最新重庆中考数学第23题专题训练汇编
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(3)当 时， .直接写出实数 的取值范围.
19.阅读材料：
关于 的方程：
的解为： ，
（可变形为 ）的解为： ，
的解为： ，
的解为： ，
…………
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程 的解为.
②方程 的解为.
（2）解关于 方程： （ ）
20.
21.阅读材料：
材料1若一元二次方程 的两根为 、 ，则 ，
形的三边之比为▲(请按从小到大排列)；
②在 中， ．AB=c，AC=b．BC=a，且b＞a，若 是奇异三角
形．求a：b：c；
(3)如图， 中 ，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，点E是AC上方的一点，
且满足AE=AD，CE=CB．
①求证： 是奇异三角形；
②当 是直料，解答问题：
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x( ，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.
2.对a，b定义一种新运算M，规定M（a，b）= ，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M（2，3）= ．
17.（阅读）如图1，在平面直角坐标系xoy中，已知点A（a、O）（a>0），
B（2，3），C（0，3）。过原点O作直线l，使它经过第一、第三象限，直线l与y轴的正半轴所成角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．
【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[，]；直接写出答案
，所以A、B两点间的距离公式为：
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其他位置也成立
解答下列问题：
如图2，直线 ： 与抛物线 交于A、B两点，P为A、B的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于C。
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连接AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线 平移到C点时得到直线 ，求两直线之间的距离。
【尝试】
（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；
（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形0ABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形0ABC的外部，直接写出a的取值范围；
18.定义符号 的含义为：当 时, ；当 时, ．如： ， ．
(1)求 ;
(2)已知 ,求实数 的取值范围;
7.
8.
9.、阅读材料：小明在学习二次根式后发现了一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 。善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为整数），则有 。
∴ ， 。这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 得： =， =；
利用上述材料及示例解决以下问题.
(1)已知关于 的多项式 有一个因式为 ，求 的值；
(2)已知关于 的多项式 有一个因式为 ，求 的值.
5.对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b= ，这里等式右边是通常的四则运算．例如：1 3= ．
(1)解方程 ；
(2)若 , 均为自然数，且满足等式 ，求满足条件的所有数对( , )．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空：+ =（ + ；
（3）若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值。
10.阅读材料：如题1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（ ， ），B（ ， ），AB中点P的坐标为（ ， ）。由 ，得 ，同理 ，所以AB的中点坐标为（ ， ）。由勾股定理得：
阅读理解题
1.如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如 的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解。其解法如下：
解：由②得： ③
将③代入①得：
整理得： ，解得
将 代入③得 ，
∴原方程组的解为 ，
（1）请你用代入消元法解二元二次方程组： ；
（2）若关于 的二元二次方程组 有两组不同的实数解，求实数 的取值范围。
11.
12.
13.
14.阅读下面的情景对话，然后解答问题：
(1)①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”·请判断小红提出的命
题是否正确，并填空▲(填“正确”或“不正确”)；
②若某三角形的三边长分别是2、4、 ，则 是奇异三角形吗?▲(填“是”或“不是”)；
(2)①若 是奇异三角形，且其两边长分别为2、 ，则第三边的边长为▲；且此直角三角
6.阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如 的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解。其解法如下：
解：由②得： ③
将③代入①得：
整理得： ，解得
将 代入③得 ，
∴原方程组的解为 ，
（1）请你用代入消元法解二元二次方程组： ；
（2）若关于 的二元二次方程组 有两组不同的实数解，求实数 的取值范围。
（1）如果M（2x，1）=M（1，－1），求实数x的值；
（2）若令y=M（ ， ），则y是x的函数，当自变量x在－1≤x≤2的范围内取值时，函数值y为整数的个数记为k，求k的值．
3.设 ， 是整数，且 ，如果存在整数 ，使得 ，则称 整除 ，记作 .
例如： ， ； ， ； ， .
（1）若 ，且 为正整数，则 的值为 ；
（2）若 ，且 为整数，满足 ，求 的值.
4.我们对多项式 进行因式分解时，可以用待定系数法求解.例如，我们可以先设 ，显然这是一个恒等式.根据多项式乘法将等式右边展开有：
所以，根据等 式两边对应项的系数相等，可得： ，解得 或者 .所以 .当然这也说明多项式 含有因式： 和 .
像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫做待定系数法.
19.阅读材料：
关于 的方程：
的解为： ，
（可变形为 ）的解为： ，
的解为： ，
的解为： ，
…………
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程 的解为.
②方程 的解为.
（2）解关于 方程： （ ）
20.
21.阅读材料：
材料1若一元二次方程 的两根为 、 ，则 ，
形的三边之比为▲(请按从小到大排列)；
②在 中， ．AB=c，AC=b．BC=a，且b＞a，若 是奇异三角
形．求a：b：c；
(3)如图， 中 ，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，点E是AC上方的一点，
且满足AE=AD，CE=CB．
①求证： 是奇异三角形；
②当 是直料，解答问题：
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x( ，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.
2.对a，b定义一种新运算M，规定M（a，b）= ，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M（2，3）= ．
17.（阅读）如图1，在平面直角坐标系xoy中，已知点A（a、O）（a>0），
B（2，3），C（0，3）。过原点O作直线l，使它经过第一、第三象限，直线l与y轴的正半轴所成角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．
【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[，]；直接写出答案
，所以A、B两点间的距离公式为：
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其他位置也成立
解答下列问题：
如图2，直线 ： 与抛物线 交于A、B两点，P为A、B的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于C。
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连接AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线 平移到C点时得到直线 ，求两直线之间的距离。
【尝试】
（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；
（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形0ABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形0ABC的外部，直接写出a的取值范围；
18.定义符号 的含义为：当 时, ；当 时, ．如： ， ．
(1)求 ;
(2)已知 ,求实数 的取值范围;
7.
8.
9.、阅读材料：小明在学习二次根式后发现了一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 。善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为整数），则有 。
∴ ， 。这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 得： =， =；
利用上述材料及示例解决以下问题.
(1)已知关于 的多项式 有一个因式为 ，求 的值；
(2)已知关于 的多项式 有一个因式为 ，求 的值.
5.对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b= ，这里等式右边是通常的四则运算．例如：1 3= ．
(1)解方程 ；
(2)若 , 均为自然数，且满足等式 ，求满足条件的所有数对( , )．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空：+ =（ + ；
（3）若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值。
10.阅读材料：如题1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（ ， ），B（ ， ），AB中点P的坐标为（ ， ）。由 ，得 ，同理 ，所以AB的中点坐标为（ ， ）。由勾股定理得：
阅读理解题
1.如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如 的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解。其解法如下：
解：由②得： ③
将③代入①得：
整理得： ，解得
将 代入③得 ，
∴原方程组的解为 ，
（1）请你用代入消元法解二元二次方程组： ；
（2）若关于 的二元二次方程组 有两组不同的实数解，求实数 的取值范围。
11.
12.
13.
14.阅读下面的情景对话，然后解答问题：
(1)①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”·请判断小红提出的命
题是否正确，并填空▲(填“正确”或“不正确”)；
②若某三角形的三边长分别是2、4、 ，则 是奇异三角形吗?▲(填“是”或“不是”)；
(2)①若 是奇异三角形，且其两边长分别为2、 ，则第三边的边长为▲；且此直角三角
6.阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如 的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解。其解法如下：
解：由②得： ③
将③代入①得：
整理得： ，解得
将 代入③得 ，
∴原方程组的解为 ，
（1）请你用代入消元法解二元二次方程组： ；
（2）若关于 的二元二次方程组 有两组不同的实数解，求实数 的取值范围。
（1）如果M（2x，1）=M（1，－1），求实数x的值；
（2）若令y=M（ ， ），则y是x的函数，当自变量x在－1≤x≤2的范围内取值时，函数值y为整数的个数记为k，求k的值．
3.设 ， 是整数，且 ，如果存在整数 ，使得 ，则称 整除 ，记作 .
例如： ， ； ， ； ， .
（1）若 ，且 为正整数，则 的值为 ；
（2）若 ，且 为整数，满足 ，求 的值.
4.我们对多项式 进行因式分解时，可以用待定系数法求解.例如，我们可以先设 ，显然这是一个恒等式.根据多项式乘法将等式右边展开有：
所以，根据等 式两边对应项的系数相等，可得： ，解得 或者 .所以 .当然这也说明多项式 含有因式： 和 .
像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫做待定系数法.
