高三复习二项式定理知识
点题型方法归纳
Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
绵阳市开元中学高2014级高三复
习
《二项式定理》知识
点、题型与方法归纳
制卷:王小凤学生姓名:
___________
一.知识梳理
1.二项式定理:(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n(n ∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.其中的系数C r n(r=0,1,…,n)叫二项式系数.式中的C r n a n-r b r叫二项展开式的通项,用T r+1表示,即通项T
r+1
=C r n a n-r b r.
2.二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C0n,C1n,一直到C n-1
n
,C n n.
3.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即
r n r
n n
C C-
=
(2)增减性与最大值:二项式系数
C k n,当k<
n+1
2
时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的;当n是偶数时,中间一项2
n
n
C取得最大值;当n是奇数时,中间两项
11
22
n n
n n
C C
-+
=
取得最大值.
(3)各二项式系数和:C0n+C1n+C2n +…+C r n+…+C n n=2n;
C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n +…=2n-1.
一个防范
运用二项式定理一定要牢记通项
T
r+1
=C r n a n-r b r,注意(a+b)n与(b +a)n虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指C r n,而后者是字母外的部分.前者只与n和r有关,恒为正,后者还与a,b有关,可正可负.
一个定理
二项式定理可利用数学归纳法证明,也可根据次数,项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理.因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续. 两种应用
(1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等.
(2)展开式的应用:利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式;②可证明不等式;③可证明整除问题;④可做近似计算等. 三条性质
(1)对称性;(2)增减性;(3)各项二项式系数的和; 二.题型示例
【题型一】求()n
x y +展开特定项
例1:(1+3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等,则n =( ) 解:由条件得C 5n 35=C 6n 36
,∴n !5!(n -5)!=n !6!(n -6)!×3, ∴3(n -5)=6,n =7.故选 B. 例2:(2014·大纲)? ????x
y
-y x 8的
展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答) 解:? ????x
y
-y x 8展开式的通项公式为T r +1=C r
8? ????x y 8-r ?
????
-y x r
=()33842
2
8
1r r r
r
C x
y
---,
令8-32r =2,解得r =4,此时32r
-4=2,所以展开式中x 2y 2的系数为(-1)4C 48=70.故填70. 【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项
例1:在(1-x )5+(1-x )6+(1-x )7+(1-x )8的展开式中,含x 3的项的系数是( ) A .74 B .121
C .-74
D .-121
解析 展开式中含x 3项的系数
为C 35(-1)3+C 36(-1)3+C 3
7(-1)3+C 38(-1)3=-121.
【题型三】求()()m n
a b x y +?+展开特定项
例1:(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中
x 2的系数为5,则a =( )
A.-4
B.-3
C.-2
D.-1 解:(1+ax )(1+x )5的展开
式中x 2项为C 25x 2+ax ·C 15x =10x
2
+5ax 2=(10+5a )x 2.
∵x 2的系数为5, ∴10+5a =5,a =-1.故选D. 例2:(2014·浙江卷)在(1+x )6(1+y )4
的展开式中,记
x m y n 项的系数为f (m ,n ),则
f (3,0)+f (2,1)+f (1,2)
+f (0,3)=( )
A .45
B .60
C .120
D .210 解析 在(1+x )6的展开式
中,x m 的系数为C m 6,在(1+y )4
的展开式中,y n 的系数为C n 4,
故f (m ,n )=C m 6·C n 4.从而f (3,0)=C 36=20,f (2,1)=C 26·C 14=60,f (1,2)=C 16·C 2
4
=36,f (0,3)=C 3
4=4,所以
f (3,0)+f (2,1)+f (1,2)+f (0,3)=120,故选C. 例3:已知数列{}n a 是等差数列,且6710a a +=,则在
1212()()()x a x a x a ---的展开式
中,11
x 的系数为_______.
解:11x 的系数为
121267()6()60a a a a a -+++=-+=-。 【题型四】求()n x y z ++展开
特定项
例1:求? ??
??x 2+1x +25(x >0)的展开式经整理后的常数项.
解法一:? ??
??x 2+1x +25
在x >
0时可化为? ????
x 2
+1x 10,
因而T r +1=C r
10? ??
?
?1210-r
()x 10-2r ,则r =5时为常数项,即C 5
10·? ??
??125=6322.
解法二:所给的式子为三项
式,采用两个计数原理求解. 分三类:①5个式子均取
2,则C 5
5()25
=42;
②取一个x 2,一个1
x
,三个2,则C 15? ????12C 14()23=202;
③取两个x 2,两个1
x ,一个2,则C 25? ??
??122C 232=1522.
所以,常数项为42+202+1522=632
2
.
点拨:三项式的展开式问题,通常可用解法一化为二项式问题,或用解法二化为计数问题.
例2:若将10)(z y x ++展开为
多项式,经过合并同类项后它的
项数为( ). A .11 B .33
C .55
D .66
解:展开后,每一项都形如
a b c x y z ,其中10a b c ++=,该方
程非负整数解的对数为210266C +=。 例3:[2015·课标全国卷Ⅰ](x 2+x +y )5
的展开式中,x 5y 2的系数为( )
A .10
B .20
C .30
D .60
解析 易知T r +1=C r
5(x 2+
x )5-r y r ,令r =2,则T 3=C 25
(x 2+x )3y 2,对于二项式(x 2+
x )3,由T t +1=C t
3(x 2)3-t x t =C t 3
x 6-t ,令t =1,所以x 5y 2的
系数为C 25C 13=30.
【题型五】二项式展开逆向问题
例1:(2013·广州毕业班综合测试)若
C 1n +3C 2n +32C 3n +…+3n -2C n -1
n +3n -1=85,则n 的值为( )
.4 C
解:由C 1n +3C 2n +…+3
n -2C n -1
n +3n -1
=13
[(1+3)n -1]=85,解
得n =4.故选B.
【题型六】赋值法求系数(和)问题
例1:已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7.
求:(1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7;
(3)a 0+a 2+a 4+a 6;
(4)||a 0+||a 1+||a 2+…+||a 7.
解:令x =1,则a 0+a 1+a 2
+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=-1.①
令x =-1,则a 0-a 1+
a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37.②
(1)∵a 0=C 07=1,∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=-2.
(2)(①-②)÷2,得a 1+a 3
+a 5+a 7=-1-37
2
=-1094.③
(3)(①+②)÷2,得a 0+a 2
+a 4+a 6=-1+3
7
2
=1093.④
(4)∵(1-2x )7的展开式中,a 0,a 2,a 4,a 6大于零,而a 1,a 3,a 5,a 7小于零,
∴||a 0+||a 1+||a 2+…+||a 7=(a 0+a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a 7),
∴所求即为④-③(亦即②),其值为2187.
点拨:①“赋值法”普遍运用于恒等式,是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax +b )n ,(ax 2+bx +c )m (a ,b ,c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和,只需令x =1即可;对形如(ax +by )n (a ,b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和,只需令x =y =1即可
.②若f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2
+…+a n x n ,则f (x )展开式中各项系数之和为f (1),奇数项系数之和为a 0+a 2+a 4+…=f (1)+f (-1)
2
,偶数项系数
之和为a 1+a 3+a 5+…=f (1)-f (-1)
2
.
例2:设? ??
??22+x 2n
=a 0+a 1x
+a 2x 2+…+a 2n x 2n
,则(a 0+a 2+a 4+…+a 2n )2-(a 1+a 3+a 5+…+a 2n
-1)2
=_______________________.
解:设f (x )=? ????22+x 2n
,
则(a 0+a 2+a 4+…+a 2n )2
-(a 1+a 3+a 5+…+a 2n -1)2=(a 0+a 2+a 4+…+a 2n -a 1-a 3-a 5-…-a 2n -1)(a 0+a 2+a 4+…+a 2n +a 1+a 3+a 5+…+a 2n -1)=f (-1)·f (1)=? ????22-12n ·? ??
??22+12n =? ???
?-122n
=? ??
??14n . 例3:已知(x +1)2(x +2)2014=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2
+…+
a 2016(x +2)2016
,则a 12+a 222+a 3
2
3+…
+
a 2016
22016
的值为______. 解:依题意令x =-3
2
,得
? ????-32+12? ????-32+22014=a 0+a 1? ????-32+2+a 2? ????-32+22
+…+a 2016? ??
??-32+22016,令x =-2得
a 0=0,则a 12
+a 22
2+a 32
3+…+a 2016
2
2016=
? ??
??122016. 【题型七】平移后系数问题 例1:若将函数f (x )=x 5
表示为f (x )=a 0+a 1(1+x )+a 2(1+x )2+…+a 5(1+x )5, 其中a 0,a 1,a 2,…,a 5为实数,则a 3=____________.
解法一:令x +1=y ,(y -1)5=a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 5y 5,故
a 3=C 25(-1)2
=10.
解法二:由等式两边对应项系数相等.即:???
a 5=1,
C 45a 5+a 4=0,
C 35a 5
+C 34
a 4
+a 3
=0,
解得a 3
=10. 解法三:对等式:f (x )=x 5
=a 0+a 1(1+x )+a 2(1+x )2+…+a 5(1+x )5两边连续对x 求导三次得:60x 2=6a 3+24a 4(1+x )+60a 5(1+x )2,再运用赋值法,令
x =-1得:60=6a 3,即a 3=10.故填10.
【题型八】二项式系数、系数最大值问题
例1:? ?
???x +12x n 的展开式中
第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项为________. 解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得n =9,? ?
???x +12x 9展开式的第四项为
T 4=C 3
9
·(x )6
·? ??
??12x 3=21
2.
例2:把(1-x )9的展开式按
x 的升幂排列,系数最大的项是第________项 A .4
B .5
C .6
D .7
解析 (1-x )9展开式中第r
+1项的系数为C r 9(-1)r
,易知当
r =4时,系数最大,即第5项系数最大,选B.
例3:(1+2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解:T 6=C 5n (2x )5,T 7=C 6
n
(2x )6,依题意有C 5n ·25=C 6n ·26
,
解得n =8.所以(1+2x )8
的展开式中,二项式系数最大的项为T 5=
C 48·(2x )4=1 120x 4
.
设第r +1项系数最大,则有???C r 8·2r ≥C r -18·2r -1,C r 8·2r ≥C r +18·2r +1,
解得5≤r ≤6.所以r =5或r =6,所以系数最大的项为T 6=1 792x 5或T 7=1 792x 6.
点拨:
(1)求二项式系数最大项:①如果n 是偶数,则中间一项? ??
??
第n 2+1项的二项式系数最大;②如果n 是奇数,则中间两项(第n +12项与第n +1
2
+1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项:如求(a +bx )n (a ,b ∈R )的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,列出不等
式组???A r ≥A r -1,A r ≥A r +1,
从而解出r ,即得
展开式系数最大的项.
【题型九】两边求导法求特定数列和
例1:若(2x -3)5=a 0+a 1x +
a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=________.
解析 原等式两边求导得5(2x -3)4·(2x -3)′=a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4,令上式中x =1,得a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=10. 【题型十】整除问题
例1:设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 012+a 能被13整除,则
a =( )
A .0
B .1
C .11
D .12 解析 512 012+a =(52-1)2 012+a
=C 02 012·522 012-C 12 012·522 011
+…+C 2 0112 012×52·(-1)2 011+C 2 0122 012·(-1)
2 012+a , ∵C 02 012·522 012-C 12 012·522 011+…+C 2 0112 012×52·(-1)
2 011能被13整除.
且512 012+a 能被13整除,∴
C 2 0122 012·(-1)
2 012+a =1+a 也能被13整除. 因此a 可取值12.
例2:已知m 是一个给定的正整数,如果两个整数a ,b 除以m 所得的余数相同,则称a 与b 对模m 同余,记作a ≡b (mod m ),例如:5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7),则r 可能等于( )
.2014 C
解:22015=22×23×671=4×8671
=4(7+1)671=4(7671+C 16717670
+…+C 6706717+1).因此22015
除以7的余数为4.经验证,只有2013除以7所得的余数为4.故选A. 三.自我检测
1、(2013·青岛一检)“n =5”是
“?
?
????2x +13x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不
充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2、已知C0n+2C1n+22C2n+23C3n+…+2n C n n=729,则C1n+C2n+C3n+…+C n n等于( )
A.63 B.64 C.31 D.32 3、组合式C0n-2C1n+4C2n-8C3n+…+(-2)n C n n的值等于 ( )
A.(-1)n
B.1
C.3n
D.3n-1
4、若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=________.
5、已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a
2
(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8=( )
A.-180
B.180
C.45
D.-45
6、(1+2x)3(1-x)4展开式中x项的系数为 ( )
A.10
B.-10
C.2
D.-2
7、(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是________.8、在
3450
(1)(1)(1)
x x x
++++++的展开式中,3x的系数为()
A. 3
51
C B. 4
50
C C.
4
51
C D. 4
47
C
9、在(x+1)(2x+1)…(nx+1)(n ∈N*)的展开式中一次项系数为( )
A.C2n B.C2n
+1
C.C n-1
n
C3n
+1
10、(2015·安徽合肥二检)(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为________