第7章 非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)讲解

而重要关心其时域响应的性质，如：稳定性、自持 振荡。
7.2 描述函数法
一、描述性函数的定义
非线性元件的输入为正弦波时，将其输出的非正弦波的一次谐波（基
波) 与输入正弦波的复数比，定义为非线环节的描述函数。
分析：
设 输入为：
x(t) Asint
则输出：

y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt) n1
见图示说明：
但非线性系统则不然，它的稳定性不仅与系 统的结构和参数有关，还与输入信号及初始 条件有关。因此不能笼统地泛指某个非线性 系统是否稳定，而必须指明不同条件下系统 的稳定性。
3.非线性系统的自激振荡
线性系统只在阻尼比为零时，产生周期性的 等幅振荡；而且这样情况极少出现，极易变 化。但是在非线性系统中，常会出现具有一 定频率、一定振幅的稳定的等幅振荡，即自 激振荡。
二、改变非线性特性
1、改变非线性元件的参数
例如，在例7.1中，当线性部分参数不变(k=15)时，改变非线性部分的参 数a或b，可以使负倒描述函数曲线往左移，从而使两特性曲线不相交，即使 原有自持振荡的系统变为稳定。
2、对非线性元件采用某种并联校正
例如，一个饱和非线性元件并入一合适的死区非线性元件后，变成了线性 比例元件。
An

1

2 0
y(t) cosntdt
Bn

1

2 0
y(t ) sin
ntdt
假设输出为对称奇函数，则 A0 0 ；假设具有低通滤波特性，高次谐波
可忽略。
则非线性环节输出可认为
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t
Y1 sin(t 1) Y1e j1

作用后，运动仍然保持原来的频率和振幅，即这种周期运动 具有稳定性，这种现象称为自持振荡，这是非线性系统独有 的现象。
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4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
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23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
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若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
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c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向

x0 e t , 其中x0 x(0) t 1 x0 x 0 e
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（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。

7.2 相平面法
1. 基本概念 2. 相平面图的绘制 3. 线性系统的相轨迹 4. 非线性系统的相平面分析
7.2 相平面法
1. 基本概念 相平面法是一种求解二阶常微分方程的图解方法。 1) 相平面图 f ( x, x ) 0 x 二阶系统的数学描述 ，得下列一阶微分方程组 设x1=x，x2= x

非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的
系统。 线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系 统也可以理解为不满足叠加原理的系统。

7.1 概述
2. 典型的非线性特性
1) 饱和特性
2) 死区特性
3) 间隙特性(滞环特性)
4) 变放大系数特性
5) 继电器特性
7.1 概述
1) 饱和特性
x(t) k 0 a e(t)
数学表达式
ke(t ) x(t ) ka signe(t )
1 signe(t ) 1 不定
e(t ) a e(t ) a
-a
符号函数(开关函数)
e(t ) 0 e(t ) 0 e(t ) 0
图 7.2 饱和特性
a – 线性域宽度 k – 线性域斜率
(d)半稳定极限环
(a) 可通过实验观察到。设计时应尽量减少极限环 的大小，以满足系统的稳态误差要求。
(b) 不能通过实验观察到。设计时应尽量增大极限 环的大小，以扩大系统的稳定域。
(c)、(d)不能通过实验观察到。(c)不稳定。(d)稳 定，但过渡过程时间将由于极限环的存在而增加。
7.2 相平面法
单输入-单输出的线性定常系 统
现代控制理论（20世纪50 年代后）
可以是比较复杂的系统