高考数学一轮复习 变化率与导数、导数的运算基础知识检测 文

第十一节变化率与导数、导数的计算[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x 0处的瞬时变化率lim Δx→0f x0＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．[探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f xg x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．3C ．4D ．－73解析：选B ∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2. ∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0. 3．y ＝x 2cos x 的导数是( ) A ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x B ．y ′＝2x cos x －x 2sin x C ．y ＝2x cos x D ．y ′＝－x 2sin x解析：选B y ′＝2x cos x －x 2sin x . 4．(教材习题改编)曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程是________．解析：∵f (x )＝sin x x ，∴f ′(x )＝x ·cos x －sin xx2， ∴f ′(π)＝－ππ2＝－1π.∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.答案：x ＋πy －π＝05．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2[例1] 求下列函数的导数(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx；(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x－2x＋e.[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x 12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝ln x ′x －x ′ln x x 2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln xx2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x ＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4”如何求解？解：∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x∴y ′＝－12cos x ．———————————————————求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin xx 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x ；(4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x .解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin xx 2＝x32-＋x 3＋sin x x2，∴y ′＝(x32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2c os x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－－x －x2＝2－x2.(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x . [例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12-＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．2．求下列复合函数的导数：(1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1；(3)y ＝1－3x4；(4)y ＝x 1＋x 2.解：(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x . (2)y ′＝(ln x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·( x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12 ·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3) ＝12－3x5.(4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x () 1＋x 2′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝1＋2x21＋x2.[例3] (1)(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．(2)已知曲线y ＝13x 3＋43.①求曲线在点P (2,4)处的切线方程； ②求斜率为4的曲线的切线方程． [自主解答] (1)y ＝x 22，y ′＝x ，∴y ′|x ＝4＝4，y ′|x ＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， ∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0. [答案] (1)－4若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？ 解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P，在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0.∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0. ∴x 20x 0＋－x 0＋x 0－＝0.∴x 0＋x 0－2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2.故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．3．已知函数f (x )＝2 x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积．解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1， 则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝x x 0＋1＋x 0＋2x 0＋1. 所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0. (2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1； 当y ＝0时，x ＝－x 0－2. S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1x 0＋＝x 0＋22 x 0＋1， ∴S △AOB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋222－23＋1＝839.[例4] 已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0.综上，a ≥－12.[答案] A ——————————————————— 导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ. 于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2.答案：π2个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例] (2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A [易误辨析]1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． [变式训练]1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.22解析：选By ′＝cos xx ＋cos x －x －sin xxx ＋cos x 2＝1x ＋cos x2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12.∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是________．解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是 y ＋2227＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0.答案：27x ＋27y ＋4＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0.2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．不确定解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4，f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.4．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y＝3x －1.5．(2013·大庆模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1 B.1e C.2eD.2e解析：选B 从函数图象知在直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝(lnx )′＝1x ＝k ，x ＝1k (k ≠0)，切线方程为y －ln 1k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k ＝－1，k ＝1e.6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－48．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝ax －x 2＋b －ax －x 2＋bx 2＋b 2＝－ax 2＋12x ＋ab x 2＋b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab ＋b 2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4. 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)， ∵y ＝e x，∴y ′＝e x，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )．(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1，∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n1－e －1＝e －e 1－ne －1，即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.1．设函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于( )A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)解析：选B lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0 f [x 0＋－Δx－f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．2．求下列各函数的导数：(1)(x )′＝12x 12-；(2)(a x)′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)⎝⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：214．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y－y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0.从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

2
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率 k＝1， ∴切线方程为 y－2＝x－1， 即 x－y＋1＝0.]
5．(2015· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点 (2,7)，则 a＝________.
1 [∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1， 解得 a＝1.]
fx＋Δx－fx lim Δx (2)函数 f(x)的导函数：称函数 f′(x)＝________________ 为 f(x)的导函数． Δx→0
2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x 导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝______ n· xn－1
[ 规律方法 ]
1. 熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前
提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导， 这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错． 2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
[ 变式训练 1] 则 f′(5)＝( A．2 C．6
(1)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝3x2＋2x· f′(2)， ) B．4 D．8
f′(x)±g′(x) (1)[ f(x)± g(x)] ′＝______________ ；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (2)[ f(x)· g(x)] ′＝___________________ ；
f′xgx－fxg′x f x 2 [ g x ] (3) ′＝___________________ (g(x)≠0)． g x

39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
高考文科数学一轮复习：变化率与导 数、导数的计算
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。

专题1变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算★★★○○○○1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －fx 0Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0， 即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式原函数 sin xcos xa x (a >0) e xlog a x (a >0，且a ≠1)ln x 导函数cos x －sin_xa x ln_ae x1x ln a1x4.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f(x)＝f′(x0)x＋sin x ＋ln x(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x ＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．[例] 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x；(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x－2x＋e ； (5)y ＝ln 2x ＋3x 2＋1.[解] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝ln x ′x －x ′ln x x 2 ＝1x·x －ln xx2＝1－ln xx2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (5)y ′＝[ln 2x ＋3]′x 2＋1－ln 2x ＋3x 2＋1′x 2＋12＝2x ＋3′2x ＋3·x 2＋1－2x ln 2x ＋3x 2＋12＝2x 2＋1－2x 2x ＋3ln 2x ＋32x ＋3x 2＋12.1.(2016·某某二模)已知函数f (x )＝x (2 017＋ln x )，f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.2.已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.3．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．1. (2017·东北四市联考)已知y ＝ 2 017，则y ′＝( ) A.12 2 017B ．－12 2 017C.2 0172 017 D ．0解析：选D 因为常数的导数为0，又y ＝ 2 017是常数函数，所以y ′＝0.2. (2016·某某二模)已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0. 3. (2017·某某重点中学月考)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.故选C. 4.在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．5.求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝cos x ′e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x e x. (4)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。