答案为：120APBAPC；

问题的延伸：

如图3，RtACB中，2AB，30ABC，

1AC，3BC，

把BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BPC，连接PP，

当A、P、P

两动点一定点求最小值例题

两动点一定点求最小值例题

两动点一定点求最小值例题

题目描述：有一根长度为L的绳子，绳子上有两个固定的点A和B，以及一个可以在绳子上滑动的点C。点A和点B之间的距离是已知的，记作d。现在要求点C在绳子上的位置，使得点C到点A的距离和点C到点B的距离之和最小。

思路：设点C在绳子上的位置为x，AC的长度为x，BC的长度为d-x。根据勾股定理，AC的长度和BC的长度的平方和等于AB的长度的平方。因此，可以得到一个关于x的方程，通过求解这个方程，就可以找到最小值对应的x的值。

具体的方程为：

x^2 + (d - x)^2 = AB^2

解这个方程，得到的x值即为点C在绳子上的位置，使得AC和BC之和最小。

这是一个简单的最小值求解问题，可通过代数运算和方程求解的方法来得到最优解。