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高考数学中的内切球和外接球问题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
______________ .27π.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 43π.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为
1,2,3，则此球的表面积为.14π.
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. C.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的
顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9
8，底面周长为３，则这个球的体
积为.
解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
2
63,1
,
2
93
6,
3
84
x
x
x h
h
=
⎧⎧
=
⎪⎪
∴
⎨⎨
=⨯
⎪⎪=
⎩
⎩．∴正六棱柱的底面圆的半径
1
2
r=
，球心到底面的距离
3
2
d=
.∴外接球的半径
221
R r d
=+=.
4
3
V
π
∴=
球
.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.9π
解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为
3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有
()()()()
222
2
23339
R=++=
.∴
2
9
4
R=
.故其外接球的表面积2
49
S R
ππ
==.
小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为
a b c
、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有222
2R a b c
=++.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即：
所以
球的表面积为
例 6.2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C. 33π
D. 6π
解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半
径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体A BDE -满足条件，即
AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==1，体对角线
33，所以此球的表面积便可求得，故选A. 例7．在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0
DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 43
B. 6
C. 6
D. 6
解析： 因为AE=EB=DC=1，0
DAB=CBE=DEA=60∠∠∠，所以
AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =，即三棱锥P-DCE 为正四面体，至此，这
与例6就完全相同了，故选C.
例8 .已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，
DA=AB=BC=3O 的体积等于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC=3则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O 的体积等
于92π.
2、构造长方体
例9.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AC=213,AD=8AB =，则球的体积是 .
解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在Rt ABC ∆中，求出=4BC ，所以0
C=60BO ∠，故B 、C 两点间的球面距
离是4
3π.
