专题40 存在性问题-2年中考1年模拟备战2016年中考数学精品系列(解析版)

☞解读考点

知 识 点 名师点晴

抛物线的存

在性 等腰、直角三角形 掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的存在性问题

平行四边形问题 理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法

相似三角形 理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法

等腰梯形、直角梯形 理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法

线段最值 掌握线段最大值或线段和的最小值的求法

面积最值问题 解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题

☞2年中考

【2015年题组】

1．（2015大连）在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．

（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；

（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．

【答案】（1）AB=BE；（2）BD=2211mkkk．

试题解析：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF，∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠BAE，∴AB=BE；

（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF，在△BDE与△AFE中，∵∠DEB=∠AEF，∠BDE=∠AFE，∴△BDE∽△AFE，∴BDDEAFFE，在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF=22DFDE=21kDF，∴21BDkDFmkDF=21kk，∴BD=2211mkkk．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．探究型；3．存在型；4．综合题；5．压轴题． 2．（2015大连）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为cbxax2y．

（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；

（2）若点G的坐标为（0，﹣3），求该抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=21EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）D（54m，m）；（2）25252612yxx；（3）P（85，165）或（910，165）．

试题解析：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，设CD=x，则DF=DB=2m﹣x，根据勾股定理得：222CFDFCD，即222(2)mmxx，解得：x=54m，∴点D的坐标为：（54m，m）；

（2）∵四边形OABC是矩形，∴OA=2m，OA∥BC，∴∠CDE=∠AED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD=54m，∴AE=CE=54m，∴OE=OA﹣AE=34m，∵OA∥BC，∴△OEG∽△CDG，∴OEOGCDCG，即334534mmm，解得：m=2，∴C（0，2），D（52，2），作FH⊥CD于H，如图1所示：则∠FHC=90°=∠DFC，∵∠FCH=∠FCD，∴△FCH∽△DCF，∴24552FHCHCFDFCFCD，即43252FHCH，∴FH=65，CH=85，625=165，∴F（85，165），把点C（0，2），D（，2），F（85，165）代入cbxax2y得：22552242648162555cababc，解得：56a，2512b，2c，∴抛物线的解析式为：25252612yxx；

考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．矩形的性质；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题；6．压轴题．

3．（2015盘锦）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．

（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： ；

（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），

①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当AC=12ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）BE=CD；（2）①成立；②存在，45°或225°．

（2）①成立，理由如下：

∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；

②存在，α=45°．∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=12ED，∴∠CAD=45°，或360°﹣90°﹣45°=225°，∴角α的度数是45°或225°．

考点：1．几何变换综合题；2．旋转的性质；3．平行四边形的性质；4．探究型；5．存在型；6．综合题；7．压轴题． 4．（2015盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23yaxbx交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；

（3）在（2）的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2312355yxx；（2）1；（3）①12；②G（4，32）或（4，6）．

②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为132yx，设直线DG1的解析式为12yxm，设直线DG2的解析式为2yxn，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标． 试题解析：（1）如图1，∵抛物线23yaxbx交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴3025530abab，解得：35125ab，∴抛物线解析式为2312355yxx；

（3）①如图3，连接CE，∵△OCD≌△HDE，∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3﹣1=2，∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF=∠EDF，在RT△CEF中，∵CF=OH=4，∴tan∠ECF=24EFCF=12，∴tan∠FDE=12；

②如图4，连接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，∵EH=1，OH=4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为132yx，设直线DG1的解析式为12yxm，∵D（1，0），∴1012m，解得m=12，∴直线DG1的解析式为1122yx，当x=4时，11422y=32，∴G1（4，32）；

设直线DG2的解析式为2yxn，∵D（1，0），∴0=2×1+n，解得n=﹣2，∴直线DG2的解析式为22yx，当x=4时，y=2×4﹣2=6，∴G2（4，6）；

综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，32）或（4，6）．

考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．旋转的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．

5．（2015齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足28(6)0OAOB，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．

（1）求线段AB的长；

（2）求直线CE的解析式；

（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）10；（2）443yx；（3）存在，P（－3，10）或P（3，2）．

试题解析：（1）∵28(6)0OAOB，∴OA=8，OB=6，在直角△AOB中，AB=22OAOB=2286=10；

（2）在△OBC和△DBC中，∵∠OBC=∠DBC，BC=BC，∠BOC=∠BDC，∴△OBC≌△DBC，∴OC=CD，设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD∽△AOB，∴ACCDABOB，即8106xx，解得：x=3．即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是ykxb，根据题意得：680bkb，解得：346kb，则直线AB的解析式是364yx，

设CD的解析式是43yxm，则40m，则4m，则直线CE的解析式是443yx；

（3）设直线BC的解析式是ynxd，则：630dnd，解得：26nd，则直线BC的解析式是26yx；

设经过A且与AB垂直的直线的解析式是43yxe，则4(8)03e，解得：323e，

则过A且与AB垂直的直线的解析式是43233yx．

根据题意得：4323326yxyx，解得：54xy，则M的坐标是（5，4）．

考点：1．一次函数综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．分类讨论；4．探究型；5．存在型；6．压轴题．

6．（2015龙东）如图，抛物线cbxxy2交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．