数学人教B必修5第一章1.1.2 余弦定理1．理解用向量的工具推导余弦定理的过程，并能初步运用余弦定理解斜三角形．2．掌握三角形的面积公式．3．能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算有关的三角形问题．1(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一；(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．【做一做1－1】在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则AC的长为________．【做一做1－2】在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则∠C＝________.2．余弦定理的应用(1)利用余弦定理判断三角形的形状由余弦定理，当边c为最大边时，如果c2＝a2＋b2，则△ABC为____三角形；如果c2＜a2＋b2，则△ABC为____三角形；如果c2＞a2＋b2，则△ABC为____三角形．(2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题①已知三边，________；②已知两边和它们的夹角，求______和其他______；③已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时，也可用余弦定理，如已知a，b，A，可先用余弦定理__________，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数．使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60°或最小角大于60°，可知三角形无解．【做一做2－1】在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则该三角形的形状为()．A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【做一做2－2】在△ABC中，已知c＝2a cos B，则△ABC的形状为________三角形．3．三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12______＝12______；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)；(4)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝12(a ＋b ＋c ))．【做一做3－1】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则c ＝____.【做一做3－2】已知三角形的周长为12，内切圆的半径为1，则S △ABC ＝________.一、三角形中的四类基本问题剖析：解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理求出第三个角．二、教材中的“？”在△ABC 中，令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，你能通过计算|a |2＝a·a 证明余弦定理吗？ 剖析：如图所示，|a |2＝a ·a ＝a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →||AB →|cos A ＋AB →2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ．同理可证b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决． (1)坐标法：如图所示，以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C的坐标分别为A(0,0)，B(c cos A，c sin A)，C(b,0)，根据两点间的距离公式，得a＝|BC|＝ c cos A－b 2＋ c sin A－0 2，∴a2＝c2cos2A－2bc cos A＋b2＋c2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bc cos A．同理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．(2)(用正弦定理证明)因为a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，所以b2＋c2－2bc cos A＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A)＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sin B sin C cos (B＋C)]＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin2B sin2C＋2sin B sin C cos B cos C)＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sin B sin C cos B cos C]＝4R2(sin2B cos2C＋2sin B sin C cos B cos C＋sin2C cos2B)＝4R2sin2(B＋C)＝4R2sin2A＝a2.同理可证b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．题型一用余弦定理解三角形【例1】在△ABC中：(1)a＝1，b＝1，∠C＝120°，求c；(2)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角；(3)a∶b∶c＝1∶3∶2，求∠A，∠B，∠C．分析：(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大边对大角；(3)可设三边为x，3x,2x.反思：(1)本例为余弦定理的最基本应用，要在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征．(2)对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A，进而求出其余两角．另外也可由边长关系，判断出∠C为直角，再求角．题型二判断三角形的形状【例2】在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin B·cos C，试确定△ABC的形状．分析：利用余弦定理先求出∠A＝60°，再根据三角变换公式求得∠B＝∠C．反思：(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么统一为边的关系，要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．(3)常见结论：设a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 的对边， ①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°； ②若a 2＋b 2＞c 2，则∠C ＜90°； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠C ＞90°； ④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.题型三 三角形的面积公式的应用【例3】在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .求：(1)∠B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．分析：先由余弦定理求出∠B ，再结合条件列方程求出ac ，利用面积公式求出△ABC 的面积．反思：求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．题型四 正、余弦定理的综合应用 【例4】(2011·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求边a .分析：(1)利用正弦定理及三角变换公式对已知等式进行化简即可； (2)利用余弦定理列出方程，并且用上(1)中的结论即可求出a .反思：正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所求，正弦定理尤其在边角转化方面功能显著．余弦定理的使用要注意选择好“第三边”，这样才能列出有效的方程，再者要熟练掌握三角变换公式，这在解三角形中经常用到．题型五 易错辨析【例5】在锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )．A ．1＜a ＜3B ．1＜a ＜ 5C ．3＜a ＜ 5D ．不确定错解：由三角形的性质，知c －b ＜a ，得a ＞1.又∠A 为锐角，从而cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5－a 22bc＞0，得 0＜a ＜ 5.所以1＜a ＜ 5.故选B ．错因分析：上述解法忽视了三角形三个内角的关系，即∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，cos A ＞0只能推出∠A 为锐角，而不能推出△ABC 一定为锐角三角形，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以当△ABC 为锐角三角形时，不仅cos A ＞0，还必须满足cos B ＞0，cos C ＞0.【例6】在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，∠C ＝15°，求∠A ． 错解：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，所以c ＝6－ 2.又由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝12.因为0°＜∠A ＜180°，所以∠A ＝30°或150°.错因分析：没有注意到b ＞a 这一隐含条件，致使增解．1在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形2在△ABC 中，已知三边a ，b ，c 满足(a ＋b ＋c )·(a ＋b －c )＝3ab ，则∠C 等于( )． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 3在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果b ＋c ＝23，∠A ＝60°，△ABC 的面积为32，那么a 为( )． A ．10 B ． 6 C ．10 D ．64在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则sin A ＝________. 5(2012·北京昌平高三一模)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2 A －cos A ．(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC ． 答案： 基础知识·梳理1．b 2＋c 2－2bc cos A a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C 其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab【做一做1－1】3 由余弦定理，得AC 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3.∴AC ＝ 3. 【做一做1－2】60°2．(1)直角 锐角 钝角 (2)求三个角 第三边 两个角 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 【做一做2－1】D 【做一做2－2】等腰 3．(2)bc sin A ac sin B 【做一做3－1】4 2 【做一做3－2】6 典型例题·领悟【例1】解：(1)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3，∴c ＝ 3.(2)显然∠C 最大．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12，∴∠C ＝120°.(3)由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x . 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22·3x ·2x ＝32，∴∠A ＝30°.同理cos B ＝12，cos C ＝0，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°.【例2】解：∵(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，∴a 2＝b 2＋c 2－bc .而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2cos A ＝1.∴cos A ＝12∴∠A ＝60°.又sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin A ＝2sin B ·cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin (B －C )＝0，∴∠B ＝∠C . 又∵∠B ＋∠C ＝120°，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 故△ABC 为等边三角形．【例3】解：(1)∵cos B cos C ＝－b2a ＋c，∴(a 2＋c 2－b 2)2ab (a 2＋b 2－c 2)2ac ＝－b 2a ＋c ， 整理，得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，从而∠B ＝120°.(2)由(1)得a 2＋c 2＋ac ＝13.①又a ＋c ＝4，∴a 2＋c 2＋2ac ＝16.② 由①②，得ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×sin 120°＝334.【例4】解：(1)由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以 cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin Asin B，即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ，即有sin (A ＋B )＝2sin (B ＋C )，即sinC ＝2sin A ，所以sin Csin A ＝2.(2)由(1)知c a ＝sin Csin A＝2，即c ＝2a ，又因为b ＝2，所以由余弦定理，得： b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即22＝4a 2＋a 2－2a ×2a ×14，解得a ＝1.【例5】C 正解：由三角形的性质，知c －b ＜a ，得a ＞1.又由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5－a 22bc＞0，得0＜a ＜ 5.由cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋32ac ＞0，得a ∈R .由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－32ab＞0，得a ＞ 3.综上，知3＜a ＜ 5.【例6】正解：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，所以c ＝6－ 2.又由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝12.因为b ＞a ，所以∠B ＞∠A .又因为0°＜∠A ＜180°，所以∠A＝30°.随堂练习·巩固 1．C 已知等式中有边也有角，故可用下列两种方法来解：①将边化为角，即将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B 代入，再进行三角恒等变换即可．②将角化为边，即由余弦定理将cos A ，cos B 的式子代入化简即可．2．D 3．B4．32 由余弦定理，得cos A ＝32＋42－132×3×4＝12，∴sin A ＝32.5．解：(1)由已知得12(2cos 2 A －1)＝cos 2 A －cos A ，∴cos A ＝12.∵0＜∠A ＜π，∴∠A ＝π3.(2)由b sin B ＝c sin C 可得，sin B sin C ＝b c ＝2，∴b ＝2c .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12，解得c ＝3，b ＝2 3.S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.。
