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浙教版数学九年级上册4.3 相似三角形.docx

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4.3 相似三角形一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知△ABC∼△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )A. 34B. 43C. 916D. 1692. 两个相似三角形的对应边分别为15 cm和23 cm，它们的周长差为40 cm，则这两个三角形的周长分别为( )A. 75 cm，115 cmB. 60 cm，100 cmC. 85 cm，125 cmD. 45 cm，85 cm3. 已知两个相似三角形的周长分别是8和6，则它们的面积比是( )A. 4:3B. 16:9C. 2:√3D. √3:√24. 如图，已知一次函数y=−12x+1的图象与两坐标轴分别交于A、B，点C在轴上，AC=4，第一象限内有一个点P，且PC⊥x轴于点C，若以点P、A、C为顶点的三角形与△OAB相似，则点P的坐标为( )A. (4,8)B. (4,8)或(4,2)C. (6,8)D. (6,8)和(6,2)5. 在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE:ED=3:1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEF:S四边形ABCE为( )A. 3:4B. 4:3C. 7:9D. 9:76. 如图所示，在正方形网格上，若△ABC∽△PBD，则点P的位置在( )A. P1B. P2C. P3D. P47. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知△ABC的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现要利用长度分别为30 cm和60 cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位： cm）分别为( )A. 10，25B. 10，36或12，36C. 12，36D. 10，25或12，369. 如图所示，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点且DE∥BC，若S△ADE:S四边形DBCE= 1:8，那么AE:AC等于( )A. 12B. 13C. 18D. 1910. 如图，已知点A(4,0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于( )．A. √5B. 43√5 C. 3 D. 4二、填空题（共10小题；共50分）11. 若两个相似三角形的面积比为1:4，则这两个相似三角形的周长比是．12. 若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．13. 已知△ABC∽△AʹBʹCʹ相似比34为，AD，AʹDʹ分别是它们的对应角平分线，AD=6 cm，则AʹDʹ= cm．14. 如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．15. 如图，△ABC中，DE∥BC，AE:EB=2:3，则△AED的面积与四边形DEBC的面积之比为．16. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90∘），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为．17. 如图，已知△ABC∽△ACP，∠A=70∘，∠APC=65∘，则∠B=．18. 如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=．19. 如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F．现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1．若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．20. 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图所示，在5×5的方格纸中，作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标是．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．22. 如图，△ABC与△AʹBʹCʹ相似，AD，BE是△ABC的高，AʹDʹ，BʹEʹ是△AʹBʹCʹ的高．求证：ADAʹDʹ=BEBʹEʹ．23. 如图，已知△ABC，作一条与BC平行的直线，把△ABC划分成两部分．要使划分成的三角形与四边形的面积之比为1:2，可怎样作?如果要使划分成的两部分的面积之比为1:n呢?24. 某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块四边形空地ABCD上种植花木，如图，其中AD∥BC，AD=10 m，BC=20 m．Ⅰ他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，价格为8 元/m2．当△AMD地带上种满太阳花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△CMB地带所需要的费用．Ⅱ若其余地带有玫瑰和茉莉两种花木可供选择，价格分别为12 元/m2和10 元/m2，则应该选择哪种花木可以刚好用完所筹集的资金?25. 已知：如图，一次函数y=−x−2的图象与二次函数y=2x2+2x−4的图象与x轴交于同一点A，且与y轴交于点B，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C 组成三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．答案第一部分1. A2. A3. B4. D5. D6. C7. C8. D9. B 10. A第二部分11. 1:212. 5:413. 814. 4.8或40315. 4:2116. 717. 45∘18. 319. 16520. (4,4)或(5,2)第三部分21. ∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠1=∠3，∵∠C=∠E，∠DOC=∠AOE，∴△DOC∽△AOE，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3．22. ∵△ABC∽△AʹBʹCʹ，AD为BC边长的高，AʹDʹ为BʹCʹ边上的高．∴ADAʹDʹ=ABAʹBʹ，同理BEBʹEʹ=ABAʹBʹ，∴ADAʹDʹ=BEBʹEʹ．23. ∵划分成的三角形与四边形的面积之比为1:2，∴划分成的三角形与原△ABC的面积之比为1:3，则边长之比为1:√3．如果面积之比为1:n，那么划分成的三角形与原三角形的边长之比为1:√n+1．24. （1）∵AD∥BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC．∴△AMD∽△CMB．∴S△AMDS△CMB =(ADBC)2=(1020)2=14．∵种植△AMD地带花了160元，∴S△AMD=160÷8=20(m2)．∴S△CMB=20×4=80(m2)．∴种满△CMB地带的花费为80×8=640(元)．（2）设△AMD的边AD上的高为ℎ1，△CMB的边BC上的高为ℎ2，梯形的高为ℎ．∵S△AMD=12×10ℎ1=20，∴ℎ1=20×2÷10=4(m)．∵ℎ1ℎ2=12，∴ℎ2=2ℎ1=2×4=8(m)．∴ℎ=ℎ1+ℎ2=4+8=12(m)．∴S梯形ABCD =12(AD+BC)⋅ℎ=12×30×12=180(m2)．∴S△AMB+S△DMC=180−20−80=80(m2)．若种植玫瑰，共需花费160+640+80×12=1760(元)，若种植茉莉，共需花费160+640+80×10=1600(元)．∴选择种植茉莉可以刚好用完所筹集的资金．25.令x=0，一次函数与y轴的交点B(0,−2)，二次函数与y轴的交点为D(0,−4)，∴△AOB是等腰直角三角形，BD=−2−(−4)=2，∴AB=√2+√2=2√2，∠OAB=∠OBA=45∘，∵△ABD中，∠BAD和∠ADB都不等于45∘，∠ABD=180∘−45∘=135∘，∴∠BAC和∠ABD是对应角为135∘，∴点C在点A的左边，①AC和BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，∴ACBD =ABAB=1，∴AC=BD=2，∴OC=OA+AC=2+2=4，点C的坐标为(−4,0)②AC和AB是对应边时，∵△ADB∽△BCA，ACAB =ABBD=√22，∴AC=√2AB=√2×2√2=4，∴OC=OA+AC=2+4=6，∴点C的坐标为(−6,0) .综上所述，在x轴上有一点C(−4,0)或(−6,0)，使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．初中数学试卷。

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九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.3 相似三角形导学课件浙教级上册数学课件

九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.3 相似三角形导学课件浙教级上册数学课件


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第十二页，共十五页。
xiǎojié)
相似三角形
相似三角形的定义
相似三角形的性质
相似比
注意：相似比是有顺序的
1.相似用符号 __表∽ 示； 2.相似与全等的关系；
3.对应顶点的字母写在 对应的位置
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4.3 相似三角形
3．如图4－3－1，△ABC∽△ACP.若∠A＝75°，∠APC＝65°，则∠B的 度数(dù shu)为________．40°
[解析(jiě xī)] ∵∠A＝75°，∠APC＝65°， ∴∠ACP＝40°. ∵△ABC∽△ACP， ∴∠B＝∠ACP＝40°
4.3 相似(xiānɡ sì)三角形
反思(fǎn sī)
如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似吗？
【答案】相似.
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内容(nèiróng)总结
第4章 相似三角形。知识点一 相似三角形的定义。1．下列图形一定(yīdìng)相似的是( )。相似三角形的对应角________，对应边________．。
图4－3－1
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4.3 相似(xiānɡ sì)三角形
筑方法
类型 利用相似三角形的性质(xìngzhì)计算
例 1 [教材补充例题] 如图 4－3－2，E 是 AD 边上的一点， △ABE∽△ADB，且DBEB＝35，∠AEB＝110°，∠A＝40°. (1)求∠ABD 与∠D 的度数； (2)写出△ABE 与△ADB 的对应边成比例的比例式， 并求出相似比．
浙教版数学九年级上册4.3《相似三角形》参考教案

浙教版数学九年级上册4.3《相似三角形》参考教案

3．相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）
业题
板书
设计
1．全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1.
2．相似三角形中，利用对应角寻找对应边；反过来利用对应边寻找对应角.
3．书写相似三角形时，需要把对应顶点的字母写在对应的位置上
（由学生根据定义得出，理解定义的双重性，既可以用来判定两个三角形相似，同时，其本身又是三角形相似的一个性质）
（2）相似比（相似系数）：相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）
注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序.
如图，△A′B′C′与△ABC的相似比为 （k）,△ABC与△A′B′C′的相似比为2（ ）
教学
反思
4．问题探究：
问题一：两个直角三角形一定相似吗？为什么？
问题二：两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
问题三：两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？
问题四：两个等边三角形一定相似吗？为什么？
问题五：两个全等三角形一定相似吗？为什么？变形：相似比为1的两个三角形全等吗？
问题六：如果两个全等三角形中的一个与第三个三角形相似，那么这两个全等三角形的另一个也与第三个三角形相似吗？为什么？
如△A′B′C′与△ABC相似，记做“△A′B′C′∽△ABC” .
注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上
（3）定义的几何语言表述：
∵∠A′＝∠A，∠B′＝∠B,∠C′＝∠C， ＝ ＝
∴△A′B′C′∽△ABC
3．结合定义探求性质
（1）性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
在△ADE和△ABC中
∠ADE＝∠B
∠AED＝∠C
浙教版初中数学九年级上册 4.3 相似三角形知识点 教案

浙教版初中数学九年级上册 4.3 相似三角形知识点 教案

相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做知识点2 比例线段的相关概念（1）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：① ()a c a b c d bd==在比例式：：中，a 、d 叫 ，b 、c 叫 , a 、c 叫 ，b 、d 叫 ，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的 ， 此时有（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即 ，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈ AB ．即 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是 的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：bcad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为 ， ， ， ， ， ， ．（2） (把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=． （3）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c ba ，那么 ． 注：此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得： 注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边．对应成比例. 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得 . 或 或 等知识点5 相似三角形的概念叫做相似三角形．相似用符号 表示，读作 ．相似三角形对应边的比叫做 ．相似三角形 ． 注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：定理的基本图形：用数学语言表述是：知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法： ．2、平行法：3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两FE D CBAE B D (2)C B个三角形相似．简述为：．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：知识点8 相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形（1）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(2)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则，称为“旋转型”的相似三角形。

新浙教版九年级数学相似三角形.docx

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课题之相似三角形反比例函数复习部分：k_练习：1、如图，点A在双曲线y=:的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B, 点C 在x轴止半轴上，且0C = 2AB,点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若ZXADE的而积为3,则k的值为 ___________ ・过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线与y轴交与点A,与x轴交与点B,则AD -BC相似三角形：知识点1比例线段的有关概念：在比例式- = -(«：h = c： d)屮，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，h db、d叫后项，d叫第四比例项，如果b二c,那么b叫做8、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC2=AB • BC,叫做把线段AB黄金分割,C叫做线段AB的黄金分割点。

知识点2比例性质：①基木性质：巴=£。

加=加②合比性质：£ = £二>空=总b d b d b d1uj. rr- a c m」c、tz + c+ ••• +m a③ ------------------------------------------------------------------------------------- 、亍比ft质：—=—=…=—(b + d + ・・・+〃H0)=> --------------------------------------------- =—b d n/? + 〃+ •••+〃b知识点3平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图:L//12//L.AB DE^4C ~ DF ^\C~~DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条自线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

例题：如图，已知一个三角形纸片ABC, BC边的长为8, 边上的髙为6, ZB和ZC都为锐角，M为AB —动点（点M与点久〃不重合），过点M作MN // BC , 交AC于点、N ,在ZUMN中，设MN的长为x, MN上的高为/?・（1）请你用含兀的代数式表示爪（2）将ZUMN沿MN折叠，使△4MN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A，△AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,当兀为何值时，y最大，最大值为多少？知识点4相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形和似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如杲一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和贯他两边（或两边的延长线）和交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似知识点5相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应屮线的比和对应角平分线的比都等于相似尖D④相似三角形周长的比等丁•相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方An 5 例题1：如图，在ZSABC 中，AB=14cm, — = DE〃BC,BD 9AADE的面积和周长。