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高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法

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高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法
一、知识讲解
知识点1：一元二次不等式与分式不等式
1．一元二次不等式的解集端点→一元二次方程的解→二次函数的零点。
2．解一元二次不等式的步骤：二次项系数化为正→因式分解（求根）→判断符号（大于0，

两根之外，小于0，两根之外）12121212122100,00,axxxxaxxxxxxaxxxxaxxxxx或
3．分式不等式：转化成整式不等式求解
知识点2：二元一次不等式解法

1．可行域的判断依据：y的系数by与不等号，同号，直线上方；异号，直线下方
2．目标函数平移规律：y的系数b为正，往上平移变大；y的系数b为负，往上平移变小。
3．特殊目标函数的求解：
（1）22zxayb：点,xy与,ab间距离的平方；
（2）ybzxa：点,xy与,ab间斜率的大小；
（3）zxy：反比例函数zyx的比例系数。
二、典例分析
考点1：解含参一元二次不等式与分式不等式
例题1：已知00的解集为( )

A．x x1a B．{x|x>a}
C．x x<1a或x>a D．x x<1a
解析：根据不等式的性质可得10110aaa，故而可得解集为

1
,,aa




。

变式：解关于x的不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.
解析：将不等式因式分解可得10xmxm，解得解集为,1mm。
例题2：若a<0，则不等式x－4ax＋5a>0的解集是________．
解析：将不等式化简可得450xaxa，解得解集为,45,aa。
考点2：不等式中的参数求解
例题3：函数268fxkxkxk的定义域为R，则实数k的取值范围为( )
A．(0,1) B．[1，＋∞) C．[0,1] D．(－∞，0]
解析：函数的定义域为R，故而可得2680kxkxk恒成立，故而

22
0364320kkkk




或者0k，解得0,1k。

变式：若不等式x2－8x＋20mx2－mx－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：化简可得224410xmxmx恒成立，亦即210mxmx恒成立。
故而可得0m或者2040mmm，解得4,0k。
例题4：设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围
解析：将不等式化简可得21210xmx对22m恒成立，故而将m当作自变
量，这是一个一一次函数，故而可得


2
2

2
2

212102210317122223021210xxxxxxxxx














。

考点3：二元一次不等式组的基础解法
例题5：（2017年课标1卷13题）设x，y满足约束条件21210xyxyxy，则32zxy的最
小值为 。
解析：根据约束条件可画出可行域如右图所示，y的系数为负，故而可得当

初始函数平移经过点A时函数取最小值，联立211,121xyAxy，
故而可得32zxy的最小值为-5。
变式：（2017年课标3卷13题改）若x，y满足约束条件y0200xxyy，则
z34xy
的最大值为_____。
解析：根据约束条件可画出可行域如右图所示，y的系数为负，故而可
得当初始函数平移经过点D时函数取最小值，联立


02,020yDxy




，故而可得34zxy的最大值为8。

考点4：含参二元一次不等式组的解法
解题思路：此类问题包含两种形式，一种是约束条件中含有参数，一种是目标函数中含有参
数。两种问题都涉及到分类讨论和函数的旋转。
（1）约束条件含参：影响斜率，对直线进行旋转；影响截距，对直线进行平移。
（2）目标函数含参：对参数进行正负的讨论，注意与可行域中的约束条件进行对比讨论。

例题6：
已知,xy满足约束条件20{4230xyaxyxy，目标函数23zxy的最大值是2，
则实数a（ ）
A．12 B．1 C．32 D．
4
解析：根据约束条件可以发现，可行域必然在直线20xy的下方和直线
230xy
的上方，直线4yax是恒过点0,4的一条直线，故而要使得存在可
行域，直线4yax必须顺时针旋转，目标函数23zxy的系数为
负，故而向下平移的过程中不断变大，因此可得目标函数在点B处取到

最大值。联立方程2324202412xyxxyyaxya，问题得解。

例题7：设实数x，y满足约束条件0,{220,0,yxxyx若目标函数(0)zmxym的最大
值为6，则m的值为（ ）
A．2 B． 4 C．8 D．16
解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数zmxy的初始直线斜率为负，
系数为正，故而可得无论直线如何旋转，都将在点B处取最大值。联立方程
022202yxxxyy








，代入可得max2262zmm，问题得解。

考点5：二元一次不等式组的特殊求解
例题8：若变量,xy满足条件10{6010xyxyx，则xy的取值范围是（ ）

A．0,5 B．355,4 C．350,4 D．0,9
解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数zxy表示为反比例函数zyx的
比例系数，根据反比例函数的性质可得，当反比例函数越往上平移，比例系
数越大。故而可得当反比例函数与直线BC相切时，zxy取最大值，此时

联立26609xyxxzzxyz；当0y时，取最小值0。故
而选D。
例题9：已知点,Pxy的坐标满足条件1{2220.xyxy，，记2yx的最大值为a，

2

2
3xy

的最小值为b，则ab__________．

解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数2yzx表
示为点,xy和点2,0之间的斜率，根据图像可得

,0,12ADBDyzkkx


，故而可得1a；目标函数

2

2
3zxy
表示点,xy和点0,3之间的距离平方，根据图像可得


2

222
3,zxyAQCQ


，故而最小值为4，即4b，因此可得5ab。

例题10：过平面区域20{2020xyyxy内一点P作圆O： 221xy的
两条切线，切点分别为,AB，记APB，当最大时，点P坐
标为__________．
解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，根据图像可得
2APBAPO，故而要使得角最大，即满足APO
最大即可。

又1sinOAAPOOPOP，故而可得当OP取最小值时角最大。
此时OPDF，根据直线的性质可得点1,1P。
例题11：某工厂有,AB两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件，
耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件，耗时2h，该厂每天最
多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过
8h，若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通
过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为__________万元。
解析：由题意假设工厂每天生产甲产品x件，乙产品y件，故而可得约

束条件42441628xyxy，目标函数为34zxy，根据约束条件作出可行
域如图所示，故而可得在点4,2B处取最大值20.

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二元一次不等式组的解法与应用

二元一次不等式组的解法与应用

二元一次不等式组的解法与应用一、引言二元一次不等式组是数学中常见的问题之一，对于解不等式组以及应用于实际问题中具有重要的意义。

本文将介绍二元一次不等式组的解法，并探讨其在实际问题中的应用。

二、二元一次不等式组的解法要解决二元一次不等式组，我们可以通过图像法、代数法和线性规划法等多种方法。

接下来将详细介绍这些方法。

1. 图像法图像法是一种直观的解决二元一次不等式组的方法。

我们可以将每个不等式都转化为一个直线，并找出其解集的交集区域。

通过观察这个交集区域，我们可以得到不等式组的解。

2. 代数法代数法是一种基于代数运算的解决方法。

首先，我们需要将二元一次不等式组进行标准化，即将所有不等式移项并合并同类项。

然后，我们可以通过消元法或代入法来求解。

3. 线性规划法线性规划法是一种用于求解有约束条件的优化问题的方法，也可以应用于解决二元一次不等式组。

我们可以将不等式组转化为线性规划模型，并利用线性规划的理论和算法求解。

三、二元一次不等式组的应用二元一次不等式组在实际生活中有着广泛的应用。

以下是几个常见的例子。

1. 经济学中的应用在经济学中，我们经常会遇到一些涉及资源分配和约束条件的问题。

通过建立二元一次不等式组模型，可以帮助我们解决这些问题。

比如，某企业要通过生产两种产品来最大化利润，但存在资源限制和市场需求的约束，我们可以将这些条件转化为不等式组，并求解最优解。

2. 几何学中的应用几何学中的一些问题也可以通过二元一次不等式组来解决。

比如，某个区域内有一定数量的点，我们想要找到一个点，使得它到这些点的总距离最小。

我们可以将该问题转化为不等式组，并利用解不等式组的方法求解最优解。

3. 生活中的实际问题除了学科领域，二元一次不等式组也经常出现在我们的日常生活中。

比如，我们需要在一定的时间和金钱限制下，找到合适的方式安排旅行行程，或者在购物时选择最优的价格和质量。

通过建立二元一次不等式组模型，我们可以帮助解决这些实际问题。

一元二次不等式教案5篇

一元二次不等式教案5篇

一元二次不等式教案一元二次不等式教案5篇作为一名优秀的教育工作者，总不可避免地需要编写教案，借助教案可以更好地组织教学活动。

那么教案应该怎么写才合适呢？以下是小编整理的一元二次不等式教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。

一元二次不等式教案1教学内容3.2一元二次不等式及其解法三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。

回顾下等比数列的性质。

生：略师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。

高中数学《一元二次不等式及其解法》优秀说课稿(经典、值得收藏)

高中数学《一元二次不等式及其解法》优秀说课稿(经典、值得收藏)

《一元二次不等式及其解法》优秀说课稿大家好！我是来自***。

今天我说课的内容是人教A版高中数学必修5，第三章第二节《一元二次不等式及其解法》的第一课时。

下面，我将围绕以下四个问题说明我对本节课的理解与设计。

问题一：教什么？一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，它是解不等式的基础和核心。

在高中数学中，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法，如函数、数列、导数、解析几何、三角函数等。

概括的说，本节课的地位体现在它的基础性，作用体现在工具性。

根据新课标的要求，结合教材特点和高二学生的认知能力，本节课我确定以下四个层次的教学目标：知识目标：正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法；能力目标：通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；德育目标：学习“三个二次”的关系，体会事物之间普遍联系的辩证思想；情感目标：创设问题情境，培养学生的探索精神和合作意识。

而本节课的重点是：一元二次不等式的解法。

问题二：在什么起点教？知识掌握上，学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步的了解。

心理上，高二学生的逻辑推理更加严密，但抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。

针对这样的学情，我将本节课的难点确定为：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系。

问题三：怎样教？根据以上分析，教法上我主要采用了问题教学法。

首先通过创设“一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比公司B所需费用少”的情境，让学生发现问题；接着在分析问题的过程中引出了一元二次不等式的定义；最后，在解决问题的基础上获得了一元二次不等式的解法，从而顺利突破难点。

与之相对应的，学生将按照自主探究和小组合作相结合的方法展开学习，在画一画、看一看、说一说、变一变的过程中体会探究新知的乐趣。

新教材高中数学第二章等式与不等式 不等式 一元二次不等式的解法学案含解析新人教B版必修第一册

新教材高中数学第二章等式与不等式 不等式 一元二次不等式的解法学案含解析新人教B版必修第一册

2.2.3 一元二次不等式的解法学习目标1.经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程，能用符号语言来描述这个模型，提升数学抽象素养;2.通过一元二次不等式实例的求解，能概括解一元二次不等式的一般步骤，提高总结归纳能力;会运用一元二次不等式知识解决有关的问题，发展数学应用意识.自主预习汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m ，乙车的刹车距离略超过10 m .已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为s 甲=1100v 2-110v ，s 乙=1200v 2-120v.试判断甲、乙两车有无超速现象. 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式 1100v 2-110v>6和 ， 即v 2-10v-600>0和 ，一般地，形如ax 2+bx+c>0的不等式称为 ，其中a ，b ，c 是 ，而且 .一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.[尝试与发现1]任意选定一些数，看它们是否是不等式x (x-1)>0的解，由此给出解这个不等式的方法. 注意到 ，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当，或，因此，不等式可以转化为两个不等式组，或，用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0的解，但此时的依据是:ab<0当且仅当，或 ，因为不等式可以转化为两个不等式组，或，一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x-x 1)(x-x 2)<0的解集是 .不等式(x-x 1)(x-x 2)>0的解集是 .[尝试与发现2]通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:(1)x 2<-1;(2)x 2>-2;(3)x 2<9.因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中(1)的解集为 ，(2)的解集为 .对于x 2<9来说，两边同时开根号可得√x 2<√9，即|x|<3，因此-3<x<3，从而得到(3)的解集为(-3，3). 课堂探究例1 求不等式x 2-x-2>0的解集.反思感悟:因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解可用此法，它只能适用于解决一类特殊的不等式. 跟踪训练1 求下列不等式的解集:(1)2x 2+x-6>0; (2)(3x-1)(x+4)>0.例2 求下列不等式的解集:(1)x 2+4x+1≥0; (2)x 2-6x-1≤0;(3)-x 2+2x-1<0; (4)2x 2+4x+5>0.反思感悟:配方法:一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)通过配方总可以化为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集.跟踪训练2 求下列不等式的解集:(1)x 2+x+1>0. (2)-4x 2+18x-814≥0.例3 求不等式2x+1x -2≥1的解集.反思感悟:1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.跟踪训练3 求下列不等式的解集: (1)x+21-x <0; (2)x+1x -2≤2.核心素养专练1.不等式x 2>1的解集是( )A .{x|x>1}B .{x|x>±1}C .{x|-1<x<1}D .{x|x>1或x<-1}2.不等式x (2-x )<0的解集是( )A .(2，+∞)B .(-∞，2)C .(0，2)D .(-∞，0)∪(2，+∞)3.不等式x 2+2x-3<0的解集为( )A .{x|x<-3或x>1}B .{x|x<-1或x>3}C .{x|-1<x<3}D .{x|-3<x<1}4.求下列不等式的解集:(1)x (x-3)<0; (2)(x+1)(1-x )≥0;(3)x 2+6x-7≤0; (4)x 2-8x+16<0.5.求下列不等式的解集:(1)x 2+2x-5<0; (2)x 2-4x-2≥0;(3)x 2+6x+10≤0; (4)x 2-8x+16≤0;(5)-x 2+8x-1≤0; (6)2x 2-4x+3<0.6.求下列不等式的解集:(1)x+1x -1>0; (2)1x -1>1.参考答案自主预习1200v 2-120v>10，v 2-10v-2 000>0，一元二次不等式，常数，a ≠0，只有两个同号的数相乘，，(x 1，，2)，(-∞，x 1)∪(x 2，+∞)，⌀，R 课堂探究例1 (-∞，-1)∪(2，+∞).跟踪训练1 (1)(-∞，-2)∪，(2)(-∞，-4)∪，例2 (1)(-∞，-2-√3 ]∪[-2+√3，+∞)(2)[3-√10，3+√10 ](3){x|x ≠1}(4)R跟踪训练2 (1)R(2){94}例3 (-∞，-3]∪(2，+∞)跟踪训练3 (1)(-∞，-2)∪(1，+∞)(2)(-∞，2)∪[5，+∞) 核心素养专练3.D4.(1)(0，3) (2)[-1，1](3)[-7，1] (4)⌀5.(1)[-1-√6，-1+√6](2)(-∞，2-√6 ]∪[2+√6，+∞) (3)⌀(4){4} (5)(-∞，4-√15]∪[4+√15，+∞)(6)⌀6.(1)(-∞，-1)∪(1，+∞) (2)(1，2)学习目标1.能在现实情境或数学情境中提取出一元二次不等式模型.2.能恰当使用因式分解法和配方法解一元二次不等式.课堂探究情境与问题: 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m ，乙车的刹车距离略超过10 m .已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为s 甲=1100v 2-110v ，s 乙=1200v 2-120v. 试判断甲、乙两车有无超速现象. 任务一:通过阅读上面内容，解答以下问题: 问题1:(1)如何构建数学关系式解决是否超速问题?(2)所得数学关系特征是什么? 一般的，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是 ，而且 ，不等号也可以是 .任务二:探究形如:(x-x 1)(x-x 2)>0或(x-x 1)(x-x 2)<0的解集. 问题2:(1)两个数相乘结果为正数，则这两个数满足什么关系?依据:ab>0当且仅当 . (2)x (x-1)>0可以等价转化成什么形式?解集是什么? (3)(x+1)(x-1)<0的解集是什么? 依据:ab<0当且仅当 . 结论:一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x-x 1)(x-x 2)<0的解集是 . 不等式(x-x 1)(x-x 2)>0的解集是 . 这种解不等式的方法叫因式分解法. 问题3:使用因式分解法解一元二次不等式的前提是什么?例1 求不等式x 2-x-2>0的解集.回到情境与问题中的不等式，v 2-10v-600>0可以化为(v+20)(v-30)>0，因此甲车的车速v>30;而v 2-10v-2 000>0可以化为 ，因此乙车的车速 .由此可见，乙车肯定超速了. 小结因式分解法解题规律:任务三:探究形如:(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的解集问题4:(1)通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集: ①x 2<-1 ;②x 2>-2 ;③x 2<9 .(2)类比方程的研究方法，解不等式x 2<9.(3)借助(2)解法特点解不等式x 2-6x-1≤0.结论:一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 这种解不等式的方法叫配方法. 问题5:(1)配方法适合解什么特征的一元二次不等式?(2)几种特殊情形:①(x-h )2>0的解集为 ;(x-h )2<0的解集为 .②当k<0时，不等式(x-h )2>k 的解集为 ，不等式(x-h )2<k 的解集为 . 例2 求下列不等式的解集:(1)x 2+4x+1≥0; (2)-x 2+2x-1<0;(3)2x 2+4x+5>0.变式训练:x 2-12>-x 2.小结配方法解题规律:拓展性问题:求不等式2x+1x -2≥1的解集.课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获?(知识层面、思想方法层面)布置作业1.阅读课本，结合学案，进行知识整理、整合.2.完成课本第71页A 组 第2，3题;B 组 第1，2题.3.选做题:B 组 第5题.参考答案课堂探究1:(1)1100v 2-110v>6;1200v 2-120v>10 (2)ax 2+bx+c>0;常数;a ≠0;< ≥ ≤问题2:(1)同号;，或，(2)，或，(-∞，0)∪(1，+∞)(3)(-1，1);，或，(x1，x2);(-∞，x1)∪(x2，+∞)问题3:一元二次不等式是特殊类型、能因式分解.例1(-∞，-1)∪(2，+∞)情境与问题:(v+40)(v-50)>0;v>50.问题4:(1)①⌀;②R;③(-3，3).(2)∵x2<9，∴√x2<√9，即|x|<3，∴-3<x<3.不等式的解集为(-3，3).(3)[3-√10，3+√10].问题5:(1)一般的一元二次不等式(2)①(-∞，h)∪(h，+∞);⌀;②R;⌀例2(1)(-∞，-2-√3]∪[-2+√3，+∞)(2)(-∞，1)∪(1，+∞)(3)R变式训练:(-∞，-1)∪，拓展性问题:(-∞，-3]∪(2，+∞)课堂小结略布置作业略。