8章4节课时活页训练
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1．(2009年高考宁夏、海南卷)
已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－
π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝
________.
解析：由图可知，T2＝2π－
3
4
π，
∴T＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，
∴y＝sin(45x＋φ)．
又∵sin(45×
3
4
π＋φ)＝－1，
∴sin(
3
5
π＋φ)＝－1，
∴
35π＋φ＝3
2
π＋2kπ，k∈Z.
∵－π≤φ<π，∴φ＝
9
10
π.
答案：
9
10
π
2．(2010年南京调研)已
知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，
|φ|<π)的图象如图所示，则φ
＝________.
解析：由图象知T＝2(
2π
3
－π6)＝π.
∴ω＝2πT＝2，把点(π6，
1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.
答案：π6
3．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)
的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)
的图象________．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，
∴2πω＝π，故ω＝2.
又f(x)＝sin(2x＋π4)错误!g(x)
＝sin[2(x＋π8)＋π4]＝sin(2x＋π2)＝cos2x.
答案：向左平移π8个单位长度
4．(2009年高考辽宁卷改
编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)
的图象如图所示，f(π2)＝－23，
则f(0)＝________.
解析：T2＝1112π－712π＝π3，
∴ω＝2πT＝3.
又(
7
12
π，0)是函数的一个上升段的零点，
∴3×712π＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－π4＋2kπ，k∈Z，
代入f(π2)＝－23，得A＝223，∴f(0)＝23.
答案：23
5．将函数y＝sin(2x＋π3)的图象向________平移________个单位
长度后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称．
解析：由y＝sin(2x＋π3)＝sin2(x＋π6)可知其函数图象关于点(－π6，
0)对称，因此要使平移后的图象关于(－π12，0)对称，只需向右平移
π
12
即可．
答案：右 π12
6．(2010年深圳调研)定义行列式运算：a1 a2a3 a4＝a1a4－a2a3，
将函数f(x)＝3 cosx1 sinx的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象
对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．
解析：由题意，知f(x)＝3sinx－cosx＝2(32sinx－12cosx)＝2sin(x
－π6)，
其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－π6＋m)，平移后其对
称轴为x－π6＋m＝kπ＋π2，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋
2π3(k∈Z)，故m的最小值为2π
3
.
答案：2π3
7．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝tan(ωx＋π4)(ω>0)的图
象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋π6)的图象重合，则ω
的最小值为________．
解析：y＝tan(ωx＋π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y
＝tan[ω(x－π6)＋π4]，
即y＝tan(ωx＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋kπ(k∈Z)时，两图象
重合，此时ω＝12－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为12.
答案：12
8．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋π3)|的最小正周期是π2；②
函数y＝sin(x－3π2)在区间[π，3π2]上单调递增；③x＝5π4是函数y＝sin(2x
＋5π6)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．
解析：由于函数y＝sin(2x＋π3)的最小正周期是π，故函数y＝
|sin(2x＋π3)|的最小正周期是π2，①正确；y＝sin(x－3π2)＝cosx，该函数
在[π，3π2)上单调递增， ②正确；当x＝5π4时，y＝sin(2x＋5π6)＝sin(
5π
2
＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos5π6＝－32，不等于函数的最值，故x＝5π4不是
函数y＝sin(2x＋5π6)的图象的一条对称轴，③不正确．
答案：2
9．(2009年高考上海卷)当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx恒成立，
则实数k的取值范围是________．
解析：当0≤x≤1时，y＝sinπx2的
图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之
间的部分应位于此图象下方，当k≤0
时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下
方，原不等式成立．
当k>0，kx≤sinπx2时，在x∈[0,1]
上恒成立，k≤1即可．
故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin
πx
2
≥kx.
答案：k≤1
10．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋
2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移π2个单位长
度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin
2ωx＋cos2
ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx
＋cos2ωx＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2，
依题意，得2π2ω＝2π3，故ω＝32.
(2)依题意，得
g(x)＝2sin[3(x－π2)＋π4]＋2＝2sin(3x－5π4)＋2.
由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，
解得23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12(k∈Z)．
故g(x)的单调增区间为
[23kπ＋π4，23kπ＋7π12](k∈Z)．
11．(2009年高考陕西卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中
A>0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，π12]时，求f(x)的最值．
解：(1)由最低点为M(2π3，－2)得 A＝2.
由T＝π得ω＝2πT＝2ππ＝2.
由点M(2π3，－2)在图象上得
2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，
∴4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，即φ＝2kπ－11π6，k∈Z.
又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，
∴f(x)＝2sin(2x＋π6)．
(2)∵x∈[0，π12]，∴2x＋π6∈[π6，π3]，
∴当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取得最小值1；
当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)取得最大值3.
12．(2009年高考福建卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，
|φ|<π2.
(1)若cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距
离等于π3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的
图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
解：法一：(1)由cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0得
cosπ4cosφ－sinπ4sinφ＝0，
即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，
∴φ＝π4.
(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋π4)．
依题意，T2＝π3，又T＝2πω，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋π4)．
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin[3(x＋m)＋π4]，
g(x)是偶函数当且仅当3m＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，
即m＝kπ3＋π12(k∈Z)．
从而，最小正实数m＝π12.
法二：(1)同法一．
(2)由(1)得 ，f(x)＝sin(ωx＋π4)．
依题意，T2＝π3.又T＝2πω，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋π4)．
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin[3(x＋m)＋π4]．
g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3m＋π4)＝sin(3x＋3m＋π4)对x∈R恒成立．
∴sin(－3x)cos(3m＋π4)＋cos(－3x)·sin(3m＋π4)
＝sin3xcos(3m＋π4)＋cos3xsin(3m＋π4)，
即2sin3xcos(3m＋π4)＝0对x∈R恒成立．
∴cos(3m＋π4)＝0，故3m＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，
∴m＝kπ3＋π12(k∈Z)，
从而，最小正实数m＝π12.
