《数列的概念》课件15

解析 (1)数列可化为 3， 9， 15， 21， 27，…，即 3×1， 3×3， 3×5， 3×7， 3×9，…. 每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数 3，后一个因数为 2n－1，故原数列 的一个通项公式为 an＝ 32n－1＝ 6n－3，n∈N＋.
(2)2，－4，1，－ 4 ，2，…； 5 2 11 7
27301.99，25759.5，19786.98，17707.1，17475.86，14 208.19.
以上两组数据有什么共同特点？
PART 01
一、数列的概念与分类
数列的概念与分类
问题1 下面三列数字有什么联系与区别？ (1)1,2,3,4； (2)4,3,2,1； (3)3,4,1,2.
提示 联系：数字相同，区别：排列次序不同。
解析 (3)原数列可变形为 1－ 1 ，1－ 1 ，1－ 1 ，1－ 1 ，…，故所给数列的一个通项公式为 10 102 103 104
an＝1－ 1 ，n∈N＋. 10n
(4)2,22,222,2 222,22 222，….
解析 (4)数列各项可化为2×9，2×99，2×999，…，所以通项公式为 an＝2(10n－1)，n∈N＋.
C.0,2,4,6,8，…，2n是无穷数列
D.1,1,1,1,1，…是一个数列 解析 两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确；
数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确； 当n确定后，数列0,2,4,6,8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误； 根据数列定义知D正确.
PART 02
二、求数列的通项公式
问题2 若数列{an}的前5项为1,3,5,7,9，能否用一个式子表示数列中 的每一项？这个式子是什么？

数列的分类
有穷数列和无穷数列
• 有穷数列的项数是有限的，无穷数列的项数是无限的 。
等差数列和等比数列
• 等差数列的相邻两项之差是一个常数，等比数列的相 邻两项之比是一个常数。
有序数列和无序数列
• 有序数列是指各项按照一定的顺序排列的数列，无序 数列是指各项没有固定的顺序排列的数列。
数列的应用
在数学领域的应用
数列极限的性质
唯一性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则其极限是唯一的。
有界性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则存在正数$M$，使得当$n$
充分大时，有$|a_n| < M$。
保号性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，且当$n$充分大时，有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），则有$A >
数学分析
收敛数列在数学分析中有 着广泛的应用，如泰勒级 数、洛朗兹级数等。
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感谢观看
公式
03
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式
通项公式的推导
由等差数列的定义可知，an=a1+(n-1)d，当n=1时，a1=a1+(1-1)d，即 a1=a1+0d=a1，当n=2时，a2=a1+d=(a1+d)，当n=3时， a3=a1+2d=(a1+d)+d=a2+d,依次类推，得出通项公式an=a1+(n-1)d。
减法
如果$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$且$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$， 则有$\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n - b_n) = A - B$。

第
三 部 分
课时精练
基础保分练
1.已知 an＝nn－ ＋11，那么数列{an}是
A.递减数列
√B.递增数列
C.常数列
D.摆动数列
an＝1－n＋2 1，将 an 看作关于 n 的函数，n∈N+， 易知数列{an}是递增数列.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数
列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N+)，则 a11＋a12＋a13＋…＋a21023 等于
√A.1
B.2
C.3
D.4
由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2). 又a1＝1， 所以 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋ (n－2)＋…＋2＋1＝nn＋2 1(n≥2)， 当n＝1时，a1＝1满足上式， 则a1n＝nn2＋1＝21n－n＋1 1.
3.在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝_3_4__.
通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项 之和，因此x＝13＋21＝34.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
例1 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于
由∀n∈N+，an＋1>an可知数列{an}是递增数列， 又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正. 而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0， 所以an＝n－6，n∈N+(答案不唯一).

（1） =
2
2+1
（2） = −1

2 − 1
解：（1）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,10，可得
2×3
6
2×2
4
2×1
2
=
2 =
= 3 =
1 =
=
2×3+1 7
2×2+1 5
2×1+1 3
2 × 10
20
2×4
8
2×5
10
=
4 =
=
5 =
= 10 =
2 × 10 + 1 21
◆数列分类：
有穷数列：项数有限的数列；
无穷数列：项数无限的数列.
显然，(1)，(4)是有穷数列,(2)，(3)是无穷数列.
新知探究
想一想
1.说出生活中的一个数列实例．
2.数列“1，2，3，4，5”与
数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？ 否
3.设数列{an } 为“-5,-3,-1,1,3,5，…” ，指出其中
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1
1
1
1
1
... , n ,...，可记作{ n}，
如，数列 1 ， ， ， ，
2
4
8
2
2
1
其通项公式为 an n （n∈N+）
2
数列 2，3，4，5，…,n+1… , 可记作{n+1};
1
1
1
数列 1 ， ， ，
2
3
4
1
，
... , ,... , 可记作{
n
1
n
};
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通项公式：