八年级数学培优（一）
分式的运算及分式方程
班级姓名【知识精读】
1. 分式的乘除法法则
a b
c
d
ac
bd ⋅=；
a b
c
d
a
b
d
c
ad
bc ÷=⋅=
当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法
（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是：
①取各分母系数的最小公倍数；
②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；
③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。（2）同分母的分式加减法法则
a c
b
c
a b
c ±=
±
（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则
()a b
a
b
n
n
n
=（n为正整数）
4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：
（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；
（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用；
（5）结果应为最简分式或整式。 5.关于分式方程 （1）分式方程的定义；
（2）解分式方程的基本思想方法； （3）解分式方程的一般方法和步骤；
（4）分式方程的增根问题：a.产生增根的原因是 。验根的方法是 。
（5）列分式方程解应用题的步骤： 。 下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1：计算： 124422
22
+--÷--+n m m n m n m mn n 解：原式=---⋅-+-1222
m n m n m n m n m n ()()()
4
=-
-+=+-++=
+1223m n m n
m n m n
m n n m n
说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。 例2：（分式通分的六大技巧）
（1）逐步通分：
（2）整体通分:
（3）分组通分错误!未找到引用源。（4）分解简化通分:
（5）列项相消：
（6）活用乘法公式：
例3、已知：M x y xy y x y
x y
x y 22222
2-=--+-+，则M =_________。 解： 2222
xy y x y
x y
x y --+-+ =
-+-+-=
-=
-22222
222
2222
xy y x xy y x y x x y M
x y
∴=M x 2
说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M 。 例4、已知abc =1，求
a a
b a b b
c b c
ac c ++++++
++111
的值。 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式=
++++++
++a ab a ab abc ab a abc
abc abc ab
1 =
++++++
++=++++=a ab a ab ab a abc
a a
b a ab ab a 1111
11
例5、 整体换元和倒数型换元法解分式方程
例6、分式方程的（增）根的意义 1、若分式方程： 有增根，求a 的值。
2、关于x 的分式方程：
无解，则a= 。
达标训练
1、计算： ① 221
42a a a
+
--
② 211
x x x ---
③ 2
31
2
32
()()x y x y ----⋅. ④ b a b
a a
b a b a b a b a ÷--+-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2
222
3322
2、若a b ab 2
2
3+=，则()()121233
3
+-÷+-b a b b
a b 的值等于（ ） A.
1
2
B. 0
C. 1
D.
23
3、已知：a b ab +==-25，，则a b b
a
+的值等于（ ） A. -
25
B. -
145
C. -195
D. -24
5
4、已知0132
=--x x ，求x 2 +1/x 2 的值。
5、解分式方程： （1）
627
132+=
++x x x （2）()()631111
x x x -=+--
6、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？
