广西桂林十八中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
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广西桂林十八中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一.选择题1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∩B）=（）A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5}2．设平面向量，则=（）A．（7，3）B．（7，7）C．（1，7）D．（1，3）3．函数y=+的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1} 4．已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．5．执行下面的框图，若输入的n是6，则输出p的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．50406．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2π+8 B．8π+8 C．4π+8 D．6π+87．已知a=log 23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c8．已知向量||=10，||=12，且=﹣60，则向量与的夹角为（）A．60°B．120°C．135°D．150°9．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．10．已知α，β都是锐角，，，则cosβ=（）A．B．C．D．11．在△ABC中，D是BC边上的一点，=λ（+）．||=2，|=4，若记=，=，则用表示所得的结果为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=对称，且方程f（x）=m在[0，）上恰有两个不同的实数根，则实数m取值范围是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[，2）D．[1，]二.填空题13．若向量的夹角为60°，，则=．14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，则φ=．15．已知圆x2+y2﹣2x=0上的点到直线L：y=kx﹣2的最近距离为1，则k=．16．已知sinα，cosα是关于x的方程x2﹣ax+a=0的两个根，则sin3α+cos3α=．三.解答题17．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在x∈[﹣2π，2π]上的单调增区间．18．已知，①若与垂直，求k的值；②若与平行，求k的值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设，三棱锥P﹣ABD的体积，求AC与平面PBC所成角的正弦值．20．设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．21．如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．（1）若点A的纵坐标是，点B的纵坐标是，求sin（α+β）的值；（2）若，求的值．22．定义向量的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为（其中O为坐标原点）．（1）若，求g（x）的“相伴向量”；（2）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．广西桂林十八中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一.选择题1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∩B）=（）A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：求出集合A∩B，然后求出它的补集即可．解答：解：集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}所以A∩B={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}；∁U（A∩B）={1，4，5}；故选B．点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，常考题型．2．设平面向量，则=（）A．（7，3）B．（7，7）C．（1，7）D．（1，3）考点：平面向量的坐标运算．分析：根据向量的坐标运算法则即可解题．解答：解：∵∴故选A．点评：此题重点考查向量加减、数乘的坐标运算；应用向量的坐标运算公式是解题的关键；3．函数y=+的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：求该函数的定义域，直接让x+1≥0，x≥0求解x即可．解答：解：由，得：x≥0．所以原函数的定义域为[0，+∞）．故答案为[0，+∞）．故选B ．点评： 本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，属基础题．4．已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A ．B ．C ．D ．考点： 二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题．分析： 直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cos α，然后利用二倍角公式求解即可．解答： 解：因为α为第二象限角，，所以cos α=﹣=﹣．所以sin2α=2sin αcos α==．故选A ．点评： 本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．5．执行下面的框图，若输入的n 是6，则输出p 的值是（）A ． 120B ． 720C ． 1440D ．5040考点： 循环结构．专题： 计算题；图表型；算法和程序框图．分析： 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句k ＜n ？，从而到结论． 解答： 解：∵n=6当k=1时，p=1，k ＜n 执行循环语句； 当k=2时，p=2，k ＜n 执行循环语句；当k=3时，p=6，k＜n执行循环语句；当k=4时，p=24，k＜n执行循环语句；当k=5时，p=120，k＜n执行循环语句；当k=6时，p=720，此时k=n退出执行循环语句，输出p=720；故答案选：B点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2π+8 B．8π+8 C．4π+8 D．6π+8考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，从而求出它的体积是多少．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体底部为四棱柱，上部为平放的两个半圆柱的组合体，该几何体的体积为V几何体=V底部+V上部=2×（2+2）×1+π•12×2=8+2π．故选：A．点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题时根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形，从而解答问题．7．已知a=log 23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得答案．解答：解：∵a=log 23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选：B．点评：本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．8．已知向量||=10，||=12，且=﹣60，则向量与的夹角为（）A．60°B．120°C．135°D．150°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：利用向量的模、夹角形式的数量积公式，列出方程，求出两个向量的夹角余弦，求出夹角．解答：解：设向量的夹角为θ则有：，所以10×12cosθ=﹣60，解得．∵θ∈[0，180°]所以θ=120°．故选B点评：本题考查利用向量的数量积公式解决两个向量的夹角问题．注意两个向量夹角的范围是[0，π]9．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：利用sin2θ+cos2θ=1，令原式除以sin2θ+cos2θ，从而把原式转化成关于tanθ的式子，把tanθ=2代入即可．解答：解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ====．故选D．点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．10．已知α，β都是锐角，，，则cosβ=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由同角三角函数的基本关系可得sinα和sin（α+β），代入cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin（α+β）sinα，计算可得．解答：解：∵α，β都是锐角，，，∴sinα==，sin（α+β）==，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+=故选：D．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．11．在△ABC中，D是BC边上的一点，=λ（+）．||=2，|=4，若记=，=，则用表示所得的结果为（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：B，D，C三点共线，所以根据已知条件对于，能够得到，所以得到，所以=．解答：解：如图，B，D，C三点共线，存在μ，使；∴；∴；又；∴；∴；∴；∴=．故选C．点评：考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，向量的减法．12．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=对称，且方程f（x）=m在[0，）上恰有两个不同的实数根，则实数m取值范围是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[，2）D．[1，]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得可得±=sin+acos，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+）．再根据函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，）上有两个交点，求得m的范围．解答：解：由函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=对称，可得x=时，函数取得最大值或最小值，故有±=sin+acos，求得a=，∴f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）．在[0，）上，x+∈[，），f（x）∈（1，2]．再根据方程f（x）=m在[0，）上恰有两个不同的实数根，可得函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，）上有两个交点，故≤m＜2，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的图象的对称性，两角和的正弦公式，方程根的存在性以及个数判断，属于基础题．二.填空题13．若向量的夹角为60°，，则=．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：用向量的数量积公式求值，将则展开后，用内积公式与求模公式求值．解答：解：，故答案为．点评：考查内积公式及向量模的公式，属于向量里面的基本题型．14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，则φ=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；综合题；三角函数的图像与性质．分析：通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，0）确定φ，求出φ值．解答：解：由图象可知：T=4×（﹣）=π，∴ω=2；（，0）在图象上，∴2×+φ=kπ，k∈Z．∵0＜φ＜，∴k=1φ=．故答案为：．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．属于中档题．15．已知圆x2+y2﹣2x=0上的点到直线L：y=kx﹣2的最近距离为1，则k=0或﹣．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由题意可得圆心到直线L：y=kx﹣2的距离为2，由此利用点到直线的距离公式求得k的值．解答：解：圆x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2 =1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，根据圆x2+y2﹣2x=0上的点到直线L：y=kx﹣2的最近距离为1，可得圆心到直线L：y=kx ﹣2的距离为2，即=2，求得k=0，或k=﹣，故答案为：0或﹣．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．16．已知sinα，cosα是关于x的方程x2﹣ax+a=0的两个根，则sin3α+cos3α=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用韦达定理化简求得a的值，再利用立方和公式求出sin3α+cos3α的值．解答：解：由题意利用韦达定理可得sinα+cosα=a，sinα•cosα=a，∴1+2a=a2，解得a=1±．再根据判别式△=a2﹣4a≥0，可得a≤0，或a≥4，∴a=1﹣．∴sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（1﹣sinαcosα）=a（1﹣a）=a﹣a2 =（1﹣）﹣（1﹣）2=﹣2+，故答案为：．点评：本题主要考查韦达定理、立方和公式的应用，属于基本知识的考查．三.解答题17．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在x∈[﹣2π，2π]上的单调增区间．考点：复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：（1）由周期公式易得；（2）解不等式2kπ﹣≤x+≤2kπ+结合x∈[﹣2π，2π]可得单调递增区间．解答：解：（1）由周期公式可得T==4π；（2）由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得4kπ﹣≤x≤4kπ+，∴原函数的单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ+]（k∈Z）又∵x∈[﹣2π，2π]，∴当k=0时，函数的单调递增区间为．点评：本题考查三角函数的单调性和周期性，属基础题．18．已知，①若与垂直，求k的值；②若与平行，求k的值．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由=（1，2），，知，．①由与垂直，知10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0，由此能求出k的值．②由与平行，知（k﹣3）×（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，由此能求出k的值．解答：解：∵=（1，2）、∴，…①∵与垂直∴即10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0∴k=19…②∵与平行∴（k﹣3）×（﹣4）﹣（2k+2）×10=0∴…点评：本题考查平面向量垂直和平行的条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设，三棱锥P﹣ABD的体积，求AC与平面PBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）设BD和AC交于点O，连接EO，由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用棱锥的条件公式，计算可得AB，AC，作AH⊥PB交PB于H，在直角三角形PAB 中，运用面积求得AH，由线面垂直的性质和判定，可得AH垂直于平面PBC，由线面角的定义，可得AC与平面PBC所成角的平面角为∠ACH，再由解直角三角形的知识，即可得到所求正弦．解答：解：（1）设BD和AC交于点O，连接EO，因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO∥PB，且EO在平面AEC内，PB不在平面AEC内，所以PB∥平面AEC；（2）由，，得，AC==，作AH⊥PB交PB于H，由BC⊥PA，BC⊥AB，即有BC⊥面PAB，所以BC⊥AH，所以AH⊥平面PBC，故，故AC与平面PBC所成角的平面角为∠ACH，则．点评：本题考查空间直线和平面的位置关系：平行和垂直，同时考查直线和平面所成的角的求法，考查运算能力，属于中档题．20．设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：综合题．分析：（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期（2）由（1）f（x）=，利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象，用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行（3），，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值解答：解：（1）=∴（2）x0 π2πsin（）0 1 0 ﹣1 0yy=sinx向左平移得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为最后再向上平移个单位得到（3），∵，∴∴，∴，∴m=2，∴当即时g（x）最大，最大值为．点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．21．如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．（1）若点A的纵坐标是，点B的纵坐标是，求sin（α+β）的值；（2）若，求的值．考点：平面向量的综合题．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）由任意角的三角函数的定义和两角和的正弦公式，计算即可得到所求；（2）运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到．解答：解：（1）由三角函数的定义得，，．由角α、β的终边分别在第一和第二象限，所以，，所以；（2），则有，又，故，得，，即=．点评：本题考查向量向量的数量积的性质和运用，同时考查任意角三角函数的定义和两角和的正弦公式的运用，属于中档题．22．定义向量的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为（其中O为坐标原点）．（1）若，求g（x）的“相伴向量”；（2）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．考点：平面向量的综合题．专题：新定义；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）运用诱导公式和“相伴向量”的定义，即可得到；（2）求得向量的“相伴函数”f（x），求得最大值，及x0，运用正切的二倍角公式，以及函数y=x﹣的单调性，和m=的几何意义，即可得到所求范围．解答：解：（1）=4sinx﹣3cosx，其相伴向量为；（2）的相伴函数为，其中，，当时，f（x）取到最大值，故，，，为直线OM的斜率，由几何意义知，当时，单调递减，所以；当时，单调递减，所以，所以．点评：本题考查新定义的理解和运用，主要考查正弦函数的值域和直线的斜率及函数y=x ﹣的单调性，属于中档题．。
