微分方程借助辅助变量的Hamilton化与求解

第２３卷第３期　２００７年３月　商丘师范学院学报　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＨＡＮＧＱＩＵ　ＴＥＡＣＨＥＲＳ　ＣＯＬＬＥＧＥ　Ｖｏ１．２３　Ｎｏ．３　

Ｍａｒｃｈ，２００７　

微分方程借助辅助变量的Ｈａｍｉｌｔｏｎ化与求解　梅　凤　翔　（北京理工大学力学系，北京１０００８１）　

摘要：用引进辅助变量的方法建立一阶微分方程组的扩充系统．这个扩充系统可表为Ｈａｍｉｌｔｏｎ形式，而其积　分可用分析力学的方法来得到．举例说明结果的应用．　关键词：微分方程；Ｈａｍｉｌｔｏｎ化；积分；分析力学；辅助变量　中图分类号：Ｏ３１６　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—３６００（２００７）０３—０００１—０４　

Ｈａｍｉｌｔｏｎｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｂｙ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ　ＭＥＩ　Ｆｅｎｇ—ｘｉａｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００８　１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ａ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｂｙ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｓｏｍｅ　ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｗｒｉｔｔｅｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｈａｍｉｌｔｏｎ　ｆｒｏｍ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｉｎｔｅｇｒａｌｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　ｍｅｔｈｏｄ．Ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｔｏ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｈａｍｉｈｏｎｚａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｌ；ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｖａｒｉａｂｌｅ　

Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学的推广这一概念意味着构造运动方程的这样结构的集合，它们或者引向Ｈａｍｉｌｔｏｎ方程，或　者是Ｈａｍｉｌｔｏｎ方程的直接推广，或者可用Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学的方法去研究　．能够直接化成Ｈａｍｉｌｔｏｎ方程的微　分方程是极少数，因为有极其严格的限制　ｊ，如果能够把微分方程表为Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的方程，那么分析力学　的积分方法便可用来求解微分方程．近年来，在微分方程的分析力学方法研究方面已有一些结果　．文　［１］用引进辅助变量的方法，将微分方程化成Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的方程．本文基于文［１，３—５］，将一个一阶常微　分方程组借助辅助变量扩充为一个新系统，而这个新系统是Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统．然后，用分析力学的经典方法和　近代方法来积分这个扩充系统，进而求得原系统的积分．　

１微分方程的Ｈａｍｉｈｏｎ化　研究一阶常微分方程组　口　＝Ｑ　（ｑ　，ｔ）　（ｓ，ｋ＝１，…，ｎ）　为将其Ｈａｍｉｌｔｏｎ化，引进辅助变量Ｐ　（ｓ＝１，…，ｎ），以及Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数…　＝ｐ　Ｑ　（ｑ　，￡）　这样，由２ｎ个变量ｑ　，Ｐ　组成的扩充系统的微分方程有形式　．　釉Ｐ＝一　ＯＨ　。‘　其中第１组与方程（１）重合，而第２组用来确定引进的辅助变量Ｐ　。　（１）　

（２）　

（３）　

收稿日期：２００６—１０—３０　基金项目：国家自然科学基金（１０５７２０２１）资助项目　作者简介：梅凤翔（１９３８一），男，辽宁沈阳人，法国国家科学博士，北京理工大学教授，博士生指导教师，本刊顾问，主要从事分　析力学研究．　

维普资讯 http://www.cqvip.com ２　商丘师范学院学报　２００７年　２　Ｈａｍｉｌｔｏｎ化后的求解　微分方程Ｈａｍｉｌｔｏｎ化后，便可利用分析力学的方法来求解．如经典的Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ方法，Ｐｏｉｓｓｏｎ方　法，如近代的Ｎｏｅｔｈｅｒ方法，Ｌｉｅ方法等．　２．１　Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ方法　’　。　Ｈａｍｉｈｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ方法是积分Ｈａｍｉｌｔｏｎ方程的非常有效的方法。正如Ａｒｎｏｌｄ指出的，“Ｊａｃｏｂｉ定理将常微　分方程组的求解化为求偏微分方程的完全积分．这样由简‘化’繁却提供了一个解决具体问题的有效方法，　这是令人惊奇的．然而这确是求精确解的最有力的方法，而Ｊａｃｏｂｉ解出的许多问题用别的方法是解不出来　的”．　由式（２），（３）组成Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｊａｃｏｂｉ方法　箬＋　ｏ　（４）　

假设可找到它的完全积分　Ｓ：Ｓ（ｑ，ｔ，　）　（５）　根据Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ定理　］，方程（３）的解表为　

ＯＳ　差：Ｐ　＿ｌ，…，　）　（６）　

其中　，　为常数，第１组给出方程（１）的解，而第２组给出辅助变量．　，　２．２　Ｐｏｉｓｓｏｎ方法　Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的Ｐｏｉｓｓｏｎ积分方法主要有　“　如果，＝，（鼋，Ｐ，ｔ）是系统（３）的积分，则有　

＋（，，Ｈ）＝ｏ　（７）　反之亦然，其中　，，日　：　一　８　ｄｑ　ｓ　ｄｐ　ｓ　ｄｐ　ｓ　ｄｑ　ｓ　

为Ｐｏｉｓｓｏｎ括号．式（７）称为关于第一积分的Ｐｏｉｓｓｏｎ条件．　如果Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数日不显含ｔ，则　，＝Ｈ　（９）　是系统（３）的积分．　如果，。，，２是系统（３）的不处于相互内旋的积分，则（，。，，２）亦是积分．　如果系统（３）有包含时间的积分，，而日不显含时间，则ａ，／ａ￡，ａ　Ｉ／Ｏｔ　，…都是系统的积分．　如果系统（３）有包含ｇ　（或Ｐ，）的积分，，而日不显含ｇ　（或Ｐ，），￣１］ＯＩ／Ｏｑ　（或ＯＩ／Ｏｐ，），ａ　Ｉ／Ｏｑ　（或ａ　／／０　Ｐ；），…都是系统的积分．　利用上述结果，可以求得系统（３）的部分积分或全部积分．　２．３　Ｎｏｅｔｈｅｒ方法　Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的Ｎｏｅｔｈｅｒ理论指出　“　，如果无限小生成元　，　和规范函数ＧＮ：Ｇ　（ｑ，Ｐ，ｔ）满足　Ｎｏｅｔｈｅｒ等式　

ｐ　一　一　一硪＋６　：００　（１ｏ）　ｐ　考　一　。一　ｓ　＋ｂ，ｖ　、　则系统（３）有Ｎｏｅｔｈｅｒ守恒量　ｌ　＝ｐ　ｓ考ｓ—Ｈ考ｏ＋ＧＮ＝ｃｏｎｓｔ．　（、１１、）　利用这一结果，可以求得系统（３）的部分积分或全部积分．　

３算例　研究Ｈｏｊｍａｎ—Ｕｒｒｕｔｉａ例　

维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　梅凤翔：微分方程借助辅助变量的Ｈａｍｈｏｎ化与求解　３　＋　＝０，梦＋，，：０　（１２）　的Ｈａｍｉｌｔｏｎ化与积分．　上述例子是Ｈｏｊｍａｎ和Ｕｒｒｕｔｉａ于１９８１年给出的．方程（１２）本质上是非自伴随的，不允许有Ｌａｇｒａｎｇｅ表　达　２　Ｊ．因此，也没有Ｈａｍｉｌｔｏｎ表达．然而，用引进辅助变量的方法，容易将其扩充为一个Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统．令　

ｑｌ　，ｑ２　Ｙ，ｑ３　，ｑ４　Ｙ　则方程（１２）表为４个一阶方程　

口１＝ｑ３，口２＝ｑ４，口３＝一ｑ４，口４＝一ｑ２　（１３）　引进辅助变量Ｐ　，Ｐ　，Ｐ３，Ｐ　，并构造Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数　日＝ｐ１ｑ３＋ｐ２ｑ４＋ｐ３（一ｑ４）＋ｐ４（一ｑ２）　（１４）　则扩充为Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统．　首先，用Ｈａｍｉｌｔｏｎ・Ｊａｃｏｂｉ方法求解系统（１４）．Ｈａｍｉｌｔｏｎ．Ｊａｃｏｂｉ方程（４）给出　薯＋筹ｑ，篆ｑ　篆ｑ　芸ｑ　＝。ｃ１５　＋　ｑ　＋　ｑ４一　ｑ４一　ｑｚ：Ｕ　（　

可找到它的完全积分　Ｓ：　ｌ（ｇ２ｃｏｓｔ—ｑ４ｓｉｎｔ）＋　２（ｑ２ｓｉｎｔ＋ｑ４ｃｏｓｔ）＋　３（ｇ３＋ｇ２）＋Ｏｌ４｛ｇ４一ｇｌ＋ｔ（ｑ３＋ｇ２）｝　（１６）　式（６）给出　

ｒ　ＯＳ－ｑ２ｃｏｓｔ－ｑ４ｓｉｎｔ，ｆｌ　＝　ＯＳ

＝ｇ２ｓｉｎ　＋ｑ　ｃ。ｓ　，　

，＝　ＯＳ＝ｑ，＋ｑ２，　＝筹：ｑ　－ｑｌ　ｇ，＋ｑ２）．　、　

Ｓ　Ｓ　Ｐｌ　’。　ｐ２　１∞毗　２　Ⅲ　３　４　，　

～ａｓ　（１８）　

ｐ３　＝Ｏｌ３　４　，Ｐ４　一Ｏｑ４　－ｃｑ　ｓｌｎｔ＋￣２ｃｏｓｔ十　由式（１７）可找到方程（１２）的解为　ｑ１　一ｆｌ￣ｓｉｎｔ＋ｆ１２。。。　＋￣３ｔ－－　ｑ２＝￣ｌｃ￣ｓｔ＋　ｓ　ｆ　ｌ９）　ｇ３＝一　ｌ　ｃｏｓｔ一　２ｓｉｎｔ＋　３，ｑ４＝一　１　ｓｉｎｔ＋　２ｃｏｓｔ．　、　

而式（１８）给出引进的辅助变量．　其次，用Ｐｏｉｓｓｏｎ方法．Ｐｏｉｓｓｏｎ条件（７）给出　＋　ｑ，＋　ＯＩ　ｑ　一差ｑ ｃ一　一　一　ｃ　＝。（２０Ｐ　＋　ｑ　＋　ｑ　一　ｑ４一　一　卜　）一　ｔ一　卜　ｕ　）　

可找到它的如下解　，１＝ｐ１＝ｃ１，，２：ｐ１ｔ＋ｐ３＝ｃ２，１３＝（Ｐ２一Ｐ３）ｓｉｎｔ＋（Ｐ４＋ｐ１）ＣＯｓｔ＝ｃ３，　１４＝（Ｐ２一Ｐ３）ｃｏｓｔ一（Ｐ４＋ｐ１）ｓｉｎｔ＝Ｃ４，，５＝ｑ２ｃｏｓｔ—ｑ４ｓｉｎｔ＝Ｃ５，　，６　ｑ２ｓｉｎｔ＋ｑ４ｃｏｓｔ＝ｃ６，１７＝ｑ３＋ｑ２＝Ｃ７，１８＝ｑ４一ｑｌ＋ｔ（ｑ３＋ｑ２）＝Ｃ８　（２１）　另外，用Ｐｏｉｓｓｏｎ方法可由，３生成，４，由，６生成，５，由，　生成　．　最后，用Ｎｏｅｔｈｅｒ方法．Ｎｏｅｔｈｅｒ等式（１０）给出　

ｐ１　１＋ｐ２　２＋ｐ３　３＋ｐ４　４＋ｐ４　２一Ｐｌ　３一（Ｐ２－ｐ３）　４一　＋ＧⅣ＝０　‘　（２２）　可找到如下解　。＝一１，　＝　＝　３＝　＝０，Ｇ　＝０，　＝１，　。＝　＝　３＝　＝０，Ｇ　：０，　０＝０，　１＝ｔ，　２＝０，　３＝１，　４＝０，ＧⅣ＝０，　＝０，　１＝ｃｏｓｔ，　＝ｓｉｎｔ，　３＝一ｓｉｎｔ，　＝ｃｏｓｔ，ＧⅣ＝０．　相应的Ｎｏｅｔｈｅｒ守恒量式（１　１）分别给出　ＩＮ．＝Ｈ＝ｈ，　＝ｐ１＝ｃ１　ＩＮ

３＝ｐ１ｔ＋ｐ３＝ｃ２　

＝（Ｐ２一Ｐ３）ｓｉｎｔ＋（Ｐ４＋ｐ１）ｃｏｓｔ＝ｃ３　、　

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