第6章 线性方程组迭代解法

第6章 线性方程组迭代解法一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分)1、设Ax b =的系数矩阵122111221A −⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦，若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解，则下列说法正确的是（ ）（1）两者都收敛；（2）两者都发散；（3）前者收敛，后者发散；（4）前者发散，后者收敛。

2、用一般迭代法(1)()k k x Bx g +=+求解方程组Ax b =的解，则当（ ）时，迭代收敛。

（1）方程组系数矩阵A 对称正定；（2）方程组系数矩阵A 严格对角占优；（3）迭代矩阵B 严格对角占优；（4）迭代矩阵B 的谱半径()1B ρ<。

3、设求解方程组Ax b =的迭代格式为(1)()811717071088k k x x +⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其系数矩阵为711160107A −−−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦，迭代矩阵为811170108B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）。

（1）方程组系数矩阵A 严格对角占优，故此迭代收敛于方程组的解；（2）迭代矩阵B 严格对角占优，故此迭代收敛于方程组的解；（3）1101B B ∞==>，故此迭代发散；（4）迭代矩阵B 的谱半径()1B ρ>，故此迭代发散。

4、若线性代数方程组Ax b =的系数矩阵A 为严格对角占优阵，若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解，则下列说法正确的是（ ）（1）两者都收敛；（2）两者都发散；（3）前者收敛，后者发散；（4）前者发散，后者收敛。

5、若线性代数方程组Ax b =的系数矩阵A 为对称正定矩阵，则下列说法正确的是（ ） （1）雅可比法收敛；（2）高斯-赛德尔法收敛；（3）雅可比法和高斯-赛德尔法均收敛；（4）SOR 迭代法收敛。

二、填空题（每小题3分，共计15 分）1、设10102a A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，要使lim 0k k A →∞=，a 应满足的条件是________ __。

数值计算与MATLAB1《数值计算与MATLAB 》第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法§1 求解线性代数方程组的迭代法§2 方阵特征值和特征向量的计算§3 矩阵一些特征参数的MATLAB计算《数值计算与MATLAB 》6.1 求解线性代数方程组的迭代法1、迭代法的基本原理如果线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 非奇异，则方程组有唯一解。

把这种方程中的方阵A 分解成两个矩阵之差：A=C-D若方阵C 是非奇异的，把A 它代入方程Ax=b 中，得出(C-D)x=b ，两边左乘C -1，并令M=C -1D ，g= C -1b ，移项可将方程Ax=b 变换成：x=Mx+g据此便可构造出迭代公式：xk+1=Mx k +g ，M=C -1D 称为迭代矩阵。

《数值计算与MATLAB 》2. 雅可比（Jacobi ）迭代法如果方程组Ax=b 的系数矩阵A非奇异，aii≠0，若可以把A 分解成：A=D-L-U=D+(-L)+(-U)，D=diag(a11,a22,…,a nn)；-L是严格下三角阵；-U是严格上三角矩阵；x= D-1((L+U)x +b)=D-1(L+U)x+ D-1bx k+1=D-1((L+U)x k+b)= D-1(L+U)x k+ D-1bMM=D-1(L+U)称为雅可比迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=67-4121-26-3-115-12A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61-3-2D⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=74-1-2-1-L⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2-61-51-UM=D-1(L+U)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7/62/3-1/6-222-1/31/2-5/21/2-《数值计算与MATLAB 》雅可比迭代公式的向量形式x k =[( x k ) 1,( x k ) 2, …,(x k ) n ]T , k=0,1,2,……，D-1=diag( , ,… ,)，11a122a1nna1))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxk《数值计算与MATLAB》3. 赛德尔（Seidel）迭代法))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxkM= (D-L)-1U称为赛德尔迭代矩阵4. 迭代法的敛散性方阵的谱半径《数值计算与MATLAB》《数值计算与MATLAB 》向量范数非负性：||x||≥0齐次性：||ax||=|a|||x||；三角不等式：||x||+||y||≥||x+y||。

计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。

该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。

线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。

本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。

雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。

雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。

雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。

超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

第六章 线性方程组的迭代解法
/* iteration methods for the solution of linear systems */
Linear systems： ：
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L a n1 x1 + a n 2 x2 + L + a nn xn = bn
x(
= x ( ) + D −1 b − Ax(
k
(
k)
)
Gauss-Seidel iteration
取M为D+L
Ax = b ⇔ ( D + L) x = −Ux + b ⇔ x = ( D + L) −1 (−Ux + b) ⇔ x = −( D + L) −1Ux + ( D + L) −1 b 迭代格式为： x ( 0)，初始向量 （k +1) x = −( D + L) −1Ux ( k ) + ( D + L) −1 b
(
)
(
)
(
)
or
xi
( k +1 )
1 =− a ii
j =1, j ≠ i
∑
n
a ij x j
(k )
bi , + a ii
i = 1, 2,..., n
上面例对应的分量形式为 x ( 0) = (0,0,0)T (k ) ( ( x1 = (1 − 2 x2k ) + 2 x3k ) ) / 1 (k ) ( x2 = (3 − x1( k ) − x3k ) ) / 1 ( ( x3k ) = (5 − 2 x1( k ) − 2 x2k ) ) / 1