巧数图形

巧数图形 巧数图形 数图形包括:数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形等,这瞧似

简单,其实其中学问可大了.为了能准确地数出结果,我们必须有次序、有条理地数,既不能遗漏,也不能重复.只要我们掌握了数的方法,就能数得又对又快.

例1. 下图中有多少条线段？

(1)思路分析:每条线段均有两个端点,可以根据左端点进行分类.以A为左端点的线段为AB、AC,共有2条;以B点为左端点的线段为BC,只有1条;以C点为左端点的线段不存在.因此共有2＋1＝3(条).

答:图中共有3条线段. (2)这题中左端点就是A的线段有:AB、AC、AD、AE,共有4条;左端点就是B的线段有BC、BD、BE,共有3条;左端点就是C的线段有CD、CE,共有2条;左端点就是D的线段有DE;左端点就是E的线段不存在.所以共有4＋3＋2＋1＝10(条).

答:图中共有10条线段. 例2. 数出下面图中共有多少条线段？

思路分析:线段有一个重要特征:线段都就是笔直的.所以我们在数的时候,必须将这幅图分成四个部分,每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法,然后把四部分算得结果加起来.

例题解答: 巧数图形 第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段. 第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段. 第三部分就是FG一条线段. 第四部分就是JK一条线段. 10＋10＋1＋1＝22(条) 答:这幅图共有22条线段. 方法指导: 数线段可以根据左端点将线段分类,数出每一类有多少条线段,然后再相加得出线段的总的条数.

例3.

一条线段上共有10个点,以这10个点为端点的不同线段共有

多少条？

思路分析:将这条线段上的10个点从左到右依次标为 、 、…、 、 以 为左端点的线段为 、 、 、 、 、 、 、 、 共有9条; 为左端点的线段为 、 、 、…、 ,共有8条;…;以 为左端点的线段为 ,只有1条;以 为左端点的线段不存在.因此,共有线段:

9＋8＋…＋3＋2＋1 ＝(9＋1)×9÷2 ＝45(条) 答:一共有45条线段. 方法指导: 一般地,如果线段上有几个点(其中n就是大于或等于2的自然数),那么以这n个点为端点的线段共有:(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2

例4. 下面图形中有几个角？ 巧数图形

思路分析:数角的个数为了不遗漏、不重复,也需要按一定的顺序去数,可以采用与数线段相同的方法.

以OA为一边的角有:∠AOB、∠AOC、∠AOD,共3个; 以OB为一边的角有:∠BOC、∠BOD,共2个. 以OC为一边的角有:∠COD,只有1个. 3＋2＋1＝6(个) 答:图中共有6个角.

例5. 数出下面图中共有多少个三角形？

思路分析:数三角形个数的方法与数线段的方法差不多. 以AB为边的三角形有:△ABD、△ABE、△ABC,共有3个. 以AD为边的三角形有:△ADE、△ADC,共有2个. 以AE为边的三角形有:△AEC,只有1个. 所以,图中一共有三角形:3＋2＋1＝6(个). 我们还可以发现,可以抓住底边BC来考虑,底边BC中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形. 巧数图形 底边左端点就是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个. 底边左端点就是D的三角形共有△DEA、△DCA两个. 底边左端点就是E的三角形只有△ECA一个. 所以一共有三角形:3＋2＋1＝6(个). 方法指导: 数角的个数与三角形个数这些基本图形时,所采用的方法与数线段的方法相同.即角的个数＝射线数×(射线数－1)÷2.即三角形个数就就是底边上的线段数.

例6. 数一数图中共有多少个三角形？

思路分析:我们可以将这幅图分成三个部分来数,即下面三幅图.

在△ABC中,一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形, 在△ABD中,一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形; 在△BDC中,一共有5个三角形. 15＋15＋5＝35(个) 答:图中共有35个三角形. 巧数图形 例7. 图中共有多少个不同的三角形？

思路分析:将本题分成(1)、(2)两部分来数:第(1)部分中共有三角形:3＋2＋1＝6(个);第(2)部分中共有3＋2＋1＝6(个)三角形.所以,共有三角形6＋6＝12(个).

例8. 数出下图中共有多少个三角形？

巧数图形 思路分析:这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数.把图中最小的一个三角形瞧作基本图形.

由一个基本三角形构成的三角形共有8个; 由两个基本三角形构成的三角形共有4个; 由四个基本三角形构成的三角形共有4个. 因此:8＋4＋4＝16(个),所以,图中共有16个三角形.

例9. 数出下面图形中共有多少个三角形？

思路分析:这题采用把其中最小的三角形作为一个基本图形,然后分类相加的方法.

由一个基本三角形构成的三角形共有9个; 由四个基本三角形构成的三角形共有3个; 由九个基本三角形构成的三角形只有1个. 因此9＋3＋1＝13(个),所以,图形中共有13个三角形. 例10. 下面两幅图中各有多少个长方形？ 巧数图形

思路分析:(1)中长方形都就是竖向的,可以利用对应的方法来数.因

为每个长方形都与底边上的一条线段对应,因此用数长边上的线段条数来数长方形的个数.所以,图中长方形共有4＋3＋2＋1＝10(个).

(2)我们可用按基本图形组合的方法来数. 由一个基本长方形构成的长方形共有6个; 由两个基本长方形构成的长方形共有7个; 由三个基本长方形构成的长方形共有2个; 由四个基本长方形构成的长方形共有2个; 由六个基本长方形构成的长方形有1个; 所以,图中共有长方形6＋7＋2＋2＋1＝18(个). 本题还可以结合数线段的方法,这题中长方形的长被分成了3段,线段总数为3＋2＋1＝6条,宽被分成了2段,线段总数为2＋1＝3(条).由此可见,长方形的个数＝6×3＝18(个).于就是,可以整理出数长方形个数的方法:长方形的个数等于原长方形长上的线段数乘以宽上的线段数.

例11. 数出各图中正方形的个数.

巧数图形 思路分析:(1)中最基本的正方形有9个,即边长为1的正方形有9个(9＝3×3);由4个基本正方形组成的正方形,即边长为2的正方形有4个(4＝2×2);由9个基本正方形组成的正方形,即边长为3的正方形有1个(1＝1×1)所以共有正方形9＋4＋1＝14(个).

(2)中边长为1的正方形有16个,即16＝4×4;边长为2的正方形有9个,即9＝3×3;边长为3的正方形有4个,即4＝2×2;边长为4的正方形有1个,即1＝1×1.所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30(个).因此,如果一个正方形的各边被分成几个等份,那么正方形的个数便就是1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n.

方法指导: 正确数出图形的个数,首先要弄清图形中包含的基本图形就是什么,有多少个.然后再从各图形中所包含基本图形的个数多少出发,依次数出它们的个数,并求出它们的与就是多少.有些图形被分成了几个部分,可以先从各部分的基本图形出发,数出所含图形的个数,再求各部分的总与.

例12. 图中共有多少个正方形？

思路分析:将正方形分类,将每一类的总数相加,就可得到所有正方

形的个数.由两块小三角形构成的正方形有4个;由四块小三角形构成的正方形有4个;由八块小三角形构成的正方形有1个;由十六块小三角形构成的正方形有1个.由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形.所以,图中共有4＋4＋1＋1＝10(个)正方形.

例13. 数出图中共有多少个正方形？ 巧数图形

思路分析:根据正方形边长的大小,我们将它们分成四类: 第1类:边长为1的正方形有24个;第2类:边长为2的正方形有13个;第3类:边长为3的正方形有4个;第4类:边长为4的正方形有1个.

所以图中共有24＋13＋4＋1＝42(个)正方形. 这题如果把四条边长多出的8个小正方形去掉,很容易得出共有1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30(个)正方形,添上了去掉的小正方形后,这8个小正方形还能再与其她图形组成4个新的正方形.

所以,图中共有30＋8＋4＝42(个)正方形. 例14. 下图中共有多少个长方形？

思路分析:我们可以先将大长方形中的5小块编上号:

这5块都就是符合要求的长方形.