重庆中考数学21题专题训练

2021年重庆中考数学第21题数据统计分析综合试题集数学试题1（育才2021级初三上定时训练二）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：年级平均数众数中位数8分及以上人数所占百分比七年级7.5 a7 45%八年级7.5 8 b c根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？2（育才2020级初三下中考模拟5月份）某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．3（育才2020级初三下中考模拟二）甲、乙两校各有200名体训队队员，为了解这两校体训队员的体能，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据：从甲、乙两个学校各随机抽取20名体训队员．进行了体能测试，测试成绩（百分制）如下：甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x人数40≤x≤49 50≤x59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤10 甲校0 0 1 11 7 1乙校 1 0 0 7 10 2（说明：成绩80分及以上为体能优秀，70～79分为体能良好，60～69分为体能合格，60分以下为体能不合格）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：学校平均数中位数众教优秀率甲78.3 77.5 b40%乙78 a81 c问题解决：（1）本次调查的目的是；（2）直接写出a，b，c的值；（3）得出结论：通过以上数据的分析，你认为哪个学校的体训队学生的体能水平更高，并从两个不同的角度说明推断的合理性．4（育才2020级初三下中考模拟三）炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．【收集数据】男生15名学生测试成绩统计如下：68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82按如下分数段整理、描述这两组样本数据：组别频数65.5～70.570.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.5男生 2 2 4 5 1 1女生 1 1 5 6 2 0 【分析数据】（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：班级平均数众数中位数方差男生80 x80 45.9女生80 82 y24.3 在表中：x＝．y＝；（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有人；（3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．5（育才2019级初三下中考模拟一）为深化课程改革，我校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从A：文学鉴赏，B：科学探究，C：文史天地，D：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为人，扇形统计图中D部分的圆心角是度；请补全条形统计图；（2）根据本次调查，我校七年级2600名学生中，估计最喜欢“趣味数学”的学生人数为多少？6（育才2020级初三下中考模拟二练习）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：收集数据甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 10080 80 90 95 75乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 7080 95 75 100 90整理数据成绩x（分）60≤x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100甲小区 2 5 a b乙小区 3 7 5 5分析数据统计量平均数中位数众数甲小区85.75 87.5 c乙小区83.5 d80应用数据（1）填空：a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ，d ＝ ；（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；（3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出社区管理员的理由．7（双福育才2020级初三下中考模拟一）重庆双福育才中学初中语文组深知人生最具好奇心和幻想力、创造力的时期是中学时代，经研究，为我校每一个初中生推荐一本中学生素质教育必读书《朝花夕拾》．经过一学期的阅读和学习，为了了解学生阅读效果，我们从初一、初二的学生中随机各选20名，对《朝花夕拾》此书阅读效果做测试.通过测试，我们收集到20名学生得分的数据如下：通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如表：某同学将初一学生得分按分数段6070,7080,8090,90100x x x x ≤<≤<≤<≤<，绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如图(均不完整)请完成下列问题：（1）初一学生得分的众数m=______；初二学生得分的中位数n=______；（2）补全频数分布直方图；扇形统计图中，70≤x<80所对用的圆心角为______度；（3)经过分析______学生得分相对稳定(填“初一”或“初二”)；（4）你认为哪个年级阅读效果更好，请说明理由．8（育才2020级初三下入学测试）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试.整理测试成绩，得到如下频数分布表和频数分布直方图：成绩（分）频数频率A组：75＜x≤80 6 0.15B组：80＜x≤85 a0.2C组：85＜x≤90 16 0.4D组：90＜x≤95 6 0.15E组：95＜x≤100 4 b其中最低分为76分，满分率为5％，C组成绩为：89 89 86 88 89 89 89 86 89 90 89 89 88 88 89 87回答下列问题：（1）学校共抽取了名同学进行测试，他们的成绩的中位数为，众数为，极差为；（2）其中频数分布表中a= ，b= ，并补全频数分布直方图；（3）若成绩大于85分为优秀，估计该校七年级1500名学生中，达到优秀等级的人数．9（育才2020级初三上第二次月考）为了让师生更规范地操作教室里的多媒体设备，重庆八中现教中心制作了“教室多媒体设备培训”视频，并在电视课期间进行播放。

2021年重庆年中考23题一元二次方程实际应用综合专题（重庆育才试题集）1（育才2021级初三上定时训练二）十九大以来，为全面推进新农村建设，积极改革农村产业结构，增加农民收入，致富村村委会多方努力，共获得流转耕地1000亩，全部用于种植纽橙和蔬菜，其中种植蔬菜的面积不少于种植纽橙面积的4倍．（1）求该村种植蔬菜的面积至少为多少亩？（2）今年村里按（1）中蔬菜种植面积的最小值种植蔬菜，纽橙和蔬菜上市后，纽橙每亩获利800元，蔬菜每亩获利600元；明年在保持纽橙种植面积不变的情况下，纽橙亩产量将上涨，预计每亩利润将增加3a%；同时利用新增流转耕地，使蔬菜种植面积扩大α%，并改良蔬菜种植结构，蔬菜每亩利润将增加a%这样，明年纽橙和蔬菜的总利润将比今年的总利润增加a%．求a的值．2（育才2020级初三下中考模拟5月份）为了准备科技节创意销售，宏帆初2018级某同学到批发市场购买了一些甲、乙两种型号的小元件，甲型小元件的单价是6元，乙型小元件的单价是3元，该同学的创意作品每件需要的乙型小元件的个数是甲型小元件的个数的2倍，同时，为了控制成本，该同学购买小元件的总费用不超过480元．（1）该同学最多可购买多少个甲型小元件？（2）在该同学购买甲型小元件最多的前提下，用所购买的甲、乙两种型号的小元件全部制作成创意作品，在制作中其他费用共花520元，销售当天，该同学在成本价（购买小元件的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10＜a＜50）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品全部卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值．3（育才2020级初三下中考模拟二）为满足社区居民健身的需要，区政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康乐公司有甲，乙两种型号的健身器材可供选择．（1）康乐公司2017年每套甲型健身器材的售价为2万元，经过连续两年降价，2019年每套售价为1.28万元，求每套甲型健身器材售价的年平均下降率n；（2）2019年市政府经过招标，决定年内采购并安装康乐公司甲，乙两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过95万元，采购合同规定：每套甲型健身器材售价为1.28万元，每套乙型健身器材售价为1.4（1﹣n）万元．①甲型健身器材最多可购买多少套？②按照甲型健身器材购买最多的情况下，安装完成后，若每套甲型和乙型健身器材一年的养护费分别是购买价的8%和10%，区政府计划支出9万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？4（育才2020级初三下中考模拟三）随着夏季的到来，各类水果自然也成了大众喜爱的消费产品．已知某水果店第一次售出苹果和芒果共200千克，其中苹果的售价为24元/千克，芒果的售价为20元/千克，总销售额为4320元．（1）求水果店第一次售出苹果和芒果各多少千克；（2）通过最近的调查发现消费者更加青睐于购买芒果，经销售统计发现与第一次相比，芒果的售价每降低1元，销量就增加20千克，苹果的售价和销量均保持不变，如果第二次的苹果和芒果全部售完比第一次的总销售额多980元，求第二次芒果的售价．5（育才2019级初三下中考模拟一）某水果店以每千克6元的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又购进一些同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，已知两次一共进货600千克．（1）若该水果店两次进货的总价格不超过3200元，求第一次至多购进水果多少千克？（2）在（1）的条件下，以第一次购进最大重量时的数量进货，在销售过程中，第一次购进的水果有3%的损耗，其售价比其进价多2a元，第二次购进的水果有5%的损耗，其售价比其进价多a元，该水果店希望售完两批水果后获利31.75%，求a的值．6（育才2020级初三下中考模拟二练习）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动，甲卖家的A商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为，乙卖家也销售A商品，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，现乙卖家先将标价提高2m%，再大幅降价24m元，使得A商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%后，这样一天的利润达到了20000元，求m的值7（双福育才2020级初三下中考模拟一）2020年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国蔓延。

专题21统计与概率学校:___________姓名：__________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知一组数据5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4.4，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（）A．众数改变，方差改变B．众数不变，平均数改变C．中位数改变，方差不变D．中位数不变，平均数不变3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，64．为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：则关于这组数据的结论正确的是（）A．平均数是144 B．众数是141 C．中位数是144.5 D．方差是5.4 5．为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：那么一周内该班学生的平均做饭次数为（）A．4 B．5 C．6 D．76．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）A．92分，96分B．94分，96分C．96分，96分D．96分，100分7．下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（）A．甲平均分高，成绩稳定B．甲平均分高，成绩不稳定C．乙平均分高，成绩稳定D．乙平均分高，成绩不稳定8．下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm）的平均数和方差．要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛,最合适的运动员是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，310．为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如下，由图中信息可知，下列结论错误的是（）A．本次调查的样本容量是600B．选“责任”的有120人C．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8D．选“感恩”的人数最多11．如图，随机闭合开关1S，2S，3S中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）A．23B．12C．13D．1612．从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（）A．112B．18C．16D．1213．布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）A．49B．29C．23D．1314．小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．1100B．120C．1101D．2101二、填空题15．某校女子排球队队员的年龄分布如下表：则该校女子排球队队员的平均年龄是岁．16．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试．测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2:1:3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么__________将被录用（填甲或乙）17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．18．从1-，2，3-，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数abyx=，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．19．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．20．如图，在44⨯的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是________．三、解答题21．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．22．某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩(均为整数)绘制了统计表和折线统计图(如图所示)．(1)统计表中,a=________, b =________；(2)若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛,其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额 在成绩为98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．23．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t （单位：小时）．把调查结果分为四档，A 档：8t <；B 档：89t ≤<；C 档：910t ≤<；D 档：10t ≥．根据调查情况，给出了部分数据信息：①A 档和D 档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题：（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B 档的人数；（3）学校要从D 档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．24．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A ：6070x ≤<；B ：7080x ≤<；C ：8090x ≤<；D ：90100x ≤≤，并绘制出如下不完整的统计图．（1）求被抽取的学生成绩在C ：18090x ≤<组的有多少人； （2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A ：6070x ≤<组的学生有多少人． 25．2020年是脱贫攻坚年，为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场，经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：根据以上信息，解答下列问题：（1）表中a=______，补全频数分布直方图；（2）这批鸡中质量不小于1.7kg的大约有多少只？（3）这些贫因户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元/kg的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？26．为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的a=________，b=________；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．27．奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整；（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．28．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？29．小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子，以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜：若所得数值等于3，4，5，则小梅胜（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保游戏的公平性30．东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样共调查了多少名学生？ （2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”(记为12A A 、)，1本“较好”(记为B )，1本“一般”(记为C )，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回， 从余下的3本中再抽取一本 ，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．31．某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比m=__________；（3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是__________分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．32．为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是_________名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．33．某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为________；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．34．2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表x<1.62.02.0 2.4x<x<2.4 2.8学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：（1）表中a=________，b=________；（2）样本成绩的中位数落在________范围内；（3）请把频数分布直方图补充完整；x<范围内的有（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4 2.8多少人？35．今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用厘米，女性应采用厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）参考答案1．D2．C3．C4．B5．C6．B7．D8．C9．A10．C11．C12．C13．A14．D15．14．16．乙17．2 518．2 319．1 320．1 621．这个游戏对双方公平，理由见解析22．（1）96，96；（2）3 523．（1）40人，补全图形见解析；（2）480人；（3）5 624．（1）24人；（2）C组；（3）150人．25．（1）12，补全频数分布图见解析；（2）480只；（3）该村贫困户能脱贫．26．（1）120，12，36；（2）详见解析；（3）62527．（1）200名；（2）见解析；（3）树状图见解析，4528．（1）200 ；（2）图见解析；（3）25，36； （4）3000人 29．（1）P （小伟胜）＝23，P （小梅胜）＝13；（2）游戏不公平；修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜． 30．（1）200；（2）见解析；（3）约1008名；（4）16． 31．（1）见解析；（2）20％；（3）84．5分；（4）672人 32．（1）80；（2）见解析；（3）72º；（4）图表见解析，5933．（1）50，36%；（2）见解析；（3）能获奖．理由见解析；（4）2334．（1）8a =，20b =；（2）2.0 2.4x <；（3）详见解析；（4）240人 35．（1）176，164；（2）157.4°。

专题21图形的相似（29题）一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知ABC EDC ∽，:2:3AC EC =，若AB 的长度为6，则DE 的长度为（）A ．4B ．9C ．12D ．13.5【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵ABC EDC ∽，∴::AC EC AB DE =，∵:2:3AC EC =，6AB =，∴2:36:DE =，∴9DE =，故选：B.【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点ABC DEF 、成位似关系，则位似中心的坐标为（）A ．()1,0-B ．()0,0C ．()0,1D ．()1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：1y x =+，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：()()1,2,3,4A D ，设直线AD 的解析式为：y kx b =+，将点代入得：243k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得：11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AD 的解析式为：1y x =+，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当0y =时，1x =-，∴位似中心的坐标为()1,0-，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为()()()1,2,2,1,3,2A B C ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与ABC 的位似比为2的位似图形A B C ''' ，则顶点C '的坐标是（）A ．()2,4B ．()4,2C ．()6,4D ．()5,4【答案】C 【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵ABC 的位似比为2的位似图形是A B C ''' ，且()3,2C ，()23,22C '∴⨯⨯，即()6,4C '，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为（）A ．6.4mB ．8mC ．9.6mD ．12.5m【答案】B 【分析】根据镜面反射性质，可求出ACB ECD ∠=∠，再利用垂直求ABC EDC ∽，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB BD ⊥，CD DE ⊥，CF BD⊥90ABC CDE \Ð=Ð=°.根据镜面的反射性质，∴ACF ECF ∠=∠，∴9090ACF ECF ︒-∠=︒-∠，ACB ECD ∴∠=∠，ABC EDC ∴ ∽，AB BC DE CD∴=. 小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，1.6m AB ∴=，2m BC =，10m CD =.1.6210DE ∴=.8m DE ∴=.故选：B.A ．23B ．352【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出1322CM AD ==，进而可得MB =进而在Rt BGM △中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴2AD BC AB AF FG ===+=∵EF AB ⊥，∴AD EF BC∥∥∴2DE AF EM FB ==，ADE CME ∽△△∴2AD DE CM EM==，则1322CM AD ==，∴332MB CM =-=，∵BC AD ∥，∴GMB GDA ∽，∴312BG MB在Rt BGM △中，2222335322MG MB BG ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中，34AB BC ==，，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC ，BD 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径画弧交于点P ，作射线BP ，过点C 作BP 的垂线分别交,BD AD 于点M ，N ，则CN 的长为（）A ．10B ．11C ．23D ．4【答案】A 【分析】由作图可知BP 平分CBD ∠，设BP 与CN 交于点O ，与CD 交于点R ，作RQ BD ⊥于点Q ，根据角平分线的性质可知RQ RC =，进而证明Rt BCR Rt BQR ≌，推出4BC BQ ==，设RQ RC x ==，则3DR CD CR x =-=-，解Rt DQR 求出43QR CR ==．利用三角形面积法求出OC ，再证OCR DCN ∽，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN ．【详解】解：如图，设BP 与CN 交于点O ，与CD 交于点R ，作RQ BD ⊥于点Q ，矩形ABCD 中，34AB BC ==，，∴3CD AB ==，∴225BD BC CD =+=．由作图过程可知，BP 平分CBD ∠，定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分CBD ∠，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC DG EF ∥∥，点H 为AF 与DG 的交点．若12AC =，则DH 的长为（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE DE AD ==，BF GF CG ==，AH HF =，DH 是AEF △的中位线，易证BEF BAC ∽△△，得EF BE AC AB =，解得4EF =，则122DH EF ==．【详解】解：D 、E 为边AB 的三等分点，EF DG AC ∥∥，BE DE AD ∴==，BF GF CG ==，AH HF =，3AB BE ∴=，DH 是AEF △的中位线，12DH EF ∴=，EF AC ∥，,,BEF BAC BFE BCA ∴∠=∠∠=∠BEF BAC ∴∽△△，∴EF BE AC AB=，即123EF BE BE =，解得：4EF =，114222DH EF ∴==⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．A．36,55⎛⎫⎪⎝⎭B．【答案】D【分析】由题意可得点C在以点分别过C、M作CF OA⊥，取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当最大值，然后分别证BDO【详解】解：∵点C为平面内一动点，∴点C在以点B为圆心，3 2在x轴的负半轴上取点D ⎛- ⎝∵35OA OB==，∴AD OD OA =+=952，∴23OA AD =，∵:1:2CM MA =，∴23OA CM AD AC ==，∵OAM DAC ∠∠=，∴OAM DAC ∽，∴23OM OA CD AD ==，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵35OA OB ==，OD =352，∴BD =()222235153522OB OD ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴9CD BC BD =+=，∵23OM CD =，∴6OM =，∵y 轴x ⊥轴，CF OA ⊥，∴90DOB DFC ∠∠==︒，∵BDO CDF ∠∠=，∴BDO CDF ∽，∴OB BD CF CD =即153529CF =，解得1855CF =，同理可得，AEM AFC ∽，∴23ME AM CF AC ==即231855ME =，解得1255ME =，A ．①②B ．【答案】D 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明用角平分线的性质和公共边即可证明明ADE DGE ∽△△推出DE 出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证最小值，从而证明②不对.【详解】解：ABCD 为正方形，BC CD AD ∴==，ADE ∠BF CE = ，DE FC ∴=，()SAS ADE DCF ∴ ≌.DAE FDC ∠=∠∴,90ADE ∠=︒ ,90ADG FDC ∴∠+∠=︒，90ADG DAE ∴∠+∠=︒，90AGD AGM ∴∠=∠=︒.AE 平分CAD ∠，DAG MAG ∴∠=∠.AG AG = ，()ASA ADG AMG ∴ ≌.DG GM ∴=，90AGD AGM ∠=∠=︒ ，AE ∴垂直平分DM ，故①正确.由①可知，90ADE DGE ∠=∠=︒，DAE GDE ∠=∠，ADE DGE ∴ ∽，DE AE GE DE∴=，2DE GE AE ∴=⋅，由①可知DE CF =，2CF GE AE ∴=⋅.故③正确.ABCD 为正方形，且边长为4，4AB BC AD ∴===，∴在Rt ABC △中，242AC AB ==.由①可知，()ASA ADG AMG ≌，4AM AD ∴==，424CM AC AM ∴=-=-.由图可知，DMC 和ADM △等高，设高为h ，=ADM ADC DMC S S S ∴- ，h=由④可知ADM△的高2∴=.22DN'故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D.【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点10．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）延长线上的点Q重合．DE=，则下列结论，①DQ EQA．①②③B．②④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得QDF CDF QEF ∠=∠=∠，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出4MQ AM ==，再求出BQ 即可判断②正确；由CDP BQP △∽△得53CP CD BP BQ ==，求出BP 即可判断③正确；根据EF QE DE BE≠即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：,5CDF QDF CD DQ ∠=∠==，∵CD AB ∥，∴CDF QEF ∠=∠．∴QDF QEF ∠=∠．∴5DQ EQ ==．故①正确；∵5DQ CD AD ===，DM AB ⊥，∴4MQ AM ==．∵541MB AB AM =-=-=，∴413BQ MQ MB =-=-=．故②正确；∵CD AB ∥，∴CDP BQP △∽△．∴53CP CD BP BQ ==．∵5CP BP BC +==，∴31588BP BC ==．故③正确；∵CD AB ∥，∴CDF BEF ∽△△．∴55358DF CD CD EF BE BQ QE ====++．∴813EF DE =．∵58QE BE =，∴EF QE DE BE≠．A．①②③④⑤B【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解： 四边形ABCDDAE ABF∴∠=∠=︒，90⊥，AF DE∴∠+∠=︒，BAF AED90，∠+∠=︒BAF AFB90∴∠=∠，AED BFA()ABF AED∴△≌△AAS∴=，故①正确，AF DE将ABF△沿AF翻折，得到BM AF∴⊥，⊥，∵AF D EBM DE ∴∥，故②正确，当CM FM ⊥时，90CMF ∠=︒，90AMF ABF ∠=∠=︒ ，180AMF CMF ∴∠+∠=︒，即,,A M C 在同一直线上，45MCF ∴∠=︒，9045MFC MCF ∴∠=︒-∠=︒，通过翻折的性质可得45HBF HMF ∠=∠=︒，BF MF =，∴HMF MFC ∠=∠，HBC MFC ∠=∠，,BC MH HB MF ∴∥∥，∴四边形BHMF 是平行四边形，BF MF = ，∴平行四边形BHMF 是菱形，故③正确，当点E 运动到AB 的中点，如图，设正方形ABCD 的边长为2a ，则AE BF a ==，在Rt AED △中，225DE AD AE a AF =+==，,45AHD FHB ADH FBH ∠=∠∠=∠=︒ ，AHD FHB ∴△∽△，122FH BF a AH AD a ∴===，22533AH AF a ∴==，90AGE ABF ∠=∠=︒ ，AGF ABF ∴△∽△，555AE EG AG a AF BF AB a ∴====，二、填空题11【答案】()3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设()1,A m n ∵ABC 与111A B C △位似，原点O 是位似中心，且113AB A B =．若()9,3A ，∴位似比为31，∴933311m n ==，，解得3m =，1n =，∴()13,1A 故答案为：()3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，ABC 和A B C ''' 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA '上．若12OA AA '=::，则ABC 和A B C ''' 的周长之比为__________．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：12OA AA '= ::，:1:3OA OA '∴=，设ABC 周长为1l ，设A B C ''' 周长为2l ，ABC 和A B C ''' 是以点O 为位似中心的位似图形，1213l OA l OA ∴=='．12:1:3l l ∴=．ABC ∴ 和A B C ''' 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则由23AE EB =进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AB CD AB CD = ，∴,AEF CDF EAF DCF ∠=∠∠=∠∴EAF DCF ∽，【答案】6【分析】根据题意可得ABD AQP ∽，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵ABC ∠和AQP ∠均为直角∴BD PQ ∥，∴ABD AQP ∽，∴BD AB PQ AQ=∵40cm 20cm 12m AB BD AQ ===，，，∴2m 120640AQ BD PQ AB ⨯⨯===,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M '；③以点M '为圆心，以MN 长为半径作弧，在BAC ∠内部交前面的弧于点N '：④过点N '作射线DN '交BC 于点E ．若BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为___________．【答案】23【分析】根据作图可得BDE A ∠=∠，然后得出DE AC ∥，可证明BDE BAC ∽△△，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得BDE A ∠=∠，【答案】5【分析】过点D 作DF AB ⊥等腰直角三角形，可得DF =AFD ACB ，可得DF BC =12CD =，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ∵90ACB ∠=︒，3AC =，BC∴ABB ' 是等腰直角三角形，∴45ABB '∠=︒，又∵DF AB ⊥，∴45FDB ∠=︒，∴DFB △是等腰直角三角形，∴DF BF =，∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ ，即=10AD DF ，∵90C AFD ∠=∠=︒，CAB FAD ∠=∠，∴AFD ACB ，∴DF AF BC AC=，即3AF DF =，又∵=10AF DF -，∴10=4DF ，∴105=10=42AD ⨯，51=3=22CD -，∴52==512AD CD ，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且1AN AB ==．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为______．【答案】2或21+【分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时，∵四边形ABCD 矩形，∴90A ∠=︒，则∥MN AB ，由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD=又∵M 为对角线BD 的中点，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD ∠=︒∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND =，论是解决问题的关键．19．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中，3AB =，延长BC 至E ，使2CE =，连接AE ，CF 平分DCE ∠交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为_______________．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM BE ⊥于M ，FN CD ⊥于N ，由CF 平分DCE ∠，可知45FCM FCN ∠=∠=︒，可得四边形CMFN 是正方形，FM AB ∥，设FM CM NF CN a ====，则2ME a =-，证明EFM EAB ∽，则FM ME AB BE =，即2332a a -=+，解得34a =，94DN CD CN =-=，由勾股定理得22DF DN NF =+，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM BE ⊥于M ，FN CD ⊥于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM AB ∥，∵CF 平分DCE ∠，∴45FCM FCN ∠=∠=︒，∴=CM FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM CM NF CN a ====，则2ME a =-，∵FM AB ∥，∴EFM EAB ∽，∴FM ME AB BE =，即2332a a -=+，解得34a =，∴94DN CD CN =-=，【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知10,AD DC CG CE ===∴10CH AD ==，∵90,D DCH AJD HJC ∠=∠=︒∠=∠∴()AAS ADJ HCJ ≌，∴5CJ DJ ==，∴1EJ =，∵GI CJ ∥，∴HGI HCJ ∽，∴25GI GH CJ CH ==，∴2GI =，∴4FI =，∴()1152EJIF S EJ FI EF =+⋅=梯形；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，52EA ED ==．（1）ADE V 的面积为________；（2）若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．【答案】3；13【分析】（1）过点E 作EH AD ⊥，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到ADE V 的面积；（2）延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明()ASA ABF KEF ≌，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明AHK ADG △∽△，得到KH AH GD AD=，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG 的长．【详解】解：（1）过点E 作EH AD ⊥，正方形ABCD 的边长为3，3AD ∴=，ADE 是等腰三角形，52EA ED ==，EH AD ⊥，1322AH DH AD ∴===，【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PE PF +取得最小值时，AP PC的值是___________．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F '，连接EF '交AC 于点P '，此时PE PF +取得最小值，过点F '作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F '落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明AEP KF P '''△∽△，可得2KP AP '='，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F '，连接EF '交AC 于点P '，过点F '作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F '落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P '重合时PE PF +取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则23AF AF a '==， 四边形ABCD 是正方形，45F AK '∴∠=︒，45P AE '∠=︒，2AC a=F K AF ''⊥ ，【答案】97 3【分析】过点A作AH⊥根据勾股定理求出AH6CE BC==，证明CD226 DE CE CD=+=【详解】解：过点A作则90AHC AHB ∠=∠=︒，∵5,6AB AC BC ===，∴132===BH HC BC ，∴224AH AC CH =-=，∵ADB CBD CED ∠=∠+∠，2ADB CBD ∠=∠，∴CBD CED ∠=∠，∴DB DE =，∵90BCD ∠=︒，∴DC BE ⊥，∴6CE BC ==，∴9EH CE CH =+=，∵DC BE ⊥，AH BC ⊥，∴CD AH ∥，∴~ECD EHA ，∴CD CE AH HE =，即649CD =，解得：83CD =，∴22228297633DE CE CD ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，∵CD AH ∥，∴DE CE AD CH=，即297633AD =，三、解答题(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 【答案】(1)见解析(2)185BD =【分析】（1）根据三角形高的定义得出角B B ∠=∠，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵BAC ∠∴90ADB ∠=︒，B C ∠+∠=∴90B BAD ∠+∠=︒，∴BAD C∠=∠∴23618105AB BD CB ===．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,CA AD ED AD ⊥⊥，点B 是线段AD 上的一点，且CB BE ⊥．已知8,6,4AB AC DE ===．(1)证明：ABC DEB ∽△△．(2)求线段BD 的长．【答案】(1)见解析(2)3BD =【分析】（1）根据题意得出90,90A D C ABC ∠=∠=︒∠+∠=︒，90ABC EBD ∠+∠=︒，则C EBD ∠=∠，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】（1）证明：∵,AC AD ED AD ⊥⊥，∴90,90A D C ABC ∠=∠=︒∠+∠=︒，∵CE BE ⊥，∴90ABC EBD ∠+∠=︒，∴C EBD ∠=∠，∴ABC DEB ∽△△；（2）∵ABC DEB ∽△△，∴AB AC DE BD=，∵8,6,4AB AC DE ===，∴864BD=，解得：3BD =．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，ABCD Y 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长交BA 的延长(1)求证：AF AB=；(2)点G是线段AF上一点，满足∠【答案】(1)见解析(2)6 5【分析】（1）根据平行四边形的性质可得即可解答；（2）通过平行四边形的性质证明AGH DCH△∽△，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】（1）证明： 四边形ABCDAB CD∴∥，AB CD=，EAF D∴∠=∠，AGH DCH ∴△∽△，GH AG CH DC∴=，设HG x =,则6CH CG GH x =-=-，可得方程268x x =-，解得65x =，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，CAB ACB ∠=∠，过点B 作BE AB ⊥交AC 于点E ．(1)求证：AC BD ⊥；(2)若10AB =，16AC =，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】（1）可证AB CB =，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；（2）可求6OB =，再证EBO BAO ∽ ，可得EO BO BO AO=，即可求解．【详解】（1）证明：CAB ACB ∠=∠ ，AB CB ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥．（2）解： 四边形ABCD 是平行四边形，128OA AC ∴==，AC BD ^ ，BE AB ⊥，(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若AMCN 的面积为4，求ABCD Y 【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形四边形，进而得到：,AM CN AN ∥∥（2）连接,,HG AC EF ，推出ANH ANC S S ()1122ANH FMC ANC AMC S S S S S +=+=【详解】（1）证明：∵ABCD Y ，∴,,,AB CD AD BC AB CD AD BC ==∥∥，∵点E 、F 、G 、H 分别是ABCD Y 各边的中点，∴11,22AE AB CD CG AE CG ===∥，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴,AM CN AN CM ∥∥，∴四边形AMCN 是平行四边形；（2）解：连接,,HG AC EF ，∵,H G 为,AD CD 的中点，∴1,2HG AC HG AC =∥，∴HNG CNA ∽，∴12HN HG CN AC ==，∴12ANH ANC S HN S CN == ，同理可得：12FMC AMC S S = ∴()11222ANH FMC ANC AMC AMCN S S S S S +=+== ，∴246AFCH ANH FMC AMCN S S S S =++=+= ，∵12AH AD =，∴212ABCD AFCH S S == ．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29．（2023·上海·统考中考真题）如图，在梯形ABCD 中AD BC ∥，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且(1)求证：DE AF=(2)若ABC CDE ∠=∠，求证：2AF BF CE=⋅【答案】见解析【分析】（1）先根据平行线的性质可得DAE ∠然后根据全等的三角形的性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得AFC ∠=∠得ABF CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】（1）证明：AD BC ，DAE ACF ∴∠=∠，在DAE 和ACF △中，DAE ACF AD CA ADE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA DAE ACF ∴≅ ，DE AF ∴=．（2）证明：DAE ACF ≅ ，AFC DEA ∴∠=∠，180180AFC DEA ∴︒-∠=︒-∠，即AFB CED ∠=∠AFB CED ∠=∠⎧【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。

1．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．2．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．3．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：四边形ABED为矩形；（2）若AB=4，AD3BC4，求CF的长．4．为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？5．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．6．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？7．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．8．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．9．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）．（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＞y2．10．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨以下a0.80超过17吨但不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分 6.00 0.80（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a、b的值；（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？11．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．12．如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝kx(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．13．小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票．如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图．(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数；(2)求小明的综合得分是多少？(3)在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？14．如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．15．在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．(1)如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；(2)如图2，当点A的横坐标为12时，①求点B的坐标；②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．16．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是_________阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．参考答案：1．解：（1）设三角形的第三边为x，∵每个三角形有两条边的长分别为5和7，∴7﹣5＜x＜5+7，∴2＜x＜12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10．（2）∵2＜x＜12，它们的边长均为整数，∴x=3，4，5，6，7，8，9，10，11，∴组中最多有9个三角形，∴n=9；（3）∵当x=4，6，8，10时，该三角形周长为偶数，∴该三角形周长为偶数的概率是．2．解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y=，代入A（1，﹣2）得：﹣2=，解得：m=﹣2，∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0，∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，的对称轴为：直线x=﹣，要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，∴综上所述，k＜0且x＜﹣；（3）由（2）可得：Q（﹣，k），∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB，作AD⊥OC，QC⊥OC，∴OQ==，∵OA==，∴=，解得：k=±．3．（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD。

专题21不等式与不等式组（1）（全国一年）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·广东中考真题）不等式组23112(2)x x x -≥-⎧⎨-≥-+⎩的解集为（ ）A ．无解B ．1x ≤C ．1x ≥-D ．11x -≤≤2．（2020·广西河池中考真题）不等式组1224x x x +>⎧⎨-⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·辽宁朝阳中考真题）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ） A ．8B ．6C ．7D ．94．（2020·辽宁铁岭中考真题）不等式组31231x x +>⎧⎨-≤⎩的整数解的个数是（ ）A ．2B ． 3C ．4D ．55．（2020·黑龙江鹤岗中考真题）已知关于x 的分式方程433x kx x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≤-B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <-6．（2020·内蒙古呼伦贝尔中考真题）满足不等式组()5231131722x x x x⎧+-⎪⎨-≤-⎪⎩＞的非负整数解的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．（2020·内蒙古赤峰中考真题）不等式组20240x x +>⎧⎨-+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．8．（2020·内蒙古鄂尔多斯中考真题）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）A ．第一班车离入口处的距离y （米）与时间x （分）的解析式为y ＝200x ﹣4000（20≤x≤38）B ．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟C ．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车D ．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）9．（2020·云南中考真题）若整数a 使关于x 的不等式组1112341x xx a x -+⎧≤⎪⎨⎪->+⎩，有且只有45个整数解，且使关于y 的方程2260111y a y y+++=++的解为非正数，则a 的值为（ ）A ．61-或58-B ．61-或59-C ．60-或59-D ．61-或60-或59-10．（2020·江苏宿迁中考真题）若a ＞b ，则下列等式一定成立的是（ ） A ．a ＞b +2B ．a +1＞b +1C ．﹣a ＞﹣bD ．|a |＞|b |11．（2020·辽宁沈阳中考真题）不等式26x ≤的解集是（ ） A ．3x ≤B ．3x ≥C ．3x <D ．3x >12．（2020·云南昆明中考真题）不等式组1031212x x x +>⎧⎪⎨+-⎪⎩，的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2020·四川眉山中考真题）不等式组121452(1)x x x x +≥-⎧⎨+>+⎩的整数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．（2020·四川雅安中考真题）不等式组21x x ≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2020·重庆中考真题）若关于x 的一元一次不等式组()21321? 2x x x a ⎧-≤-⎪⎨->⎪⎩的解集为x ≥5，且关于y的分式方程122+=---y a y y有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．-1B ．-2C ．-3D ．016．（2020·重庆中考真题）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元．小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．217．（2020·吉林长春中考真题）不等式23x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．18．（2020·湖南益阳中考真题）将不等式组201x x +≥⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．19．（2020·海南中考真题）不等式21x -<的解集是（ ） A ．3x <B ．1x <-C ．3x >D ．2x >20．（2020·广西玉林中考真题）把二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象作关于x 轴的对称变换 ，所得图象的解析式为2(1)4y a x a =--+，若()10m a b c -++≤，则m 的最大值为（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．621．（2020·内蒙古中考真题）下列命题正确的是（ ）A ．若分式242x x --的值为0，则x 的值为±2． B ．一个正数的算术平方根一定比这个数小． C ．若0b a >>，则11a ab b ++＞． D ．若2c ≥，则一元二次方程223x x c ++=有实数根．22．（2020·湖北黄石中考真题）不等式组13293x x -<-⎧⎨+≥⎩的解集是（ ）A ．33x -≤<B ．2x >-C ．32x -≤<-D ．3x ≤-23．（2020·四川宜宾中考真题）不等式组20211x x -<⎧⎨--≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．24．（2020·四川宜宾中考真题）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A 型和B 型两种分类垃圾桶，A 型分类垃圾桶500元/个，B 型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种25．（2020·山西中考真题）不等式组26041x x ->⎧⎨-<-⎩的解集是（ ）A ．5x >B ．35x <<C ．5x <D ．5x >-二、解答题26．（2020·西藏中考真题）解不等式组：122(1)6x x +<⎧⎨-⎩并把解集在数轴上表示出来．27．（2020·甘肃金昌中考真题）解不等式组：3512(21)34x x x x -<+⎧⎨--⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．28．（2020·江苏淮安中考真题）解不等式31212x x -->． 解：去分母，得2(21)31x x ->-． ……（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A ”或“B ”） A ．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B ．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．29．（2020·辽宁抚顺中考真题）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元． （1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？30．（2020·江苏苏州中考真题）如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为()a m ，宽为()b m ．（1）当20a =时，求b 的值；（2）受场地条件的限制，a 的取值范围为1826a ≤≤，求b 的取值范围．31．（2020·广西河池中考真题）某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg ；乙店的香蕉价格为5元/kg ，若一次购买6kg 以上，超过6kg 部分的价格打7折．（1）设购买香蕉xkg ，付款金额y 元，分别就两店的付款金额写出y 关于x 的函数解析式； （2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．32．（2020·辽宁铁岭中考真题）某中学为了创设“书香校园”，准备购买,A B 两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A 种书架的单价比B 种书架的单价多20元，用600元购买A 种书架的个数与用480元购买B 种书架的个数相同．（1）求,A B 两种书架的单价各是多少元？（2）学校准备购买,A B 两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A 种书架？33．（2020·江苏泰州中考真题）（1）计算：11()602π-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭（2）解不等式组：311442x x x x -≥+⎧⎨+<-⎩34．（2020·黑龙江鹤岗中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克，求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．35．（2020·内蒙古赤峰中考真题）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米（2）我市计划修建长度为3600 m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0. 5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天36．（2020·江苏镇江中考真题）（1）解方程：23xx+＝13x++1；（2）解不等式组：427 3(2)4x xx x+>-⎧⎨-<+⎩37．（2020·内蒙古鄂尔多斯中考真题）（1）解不等式组3(1)52(1)237(2)22x xxx-<+⎧⎪⎨--⎪⎩，并求出该不等式组的最小整数解．（2）先化简，再求值：（2211-211aa a a--+-）÷22a a-，其中a满足a2+2a﹣15＝0．38．（2020·云南中考真题）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．39．（2020·四川绵阳中考真题）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．（1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y 关于x的函数解析式；（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？40．（2020·江苏南通中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．41．（2020·辽宁营口中考真题）先化简，再求值：（41xx--﹣x）÷21xx--，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．42．（2020·山东烟台中考真题）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这1000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？43．（2020·黑龙江大庆中考真题）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．44．（2020·四川雅安中考真题）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）45．（2020·山东威海中考真题）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来423(1)5132x x x x -≥-⎧⎪⎨-+>-⎪⎩46．（2020·湖南永州中考真题）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？47．（2020·湖北荆州中考真题）为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A 地240吨，B 地260吨，运费如下：（单位：吨）（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费降低m元，（0m15<≤且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．48．（2020·湖北荆州中考真题）先化简，再求值2211121aa a a-⎛⎫-÷⎪++⎝⎭：其中a是不等式组22213a aa a-≥-⎧⎨-<+⎩①②的最小整数解；49．（2020·宁夏中考真题）解不等式组：53(1)?21511?32x xx x--⎧⎪⎨-+-<⎪⎩①②50．（2020·宁夏中考真题）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据n b定义为[]n b如表2：定义：对于任意正整数m 、n ，其中2m >．若[]n b m =，则22n m b m -+． 如：[]4175b =表示417521752b -+，即4173177b ．（1）通过观察表2，猜想出n a 与序号n 之间的关系式，[]n b 与序号n 之间的关系式； （2）用含n a 的代数式表示[]n b ；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？51．（2020·宁夏中考真题）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元． （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？52．（2020·贵州毕节中考真题）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．（1）每个甲种书柜的进价是多少元？（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？53．（2020·内蒙古呼和浩特中考真题）（1）计算：22|1|3-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组：41713142x xx m->-⎧⎪⎨-<-⎪⎩．54．（2020·湖南郴州中考真题）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨（2）现在计划安排,A B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排,A B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案55．（2020·广东广州中考真题）解不等式组：212541 x xx x-+⎧⎨+<-⎩．56．（2020·广东深圳中考真题）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？57．（2020·内蒙古通辽中考真题）某服装专卖店计划购进,A B 两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B 型服装共需4600元；1件A 型服装和2件B 型服装共需2800元． （1）求,A B 型服装的单价；（2）专卖店要购进,A B 两种型号服装60件，其中A 型件数不少于B 型件数的2倍，如果B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？58．（2020·内蒙古通辽中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定23m n m n mn n =--※，如：2121212326=⨯-⨯-⨯=-※．（1）求()2-（2）若36m ≥-※，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．59．（2020·黑龙江穆棱朝鲜族学校中考真题）某商场准备购进A 、B 两种型号电脑，每台A 型号电脑进价比每台B 型号电脑多500元，用40 000元购进A 型号电脑的数量与用30 000元购进B 型号电脑的数量相同，请解答下列问题：（1）A ，B 型号电脑每台进价各是多少元？（2）若每台A 型号电脑售价为2 500元，每台B 型号电脑售价为1 800元，商场决定同时购进A ，B 两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润y (单位：元)与A 型号电脑x （单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36 000元购进A ，B 两种型号电脑，A 型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？ （3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A ，B 两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A ，B 型号电脑总数最多是多少台．60．（2020·湖南娄底中考真题）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元瓶，84消毒液的价格是15元瓶． 求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？61．（2020·陕西中考真题）解不等式组：362(5)4x x >⎧⎨->⎩62．（2020·江苏盐城中考真题）解不等式组：21134532x x x -⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩．63．（2020·湖北省直辖县级单位中考真题）（1）先化简，再求值：22244422a a a a a a-+-÷-，其中1a =-． （2）解不等式组32235733x x x x +>-⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．三、填空题64．（2020·四川攀枝花中考真题）世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有________人进公园，买40张门反而合算．65．（2020·湖南湘西中考真题）不等式组13121xx ⎧-⎪⎨⎪+≥-⎩的解集为______________．66．（2020·辽宁大连中考真题）不等式5131x x +>-的解集是______．67．（2020·辽宁鞍山中考真题）不等式组21321x x -≤⎧⎨-<⎩的解集为________．68．（2020·黑龙江鹤岗中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1020x x a ->⎧⎨->⎩的解是1x >，则a 的取值范围是_______．69．（2020·山东滨州中考真题）若关于x 的不等式组12420x a x ⎧->⎪⎨⎪-≥⎩无解，则a 的取值范围为________．70．（2020·四川绵阳中考真题）若不等式52x +＞﹣x ﹣72的解都能使不等式（m ﹣6）x ＜2m +1成立，则实数m 的取值范围是_______．71．（2020·四川绵阳中考真题）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是_____万元．（利润＝销售额﹣种植成本） 72．（2020·江苏宿迁中考真题）不等式组120x x >⎧⎨+>⎩的解集是_____．73．（2020·四川凉山中考真题）关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，则a 的取值范围是________________.74．（2020·广西中考真题）如图，数轴上所表示的x 的取值范围为_____．75．（2020·吉林中考真题）不等式317x +>的解集为_______．76．（2020·宁夏中考真题）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： （1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； （3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为_____．77．（2020·宁夏中考真题）若二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_____．78．（2020·贵州毕节中考真题）不等式362x x -<-的解集是_______．79．（2020·青海中考真题）分解因式：2222ax ay-+=________；不等式组24030xx-⎧⎨-+>⎩的整数解为________．。

押中考数学第21-22题（解答题中档题：锐角三角函数、反比例和一次函数综合）专题诠释：实数、整式与三视图是中考必考题型。

在历年的中考中，主要以选择题的形式出现，内容较为简单，因此是中考数学中必须做对的题型。

考法上上主要以识记和理解的考察为主，区分不同的定义和运算规律，练出手感，保证全对！知识点一：锐角三角函数〖押题冲关〗1．（2023·山东济宁·统考二模）酒驾猛于虎，但很多人不以为是，为了加强人们对酒驾危害的认识，交警部门加大了对酒驾的检查力度，某市交警在2023年2月28日这天对本市各大主要交通路口进行车辆检查，如图，AC是该市解放路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，与解放路AC的交叉路口分别是A，B，C．已知出警点D位于点A的北偏东45∘方向、点B的北偏东30∘方向上，BD=2km，∠DBC=30∘．(1)求A、B的距离；(2)第一组交警负责路口A，求该组从出警点D到路口A的路程（行驶路线为D−C−B−A）．（结果保留根号）2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）小军与小明放学后看见楼前的小广场上有一架无人机正在定点拍摄小区全景，此时如图所示，小军在一楼B处测得无人机C的仰角∠CBE=60°，在楼顶A处的小明测得无人机C的仰角∠CAD=28°，他们所在的楼高约为120米，求此时无人机C离地面BE的高度．（参考数据：√3≈1.73，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）(1)求点B到点C之间的距离（结果保留根号）；5．（2023·浙江绍兴·统考一模）某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块固定于水平木板OM上，OB=50cm，将木板OM绕一端点O旋转40°至OM′（即∠MOM′=40°）（如图为该操作的截面示意图）．(1)求点C到C′竖直方向上升高度（即过点C，C′水平线之间的距离）；(2)求点D到D′竖直方向上升高度（即过点D，D′水平线之间的距离）．（参考数据：sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84，（1）（2）题中结果精确到个位）6．（2023·河南新乡·统考二模）图1是一款摆臂遮阳篷的实物图，图2是其侧面示意图．如图2，点A，O为墙壁上的固定点，AO=1.5m，摆臂OB可绕点O旋转，旋转过程中遮阳篷AB可自由伸缩，篷面始终保持平整，当摆臂OB与墙壁垂直时，身高为1.65m的同学（MN=1.65m）站在遮阳篷下距离墙角1.2m（EN=1.2m）处，刚好不被阳光照射到，测得此时AB与摆臂OB的夹角∠ABO=45°，光线与水平地面EF的夹角∠BNF=71°，求AE的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90，√2≈1.41）7．（2023·四川成都·统考二模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD=6米，坡面BC的倾斜角∠CBD=45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD=30°．若新坡面底端A处与建筑物NM之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0．1米；参考数据：√2≈1.14，√3≈1.73）8．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在坡角α为30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为18米，求大树AB的高．（结果精确到0.1米，√2≈1.414，√3≈1.732）9．（2023·四川成都·统考二模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的东偏北60°方向上，沿正东方向行走60米至观测点D，测得B在D的西偏北30°方向上，A在D的西偏北69°方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23，√3≈1.73）10．（2023·安徽滁州·统考二模）某学校数学活动小组决定利用所学的解直角三角形知识测量校园内一棵树AB的高度．如图，他们在地面上C处测得树顶A的仰角为30°，再往树的方向前进20m至D处，测得仰角为60°，点C，D，B在同一直线上，求树高AB．（身高忽略不计，结果保留根号）知识点二：反比例和一次函数综合模块二〖押题冲关〗(1)求一次函数的表达式：(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(1)求m，n的值及反比例函数的解析式；(1)求直线和双曲线的解析式及点B的坐标；(1)求m的值；(1)求k的值；(2)求△ODE的面积．(x<0)上，点B在x轴上．将7．（2023·四川南充·统考二模）如图，点A(m,1)在双曲线y=kx线段AB平移到CD，点C仍在双曲线上，点D在y轴上，OB=2OD=2．(1)求m和k的值；(2)直线AC与x轴交于E，与y轴交于F．求证：OE=2OF．8．（2023·河南洛阳·东方二中校考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的的图象的两个交点为A(−1,3)和B．图象与反比例函数y=k2x(1)求反比例函数的关系式；=2；(2)若一次函数y=k1x+b与x轴交于点C，且ABBC①求出k1与b的值；的解集为__________；②直接写出不等式k1x+b>k2x(3)若点F是直线OA上一点，F点的横坐标为m，连接AF，BF，△ABF的面积记为S，当S=2时，请直接写出m值__________．9．（2023·江苏苏州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与反比例函的图象交于A、B两点，已知A(1，3m−4)，B(m，1)．数y2=k2x(1)求k1与k2的值；(2)直线DE在直线AB的下方且与AB平行，与x轴、y轴分别交于点D、E，点P是直线AB上的一动点，当△PDE的面积为1时，求直线DE的解析式．0．（2023·河南安阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+2(k≠0)的(x>0)的图象交于点A(a，3)，与x轴交于点B(−4，0)，与y轴交图象与反比例函数y=mx于点C．求：(1)k，m的值；(2)直线OP过原点，交反比例函数于点P，且OP∥AB，△PAC的面积．。

[机密]2024年6月13日11:00前重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2bx a =-．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 下列各数中最小的数是（ ）A 1- B. 0 C. 1 D. 22. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）A.B. C. D. 3. 反比例函数10y x =-的图象一定经过的点是（ ）A. ()1,10 B. ()2,5- C. ()2,5 D. ()2,84. 如图，AB CD ∥，若1125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A 35︒ B. 45︒ C. 55︒ D. 125︒..5. 若两个相似三角形相似比为1:4，则这两个三角形面积的比是（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:166.+的值应在（ ）A. 8和9之间B. 9和10之间C. 10和11之间D. 11和12之间7. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）A. 20B. 21C. 23D. 268. 如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，连接BD ，CD ．若28D ∠=︒，则OAB ∠的度数为（ ）A. 28︒B. 34︒C. 56︒D. 62︒9. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接AE ，AF ，AM 平分EAF ∠．交CD 于点M ．若1BE DF ==，则DM 的长度为（ ）A. 2B.C. D. 125的10. 已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++ ，其中10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11. 计算：023-+=______．12. 甲、乙两人分别从A 、B 、C 三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为________．13. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.14. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，根据题意，可列方程为________．15. 如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ．若2BC =，则AD 的长度为________．16. 若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是________．17. 如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，点B 为切点．连接AC 交O 于点D ，点E 是O 上一点，连接BE ，DE ，过点A 作AF BE ∥交BD 的延长线于点F ．若5BC =，3CD =，F ADE ∠=∠，则AB 的长度是________；DF 的长度是________．18. 一个各数位均不为0的四位自然数M abcd =，若满足9a d b c +=+=，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵18279+=+=，∴1278是“友谊数”．若abcd 是一个“友谊数”，且1b a c b -=-=，则这个数为________；若M abcd =是一个“友谊数”，设()9M F M =，且()13F M ab cd ++是整数，则满足条件的M 的最大值是________．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19. 计算：（1）()()()312a a a a -+-+；（2）22241244x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭．20. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x 表示，共分三组：A ．90100x ≤≤，B ．8090x ≤<，C ．7080x ≤<），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生竞赛成绩在B 组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均中位众的数数数七年级8687b 八年级86a 90根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a ________，b =________，m =________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”()90x ≥的总共有多少人？21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形ABCD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF 经过对角线AC 的中点O ，且EF AC ⊥．求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴①，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴②．∴CFO AEO ≅△△（AAS ）．∴③．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．22. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A 、B 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A 、B 两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A 种外墙漆每千克的价格比B 种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求A 、B 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？23. 如图，在ABC 中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．（1）请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）24. 如图，A ，B ，C ，D 分别是某公园四个景点，B 在A 的正东方向，D 在A 的正北方向，且在C 的北偏西60︒方向，C 在A 的北偏东30︒方向，且在B 的北偏西15︒方向，2AB =千米． 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）（1）求BC 的长度（结果精确到0.1千米）；（2）甲、乙两人从景点D 出发去景点B ，甲选择的路线为：D C B --，乙选择的路线为：D A B --．请计算说明谁选择的路线较近？25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴是直线52x =．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PD x ∥轴交抛物线于点D ，作PE BC ⊥于点E ，求PD +的最大值及此时点P 的坐标；（3）将抛物线沿射线BC PD +取得最大值的条件下，点F 为点P 平移后的对应点，连接AF 交y 轴于点M ，点N 为平移后的抛物线上一点，若45NMF ABC ∠-∠=︒，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．26. 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点B 作BD AC ∥．（1）如图1，若点D 在点B 的左侧，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥交BC 于点E ．若点E 是BC 的中点，求证：2AC BD =；（2）如图2，若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，连接CF ．过点F 作FM BG ⊥交AB 于点M ，CN 平分ACB ∠交BG 于点N ，求证：AM CN =；（3）若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，且AF AC =．点P 是直线AC 上一动点，连接FP ，将FP 绕点F 逆时针旋转60︒得到FQ ，连接BQ ，点R 是直线AD 上一动点，连接BR ，QR ．在点P 的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将BQR 沿直线QR 翻折得到TQR △，连接FT ．在点R 的运动过程中，直接写出FT CP 的最大值．[机密]2024年6月13日11:00前重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a=-．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】D二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．【11题答案】【答案】3【12题答案】【答案】13【13题答案】【答案】8【14题答案】【答案】()22001401x +=【15题答案】【答案】2【16题答案】【答案】12【17题答案】【答案】 ①. 203##263②. 83##223【18题答案】【答案】 ①. 3456 ②. 6273三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．【19题答案】【答案】（1）42a -试题11（2）2xx +【20题答案】【答案】（1）88；87；40（2）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析（3）310人【21题答案】【答案】（1）见解析 （2）①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【22题答案】【答案】（1）A 种外墙漆每千克的价格为26元，则B 种外墙漆每千克的价格为24元． （2）甲每小时粉刷外墙面积是25平方米．【23题答案】【答案】（1）()()124606063y x x y x x=<≤=<≤， （2）函数图象见解析，1y 随x 增大而增大，2y 随x 增大而减小（3）2.26x <≤【24题答案】【答案】（1）2.5千米（2）甲选择的路线较近【25题答案】【答案】（1）215322y x x =-- （2）PD PE 最大值为152；()5,3P -； （3）4N ⎝或1⎛+ ⎝⎭【26题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3的。

2021重庆年中考25题二次函数综合专题（2）1（巴蜀2021级初三上第一次月考）如图，在平面直角坐标系抛物线22y x x c =--+（c 为常数）与一次函数y x b =-+（b 为常数）交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0）求B 点坐标；点P 为直线AB 上方抛物线上一点，连接PA,PB ，当1258PABS=时，求点P 的坐标;将抛物线22y x x c =--+（c 为常数）沿射线AB 平移1y 与原抛物线22y x x c =--+相交于点E ，点F 为抛物线1y 的顶点，点M 为y 轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N ，使得以点E,F,M,N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

2（重庆一外2021级九上第一次月考）已知，如图直线1l 与直线2l 分别于x 轴交于点A,BA 已知OB=2OA ，1l ，2l 交于第一象限的点C （，且△ABC 是等边三角形；求直线1l 与直线2l 的解析式；点D 是线段AB 上的一动点，过点D 作DE//AC 交BC 于E ，连接DC ，当△CDE 的面积最大时，求点D 的坐标；取在（2）中△CDE 的面积最大时的点D ，在直线1l 与直线2l 上取点M 、N ，以点D 、M 、N 为顶点构成的△DMN 能否构成等腰直角三角形，若能，求求出点M 的坐标，若不能，请说明理由。

3（重庆育才2021级九上第二次定时训练）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A,B 两点，其中A （-3，-4）B(0,-1) 求该抛物线的函数表达式；点P 为直线AB 下方抛物线上任意一点，连接PA ，PB ，求△PAB 面积的最大值；将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为直线AB 上的一点，在y 轴左侧原抛物线上是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在请说明理由.4（重庆南开2021级九上阶段测试二）如图，抛物线21322y x x =-++与坐标轴分别交于点A 、B 、C 三点，D 是抛物线的顶点，连接BC 、BD ； 求点D 的坐标及直线BC 的解析式；点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，E 为BD 上一动点，当△PBC 面积2716时，求点P 的坐标，并求出此时PE BE +的最小值； 在（2）的条件下，延长PE 交x 轴于点F ，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使得△PFQ 为直角三角形？若存在请直接写出Q 的坐标，若不存在请说明理由。

2021年重庆年中考21题数据统计分析专题练习（重庆一中试题集）1（一中2021级初三上入学测试）重庆一中非常重视学生的综合文化素质培养，现随机抽取部分初中学生进行文学基本知识考核，综合评定成绩为x 分，满分为100分，规定：85100x ≤≤为A 级：7585x ≤<为B 级：6075x ≤<为C 级；60x <为D 级．并将成绩整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；A 级人数占本次抽取人数的百分比为；（2）D 级的四名同学有两人来自同一班级，现准备从D 级的四名同学中任选两人了解体育锻炼的情况，请通过列表或画树状图求所选的两人中来自同一班级的概率．2（一中2021级初三上国庆作业一）目前微信、支付宝、共享单车和网购等给我们的生活带来了很多便利，某数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.(1)根据图中信息求出m ，n= ，并补全两个统计图；(2)根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物；(3)已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”. 从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率.3（一中2020级初三下押题卷）某中学部分同学参加全国初中数学竞赛，取得了优异的成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都是整数，试题满分120分），并且绘制了“频率分布直方图”（如图）．请回答：（1）该中学参加本次数学竞赛的有多少名同学？（2）如果成绩在90分以上（含90分）的同学获奖，那么该中学参赛同学的获奖率是多少？（3）这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内？（4）图中还提供了其它信息，例如该中学没有获得满分的同学等等，请再写出两条信息．4（一中2020级初三下数学一模试卷）重庆一中各校区的中考体育学科考试在四月中旬圆满结束，在长期备战体考的过程中，学生的身体素质也在悄然发生变化．某体能测试机构将我校初三学生在体育测试中的成绩转换成弹跳力和臂力两项指标（百分制）作为体能测试成绩，并根据数据分析研究如何进一步提高学生的身体素质．数据收集该机构计划选取100名学生的体能测试成绩作为样本，提供了以下三种抽样调查方法：A．抽取初三年级皇冠校区的100名学生的体能测试成绩组成样本B．抽取全年级体育成绩较好的学生共100名学生的体能测试成绩组成样本C．从全年级中随机选取男、女各50名学生的体能测试成绩组成样本数据整理与描述a．数据分成5组：90≤x≤100，80≤x＜90，70≤x＜80，60≤x＜70，50≤x＜60，其中90分以上为优秀．弹跳力成绩统计表和臂力成绩频数分布直方图如下：弹跳力成绩划记人数90≤x≤100p80≤x＜90正正正正正正丅3770≤x＜80正正正正正2360≤x＜70正一650≤x＜60正5合计100100（弹跳力成绩统计表）b．臂力成绩在70≤x＜80这一组的具体分数如下：70 71 71 71.5 72 73 73.5 74 74 7474.5 74.5 75 75.5 75.5 76 76 77 78 79c．弹跳力和臂力两项指标成绩的平均数、中位数、众数、优秀率统计如下：体能指标平均数（分）中位数（分）众数（分）优秀率弹跳力82.58983m臂力77n8121%数据分析根据以上信息，回答下列问题：（1）上述三种抽样方法中，你认为最合理的是（填字母）；（2）补全臂力成绩频数分布直方图，并整理数据得，m＝，n＝；（3）在此次测试中，某学生的弹跳力成绩为87分，臂力成绩为78分，这名学生成绩排名更靠前的指标是（填“弹跳力”或“臂力”），理由是．5（一中2020级初三下假期作业补充）意外创伤随时可能发生，急救是否及时、妥善，直接关系到病人的安危．为普及急救科普知识，提高学生的急救意识与现场急救能力，某校开展了急救知识进校园培训活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的培训效果，该校举行了相关的急救知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的急救知识竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，72，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40 ≤ x ≤ 4950 ≤ x ≤ 5960 ≤ x ≤ 6970 ≤ x ≤ 7980 ≤ x ≤ 8990 ≤ x ≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a ，b ，c ；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在80分及以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对急救知识掌握的总体水平较好，请说明理由．6（一中2020级初三下第二次模拟）《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基金，品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵，自开播以来深受广大师生的喜爱。

专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1)PA MA NA —=—=—=k.PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: A B =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动，点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB 的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得OP 2=0B -OC即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j.... ＿3一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B =3, OM=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，A M ＝拓夼言夼＝幸2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2.9 4.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,44点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段固弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－-x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.．点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,B M,则OE'=2, OC = 3, OM =-:: 43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. BE'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM＝豆二尸三3)32 4而：．当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B 作BF 上BC 交抛物线的对称轴千点F,以点C 为圆心，2为半径作(,C'点Q 为C上的五一个动点，求－－B Q+FQ的最小值．42如图），抛物线）1＝成＋（a+3)..I,＋3(a'1'0)与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B,;{:丘轴上有一动点E(m,O )(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB千点N,交抛物线于点P,过点P作PM上AB千点M.y yxX图l(I)求a的值和且线AB的函数表达式：图2C. 6(2)设t:.PMN的周长为C,,t:.A EN的周长为C“若-=－求m的值C 5(3)如图2,在（2)的条件下，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE',旋转角为a (0°<a<90勺，连按E'A 、EB，求E'A＋二E＇B的最小值．33.(20l9山东中考真题）如图I,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B图1图2(l)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2,若P点是半径为2的0B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+�PA的2值最小，请求出这个最小值，并说明理由．4.(2018广西柳州中考真题）如图，抛物线y= a.x2 +bx+c圭卢轴交千A(.J3,0), 8两点（点8在点A的左侧），与Y轴交于点C,且08=30A=./3oc'LO A C的平分线AD交Y轴于点D,过点A且垂直于AD的均线［交Y轴于点E,点P是X轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF..l.x轴，垂足为F,交直线AD千点H.(l)求抛物线的解析式：(2)设点P的横坐标为111,当FH=HP时，求1/1.的值：I(3)当归线P F为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，－H C为半径作1)H,点Q为o H上的一个动点，求2l�AQ+EQ的最小值4x专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1) PA MA NA —=—=—=k .PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: AB =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求．A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得O P 2=0B -O C 即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B=3, O M=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，AM ＝拓千言夼＝孛2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2. 94.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,4 4点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段圆弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－－x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,BM,则OE'=2,OC=3, OM=-::43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM ＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. B E'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM ＝芦言尸＝玉3 J3 2 4而：当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B作BF上BC交抛物线的对称轴千点F,以点C为圆心，2为半径作(,C'点Q为C上的五一个动点，求－－B Q+F Q的最小值．4【答案】(I)y=入.2-3x-4(2)P{l,6)或(3,4)(3)扫3【分析】(I)根据点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=－．待定系数法求二次函数解析式即可，2(2)先求得直线BC解析式，设P(m,m2-3m-4)，则Q(m m-4)，过点P作PQ轴交直线BC千点Q,根据S四边彤A BPC= s AOC +S如，等干16建立方程，解一元二次方程即可求得Ill的值，然后求得P的坐标，五(3)在CB上取CE=－－，过点E作EG J_OC，构造CQE V>.C BQ，则当F,Q E三点共线时，取得最小值，最小值为FE,勾股定理解直角三形即可．【详解】（I)解：？抛物线y＝矿＋bx-4与X轴交于A、B两点，与Y轴交于点C,点A的坐标为-l,O),抛物线的对称轴是宜线x=－，3:. C(O,--4)，， 4 ， 。

数字为载体的阅读理解题一．解答题（共40小题）1．（2018•南岸区模拟）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2．（2018春•沙坪坝区校级期中）对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”．对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为F（n）．例如：n=1526，因为1+6=2+5，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：152+526+261+615=1554，1154÷222=7，所以F（1526）=7．（1）写出最小和最大的“平衡数”n，并求出对应的F（n）的值；（2）若s，t都是“平衡数”，其中s=10x+y+3201，t=1000m+10n+126（0≤x≤9，0≤y≤8，1≤m≤9，0≤n≤7，x，y，m，n都是整数），规定：k=，当F（s）+F（t）是一个完全平方数时，求k的最大值．3．（2018•南岸区模拟）材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14+15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）=，并求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（2）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．4．（2018•重庆模拟）先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．5．（2017•沙坪坝区校级一模）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．6．（2017秋•渝中区月考）将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列（含n本身）后，得到新的三位数（a＜c），在所有重新排列大的数中，当|a+c ﹣2b|最小时，我们称是n的“天时数”，并规定F（n）=b2﹣ac．当|a+c﹣2b|最大时，我们称是n的“地利数”，并规定G（n）=ac﹣b2．并规定M（n）=是n的“人和数”，例如：215可以重新排列为125，152，215，因为|1+5﹣2×2|=2，|1+2﹣2×5|=7，|2+5﹣2×1|=5，且2＜5＜7，所以125是215的“天时数”F（215）=22﹣1×5=﹣1，152是215的“地利数”，G（215）=1×2﹣52=﹣23，M（215）=．（1）计算：F（168），G（168）；（2）设三位自然数s=100x+50+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为正整数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到t，若s﹣t=693，那么我们称s为“厚积薄发数”；请求出所有“厚积薄发数”中M（s）的最大值．7．（2018•长寿区模拟）对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数（a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c﹣2b|最小时，称此时的为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=﹣1．（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N 整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．8．（2018•重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x 和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．9．（2018春•沙坪坝区期末）我们知道，任意一个正整数a都可以进行这样的分解：a=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在a的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是a的最佳分解．并规定：F（a）=．例如：12可以分解成1×12，2×6，3×4，因为|1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）求F（18）﹣F（16）；（2）若正整数p是4的倍数，我们称正整数p为“四季数”．如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x＜y≤9，x，y为自然数），交换个位上的数字与十位上的数字得到的新两位正整数减去原来的两位正整数所得的差为“四季数”，那么我们称这个数t为“有缘数”，求所有“有缘数”中F（t）的最小值．10．（2017春•巫溪县校级月考）一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可以与m相同），记m'=，在m’所有的可能情况中，当|a+2b﹣c|最小时，我们称此时的m’是m的“幸福美满数”，并规定K（m）=a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3+2×1﹣8|=3，|3+2×8﹣1|=18，|8+2×1﹣3|=7，|1+2×3﹣8|=1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美满数”．K（318）=12+2×32﹣82=﹣45．（1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n≤9．n为自然数），个位上的数字为0，求证：K（t）=0；（2）设三位自然数s=100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位上的数字得到新数s'，若19s+8s'=3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K（s）的最大值．11．（2018春•九龙坡区校级期中）如果一个多位自然数能被l7整除，那么将这个多位自然数分解为末三位与末三位之前的数，用末三位数减去末三位之前的数的3倍，所得的差一定能被17整除，反之也成立．（1）利用上述规律判断并填空：3074（填“能”或“不能”）被17整除，36125（填“能”或“不能”）被17整除；（2）证明：任意一个多位自然数末三位数减去末三位之前的数的3倍，如果所得的差能被17整除，那么这个多位数一定能被17整除．（3）对于一个两位自然数t，规定F（t）=（其中a，b分别是这个两位数的十位数字和个位数字）例如：F（23）=．已知一个五位自然数，其末三位数表示为，前两位数n=10（x+2）+（y+1）（其中1≤x≤7，1≤y ≤8且均为整数）．若交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后，所得的新五位自然数能被17整除．求F（n）的最大值．12．（2016秋•沙坪坝区校级期末）阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t两加数之差的绝对值最小，称s+r为m 的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）=，F（9）=：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q 为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．13．（2017春•涪陵区期末）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．14．（2018春•北碚区校级月考）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”．（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由．（2）证明：当一个“伯伯数”是“公主数”时，则z=2x．（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”．15．（2017•江北区校级模拟）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p×q （p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F（n）=．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4，所以4×6是24的最佳分解，所以F（24）=．（1）求F（18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F（t）的最大值．16．（2017春•渝中区校级月考）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4=3+1，2=3﹣1，所以4312是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．17．对于一个三位正整数m各数位上的数字重新排序后得到新数（a≥b且a，b，c均不为零且可以与m相同），当所有重新排列中最小时，则称为m的“倍约数”，并规定F（m）=c2﹣（a+b）2，其中[a，b]表示a，b 的最小公倍数，（a，c）表示a，c的最大公约数，如：m=324时，重新排列432、423重，因为==6，==4，且4＜6，所以423是m=324的“倍约数”，此时F（m）=32﹣（4+2）2=﹣27，若m=522，重新排列522，225，因为==10，==2，且2＜10，所以225是m=522的“倍约数”，此时F（m）=52﹣（2+2）2=9．根据以上阅读材料，解决下列问题．（1）若三位正整数m能被19整除，且m百位上的数字比个位数上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字小2，求证：F（m）是一个完全平方数．（2）已知三位正整数m，n均小于300的完全平方数，且m﹣n=p（p为质数），当m最大时，求F（m）的值．18．（2018春•汉阳区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“差异数”，将一个“差异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算F（243）；（2）若一个“差异数”表示为，（其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为正整数），则求证：F（）=a+b+c；（3）若s，t都是“差异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，直接写出k的最大值．19．（2017•沙坪坝区校级三模）若一个三位数t=（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T（t）．例如，357的差数T（357）=753﹣357=396．（1）已知一个三位数（其中a＞b＞1）的差数T（）=792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数；（2）若一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数被4除余1，再将新数个位数字移到百位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612=4×153，261=4×65+1，126=4×31+2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T（t）的最大值．20．（2017秋•埇桥区月考）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（143），F（624）；（2）若m是“相异数”，m的百位上的数字为7，十位上的数字比个位上的数字多3，且F（m）=22，“相异数”m是多少？（3）若s，t都是“相异数”，其中s=100a+35，t=160+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是正整数），当F（s）+F（t）=22时，求a+b的值．21．（2018春•沙坪坝区校级期末）已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3=2+1，∴321是“和数”，∵3=22﹣12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是，最大的和谐数是；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知m=10b+3c+817（0≤b≤7，1≤c≤4，且b，c均为整数）是一个“和数”，请求出所有m．22．（2018•重庆模拟）根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．23．（2016秋•渝中区校级期末）任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A=2016，B=6102，则A和B就是一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261，它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和．（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；（2）已知一个四位正整数（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0≤y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系．24．（2018秋•沙坪坝区校级月考）若一个四位自然数n满足千位与个位相同，百位与十位相同，我们称这个数为“天平数”．将“天平数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“天平数”n′，记F（n）=，例如n=2112，n′=1221，F（2112）==9（1）计算F（5335）=；若“天平数”n满足F（n）是一个完全平方数，求F（n）的值；（2）s、t“天平数“，其中s=，t=（1≤b＜a≤9，1≤x＜y≤9且a，b，xy为整数），若F（s）能被8整除，且F（s）+F（t）﹣9（y+1）=0，规定：K （s，t）=，求K（s，t）的所有结果的值．25．（2017秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357=26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．26．（2017•沙坪坝区校级模拟）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．27．（2017秋•沙坪坝区校级期末）一个三位自然数是s，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0的新三位自然数s′（s′可以与s相同），设s′=，在s′所有的可能情况中，当|x+3y﹣z|最大时，我们称此时的s′是s的“梦想数”，并规定P（s）=x2+3y2﹣z2．例如127按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为|2+3﹣7|=2，|1+21﹣2|=20，|7+6﹣1|=12，2＜12＜20，所以172是172的“梦想数”，此时，P（127）=12+3×72﹣22=144．（1）求512的“梦想数”及P（512）的值；（2）设三位自然数S=交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若29s+7s′=4887，且P（s）能被7整除，求s的值．28．（2018•重庆）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．29．（2018春•沙坪坝区校级期末）若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'，并记F（k）=+1．（1）最大的四位“言唯一数”是，最小的三位“言唯一数”是；（2）证明：对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'能被11整除；（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y 均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．30．（2017春•开州区期末）阅读下列材料，解决后面两个问题．如果一个四位数的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，则称这个四位数为“四位友谊数”．如2112，5225，7667，…等都是“四位友谊数”．如果将一个“四位友谊数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“四位友谊数的姊妹数”，如果“四位友谊数”的百位数字是0，则交换位置后保留首位的“0”，即它的姊妹数就是首位为“0”的四位数，如2112的对应数为1221，5225的对应数为2552，1001的对应数为0110．（1）任意写一个“四位友谊数”及它的“姊妹数”；猜想任意一个“四位友谊数”与它的“姊妹数”的差是否都能被11整除？并说明理由．（2）一个“四位友谊数”的千位数字为a（1≤a≤9），百位数字为b（0≤b≤9，b ＜a）．若这个“四位友谊数”与它的姊妹数的差能被486整除，求这个四位友谊数．31．（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．32．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．33．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．34．（2018•沙坪坝区校级一模）对于两个两位数m和n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（m，n）．例如：当m=36，n=10时，将m 十位上的3放置n中1与0之间，将m个位上的6位置于n中0的右边，得到1306．将n十位上的1放置于m中3和6之间，将n个位上的0放置于m 中6的右边，得到3160．这两个新四位数的和为1306+3160=4466，4466÷11=406，所以F（36，10）=406．（1）计算：F（20，18）（2）若a=10+x，b=10y+8（0≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是自然数）．当150F（a，36）+F（b，49）=62767时，求F（5a，b）的最大值．35．（2018春•渝北区期末）对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（p，q）．例如：当p=23，q=15时，将p十位上的2放置于q中1与5之间，将p个位上的3位置于q中5的右边，得到1253．将q十位上的1放置于p中2和3之间，将q个位上的5放置于p中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135=3388，3388÷11=308，所以F （23，15）=308．（1）计算：F （13，26）；（2）若a=10+m，b=10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均为自然数）．当150F （a，18）+F（b，26）=32761时，求m+n的值．36．阅读材料：若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”．如1005、2211等都是欢喜数．若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数．一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．根据上面的材料，回答下列问题．（1）证明所有的三位“半和数”均能被11整除；（2）若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m 的值．37．（2017秋•南岸区校级期中）对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）=；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．38．（2018春•顺义区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字。

2021年重庆年中考22题一元二次方程与不等式实际应用综合专题练习（巴蜀试题集）1（巴蜀2020级初三上自主训练四）2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温．11月，LH地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180m2，单价1.8万元/m2，小三居每套面积120m2，单价1.5万元/m2．（1）LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”后，重庆房市成功稳定并略有回落，为年底清盘促销，LH地产调整了营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调万元（m＞0），将小三居的单价在原有基础上每平方米下调万元，这样大平层的销量较（1）中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与（1）中11月的销售总额相等，求出m的值．2（巴蜀2020级初三下定时训练一）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用16800元购进了一批这种村衫，面市后果然供不应求，商家又用36400元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批村衫是多少件？（2）若两批村衫按相同的标价销售，最后剩下50件按六折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于20%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？3（巴蜀2020级初三下二诊考试）国际油价随着供需关系持续波动，特别是主要产油国的日产量会影响油价的走势，某段时间，某石油输出大国每天石油的日产量约为1200万桶时，石油的国际油价是每桶56美元，每桶成本约为40美元。

据统计，当日产量减少50万桶时，每桶国际油价将会提高7美元，但当每桶价格高于100美元时，石油需求量又会大幅减少，从而严重影响该国的国家经济．(1)若某段时间国际石油的价格是77美元/桶，则该国当日的石油日产量是多少万桶？(2)该国为了实现一天的利润为3.3亿美元．则日产量是多少万桶？4（巴蜀2020级初三下数学自主测试）实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360 万元，购买乙型智能设备花费480 万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140 万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的40%，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的54倍还多10 元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200 元，平均每天可售出350 吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080 元，且保证售价在每吨200 元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？5（巴蜀2020级初三下第三次模拟）“端午节”又称为端阳节、重午节、龙舟节、正阳节、浴兰节等，是中国四大传统节日之一，端午习俗众多，其中吃粽子是端午节的习俗主题之一．某超市5月以50元/盒的进价购进一款粽子1000盒，以100元/盒的售价全部销售完.销售人员根据市场调研预测，该款粽子每盒的售价在5月售价基础上每降价5元，月销量就会相应增加100盒．该超市6月计划购进该款粽子不超过1400盒．（1）根据该超市6月计划，该款粽子6月的售价最少每盒可以定价多少元？（2）实际上，6月该超市购进该款粽子的进价比5月便宜了2m 元，而实际售价在5月基础上降了m 元，已知6月的销售利润比5月增加8%，求m 的值．6（巴蜀2020级初三下模拟考试一）鲜丰水果店计划用12元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售．()1据调查，当该种水果礼盒的售价为14元/盒时，月销量为980盒，每盒售价每增长1元，月销量就相应减少30盒，若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高 于多少元？ ()2在实际销售时，由于天气和运输的原因，每盒水果礼盒的进价提高了25%，而每盒 水果礼盒的售价比()1中最高售价减少了%m ，月销量比()1中最低月销量800盒增加了 %m ，结果该月水果店销售该水果礼盒的利润达到了4000元，求m 的值．7（巴蜀2020级初三上周测）11月份脐橙和柚子进入销售旺季，某大型水果超市的脐橙和柚子这两种水果很受欢迎，脐橙售价12元/千克，柚子售价9元/千克.（1）若第一周脐橙的销量比柚子的销量多200千克，要使这两种水果的销售总额达到6600元，则第一周应该销售脐橙多少千克?（2）若该水果超市第一周按照(1)中脐橙和柚子的销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果.第二周脐橙售价降低了0.05a 元，销量比第一周增加了43a ％.柚子的售价保持不变，销量比第一周增加了15a ％，结果这两种水果第二周的销售总额比第一周增加了35a ％.求a 的值.8（巴蜀2020级初三上入学测试）2019年春节将至，华润商场售卖“经济型”和“豪华型”两种春节大礼包，其中“经济型”礼包售价每盒为150元，“豪华型”礼包售价为每盒200元.（1）已知“经济型”礼包进价为每盒100元，“豪华型”礼包进价为每盒120元，华润商场在今年一月份第一周准备购进两种礼包共200份，若将两种礼包全部销售，要使总利润不低于13600元，求最多购进“经济型”礼包多少份？ （2）为了获得更多利润，根据销售情况和市场分析，该商场第二周决定将“豪华型”的售价下调a 21%，“经济型”的售价保持不变，结果与（1）中获得的最低利润时的销售量相比，“豪华型”礼包的销售量增加2a %，而“经济型”的销售量增加了a %，最终第二周的销售额比第一周销售额增加了a 1516%，求a 的值.9（巴蜀2020级初三上周测四）2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温．11月，LH 地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180m 2，单价1.8万元/m 2，小三居每套面积120m 2，单价1.5万元/m 2．（1）LH 地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”后，重庆房市成功稳定并略有回落，为年底清盘促销，LH 地产调整了营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调万元（m ＞0），将小三居的单价在原有基础上每平方米下调万元，这样大平层的销量较（1）中11月的销量上涨了7m 套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与（1）中11月的销售总额相等，求出m 的值．10（巴蜀2020级九上月考试卷一）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元．（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬．同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分別比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%．这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值．11（重庆巴蜀2020级九上期末试卷）“过雨荷花满院香，沉李浮瓜冰雪凉”，炎热的夏季正是各种水果大量上市的季节，香果园大型水果超市的江安李子和山东烟台的红富士苹果很受消费者的欢迎，苹果售价24元/千克，李子售价16元/千克.（1）若第一周苹果的平均销量比李子的平均销量多200千克，且这两种水果的总销售额为12800元，则第一周销售苹果多少千克？（2）该水果超市第一周按照（1）中苹果和李子的销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周苹果售价降低了1%3a，销量比第一周增加了4%3a，李子的售价保持不变，销量比第一周增加了1%5a，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了3%5a，求a的值.12（重庆巴蜀2020级九上周练一）5G 网络，是最新一代蜂窝移动通信技术，其数据传输速率远高于以前的蜂窝网络，最高可达10G bit / s ，比4G 快100 倍．5G 手机也成为生活、工作不可缺少的移动设备，某电商公司销售两种5G 手机，已知售出5 部A 型手机，3 部B 型手机的销售额为51000 元；售出3 部A 型手机，2 部 B 型手机的销售额为31500 元．（1）求A 型手机和B 型手机的售价分别是多少元；（2）该电商公司在3 月实行“满减促销”活动，活动方案为：单部手机满3000 元减500 元，满5000 元减1500 元（每部手机只能参加最高满减活动），结果3 月A 型手机的销量是B 型手机的13，4 月该电商公司加大促销活动力度，每部A 型手机按照3 月满减后的售价再降13a% ，销量比3 月增加2a% ；每部B 型手机按照满减后的售价再降a% ，销量比3 月销量增加23a% ，结果4 月的销售总额比3 月的销售总额多215a% ，求a 的值．。

重庆中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：B G=D G+CD．在B G上取BH=AB=CD，连EH，显然△ABE与△CDE全等，则∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC又∠BEC=90°=∠BFC，对顶角∠BGE=∠CGF，故∠FBE=∠DCE，所以∠ABE=∠FBE在BF上取BH=AB，连接EH，由BH=AB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，故△ABE与△HBE全等故∠AEB=∠HEB，AE=EH而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°，∠AEB=∠DEC，∠BEC=90°所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED同理，∠DEG=45°=∠HEGEH=AE=ED，EG=EG故△HEG与△FEG全等，所以HG=DG即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BC E的面积；（2）求证：B D=E F+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点EEF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形A BC D的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EF H=∠FH G，求证：HD=B E+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD 外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，A E=B E，且AF⊥A B，连接EF．（1）若EF⊥AF，A F=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是C D的中点，求证：CE=B E﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠A B C=90°，A B=B C，点E是A B上的点，∠E C D=45°，连接ED，过D作D F⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形A B CD的周长．（2）求证：E D=B E+F C．28、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠B E C=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，CBD CDBCBD HDF CDB CBH ∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBD HB=HD∴△CDH ≌△CBH ， ∴∠DCH=∠BCH ， ∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM ⊥AD 于M ，如图， 在Rt △ABC 中，AB=6，sin ∠ACB==，∴AC=10， ∴BC=8，在Rt △CDM 中，∠D=45°， ∴DM=CM=AB=6， ∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G 作GN ⊥AD ，如图，∵∠D=45°，∴△DNG 为等腰直角三角形， ∴DN=GN ，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形A B CD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使M N=BE，∴C N=CE，可证∠N C D=∠DCE，∵CD=CD，∴△D E C≌△D N C，∴E D=EN，∴E D=B E+F C．28、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。

中考数学专题复习《21~23题题型》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．市体育局对甲乙两运动队的某体育项目进行测试两队人数相等测试后统计队员的成绩分别为：7分8分9分10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：甲队成绩统计表成绩7分8分9分10分人数01m7请根据图表信息解答下列问题：(1)填空：α=__________︒m=_________(2)补齐乙队成绩条形统计图(3)①甲队成绩的中位数为_________ 乙队成绩的中位数为___________①分别计算甲乙两队成绩的平均数并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．2．某校在评选“劳动小能手”活动中随机调查了部分学生的周末家务劳动时间根据调查结果将劳动时长划分为A B C D四个组别并绘制成如下不完整统计图表学生周末家务劳动时长分组表组别A B C Dt（小时）0.5t<0.51t≤<1 1.5t≤< 1.5t≥请根据图表中的信息解答下列问题：(1)这次抽样调查共抽取______名学生条形统计图中的=a______ D组所在扇形的圆心角的度数是______(2)已知该校有900名学生根据调查结果请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？(3)班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中随机抽取两名学生参加“我劳动我快乐”的主题演讲活动 请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．3..如图 ABC 内接于O AB 是O 的直径 BC BD = DE AC ⊥于点E DE 交BF 于点F 交AB 于点G 2BOD F ∠=∠ 连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线(2)判断DGB 的形状 并说明理由(3)当2BD =时 求FG 的长．4.如图 AB 是O 的直径 点E C 在O 上 点C 是BE 的中点 AE 垂直于过C 点的直线DC 垂足为D AB 的延长线交直线DC 于点F ．(1)求证：DC 是O 的切线(2)若2AE = 1sin 3AFD ∠= ①求O 的半径 ①求线段DE 的长．5.如图 在菱形ABCD 中 对角线,AC BD 相交于点,E O 经过,A D 两点 交对角线AC 于点F 连接OF 交AD 于点G 且AG GD =．(1)求证：AB 是O 的切线(2)已知O 的半径与菱形的边长之比为5:8 求tan ADB ∠的值．6.如图 在O 中 直径AB 垂直弦CD 于点E 连接,,AC AD BC 作CF AD ⊥于点F 交线段OB 于点G （不与点,O B 重合） 连接OF ．(1)若1BE = 求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG = 猜想CAD ∠的度数 并证明你的结论．7. 我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系 用直线上点的位置刻画圆上点的位置 如图 AB 是O 的直径 直线l 是O 的切线 B 为切点．P Q 是圆上两点（不与点A 重合 且在直径AB 的同侧） 分别作射线AP AQ 交直线l 于点C 点D ．(1)如图1 当6AB = BP 的长为π时 求BC 的长．(2)如图2 当34AQ AB = BP PQ =时 求BC CD的值． (3)如图3 当6sin BAQ ∠=BC CD =时 连接BP PQ 直接写出PQ BP 的值．8.如图 一次函数1(0)y kx b k =+≠与函数为2(0)m y x x =>的图象交于1(4,1),,2A B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点． (1)求这两个函数的解析式(2)根据图象 直接写出满足120y y ->时x 的取值范围(3)点P 在线段AB 上 过点P 作x 轴的垂线 垂足为M 交函数2y 的图象于点Q 若POQ △面积为3 求点P 的坐标．9..如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC 是边长为2的正方形．点A C 在坐标轴上．反比例函数()0k y x x=>的图象经过点B ． (1)求反比例函数的表达式(2)点D 在反比例函数图象上 且横坐标大于2 3OBD S =．求直线BD 的函数表达式．10.如图 点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上 点C 是点A 关于y 轴的对称点 OAC 的面积是8． (1)求反比例函数的解析式(2)当点A 的横坐标为2时 过点C 的直线2y x b =+与反比例函数的图象相交于点P 求交点P 的坐标．11.如图 点A 在反比例函数()0k y x x =>的图象上 AB y ⊥轴于点B 1tan 2AOB =∠ 2AB =． (1)求反比例函数的解析式(2)点C 在这个反比例函数图象上 连接AC 并延长交x 轴于点D 且45ADO ∠=︒ 求点C 的坐标．12．如图 一次函数2y x =的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()4,A n ．将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点,B D 为x 轴正半轴上的点 点B 的横坐标大于点D 的横坐标 连接,BD BD 的中点C在反比例函数(0)k y x x =>的图象上． (1)求,n k 的值(2)当m 为何值时 AB OD ⋅的值最大?最大值是多少?13.如图 在平面直角坐标系xOy 中 直线y kx b =+与x 轴交于点()4,0A 与y 轴交于点()0,2B 与反比例函数m y x=在第四象限内的图象交于点()6,C a ． (1)求反比例函数的表达式：(2)当m kx b x+>时 直接写出x 的取值范围 (3)在双曲线m y x=上是否存在点P 使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在 求出点P 的坐标 若不存在 请说明理由．参考答案与解析1．【答案】(1)126,12m α=︒=(2)见解析(3)①9分 8分①=9.3x 甲 =8.3x 乙 中位数角度看甲队成绩较好 从平均数角度看甲队成绩较好【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分比 结合圆心角的计算解答即可．（2）根据样本容量 求得7分的人数补图即可．（3）①根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可．①根据加权平均数公式计算即可．【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量是72420360︒÷=︒（人） ①201712m =--=（人） 736012620α=⨯︒=︒故答案为：126 12．（2）①20-4-5-4=7（人）①补图如下：（3）①①甲队的第10个 11个数据都是9分①中位数是9+9=92（分）①乙队的第10个 11个数据都是8分①中位数是8+8=82（分）故答案为：9分 8分． ①①70+81+912+107==9.320x ⨯⨯⨯⨯甲（分）77+84+95+104==8.320x ⨯⨯⨯⨯乙（分）故从中位数角度看甲队成绩较好 从平均数角度看甲队成绩较好．【点睛】本题考查了中位数 条形统计图 扇形统计图 熟练掌握中位数 平均数 扇形统计图条形统计图的基本计算是解题的关键．2．【答案】(1)50 9 108︒(2)估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人 (3)12【分析】（1）根据数据计算即可（2）根据（1）求出的D 组所占的比例计算结果（3）列出所有可能情况求概率．【详解】（1）解：这次抽样调查共抽取的人数有：224450÷=%（人）B 组的人数为：5018%9a =⨯=（人）D 组所占的比例为：18%18%44%30---=︒①D 组所在扇形的圆心角的度数是：36030%108︒⨯=︒（2）解：根据题意得 900(30%44%)666⨯+=（人）答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人（3）解：列表如下： 男1 男2 男3 女男1 （男2 男1） （男3 男1） （女 男1）男2 （男1 男2） （男3 男2） （女 男2）男3 （男1 男3） （男2 男3） （女 男3）女 （男1 女） （男2 女） （男3 女）共有12中等可能结果 其中恰好选中两名男生的结果数为6①恰好选中两名男生的概率61122==. 【点睛】本题主要考查了统计的实际问题 涉及用样本估计总体的数量 求圆心角的度数 求概率等 属于基础题要认真读图.3.【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形 理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO 根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠ 根据已知得出F BAC ∠=∠ 根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒ 进而根据对等角相等 以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒ 即可得证（2）根据题意得出AD AC = 则ABD ABC ∠=∠ 证明EF BC ∥ 得出AGE ABC ∠=∠ 等量代换得出FGB ABD ∠=∠ 即可得出结论（3）根据FGB ABD ∠=∠ AB BF ⊥ 设FGB ABD α∠=∠= 则90DBF F α∠=∠=︒- 等边对等角得出DB DF = 则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示 连接CO①BC BD = ①2BOD BOC BAC ∠=∠=∠①2BOD F ∠=∠ ①F BAC ∠=∠①DE AC ⊥ ①90AEG ∠=︒①AGE FGB ∠=∠①90FBG AEG ∠=∠=︒即AB BF ⊥ 又AB 是O 的直径 ①BF 是O 的切线（2）①BC BD = AB 是O 的直径 ①AD AC = BC AC ⊥ ①ABD ABC ∠=∠①DE AC ⊥ BC AC ⊥①EF BC ∥ ①AGE ABC ∠=∠又AGE FGB ∠=∠ ①FGB ABD ∠=∠ ①DGB 是等腰三角形（3）①FGB ABD ∠=∠ AB BF ⊥设FGB ABD α∠=∠= 则90DBF F α∠=∠=︒-①DB DF = ①224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定 等腰三角形的性质与判定 圆周角定理 熟练掌握以上知识是解题的关键．4.【答案】(1)证明见解析(2)①3 ①2【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质 得到CAE ACO ∠=∠ 推出AD OC ∥ 进而得到OC DC ⊥ 再利用圆的切线的判定定理即可证明结论（2）①连接BE 根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定 得到BE DF ∥ 进而得到AFD ABE ∠=∠ 再利用锐角三角函数 求得6AB = 即可求出O 的半径①利用锐角三角函数 分别求出BF 和AD 的长 即可得到线段DE 的长．【详解】（1）证明：如图 连接OC 点C 是BE 的中点 CE CB ∴= CAE CAB ∴∠=∠OA OC = CAB ACO ∴∠=∠ CAE ACO ∴∠=∠AD OC ∴∥AD DC ⊥ OC DC ∴⊥ OC 是O 的半径 DC ∴是O 的切线（2）解：①如图 连接BEAB 是直径 90AEB ∴∠=︒ BE AD ∴⊥AD DF ⊥ BE DF ∴∥ AFD ABE ∠=∠∴ 1sin 3AFD ∠= 1sin 3AE ABE AB ∴∠== 2AE = 6AB ∴=∴O 的半径为3①由（1）可知 OC DF ⊥ 1sin 3OC AFD OF ∴∠== 3OC = 3OF OB BF BF =+=+ 3133BF ∴=+ 6BF ∴= 6612AF AB BF ∴=+=+= AD DF ⊥ 1sin 123AD AD AFD AF ∴∠=== 4AD ∴= 2AE = 422DE AD AE ∴=-=-=．【点睛】本题是圆和三角形综合题 考查了圆的切线的判定定理 圆的性质 等腰三角形的性质 锐角三角函数等知识 熟练掌握圆的相关性质 灵活运用正弦值求边长是解题关键．5.【答案】(1)见解析(2)tan 2ADB ∠=【分析】（1）利用垂径定理得OF AD ⊥ 利用菱形的性质得GAF BAF ∠=∠ 利用半径相等得OAF OFA ∠=∠ 即可证明90OAF BAF ∠+∠=︒ 据此即可证明结论成立（2）设4AG GD a == 由题意得:5:4OA AG = 求得5OA a = 由勾股定理得到3OG a = 求得2FG a = 利用菱形的性质求得ADB AFG ∠=∠ 据此求解即可．【详解】（1）证明：连接OA①AG GD = 由垂径定理知OF AD ⊥ ①90OGA FGA ∠=∠=︒①四边形ABCD 是菱形 ①GAF BAF ∠=∠ ①90GAF AFG BAF AFG ∠+∠=︒=∠+∠ ①OA OF = ①OAF OFA ∠=∠ ①90OAF BAF OAB ∠+∠=∠=︒ 又①OA 为O 的半径 ①AB 是O 的切线（2）解：①四边形ABCD 是菱形 AG GD = ①设4AG GD a == ①O 的半径与菱形的边长之比为5:8 ①在Rt OAG △中 :5:4OA AG = ①5OA a = 223OG OA AG a -= ①2FG OF OG a =-=①四边形ABCD 是菱形 ①BD AC ⊥ 即90DEA FGA ∠=︒=∠ ①ADB AFG ∠=∠ ①4tan tan 22AG aADB AFG FG a∠=∠===． 【点睛】本题考查了菱形的性质 垂径定理 切线的判定 求角的正切值 勾股定理 解答本题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件．6.【答案】(1)1(2)见解析【分析】（1）由垂径定理可得90AED ∠=︒ 结合CF AD ⊥可得DAE FCD ∠=∠ 根据圆周角定理可得DAE BCD ∠=∠ 进而可得BCD FCD ∠=∠ 通过证明BCE GCE ≌可得1GE BE == （2）证明ACB △CEB ∽ 根据对应边成比例可得2BC BA BE =⋅ 再根据2AB BO = 12BE BG =可证2BC BG BO =⋅【详解】（1）解：直径AB 垂直弦CD ∴90AED ∠=︒ ∴90DAE D ∠+∠=︒CF AD ⊥ ∴90FCD D ∠+∠=︒ ∴DAE FCD ∠=∠由圆周角定理得DAE BCD ∠=∠ ∴BCD FCD ∠=∠ 在BCE 和GCE 中BCE GCE CE CEBEC GEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BCE GCE ≌()ASA∴1GE BE ==（2）证明：AB 是O 的直径 ∴90ACB ∠=︒在ACB △和CEB 中90ACB CEB ABC CBE ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩∴ACB △CEB ∽ ∴BC BABE BC= ∴2BC BA BE =⋅ 由（1）知GE BE = ∴12BE BG =又2AB BO =∴2122BC BA BE BO BG BG BO =⋅=⋅=⋅7.【答案】(1)3(2)34 10【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出BOP ∠度数 利用切线的性质和解直角三角形即可求出BC 的长．（2）根据等弧所对圆周角相等推出BAC DAC ∠=∠ 再根据角平分线的性质定理推出CF CB = 利用直角三角形的性质即可求出FCD BAQ ∠=∠ 通过等量转化和余弦值可求出答案． （3）根据三角形相似的性质证明APQ ADC ∽△△和APB ABC ∽△△ 从而推出PQ APCDAD和BP AP BC AB = 利用已知条件将两个比例线段相除 根据正弦值即可求出答案 【详解】（1）解：如图1 连接OP 设BOP ∠的度数为n ．=6AB BP 的长为ππ3π180n ⋅⋅∴=． 60n ∴= 即60BOP ∠=︒．1302BAP BOP ∴∠=∠=︒．直线l 是O 的切线90ABC ∴∠=︒．①233BC == （2）解：如图2 连接BQ 过点C 作CF AD ⊥于点FAB 为直径90BQA ∴∠=︒．3cos 4AQ BAQ AB ∴∠==． BP PQ = BAC DAC ∴∠=∠．CF AD ⊥ AB BC ⊥CF CB ∴=．90BAQ ADB ∠+∠=︒ 90FCD ADB ∠+∠=︒FCD BAQ ∴∠=∠．3cos cos 4BC FC FCD BAQ CD CD ∴==∠=∠=． （310理由如下： 如图3 连接BQAB BC ⊥ BQ AD ⊥90ABQ BAD ∴∠+∠=︒ 90ADB BAD ∠+∠=︒ ABQ ADC ∴∠=∠ABQ APQ ∠=∠ ∴APQ ADC ∠=∠． PAQ CAD ∠=∠ APQ ADC ∴∽△△PQ APCD AD．① BAP BAC ∠=∠ 90ABC APB ∠=∠=︒APB ABC ∴△∽△ BP APBC AB∴=．① BC CD = ÷①②得cos PQ ABBAQ BP AD ==∠． 6sin BAQ ∠=10cos BAQ ∴∠=．【点睛】本题是圆的综合题 考查了圆周角定理 相似三角形的判定与性质 解直角三角形以及三角函数 切线的性质定理 扇形的弧长公式 角平分线性质定理等 解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 8.【答案】(1)129y x =-+ 24(0)y x x => (2)142x << (3)点P 的坐标为()2,5或5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）将(4,1)A 代入2(0)my x x=>可求反比例函数解析式 进而求出点B 坐标 再将(4,1)A 和点B 坐标代入1(0)y kx b k =+≠即可求出一次函数解析式（2）直线AB 在反比例函数图象上方部分对应的x 的值即为所求（3）设点P 的横坐标为p 代入一次函数解析式求出纵坐标 将x p =代入反比例函数求出点Q 的纵坐标 进而用含p 的代数式表示出PQ 再根据POQ △面积为3列方程求解即可． 【详解】（1）解：将(4,1)A 代入2(0)my x x => 可得14m = 解得4m =∴反比例函数解析式为24(0)y x x=>1,2B a ⎛⎫⎪⎝⎭在24(0)y x x =>图象上∴4812a == ∴1,82B ⎛⎫ ⎪⎝⎭将(4,1)A 1,82B ⎛⎫⎪⎝⎭代入1y kx b =+ 得：41182k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得29k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为129y x =-+（2）解：142x << 理由如下： 由（1）可知1(4,1),,82A B ⎛⎫⎪⎝⎭当120y y ->时 12y y >此时直线AB 在反比例函数图象上方 此部分对应的x 的取值范围为142x <<即满足120y y ->时 x 的取值范围为142x <<（3）解：设点P 的横坐标为p将x p =代入129y x =-+ 可得129y p =-+ ∴(),29P p p -+．将x p =代入24(0)y x x=> 可得24y p =∴4,Q p p ⎛⎫⎪⎝⎭．∴429PQ p p=-+-∴11429322POQP SPQ x p p p ⎛⎫=⋅=⨯-+-⋅= ⎪⎝⎭整理得229100p p -+= 解得12p = 252p =当2p =时 292295p -+=-⨯+= 当52p =时 5292942p -+=-⨯+= ∴点P 的坐标为()2,5或5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题 考查求一次函数解析式 反比例函数解析式 坐标系中求三角形面积 解一元二次方程等知识点 解题的关键是熟练运用数形结合思想．9.【答案】(1)4y x =(2)132y x =-+ 【分析】（1）根据四边形OABC 是边长为2的正方形求出点B 的坐标 代入ky x=求出k （2）设4,D a a ⎛⎫⎪⎝⎭过点D 作DH x ⊥轴 根据OBDOBHBHDODHSSSS=+-面积列方程 求出点D 坐标 再由待定系数法求出直线BD 的函数表达式．【详解】（1）解：四边形OABC 是边长为2的正方形 ∴4OABC S xy ==正方形 ∴4k =即反比例函数的表达式为4y x=． （2）解：设4,D a a ⎛⎫⎪⎝⎭过点D 作DH x ⊥轴点()2,2B 4,D a a ⎛⎫⎪⎝⎭(),0H a①12OBHS OH AB a =⋅= 1144(2)(2)222BHDa SDH AH a a a-=⋅=⋅⋅-= 122ODHSOH DH =⋅=3OBDOBHBHDODHSSSS=+-=∴4(2)232a a a-+-= 解得：14a = 21a =- 经检验4a = 是符合题意的根 即点()4,1D设直线BD 的函数解析式为y kx b =+ 得① 2241k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即：直线BD 的函数解析式为132y x =-+．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式 反比例函数ky x=图象上任意一点做x 轴 y 轴的垂线 组成的长方形的面积等于k 灵活运用几何意义是解题关键．10.【答案】(1)8y x=(2)(222,442P -++或(222,442P --- 【分析】（1）设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得,k C m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 结合OAC 的面积是8．可得()182k m m m += 从而可得答案（2）先求解()2,4A ()2,4C - 可得直线为28y x =+ 联立828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ 再解方程组即可． 【详解】（1）解：①点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上 ①设,k A m m ⎛⎫⎪⎝⎭①点C 是点A 关于y 轴的对称点 ①,k C m m⎛⎫- ⎪⎝⎭①OAC 的面积是8． ①()182km m m+= 解得：8k①反比例函数解析式为：8y x=（2）①点A 的横坐标为2时 ①842A y == 即()2,4A 则()2,4C -①直线2y x b =+过点C ①44b -+= ①8b =①直线为28y x =+ ①828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得：22242x y ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩222442x y ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩经检验 符合题意 ①(222,442P -++或(222,442P ---．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用 轴对称的性质 一元二次方程的解法 熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键．11.【答案】(1)8y x=(2)()4,2C 【分析】（1）利用正切值 求出4OB = 进而得到()2,4A 即可求出反比例函数的解析式（2）过点A 作AE x ⊥轴于点E 易证四边形ABOE 是矩形 得到2OE = 4AE = 再证明AED △是等腰直角三角形 得到4DE = 进而得到()6,0D 然后利用待定系数法求出直线AD 的解析式为6y x =-+ 联立反比例函数和一次函数 即可求出点C 的坐标． 【详解】（1）解：AB y ⊥轴90ABO ∴∠=︒1tan 2AOB =∠ 12AB OB ∴= 2AB =4OB ∴=()2,4A ∴点A 在反比例函数()0k y x x=>的图象上248k ∴=⨯=∴反比例函数的解析式为8y x=（2）解：如图 过点A 作AE x ⊥轴于点E90ABO BOE AEO ∠=∠=∠=︒∴四边形ABOE 是矩形2OE AB ∴== 4OB AE ==45ADO ∠=︒AED ∴是等腰直角三角形 4DE AE ∴== 246OD OE DE ∴=+=+= ()6,0D ∴设直线AD 的解析式为y kx b =+2460k b k b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得：16k b =-⎧⎨=⎩∴直线AD 的解析式为6y x =-+点A C 是反比例函数8y x=和一次函数6y x =-+的交点 联立86y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩ ()2,4A ()4,2C ∴．【点睛】本题是反比例函数综合题 考查了锐角三角函数值 矩形的判定和性质 待定系数法求函数解析式 反比例函数和一次函数交点问题等知识 求出直线AD 的解析式是解题关键． 12.【答案】(1)8n = 32k = (2)当6m =时 AB OD ⋅取得最大值 最大值为36【分析】（1）把点()4,A n 代入2y x = 得出8n = 把点()4,8A 代入(0)k y x x=> 即可求得32k = （2）过点C 作x 轴的垂线 分别交,AB x 轴于点,E F 证明ECB FCD △≌△ 得出,BE DF CE CF == 进而可得(8),4C 根据平移的性质得出,(48)B m + (12),0D m - 进而表示出AB OD ⋅ 根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：把点()4,A n 代入2y x = ①24n =⨯ 解得：8n =把点()4,8A 代入(0)k y x x=> 解得32k = （2）①点B 横坐标大于点D 的横坐标 ①点B 在点D 的右侧如图所示 过点C 作x 轴的垂线 分别交,AB x 轴于点,E F①AB DF ∥①B CDF ∠=∠在ECB 和FCD 中BCE DCF BC CDB CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA ECB FCD ≌①,BE DF CE CF ==①8A EF y ==①4CE CF ==①(8),4C①将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点B①,(48)B m +①4BE DF m ==-①(12),0D m -①12OD m =-①()()212636AB OD m m m ⋅=-=--+①当6m =时 AB OD ⋅取得最大值 最大值为36．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合 二次函数的性质 全等三角形的性质与判定 熟练掌握以上知识是解题的关键．13.【答案】(1)6y x =- (2)<2x -或06x << (3)()32-，或()16-， 【分析】（1）将()4,0A ()0,2B 代入y kx b =+,求得一次函数表达式 进而可得点C 的坐标 再将点C 的坐标代入反比例函数即可（2）将一次函数与反比例函数联立方程组 求得交点坐标即可得出结果（3）过点A 作AP BC ⊥交y 轴于点M 勾股定理得出点M 的坐标 在求出直线AP 的表达式 与反比例函数联立方程组即可．【详解】（1）解：把()4,0A ()0,2B 代入y kx b =+中得：402k b b +=⎧⎨=⎩ ①122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ①直线y kx b =+的解析式为122y x =-+ 在122y x =-+中 当6x =时 1212y x =-+=- ①()61C -，把()61C -，代入m y x=中得：16m -= ①6m =-①反比例函数的表达式6y x=- （2）解：联立1226y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得61x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩ ①一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为()()6123--，、， ①由函数图象可知 当<2x -或06x <<时 一次函数图象在反比例函数图象上方①当m kx b x+>时 <2x -或06x << （3）解：如图所示 设直线AP 交y 轴于点()0M m ，①()4,0A ()0,2B ①222244BM m m m =-=-+ 2222420AB 2222416AM m m =+=+①ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形①90BAM ∠=︒①222BM BA AM =+①22442016m m m -+=++解得8m =-①()08M -，同理可得直线AM 的解析式为28y x =- 联立286y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得32x y =⎧⎨=-⎩或16x y =⎧⎨=-⎩ ①点P 的坐标为()32-，或()16-，．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合 勾股定理 正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题21图形的相似（共50题）一．选择题（共24小题）1．（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】根据＝，得到＝，根据DE∥BC，得到∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．【解析】∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝15（cm），故选：C．2．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54B．36C．27D．21【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．【解析】方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周长是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，＝27；∴C△DEF故选：C．3．（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【解析】在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△BED∽△BAC，∵＝，∴＝，即＝，故选：B．4．（2022•武威）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据△ABC∽△DEF，可以得到，然后根据BC＝6，EF＝4，即可得到的值．【解析】∵△ABC∽△DEF，∴，∵BC＝6，EF＝4，∴＝，故选：D．5．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x 的值．【解析】∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），故选：B．6．（2022•台湾）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE ＝∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF与△ABC的面积比为何？（）A．1：3B．1：4C．2：5D．3：8：【分析】证明△CAF∽△CBA，推出CA2＝CF•CB，推出AC＝4，可得＝＝，推出S△ACF S△ACB＝5：16，同法S△BDE：S△ABC＝5：16，由此可得结论．【解析】∵∠C＝∠C，∠CAF＝∠B，∴△CAF∽△CBA，∴＝，∴CA2＝CF•CB，∴CA2＝5×16＝80，∵AC＞0，∴AC＝4，∴＝＝，：S△ACB＝5：16，∴S△ACF同法可证△BDE∽△BCA，∵BD＝AC，∴＝，：S△ABC＝5：16，∴S△BDE：S△ABC＝（16﹣5﹣5）：16＝3：8，∴S四边形ADEF7．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1B．C．2D．4【分析】根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解答即可．【解析】∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，），∴OA＝，∵≥0，即：﹣4≥0，∴≥4，∴当a2＝时，OA有最小值，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），∴A点坐标为（，），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB＝OA＝2．8．（2022•孝感）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解析】根据题意知，BF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，∵S四边形AECF故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．9．（2022•山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．【解析】∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，又黄金分割比为≈0.618，∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割，故选：D．10．（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可．【解析】在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，：S△ABC＝＝．∴S△ADE故选：D．11．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解析】设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．12．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明△GBH∽△EDC，得到，即，利用△HEC是等腰直角三角形，求出，再证明△HGB∽△HDF即可求出EF＝3可知③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，求出，再证明∠DEC＝∠EFC，即可知④正确．【解析】∵△EDC旋转得到△HBC，∴∠EDC＝∠HBC，∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDC＝135°，故①正确；∵△EDC旋转得到△HBC，∴EC＝HC，∠ECH＝90°，∴∠HEC＝45°，∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠ECD＝∠ECF，∴△EFC∽△DEC，∴，∴EC2＝CD•CF，故②正确；设正方形边长为a，∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，∵∠GBH＝∠EDC＝135°，∴△GBH∽△EDC，∴，即，∵△HEC是等腰直角三角形，∴，∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，∴△HBG∽△HDF，∴，即，解得：EF＝3，∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，∴∠EDM＝45°，∵ED＝HB＝2，∴，∵EF＝3，∴，∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠EFC，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D．13．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，利用相似三角形的性质求出CF″可得结论．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AE∥BC，AE＝BC，∴AE＝CH，∴四边形AHCE是平行四边形，∵∠AHC＝90°，∴四边形AHCE是矩形，∴EC⊥BF″，AH＝EC，＝2，∵BC＝2，S△ABC∴×2×AH＝2，∴AH＝EC2，∵∠BFF″＝∠ECB＝∠ECF″，∴∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，∴∠BEC＝∠F″，∴△ECB∽△F″CE，∴EC2＝CB•CF″，∴CF″＝＝6，∴M′M″＝3故选：B．14．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．【解析】如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM＝＝＝2．故选：C．15．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】由旋转的性质得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，得出∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判断结论②符合题意；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出△AFE∽△DFC，可判断结论①符合题意；由∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的旋转得出∠FAE＝∠CDF，进而得出∠BAD＝∠CDF，可判断结论③符合题意；即可得出答案．【解析】∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴DA平分∠BDE，∴②符合题意；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AFE∽△DFC，∴①符合题意；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠FAE，∵△AFE∽△DFC，∴∠FAE＝∠CDF，∴∠BAD＝∠CDF，∴③符合题意；故选：D．16．（2022•泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是＝S△ABC，其中正确结论的个数是（）菱形；④S△BOEA．4B．3C．2D．1【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【解析】∵点E为BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE，又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故①正确；在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，∴AE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；∴AC⊥EF，在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴OE＝CE＝BC＝AD，故②正确；在平行四边形ABCD中，OA＝OC，又∵点E为BC的中点，＝S△BOC＝S△ABC，故④正确；∴S△BOE正确的结论由4个，故选：A．17．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．【解析】如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+6＝14，故选：A．18．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读GE和DF、OC和OF的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤．【解析】由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正确；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD，故②错误；在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，解得：x＝a，∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，在Rt△AGE中，GE＝＝a，∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；无法证明∠FCO＝∠GCE，∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；综上，正确的是①③④，故选：B．19．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（）A．9B．12C．15D．18【分析】证明△BEF∽△CFD，求得CF，设BF＝x，用x表示DF、CD，由勾股定理列出方程即可求解．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故选：C．20．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．【分析】连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．设BF＝2k，CG＝3k．则AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，因为C，A′，B′共线，GA′∥FB′，推出＝，推出＝，可得y2﹣12ky+32k2＝0，推出y＝8k或y ＝4k（舍去），推出AE＝DE＝4k，再利用勾股定理求出GT，可得结论．【解析】连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．∵＝，∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y﹣5k，∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨设BF ＝2，CG ＝3，连接CE ，则Rt △CA 'E ≌Rt △CDE ，推出A 'C ＝CD ＝AB ＝A 'B '，＝＝1，推出GF ＝CG ＝3，BC ＝8，在Rt △CB 'F ，勾股得CB '＝4则A 'B '＝2，故选：A ．21．（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段AB ＝3，则线段BC 的长是（）A ．B ．1C ．D ．2【分析】过点A 作平行横线的垂线，交点B 所在的平行横线于D ，交点C 所在的平行横线于E ，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解析】过点A 作平行横线的垂线，交点B 所在的平行横线于D ，交点C 所在的平行横线于E ，则＝，即＝2，解得：BC ＝，故选：C ．22．（2022•重庆）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．【解析】∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，故选：A．23．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4B．6C．9D．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF的周长．【解析】∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．：C△DEF＝2：3，∴C△ABC∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6，故选：B．24．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC 交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④【分析】由四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，可得△ABG≌△CBE（SAS），即得∠BAG＝∠BCE，即可证明∠POC＝90°，可判断①正确；取AC的中点K，可得AK＝CK＝OK＝BK，即可得∠BOA＝∠BCA，从而△OBP∽△CAP，判断②正确，由∠AOC＝∠ADC＝90°，可得A、O、C、D四点共圆，而AD＝CD，故∠AOD＝∠DOC＝45°，判断④正确，不能证明OB平分∠CBG，即可得答案．【解析】∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正确；取AC的中点K，如图：在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四点共圆，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四点共圆，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，故正确的有：①②④，故选：D．二．填空题（共17小题）25．（2022•宜宾）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝．【分析】由∠1＝∠2，∠A＝∠A，得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出EF的长度．【解析】∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，∴，∴EF＝，故答案为：．26．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一），使△ADE∽△ABC．【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．【解析】∵∠A＝∠A，∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝时，△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．27．（2022•河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？是（填“是”或“否”）；（2）AE＝．【分析】（1）证明△ACM≌△CFD，得出∠CAM＝∠FCD，由∠CAM+∠CMA＝90°，得出∠FCD+∠CMA＝90°，进而得出∠CEM＝90°，即可得出AB⊥CD；（2）先利用勾股定理求出AB＝2，再证明△ACE∽△BDE，利用相似三角形的性质即可求出AE的长度．【解析】如图1，在△ACM和△CFD中，，∴△ACM≌△CFD（SAS），∴∠CAM＝∠FCD，∵∠CAM+∠CMA＝90°，∴∠FCD+∠CMA＝90°，∴∠CEM＝90°，∴AB⊥CD，故答案为：是；（2）如图2，在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，∵AC∥BD，∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AE＝，故答案为：．28．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．【分析】连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，根据勾股定理求出OA，证明△DEM∽△DOA，根据相似三角形的性质列出比例式，用含AM的代数式表示ME、NF，计算即可．【解析】连接AC交BD于O，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，由勾股定理得：OA＝＝＝，∵ME⊥BD，AO⊥BD，∴ME∥AO，∴△DEM∽△DOA，∴＝，即＝，解得：ME＝，同理可得：NF＝，∴ME+NF＝，故答案为：．29．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．【分析】通过证明△BAQ∽△PFD，可得，即可求解．【解析】如图，连接DQ，∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，∴DE＝DF，∠FDE＝90°，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，∴DF＝DQ，∵AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，AQ＝AQ，∴△ABQ≌△ADQ（SAS），∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠FDC＝∠AQB，又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，∴△BAQ∽△PFD，∴，∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，∴3＝BQ•BQ，∴BQ＝，故答案为：．30．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．【分析】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解析】由题意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，则AB＝＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BD＝，故答案为：．31．（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为﹣1+米．【分析】根据BE2＝AE•AB，建立方程求解即可．【解析】∵BE2＝AE•AB，设BE＝x，则AE＝（2﹣x），∵AB＝2，∴x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴线段BE的长为（﹣1+）米．故答案为：﹣1+．32．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝9.88m．【分析】根据平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．【解析】∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，∴，即，解得AB＝9.88，∴旗杆的高度为9.88m．故答案为：9.88．33．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【分析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，即可根据SAS判断△ACD≌△ABD′；根据∠BAC＝∠D′AD＝θ，＝，即可判断△ACB∽△ADD′；由△ACB∽△ADD′，得出＝（）2，根据等腰三角形三线合一的性质，当BD＝CD，则AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．【解析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．34．（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈0.618DE．（精确到0.001）【分析】根据黄金分割的定义可得＝≈0.618，再根据题意可得EG＝AE，即可解答．【解析】∵点E是AD的黄金分割点，且DE≈0.618AD，∴＝≈0.618，由题意得：EG＝AE，∴≈0.618，∴EG≈0.618DE，故答案为：0.618．35．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．【分析】如图，设AD交AB′于点Q．设BN＝NB′＝x．利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性质求出AM（用k表示），可得结论．【解析】如图，设AD交AB′于点Q．设BN＝NB′＝x．∵＝，∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，∴（3k﹣x）2+k2＝x2，∴x＝k，∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，∴∠DB′Q＝∠CNB′，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DB′Q∽△CNB′，∴DQ：DB′：QB′＝CB′：CN：NB′＝3：4：5，∵DB′＝k，∴DQ＝k，∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，∴△DQB′∽△A′QM，∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，设AM＝MA′＝y，则MQ＝y，∵DQ+QM+AM＝3k，∴k+y+y＝3k，∴y＝k，∴＝＝＝，故答案为：．36．（2022•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝．若DE＝2，则BC的长是6．【分析】由平行线的旋转得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的旋转得出，代入计算即可求出BC的长度．【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∵＝，DE＝2，∴，∴BC＝6，故答案为：6．37．（2022•武威）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．【分析】根据矩形的性质可得AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，从而可得∠ABD＝∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG＝BG，从而可得∠BEG＝∠ABD，进而可得∠BEG＝∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中点，∴EG＝BG＝EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴＝，∴BF＝6，∴EF＝＝＝2（cm），∴BG＝EF＝（cm），故答案为：．38．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于10米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于（10+）米．【分析】解法一：作平行线OP，根据平行线分线段成比例定理可知PC＝PD，由EF与影子FG的比为2：3，可得OM的长，同法由等角的正弦可得OB的长，从而得结论；解法二：作辅助线，构建直角△CND，证明△HMC∽△EFG，根据垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，列比例式可得HM的长，由三角函数的定义可得CN的长，从而得OA＝OB＝，由此可解答．【解析】解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB＝PN，∵AC∥BD，∴AC∥OP∥BD，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴＝＝，∴OM＝×15＝10；∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，∵HC∥EG，∴∠HCM＝∠EGF，∵∠CMH＝∠EFG＝90°，∴△HMC∽△EFG，∴＝＝，即＝，∴HM＝，∵BD∥EG，∴∠BDC＝∠EGF，∴tan∠BDC＝tan∠EGF，∴＝＝，设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，∴x＝13，∴x＝，∴AB＝CN＝2，∴OA＝OB＝AB＝，在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝＝，∴＝，∴OH＝，∴OM＝OH+HM＝+＝10，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案为：10，（10+）．39．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．【分析】如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．由tan∠CBT＝3＝，可以假设BT＝k，CT＝3k，证明△ATC≌△CJD（AAS），推出DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，再利用勾股定理，构建方程求解即可．【解析】如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假设BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四点共圆，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5和，∴BE ＝BT +ET ＝k +10﹣2k ＝10﹣k ＝5或，故答案为：5或．40．（2022•达州）人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．a ＝，b ＝，记S 1＝+，S 2＝+，…，S 100＝+，则S 1+S 2+…+S 100＝5050．【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1＝1，S 2＝2，S 100＝100，…，利用规律求解即可．【解析】∵a ＝，b ＝，∴ab ＝×＝1，∵S 1＝+＝＝1，S 2＝+＝＝2，…，S 100＝+＝＝100，∴S 1+S 2+…+S 100＝1+2+…+100＝5050，故答案为：5050．41．（2022•成都）如图，△ABC 和△DEF 是以点O 为位似中心的位似图形．若OA ：AD ＝2：3，则△ABC 与△DEF 的周长比是2：5．【分析】先根据位似的性质得到△ABC 和△DEF 的位似比为OA ：OD ，再利用比例性质得到OA ：OD ＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．【解析】∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．故答案为：2：5．三．解答题（共9小题）42．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，只要证明OC⊥CD即可，根据题目中的条件和等腰三角形的性质、直角三角形的性质，可以得到∠OCD＝90°，从而可以证明结论成立；（2）根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据，可以求得DE和CD的长，从而可以得到EC的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，∵EF⊥AB，AB为⊙O的切线，∴∠GFA＝90°，∠ACB＝90°，∴∠A+∠AGF＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∴∠AGF＝∠ABC，∵EG＝EC，OC＝OB，∴∠EGC＝∠ECG，∠ABC＝∠BCO，又∵∠AGF＝∠EGC，∴∠ECG＝∠BCO，∵∠BCO+∠ACO＝90°，∴∠ECG+∠ACO＝90°，∴∠ECO＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，DE是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵BD＝4，sin∠D＝，OC＝OB，∴＝，即＝，解得OC＝2，∴OD＝6，∴DC＝＝＝4，∵点E为OA的中点，OA＝OC，∴OF＝1，∴DF＝7，∵∠EFD＝∠OCD，∠EDF＝∠ODC，∴△EFD∽△OCD，∴，即，解得DE＝，∴EC＝ED﹣DC＝﹣4＝，即EC的长是．43．（2022•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长．【分析】（1）连接OD，证明△BOC≌△DOC根据全等三角形的性质得到∠ODC＝∠OBC＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）过点D作DH⊥BC于H，根据勾股定理求出ED，根据矩形的性质、勾股定理求出BC，再根据相似三角形的性质求出EF．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠OAD，∴∠BOC＝∠DOC，在△BOC和△DOC中，，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点D作DH⊥BC于H，∵ED∥BC，∴∠OED＝180°﹣∠ABC＝90°，则四边形EBHD为矩形，∴BH＝ED，DH＝BE＝7，∵AB＝8，AE＝1，∴OE＝3，∴ED＝＝＝，∵CB、CD是⊙O的切线∴CB＝CD，设CB＝CD＝x，则CH＝x﹣，在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2，即72+（x﹣）2＝x2，解得：x＝4，即BC＝4，∵ED∥BC，∴＝，即＝，解得：EF＝．44．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，CD，根据已知可得∠ACD+∠DCB＝90°，利用等腰三角形的性质可得∠OCD ＝∠ODC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CDB＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线可得DE ＝CE，进而可得∠DCE＝∠CDE，然后可得∠ODC+∠CDE＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可证△ACB∽△ADC，从而利用相似三角形的性质可求出AC的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半径为．45．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF 的中点，GE交BC于O，连接GD．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．【分析】（1）连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．证明△EAG≌△DAG（SAS），可得EG＝DG，∠AEG ＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGC，推出＝，可得结论；（2）过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．证明△EAG≌△DAG（SAS），推出EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGT，推出＝，可得结论．【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．。

2014年中考数学试题21题1．（+）÷，其中x=﹣1．2．，a取﹣1、0、1、2中的一个数．3．÷﹣，其中x=﹣4．4．（1﹣）÷，其x=（+1）0+（）﹣1•tan60°．5．，其中．6．，其中a=﹣1．7．（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0．8．÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1=0．9．÷（x ﹣），其中x为数据0，﹣1，﹣3，1，2的极差．10．（+）÷，其中a=2﹣．11．（﹣）÷，其中a=1﹣，b=1+．12．（x ﹣）÷，其中x=cos60°．13．（﹣）÷，其中x=﹣1．14．（x+1﹣）÷，其中x=2．15．（﹣）÷，其中a2+a﹣2=0．16．先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．17．÷（﹣）+，其中x的值为方程2x=5x ﹣1的解．18．（x ﹣）÷，再任选一个你喜欢的数x代入求值．19．÷（2+），其中x=﹣1．20．（﹣），其中x=2．21．（1﹣）÷，其中a=．22．（﹣1）÷，其中a=+1，b=﹣1．23．（﹣）÷，再从0，1，2三个数中选择适当的数作为a的值代入求值．24．（x﹣1﹣）÷，其中x 是方程﹣=0的解．25．（﹣）+，其中a=+1．26．（1﹣）÷（x ﹣），其中x=+3．27．（1﹣）÷，其中x=3．28．（﹣）÷，其中x=（）﹣1﹣（π﹣1）0+．29．（）÷，其中a，b满足+|b ﹣|=0．30．（﹣）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．31．“六•一”前夕质监部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了300件儿童用品，以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图；请根据上述统计表和扇形提供的信息，完成下列问题： （1）分别补全上述统计表和统计图；（2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童车的合格率为90%、85%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，请估计购买到合格品的概率是多少？32. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D 粽的人数；（4）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．33.某校将举办“心怀感恩·孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1 000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图．（1）本次调查抽取的人数为_______，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上(含40分钟)的人数为_______；（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．34.为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中一共抽查了 名学生，其中，喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为 ，喜欢“戏曲”活动项目的人数是 人； （2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率．35.某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图10所示的两幅不完整的统计图，已知B 、E 两组发言人数的比为5:2,请结合图中相关数据回答下列问题：（1）求出样本容量，并补全直方图；（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；（3）已知A 组发言的学生中恰有1位女生，E 组发言的学生中有2位男生，现从A 组与E 组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。