重庆中考数学专题复习

重庆数学中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，那么斜边的长度是？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 3 * 4B. 5 / 2C. 7 - 2D. 8 ÷ 2答案：B4. 下列哪个是二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + x + 1 = 0C. x^3 - 2x^2 + x = 0D. x^2 - 4 = 0答案：B5. 圆的周长公式是？A. C = πdB. C = 2πrC. A = πr^2D. A = πd^2答案：B6. 一个数的平方根是它自己，这个数是？A. 1B. -1C. 0D. 2答案：C7. 以下哪个是立方体的体积公式？A. V = a^2B. V = a^3C. V = 2aD. V = πa^3答案：B8. 一个数的倒数是1/5，这个数是？A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A9. 以下哪个是正弦函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 双曲线答案：C10. 如果一个角的正弦值是0.5，那么这个角的度数是？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知一个数的平方是25，这个数是________。

答案：±512. 一个圆的半径是7，那么它的直径是________。

答案：1413. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，它的体积是________。

答案：2414. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果顶角是60°，那么底角是________。

答案：60°15. 一个数的立方是-27，这个数是________。

答案：-316. 一个直角三角形的两个直角边分别是6和8，那么斜边的长度是________。

重庆中考数学考点总结归纳
一、实数及其运算
1. 理解实数的概念，掌握实数混合运算的法则和顺序，能够进行实数的混合运算。

2. 掌握实数的基本性质，理解绝对值的定义，能够进行实数的化简和求值。

3. 理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算法则，能够进行二次根式的化简和运算。

二、代数式与方程组
1. 掌握代数式的分类和性质，能够进行代数式的化简和求值。

2. 掌握一元一次方程、二元一次方程组的解法，能够进行方程组的求解。

3. 理解分式、根式的概念，掌握分式、根式的性质和运算法则，能够进行分式、根式的化简和运算。

三、函数与图像
1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法和性质，能够判断函数的奇偶性和单调性。

2. 掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图像和性质，能够进行函数图像的绘制和识别。

3. 理解直线的斜率和截距的概念，能够进行直线的方程求解和识别。

四、三角形与四边形
1. 掌握三角形的分类和性质，能够进行三角形的边、角、高的计算和求解。

2. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念和性质，能够进行四边形的分类和求解。

3. 理解中位线定理、勾股定理等数学定理，能够进行证明和应用。

五、圆与扇形
1. 掌握圆的概念和性质，能够进行圆的周长、面积、扇形面积的计算和求解。

2. 理解弦、弧、圆心角、圆周角的概念和性质，能够进行相关问题的求解。

3. 理解圆锥、圆锥侧面积的概念和性质，能够进行相关问题的求解。

重庆数学中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 1D. x = 4答案：B2. 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足三角形的三边关系，那么x的取值范围是？A. 1 < x < 7B. 2 < x < 5C. 3 < x < 7D. 1 < x < 5答案：C3. 一个数的平方根是4，那么这个数是？A. 16B. 8C. 6D. 4答案：A4. 一个圆的半径是5，那么它的面积是？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C5. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标是？A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)答案：B6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A7. 一个等腰三角形的底角是45度，那么它的顶角是？A. 90度B. 45度C. 60度D. 30度答案：A8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A10. 一个二次函数的顶点坐标是(2, -1)，那么这个函数的对称轴是？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = 3答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

答案：82. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是______。

答案：33. 一个数的平方是25，那么这个数是______。

答案：±54. 一个数除以3余1，除以5余2，那么这个数最小是______。

答案：115. 一个三角形的内角和是______。

重庆中考数学第二轮专题复习第24题二次函数综合题等腰三角形类（2022-2023学年版）1.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，设运动时间是t且0≤t≤5，当点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大，试求出最大面积．2.如图，已知点A的坐标为(−2,0).直线y=−3x+3与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，4顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．(1)求拋物线的解析式及顶点D的坐标；(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；(3)设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN//AB，交AC于点N，Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t(秒).当以MN为直角边的▵QMN是等腰直角三角形时，直接写出此时t的值．3.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M(m,0)是x轴一个动MB的最小值以及此时点M、N的坐标．点，请直接写出CN+MN+124.抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN 的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与坐标轴分别交于点A(0,6)，B(6,0)，C(−2,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE//x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23x2−23x+4与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E，过点E作BC的平行线交AC于点F．(1)如图1，求点D的坐标和直线BC的解析式；(2)如图1，在对称轴右侧的抛物线上找一点P，使得∠PDE=45°，点M是直线BC上一点，点N是直线EF上一点，MN//AC，求PM+MN+NB的最小值；(3)如图2，将△BOC绕点O逆时针旋转至△B′O′C′的位置，点B，C的对应点分别为点B′，C′，点B′恰好落在BC上，点T为B′C′的中点，过点T作y轴的平行线交抛物线于点H，将点T沿y轴负方向平移3个单位长度得到点K.点Q是y轴上一动点，将△QHK沿直线QH折叠为△QHK′，△BKK′是否能为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由．7.如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a(x−2)2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．8.如图，抛物线y=ax2+bx−3经过点A(2,−3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线上有一点N，且S△OCN=6，求点N的坐标；(3)点P是对称轴上的一个动点，若存在P使△ABP是等腰三角形，请求出此时P点的坐标．9.如图，已知二次函数y=−x2+bx+3的图象与x轴的两个交点为A(4,0)与点C，与y轴交于点B．(1)求此二次函数关系式和点C的坐标；(2)请你直接写出△ABC的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6)，D为抛物线的顶点．(1)求此二次函数的表达式；(2)求△CDB的面积．(3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的表达式．(2)如图①，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标．(3)如图②，抛物线的顶点为点E，EF⊥x轴于点F.若N是直线EF上一动点，M(m,0)是x轴上MB的最小值以及此时点M，N的坐标．一个动点，请直接写出CN+MN+1212.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(−3,0)和点B(1,0)，交y轴于点C．(1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D的坐标为(−1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，抛物线y=−35x2+125x+3与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC．(1)直接写出A、B、C三点坐标及直线BC的函数表达式；(2)如图1，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN.点P是直线AB上的动点．当△NBC面积取得最大值时，求出点N的坐标及△NBC面积的最大值，并求此时PN+CP 的最小值；(3)如图2，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为参数)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(−2,0).已知M(−1+n,m)和N(5−n,m)是抛物线上两点．图1图2(1)求抛物线的解析式(结果用含a的式子表示)；(2)如图1，对称轴与x轴的交点为D，若△AOC绕原点顺时针旋转90°得到△COD，点E为x轴正半轴上一点，且满足∠CDO=∠CEO+∠CBO，求点E的坐标；(3)如图2，若△OBC为等腰三角形，点F为OC中点，连接BF；若点P在B点左侧的抛物线上，过点P作PQ⊥BF，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB=2S△QRB，求点P的坐标．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0,3)，顶点F的坐标为(1,4)，x+1交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G．对称轴交x轴于点H，直线y=12备用图(1)求抛物线的解析式．(2)点M为抛物线对称轴上一个动点，若△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，请求出点M的坐标．(3)点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线y=1x+1的对称点恰好落在x轴上时，请直接2写出此时点P的坐标．16.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连结AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P作ON⊥BC，垂足为点N.设点M的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点且以AC为腰长的三角形是等腰三角形．若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．17.已知抛物线y=ax2+34x+c经过点A(−2,0)和C(0,94)，与x轴交于另一点B，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E，F分别在线段AB，BD上(E点不与A，B重合)，且∠DEF=∠DAB，设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式；(3)在(2)问的条件下，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出DF的长；若不能，请说明理由；18.如图，抛物线y=1x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，3BC，点M是抛物线在第四象限内的一个动点，过点M作MN⊥BC于点N，点M的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)请用含m的代数式表示线段MN的长；(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在点N，使得△ACN是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．第11页，共1页。

精练6--压轴选择题1．如果含有两个未知数的方程有一组解是整数，我们称这个方程有整数解．请你观察下面的四个方程：①8x+2y＝23；②3x+7y＝10；③（4x﹣3）（y+3）＝2；④＝．其中有整数解的方程是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②③【解答】解：①8x+2y＝23，∵x，y的系数为偶数，又因为它们是整数，所以乘积一定也为偶数，所以之和绝对不是奇数；②3x+7y＝10，∵当x＝1时，y＝1，正好符合要求，所以它正确；③（4x﹣3）（y+3）＝2，当x＝1时，y＝﹣1，符合要求，所以它有整数解；④＝．∵当x＝4044时，y＝4044，方程有解，符合要求．∴②③④这3个方程有整数解．故选：C．2．对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c 这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}＝．下列判断：①P；②max；③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则0＜x＜1；④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1；⑤max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为．其中正确的是（）A．②③④⑤B．①②④⑤C．②③⑤D．②④⑤【解答】解：①﹣，0，的平均数是，故①错误；②﹣3，﹣，﹣π三个数中最大的数﹣，故②正确；③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则，解得0≤x≤1，故③错误；④P{2，x+1，2x}＝x+1，若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，则min{2，x+1，2x}＝x+1，即，解得x＝1，故④正确；⑤作出y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象．由图可知max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为，故⑤正确；故选：D．3．有5个正整数a1，a2，a3，a4，a5，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①a1，a2，a3是三个连续偶数（a1＜a2＜a3），②a4，a5是两个连续奇数（a4＜a5），③a1+a2+a3＝a4+a5．该小组成员分别得到一个结论：甲：取a2＝6，5个正整数不满足上述3个条件；乙：取a2＝12，5个正整数满足上述3个条件；丙：当a2满足“a2是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；丁：5个正整数a1，a2，a3，a4，a5满足上述3个条件，则a5＝3k+4（k为正整数）；戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10p （p为正整数）；以上结论正确的个数有（）个．A．2B．3C．4D．5【解答】解：甲：若a2＝6，由条件①可得：a1＝4，a3＝8，由条件②得：a5＝a4+2，由条件③得：4+6+8＝a4+a4+2，解得：a4＝8，而a4是奇数，∴“甲：取a2＝6，5个正整数不满足上述3个条件”，结论正确；乙：若a2＝12，由条件①知：a1＝10，a3＝14，由条件②知：a5＝a4+2，由条件③，得：10+12十14＝a4+a4+2，解得：a4＝17，a4是奇数，符合题意，∴“乙：取a2＝12，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确；丙：若a2是4的倍数，设a2＝4n（n是正整数），由条件①知：a1＝4n﹣2，a3＝4n+2，由条件②知：a5＝a4+2，由条件③，得4n﹣2+4n+4n+2＝a4+a4+2，解得：a4＝6n+1，a4是奇数，符合题意，∴“丙：当a2满足‘a2是4的倍数’时，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确；丁：设a1＝2k（k是正整数），由条件①知：a2＝2k+2，a3＝2k+4，由条件②知：a4＝a5﹣2，a4、a5是奇数，由条件③，得2k+2k+2+2k+4＝a5﹣2+a5，解得：a5＝3k+4，∵k是正整数，∴3k+4也是正整数，∴“丁：5个正整数a1，a2，a3，a4，a5满足上述3个条件，则a5＝3k+4（k为正整数）”，结论正确；戊：设a1＝2m（m是正整数），由条件①知：a2＝2m+2，a3＝2m+4，由条件②知：a4＝a5﹣2，a4、a5是奇数，由条件③，得：2m+2m+2+2m+4＝a5﹣2+a5，解得：a5＝3m+4，∴a4＝a5﹣2＝3m+2，∴a1，a2，a3的平均数为＝2m+2，a4，a5的平均数为＝3m+3，∴a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和为2m+2+3m+3＝5m+5＝5（m+1），∵m是正整数，∴5（m+1）是5的倍数，不一定是10的倍数，∴“戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10p（p为正整数）”结论错误．综上所述，结论正确的个数有4个．故选：C．4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；其中，正确结论的个数是（）个．A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵a＜0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），∴c＞0．∴①的结论正确；由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．∴②的结论正确．作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2，由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，∴③的结论正确；如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，则△PHQ为等腰直角三角形，∴PH＝HQ，PQ＝HQ．∴．∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．设点P，Q的横坐标分别为m，n，∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，∴m+n＝，mn＝．∴HQ＝|m﹣n|＝＝．∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，∴．∴．∴HQ＝．∵PQ＝，∴•＝．解得：a＝﹣1或．∴④的结论不正确；综上所述，正确结论有：①②③，故选：B．5．将数按以下规律排列：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11…，以此类推，四个同学分别得出一个结论：杨一：第99个数是99；张三：第2022个数是2；李四：前101个数的和为2652；王五：前200个数中有7个完全平方数；四个结论正确的有（）个．A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11…，∴奇数项为n，偶数项都为2，∴第99个数为：99，故杨一的结论正确；第2022个数是2，故张三的结论正确；前101个数的和为：2×50+（1+3+5+...+101）＝100+＝2701，故李四的结论错误；前200个数中，完全平方数有：1，9，25，49，81，121，169，共7个，故王五的结论正确，故正确的结论有3个，故选：B．6．在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足MA＝MB，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（）①当m＝2时，b＝4﹣a；②当m＝5时，若a为奇数，且5＜b≤8，则a＝3或5；③若b＝8，BM＝3OM，则m＝2；④当m＝3，b＝4时，将点B水平右移3个单位至点B1，再将点B1水平右移3个单位至点B2，以此类推，…且满足MA n＝MB n，则数轴上与B2022对应的点A2022表示的数为﹣6064．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵MA＝MB，m＝2，∴2﹣a＝b﹣2，即b＝4﹣a，故此说法正确；②由①得，当m＝5时，b＝10﹣a，∵5＜b≤8，∴5＜10﹣a≤8，解得2≤a＜5，∵a为奇数，∴a＝3，故此说法错误；③当b＝8时，BM＝8﹣m，OM＝|m|，∴8﹣m＝3|m|，解得m＝2或﹣4，故此说法错误；④由题意得，b＝4，b1＝7，b2＝10，…，b n＝4+3n，∴MB2022＝4+3×2022﹣3＝6067，∴与B2022对应的点A2022表示的数为3﹣6067＝﹣6064，故此说法正确．综上，正确的有①④，故选：B．7．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数等等．有如下四个结论：①当a＝﹣2，b＝1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1；②当a＝﹣3，b＝2时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是1；③当代数式a3+9a2+27a+27的值是1时，a的值是﹣2或﹣4；④当代数式a4+8a3+24a2+32a+16的值是1时，a的值是﹣1或﹣3．上述结论中，正确结论的序号为（）A．①③B．②③C．②④D．①④【解答】解：∵a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4＝（a+b）4，∴当a＝﹣2，b＝1时，a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4＝（﹣2+1）4＝1，所以①正确；∵a3+3a2b+3ab2+b3＝（a+b）3，∴当a＝﹣3，b＝2时，a3+3a2b+3ab2+b3＝（﹣3+2）3＝﹣1，所以②错误；∵a3+9a2+27a+27＝a3+3a2•3+3a•32+33＝（a+3）3，∴当代数式a3+9a2+27a+27的值是1，（a+3）3＝1，解得a＝﹣2，所以③错误；∵a4+8a3+24a2+32a+16＝a4+4•a•2+6•a2•22+4•a•23+24＝（a+2）4，∴a4+8a3+24a2+32a+16的值是1时，（a+2）4＝1，解得a＝﹣1或﹣3，所以④正确．故选：D．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0所以abc＜0．故①错误．②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为：a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，故③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故④错误；⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：B．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2a+c＜0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝，x2＝﹣1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+1）（x﹣3）+2＝0的两个根，则m＜﹣1且n＞3．其中正确的结论有（）个．A．2B．3C．4D．5【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b ＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，于是①不正确；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此②正确；抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，有2a+b＝0，所以3a+c＝0，而a＜0，因此2a+c＞0，③不正确；抛物线与x轴交点（3，0），（﹣1，0），即方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1；因此cx2+bx+a＝0的两根x1＝，x2＝﹣1，故④正确；抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点（3，0），（﹣1，0），且a＜0，因此当y＝﹣2时，相应的x的值大于3，或者小于﹣1，即m＜﹣1，n＞3，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：②④⑤，故选：B．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（﹣，0），∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，由图象可知a＞0，c＜0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确；由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，∴y1＞y2＞y3；故③错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（，0），∴抛物线解析式为：y＝a（x+）（x﹣），令a（x+）（x﹣）＝，则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，如图，作y＝，由图形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正确；由题意可知：M，N到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即≤﹣，∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，∴c＝﹣a，b＝﹣2a，∴≤﹣，解得：a≥，故⑤错误；故选：B．11．若定义一种新的取整符号[ㅤ]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.6]＝﹣2，则下列结论正确的是①[﹣3.1]+[2]＝﹣2；②[x]+[﹣x]＝0；③方程x﹣[x]＝的解有无数多个；④若[x﹣1]＝3，则x的取值范围是4≤x＜5；⑤当﹣1≤x＜1时，则[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1或2．A．①②③B．①②④C．①③⑤D．①③④【解答】解：对于①，[﹣3.1]+[2]＝﹣4+2＝2，正确；对于②，由[﹣0.5]+[0.5]＝﹣1+0＝﹣1，不正确；对于③，当x＝0.5，1.5，2.5，...时，方程均成立，正确；对于④，由[x﹣1]＝3，得3≤x﹣1＜4，即4≤x＜5，正确；对于⑤，当x＝﹣1或0时，[x+1]+[﹣x+1]＝2；当﹣1＜x＜0时，[x+1]+[﹣x+1]＝0+1＝1；当0＜x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]＝1+0＝1．故[x+1]+[﹣x+1]的值为1或2，⑤不正确．故选：D．。

重庆中考数学专题复习一、不等式与分式方程：1.〔重庆巴蜀中学初2021届三下三诊〕假设a为整数，对于a的不等式组a有且只有3个非正整数解，且对于x的分式方程a有负整数解，那么整数a的个数为〔〕个.A．4B．3C．2D1〕假设对于a的不等式组a的解集为a，且对于a的分式方程a有非负2.〔重庆初2021届六校开展共同体适应性考试整数解，全部切合条件的a的个数是〔〕个个个个对于a的分式方程a有增根，且对于a的不等式组a只有4个整数解，那3.〔重庆八中初2021届九下加强训练三〕么a的取值范围是〔〕A.a B.a C.aD.aa为实数，对于a、a的方程组组a的解的积小于零，且对于x的分式方5.〔重庆八中初2021届九下加强训练二〕程a有非负解，那么以下a的值全都切合条件的是〔〕A．-2、-1、1B．-1、1、2C．-1、a、1D．-1、0、26.〔重庆市初2021级毕业暨高中招生适应性考试〕假设对于a的不等式组的解集为，且对于a的分式方程有非负整数解，那么切合条件的a的值是〔〕A．，B．C．，，D．，，，7.〔重庆实验外国语学校2021-2021学年度下期第一次诊疗性考试〕对于a的方程a的解为正数，且对于a的不等式组a 有解，那么切合题意的整数a 有〔〕个A ．4B ．5C．6．78.(重庆巴蜀中学初 2021级初三下保送生考试 )假设对于 x 的分式方程 a 有正整数解，对于 x的不等式组 有解，那么a 的 a值能够是〔 〕A 、0 B 、1 C 、2 D 、3110.〔2021重庆中考A 卷〕从-3，-1，2，1,3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，假设数a 使对于x 的不等式组1 7) 3(2xx a 231x ax 33x无解，且使对于x 的分式方程有整数解，那么这5个数中全部知足条件的 a 的值之和为〔〕3 1B. -2C. 2D.212.〔2021重庆中考B卷〕假设对于x 的分式方程a 有负分数解，且对于x 的不等式组a 的解集为x<-2，那么切合条件的全部整数a 的积是〔〕15.〔2021?重庆一中三模〕使得对于a 的不等式组a 有解，且使分式方程 a 有非负整数解的全部的a 的和是〔〕B.2C.-7D.01/416.〔重庆南开中初 2021届九上入学〕从-4、﹣3、1、3、4这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，假设数a 使对于x 的不等1(x 9)2a ，且使对于x 的分式方程x a 35个数中全部知足式组3的解集是x 2xx 1有整数解，那么这x a2条件的a 的值之和为〔〕A ．﹣3 B ．﹣2C ．0D ．118.〔重庆实验外国语学校 2021-2021学年度上期第一次月考〕 假设对于 的分式方程 的解为正数，且对于的不等式组无解，那么切合条件的全部整数的和为〔〕C.1有解，且使分式方程 有非负整数解的 19. 〔重庆巴蜀中学2021-2021 学年度上期第一次月考〕使得对于x 的不等式组 全部m 的和是〔〕ax 的不等式组a 有解，那么a 的值能够是 20. (重庆一中初 2021 级初三上半期)假设对于x 的分式方程有正整数解，对于a〔〕A 、-4B 、C 、1D 、221.(重庆一中初2021级初三上半期改编)假设对于x 的分式方程有正整数解，对于x 的不等式组a 有解，那么a 的a值能够是〔 〕A 、-4、C 、1 D 、225. 假设对于a 的不等式组 的解集为a ，且对于a 的分式方程 有非负整数解，那么切合条件的 a 的全部值的和是a〔〕A．-2．-4C．-7D．-828.对于x的方程a的解为负数，且对于x、y的二元一次方程组a的解之和为正数，那么以下各数都知足上述条件a的值的是〔〕A、a，2，5B、0，3，5C、3，4，5D、4，5，6.29、对于x的方程a的解为负数，且对于x的不等式组a有解，那么知足上述条件的a的全部整数之和是〔〕A、－1 0B、－8C、－6D、0.3 2.假设对于x的分式方程a有负分数解，且对于x的不等式组a的解集为x<-2，那么切合条件的全部整数a的积是〔〕3 3.对于a的分式方程a有实数解，且使对于a的不等式组a无解的自然数a的和是〔〕A．3B．4C．5D．62/4二、方程与函数4.〔重庆一中初2021级15—16学年度下期第二次准时作业〕能使分式方程a有非负实数解且使二次函数a的图像与a轴无交点的全部整数a的积为〔〕A．-20B．20C．-60D．609.〔重庆八中2021级九下全真三模〕假设对于x的方程a有两个不相等的实数根，且对于x的分式方程a有正数解，那么符合条件的整数a 的值是〔〕A．－1B．0C．1D．211.〔2021重庆中考A卷改编〕从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，假设数a使对于x的一元二次方程(12a)x221x0有实数解，且使对于x的分式方程a21有整数解，那么这5个数中全部满x33x足条件的a的值之和是〔〕A．﹣3B．﹣2C．3D．213.〔重庆市初2021级毕业暨高中招生适应性考试改编〕假设对于a的a有实数解，且对于a的分式方程有非负整数解，那么切合条件的a的值是〔〕A．，B．，C．，，D．，，，14.〔2021重庆中考B卷改编〕假设对于x的分式方程a有负分数解，且对于x的方程a有实数解，那么切合条件的全部整数a的积是〔〕17.〔重庆南开中初2021届九上阶段测试一〕要使对于a的方程a有两个实数解，且对于a的分式方程a的解为非负数的全部整数a的个数为〔〕A．3个B．4个C．5个D．6个22.(重庆双福育才中学初2021级初三上半期)从-6，﹣3，﹣1，0，1，3，6这七个数中，随机抽取一个数，记为m，假设数m使对于x的分式方程a有整数解，且使得一次函数a的图像可是第一象限，那么这六个数m值中全部知足条件的的个数是〔〕A ．2B．3C．4D ．523.〔重庆实验外国语学校2021-2021学年度上期半期〕二次函数a，当a时，a随a的增大而减小，且对于a 的分式方程a的解是自然数，那么切合条件的整数a的和是〔 〕A ．3B ．8C ．15D．1624.〔重庆南开中初2021届九上半期〕有9张卡片，分别写有 1到9这就个数字，将它们的反面向上洗匀后，随意抽出一张，记卡片上的数字为a ，假设数a 使对于x 不等式组有解，且使函数在的范围内y 跟着x 的增大而增大，那么这9个数中知足条件的a 的值之和为〔〕A ．10B ．13C ．17D ．1826.对于x 的方程a 的解为负数，且一次函数 y=(a+5)x +〔2-2a) 的图象不经过第四象限，那么以下各数都知足上述条件a的值的是〔〕C 、a ，0，aA 、－9，－4，1B 、－8，－4，1D 、0，1，2.27.在–3、–2、–1、0、1、2这六个数中，随机拿出 一个数记为a ，那么使得对于 a 的一元二次方程 a 无解，且使得 对于x 的方程 有整数解的全部 a 的值之和为〔 〕a3/4A．a B．a C．a D．a30、对于x的方程a的解为正数，且二次函数y=x2-(2a+6)x+12a与x轴两个交点的横坐标之和为正数，那么知足上述条件的a的全部整数之和是〔〕A、9B、10C、11D、14.31.使对于的分式方程的解为非负数，且使反比率函数图象过第一、三象限时知足条件的全部整数的和为〔A．B．C．D．4/4。

2021重庆中考数学专题复习应用题1.樱桃果实味甘性温，营养丰富，含铁量高，有调中补气、祛风湿、促进血红蛋白再生等功能.宋代女诗人朱淑真以“樱桃”为题吟道：“为花结实自殊常，摘下盘中颗颗香.味重不容轻众口，独于寝庙荐先尝”.本月正是日啖樱桃的好时节，小玉访友途中先后购买了攀枝花甜樱桃(简称“P樱桃”)4斤和壁山小樱桃(简称“B樱桃”)2斤，共支付125元．(1)已知P樱桃单价是B樱桃单价的2倍，则P樱桃单价是多少？(2)小玉发现后购买的樱桃价虽廉，但物不够美，决定到甲、乙两个采摘园自行采摘.回家后发现，甲采摘园樱桃单价比P樱桃单价少a%，乙采摘园樱桃单价比B樱桃高a%，且在甲采摘园采摘的数量比途斤，在乙采摘园采摘的数量与途中购买的B樱桃数量一样多，总价比途中购中购买的P樱桃数量少a20a%，则a的值为多少？买时的支付费用125元少752.端午将至，各大商家都在为端午节销售粽子做准备.重庆某知名食品公司主推两款粽子礼盒，蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒.礼盒上市第一天，卖出两种礼盒共计5000盒，其中蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒的售价分别为160元和120元．(1)若礼盒上市当天，蛋黄鲜肉粽礼盒销售数量是八宝粽礼盒销售数量的1.5倍，求当天八宝粽礼盒的销售量？(2)在(1)的条件下，礼盒上市第二天，蛋黄鲜肉粽礼盒销售数量增长了a%，八宝粽礼盒销售数量增长a%，而蛋黄鲜肉粽礼盒价格下降了a%，八宝粽礼盒价格不变，最终礼盒上市第二天两种礼盒的销了15售总额和(1)中两种礼盒的销售总额相等，求a的值．3. 水蜜桃，因其鲜嫩多汁，香甜可口深受广大市民喜爱.近期是水蜜桃大量上市的日子，某水果店以12元每千克购进水蜜桃100千克进行销售.若在运输过程中质量损耗10%，其他费用忽略不计．(1)问每千克水蜜桃售价至少定为多少元，才能使销售完后的利润率不低于20%？(2)因水蜜桃销售情况良好，很快一抢而空，水果店本周又购进了第二批水蜜桃400千克，第二批水蜜桃的购进价格比第一批上涨了13a%，由于天气原因，第二批水蜜桃在运输过程中质量损耗提高到14a%，所以水果商决定提高售价，比第一批的最低售价提高110a 元，这样，第二批水蜜桃销售完后比第一批水蜜桃多赚1480元，求a 的值．4. 某超市计划把每盒利润是50元和30元的A 、B 两种礼盒糕点共进2000盒，作为本月的主打商品．(1)若全部销售完这些商品，礼盒B 的利润不超过礼盒A 的利润的90%，则礼盒A 至少进多少盒？(2)超市在实际进货时，因晚了一周，虽然两种礼盒进价都不变，但是由于市场供求变化，礼盒A 的售价每盒降低了5a 元，其销量比(1)中最少进货量增加了a 30，礼盒B 的每盒利润下调了7a 90，其销量在(1)问中最多进货量上多了400盒.在这批货全部售完的情况下礼盒A 的总利润比礼盒B 的总利润少了8000元，求a 的值？5.某蛋糕店生产的水果蛋糕深受消费者喜爱，但2020年受疫情影响，销售情况大幅受挫，2020年4月该蛋糕店仅售出60盒这种水果蛋糕，已知该水果蛋糕每盒的成本为100元，卖价为每盒200元；2020年5月该店推出了一款新口味蛋糕，该新口味蛋糕每盒成本为75元，卖价仍为每盒200元，并且从5月一开始，该店不再生产和出售旧款的水果蛋糕，(1)若要使4月、5月该店卖出两款蛋糕的总利润不低于28500元，则5月至少应该卖出多少盒新口味蛋糕？(2)随着消费市场的逐渐好转，该店5月按照(1)中最低数量进行生产制作新口味蛋糕，但由于材料、人工等方面影响，新口味蛋糕每盒的成本比75元多了a%(a>10)，于是该店将售价也提高了a%，在实a%的新口味蛋糕变质而无法卖出，最终，5月的总利润比4月多了际售卖过程中，由于天气原因，有1216500元，求a的值．6.谊品生鲜超市在六月第三周购进“夏黑”和“阳光玫瑰”两种葡萄，已知“夏黑”葡萄的售价比“阳光玫瑰”葡萄的售价每千克少10元．(1)若六月第三周超市购进100千克的“夏黑”葡萄，“阳光玫瑰”葡萄的购进数量是“夏黑”葡萄购进数量的2倍，全部销售完后，销售额为17000元，则“夏黑”葡萄每千克的售价为多少元？(2)由于两种葡萄销量很好，六月第四周超市又购进了两种葡萄若干千克.6月24日，两种葡萄的售价与第三周的售价相同，其中“夏黑”葡萄与“阳光玫瑰”葡萄当天的销量之比为3：2，6月25日是端午节，超市决定调整销售方案，“夏黑”葡萄的售价每千克降价a%，销量比6月24日增加了2a%，“阳a%，销量比6月24日增加了a%，结果6月25日两种葡萄的总销售光玫瑰”葡萄的售价每千克上涨14a%，求a的值(a>0)．额比6月24日两种葡萄的总销售额增加了31367.5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展.已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元.第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．(1)若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？a%，红茶每盒降价4a%，(2)第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期间，桃片糕每盒降价103桃片糕数量在(1)问最多的数量下增加6a%，红茶数量在(1)问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a元，求a的值．8.亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，其中每套甲款亲子装进价200元，每套乙款亲子装进价160元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完毕，已知每套乙款亲子装售价为240元，(1)求购进甲、乙两款亲子装各多少套？(2)六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销期间，每套甲款a%销售，结亲子装在进价的基础上提高(a+10)%销售，每套乙款亲子装在第一批售价的基础上降低12果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销售量降低了a%，乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活动共获利5200元，求a的值．9.每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动，甲卖家的A商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售(1)现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？(2)据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为，乙卖家也销售A商品，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，现乙卖家先将标价提高2m%，再大幅降价24m元，m%后，这样一天的利润达使得A商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了52到了20000元，求m的值10.“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．(1)经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降的购买价格比原有价格上涨52m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总了920m%，求出m的值．额增加了15211.5G网络，是最新一代蜂窝移动通信技术，其数据传输速率远高于以前的蜂窝网络，最高可达10Gbit/s，比4G快100倍．5G手机也成为生活、工作不可缺少的移动设备，某电商公司销售两种5G手机，已知售出5部A型手机，3部B型手机的销售额为51000元；售出3部A型手机，2部B型手机的销售额为31500元．(1)求A型手机和B型手机的售价分别是多少元；(2)该电商公司在3月实行“满减促销”活动，活动方案为：单部手机满3000元减500元，满5000元减1500元(每部手机只能参加最高满减活动)，结果3月A型手机的销量是B型手机的1，4月该电商公3a%，销量比3月增加2a%；每部B 司加大促销活动力度，每部A型手机按照3月满减后的售价再降13a%，结果4月的销售总额比3月的销售总额型手机按照满减后的售价再降a%，销量比3月销量增加23a%，求a的值．多21512.新型冠状病毒肺炎是一种极性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人体中发现的新型冠状病毒，市民出于防疫的需求，持续抢购防护用品．某药店口罩每袋售价20元，医用酒精每瓶售价15元．(1)该药店第一周口罩的销售袋数比医用酒精的销售瓶数多100，且第一周这两种防护用品的总销售额为9000元，求该药店第一周销售口罩多少袋？a%，销量比第一周增加了(2)由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，第二周口罩售价降低了122a%，医用酒精的售价保持不变，销售比第一周增加了a%，结果口罩和医用酒精第二周的总销售额比a%，求a的值．第一周增加了6513.农历五月初五是中国民间传统节日一端午节，又称端阳节，也是纪念诗人屈原的节日．划龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽，其中红豆粽的销售单价是白水粽的1.25倍，4月份，红豆粽和白水粽共销售150千克，红豆粽的销售额是1200元，白水粽的销售额为1440元．(1)求红豆粽、白水粽的销售单价各是多少？(2)为迎接端午节到来，该蛋糕店在5月推出“粽享会员”活动，对所有的粽子均可享受a%的折扣，非“粽享会员”需要按照原价购买，就红豆粽而言，5月销量比4月销量增加了a%，其中通过“粽享会员”购买的销量占5月红豆粽销量的56，而5月红豆粽的销售总额比4月红豆粽销售额提高了112a%，求a 的值．14. 市扶贫办在精准扶贫中实施产业扶贫，重百超市积极响应号召，帮助贫困农户进行脐橙和柚子的销售.脐橙售价20元/千克，柚子售价15元/千克，第一周脐橙的销量比柚子的销量多100千克，两种水果的销售总额达到9000元．(1)第一周脐橙和柚子的销售量分别为多少千克？(2)第二周继续销售这两种水果，第二周脐橙售价降低了12a%，销量比第一周增加了2a%.柚子的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了65a%，求a 的值．15. 2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．(1)若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a 的值；(2)若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？16.近年来，随着科技的进步，物质生活丰富的同时，人们对于生活质量的要求也越来越高，特别对室内空气净化、杀菌消毒、消除异味等需求的重视程度有明显提升.某公司研发生产了一款新型空气净化器，每台的成本是4400元，某专卖网店从该公司购进10000台空气净化器，同时向国内、国外进行在线发售.第一周，国内销售每台售价5400元，国内获利100万元；国外销售也售出了相同数量的空气净化器，但每台的成本增加了400元；国外销售每台获得的利润是国内销售每台利润的6倍．(1)该专卖网店国外销售空气净化器第一周的售价是每台多少元？(2)受贸易环境的影响，第二周，国内销售每台售价在第一周的基础上降低a%，销量上涨5a%；国外销售每台售价在第一周的基础上上涨a%，并且在第二周将剩下的空气净化器全部卖完，结果第二周国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求a的值．17.六一前夕，某商场以每个30元的价格购进了500个玩具，再以每个40元的价格售出，很快销售一空，商场计划再进一批．(1)第二次进价每个上涨了5元，仍以原价出售，若两批玩具的总利润不低于13000元，则第二批至少要进多少个？(2)实际进货时，商场以(1)问中的最低数量进货.为了扩大销售，商场投入了1600元宣传费，并把售价提高10a%，由于竞争激烈，还剩下5a%没卖出去，商场决定对剩下的玩具6折销售，很快售完，第二批货仍获利6400元，求a的值．。

重庆中考数学第25题专题专训2501．材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14=15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）= ；（2）求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（3）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．2502．任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a ×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．2503．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F （s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2504．有一个n位自然数能被x整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x 0+2整除，按此规律轮换后，能被x+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．2505．已知，我们把任意形如：的五位自然数（其中c=a+b，1≤a≤9，1≤b≤9）称之为喜马拉雅数，例如：在32523自然数中，3=2=5，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除n的最大的喜马拉雅数记为F（n），能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I（n）．（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；（2）求F（3）+I（8）的值．2506．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y ≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．2507．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．2507．当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k 为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729 中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435 ×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．2509．根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．2510．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．2511．对任意一个正整数m，如果m=n（n+1），其中n是正整数，则称m为“优数”，n为m的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点．（1）请写出一个“优数”，它的最优拆分点是；（2）求证：若“优数”m是5的倍数，则m一定是10的倍数；（3）把“优数”p的2倍与“优数”q的3倍的差记为D（p，q），例如：20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p的最优拆分点为t+4，“优数”q的最优拆分点为t，当D（p，q）=76时，求t的值并判断它是否为“优数”．2512．一个整数能表示成a 2+b 2（a 、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．如2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x 2+2xy+2y 2=（x+y ）2+y 2 （x+y ，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”．（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是 ，并判断20 “丰数”．（填是或不是）；（2）已知S=x 2+y 2+2x ﹣6y+k （x 、y 是整数，k 是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个k 值（10≤k ＜200），并说明理由．2513．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝 对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：()qpF n =，例如12 可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4 是12的最佳分解，所以F （12）=．（1）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F （m ）=1； （2）如果一个两位正整数t ，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F （t ）的最大值．2514．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．2515．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．（1）求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；（2）若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．2515．任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p≤q ），正整数的所有这种分解中，如果p 、q 两因数之差的绝对值最小， 我们就称p ×q 是正整数的最佳分解．并规定：()qpF n =．例如24可以 分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4， 所以4×6是24的最佳分解，所以F （24）=． （1）求F （18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x 、y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差记为m ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的 两位正整数所得的和记为n ，若mn 为4752，那么我们称这个数为“最 美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F （t ）的最大值．2517．阅读下列材料，解决问题材料一：如果一个正整数的个位数字等于除个位数字之外的其他各位数字之和，则称这个数为“刀塔数”，比如：因1+2=3，所以123是“刀塔数”，同理，55，1315也是“刀塔数”．材料二：形如的三位数叫“王者数”，其中x﹣2，x，x+2分别是这个数的百位数字，十位数字，个位数字．例如：135，468均为“王者数”问题：（1）已知a既是“刀塔数”又是“王者数”，若数b（b＞0）使10a+b 为一个“刀塔数”，求b的最小值；（2）已知一个五位“刀塔数”与一个“王者数”的和能被3整除，且c﹣a+d﹣b=4，证明．2518．一个形如的五位自然数，（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该位数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且a≠0，b≠0），若有a=e，b=d 且c=a+b，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”，同时规定，若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差是693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”，如在对称数43734中432﹣342=693，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”．例如：12321与21312为一组“相关对称数”．求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；（2）求出所有的“智慧对称数”中最大的“智慧对称数”．2519．我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2 整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d）是“吉祥数”．请解答下面几个问题：（1）已知是“吉祥数”，则x= ．（2）若正整数是“吉祥数”，试说明：d+4（a+b+c）能被2整除．（3）小明完成第（2）问后认为：四位正整数是“吉祥数”，那么d+4（a+b+c）也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．2520．阅读理解：有一个n位自然数（n，n1，n2，n3，…nn是正整数，n≥2，1≤n1，n2，n3，…nn＜9），若交换不同数位上的数字得到一新数则叫这个n位自然数的一个“轮换数”，如：，均是的一个“轮换数”；36是63的一个“轮换数”，243是324的一个“轮换数”．（1）写出213的所有轮换数．（2）证明：任何一个3位自然数与它所有轮换数的和是111的倍数．（3）试求：4213与它所有轮换数的和．2521．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．2522．人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系．若两个不同的自然数的所有真因数（即除了自身以外的正约数）之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的约数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和1+2+3+6+9=21；51的约数有1、3、17、51，它的真因数之和1+3+17=21，所以18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头（首位与末位）都是1的数为“两头蛇数”．（1）6的“亲和数”为25 ；将一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数，求满足条件的“两头蛇数”．（2）已知两个“亲和数”的真因数之和都等于15，且这两个“亲和数”中较大的数能将一个正中间数位（百位）上的数为4的五位“两头蛇数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的“两头蛇数”．2523．一个形如的五位自然数（其中c表示该数万位和个位上的数字，b 表示千位和十位上的数字，a表示百位上的数字．且c≠0），若有a+c=b，则把该自然数叫做“M数”，例如在自然数25352中，3+2=5，则25352 是一个“M数”，同时规定：与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最大“M数”记为P＜＞，与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最小“M数”记为Q＜＞．（1）求证：若4c+3a能被9整除，则任意一个“M数”都能被9整数；（2）若“M数”与它各数位数字之和的差能被7整除，请求出P＜＞和Q＜＞．2524．阅读下列材料，解决后面两个问题：一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282能不能被17整除． 167528﹣2×5=167518，16751﹣8 ×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…6×5=30，现在个位×5=30＞剩下的13，就用大数减去小数，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．（1）请用上述方法判断7242和2098754 是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n为整数．若这个数能被51整除，请求出这个数．2525.若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是谋略数，如22，797，12321都是谋略数．最小的谋略数是11，没有最大的谋略数，因为数位是无穷的．有一种产生谋略数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个谋略数．如：16的逆序数为61，16+61=77，77是一个谋略数；37的逆序数为73，37+73=110，110的逆序数为11，110+11=121，121是谋略数．（1）请你根据以上材料，直接写出57 产生的第一个谋略数；（2）若将任意一个四位谋略数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位谋略数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位谋略数共有多少个？2526.如果一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”．例：16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，小明和小王对自然数中的”智慧数”进行了如下探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2= （k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是“智慧数”．问题：（1）根据上述方法，自然数中第10个“智慧数”是；（2）他们发现0，4，8是“智慧数”，由此猜测4k（k为正整数）都是“智慧数”，请你参考小王的办法证明4k（k为正整数）都是“智慧数”．2527.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）请判断：2561 （填“是”或“不是”）“和平数”．（2）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”．2528.阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t 两加数之差的绝对值最小，称s+r为m的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）= ，F（9）= ：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．2529．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数，它（填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，M﹣N的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？2530、一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．2531．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N ﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2 除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N 礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）（1）17 “明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．2532．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．2533．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）= ；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．2534．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x≤y），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy．例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F（6）=3×3=9．（1）计算：F（8）．（2）设两位正整数t=l0a+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t′十位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之和，数t′个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t′﹣t=9，且F（t）能被2整除，求两位正整数t．2535、定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．2535．在一个m （m ≥3，m 为整数）位的正整数中，若从左到右第n （n ≤m ，n为正整数）位上的数字与从右到左第n 位上的数字之和都等于同一个常数 k （k 为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186 中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正 整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”， 其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s （1≤s ≤9，s 为整数），百位上的数字 为t （0≤t ≤9，t 为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A ，数B ，数C 都是三位“对称等和数”．A=（1≤a ≤9，a 为整数），设数B 十位上的数字为x （0≤x ≤9，x 为整数），数C 十位上 的数字为y （0≤y ≤9，y 为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．2537．任意一个正整数m 都可以表示为：m=a 2×b(a 、b 均为正整数) ,在m 所有表示的结果中，当b a -最小时，规定Q(m)=ab 2，例如：108=12×108=22×27=32×12=62×3，因为1081-＞272-＞123-＞36-，所以Q(m)= 3=1.2538.一个正偶数去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数为“魅力数”，把这个商叫做的魅力系数，记这个商为．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记．（1）计算：；（2）若都是“魅力数”，其中,是整数，规定：．当时，求的值2539.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同均不为0，那么称为“启航数”，将的两位数位上的数字对调得到一个新数′，把′放在后面组成第一个四位数，把放在′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如时，（1）计算若为“启航数”，是一个完全平方数，求的值；（2）为“启航数”，其中，且为整数.并规定：，若能被7整除，且，求的最大值.2540.对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到个不相同的新的“陌生数”，把这个“陌生数”，的和与111的商记为，例如，可以得到，，，，这个新三位数，这个三位数的和为123+132+213+231+312+321=1332，¸，所以（）.（1）计算：，；（2）若，都是“陌生数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当除以余时，求的最大值.。

中考翻折变换专题训练二一、典型例题分析例1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）16.5A 18.5B 24.5C 36.5D例2、如图，已知在△ABC 中，∠BAC>90°，13AB =，BC=10，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上,将△CDE 沿着DE 翻折,使得点C 恰好落在BA 延长线上的点F 处，连接AD, 52EDFs =，则AD 的长度为（ ） 52A 、 2B 、2 73C 、 413D 、例3、如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝10，AD ＝BC ＝12，点E 是CD 的中点，连结AE ，将△ADE 沿指向AE 折叠，是使点E 落在点F 处，则线段CF 的长度是（ ） A ．4B ．C ．D ．例4、如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝30°，且BC ＝CA ，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，AB ′交CD 于点E ，连接B ′D ．若AB ＝3，则B ′D 的长度为( ).5A .6B 13.2C 15.2D例5、如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，将菱形沿EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上的点G 处，若045,32,2,B AB BE AE ∠===则GF 的长为（ ）.274A - .272B - .272C + .274D +例6、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝8，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、O 分别在边A ，AD 上，则EG 的长为（ ） A ．B ．C ．4D ．4例7、如图,正方形纸片ABCD的边长为4,B是边AD的中点,连接BE,折叠该纸片,点A落在A′处,连接A′C,则A′C的长为( )410 .A310.B210.C710.D例8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．二、作业巩固练习1．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（）A．B．C． D．2、如图，在平行四边形纸片ABCD 中、AB ＝AD ＝4，∠A ＝60°，将该纸片翻折使点A 落在CD 边的中点E 处，折为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE 的长为（ ） A ．2B ．2﹣1C ．2.8D ．2.2E ABCDB3、如图，正方形ABCD 的边长为2，点E为AD 的中点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠，点A 的对应点为F ．连接CF ，则CF 的长为（ ） A ．B ．C ．D ．一、典型例题分析例1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）16.5A 18.5B 24.5C 36.5D解：连接BF ，∵BC ＝12，点E 为BC 的中点，∴BE ＝6，又∵AB ＝8， ∴AE ＝＝＝10，由折叠知，BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH ＝＝，则BF ＝，∵FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°， ∴CF ＝＝＝，故选：D ．例2、如图，已知在△ABC中，∠BAC>90°，13AB=，BC=10，点D为BC的中点，点E在AC上,将△CDE沿着DE翻折,使得点C恰好落在BA延长线上的点F处，连接AD,52EDFs=，则AD的长度为（）52A、2B、273C、413D、MN解：过点A作AM⊥CB于M,，连接CF，延长DE 交CF 于点N,如图所示，则有N为CF中点，∵D为CB中点，∴ND ∥AB，∴E为CA中点, ∵52EDFs=，∴5ACDs=，∴2AM=，∵13AB=，3,2,DB DM==∴2 2.AD=例3、如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝12，点E是CD的中点，连结AE，将△ADE 沿指向AE折叠，是使点E落在点F处，则线段CF的长度是（）A．4 B．C．D．解：过点E作EM⊥CF于点M，如图所示．在Rt△ADE中，AD＝12，DE＝AB＝5，∴AE＝＝13．根据折叠的性质可知：ED＝EF，∠AED＝∠AEF．∵点E是CD的中点，∴CE＝DE＝FE＝5，∴∠FEM＝∠CEM，CM＝FM．∵∠DEA+∠AEF+∠FEM+∠MEC＝180°，∴∠AEF+∠FEM＝×180°＝90°．又∵∠EAF+∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠FEM．∵∠AFE＝∠EMF＝90°，∴△AFE∽△EMF，∴＝，即＝，∴MF＝，CF＝2MF＝．故选：B．例4、如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为( B).5A.6B13.2C15.2D解：作CM ⊥AB 于M ，由折叠的性质得：B 'C ＝BC ＝AC ，∠AB 'C ＝∠B ＝∠CAB '＝30°，AB '＝AB ＝CD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝30°，∠BAD ＝∠BCD ＝180°﹣∠B ＝150°， ∴∠B 'AD ＝150°﹣30°﹣30°＝90°， ∵BC ＝AC ，∴AM ＝BM ＝AB ＝，∠BAC ＝∠B ＝30°，∴CM ＝，∴AD ＝BC ＝2CM ＝3，在Rt △AB 'D 中，由勾股定理得：B 'D ＝＝＝6；故答案为：6．例5、如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，将菱形沿EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上的点G 处，若045,32,2,B AB BE AE ∠===则GF 的长为（ ）.274A - .272B - .272C + .274D +例6、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝8，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、O 分别在边A ，AD 上，则EG 的长为（ ） A ．B ．C ．4D ．4解：作EM⊥AD于M，如图所示,∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝4，∵ME⊥AD，∠DMC＝60°，∴∠MED＝30°，且ME⊥AD，∴DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折叠的性质得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．∴EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得：EG＝，故选：A．例7、如图,正方形纸片ABCD的边长为4,B是边AD的中点,连接BE,折叠该纸片,点A落在A′处,连接A′C,则A′C的长为( )410 .A310.B210.C710.D解：如图，过点A′作A′M⊥BC于M交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB＝AD＝BC＝4，AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，由翻折可知，AE＝EA′，∠A＝∠EA′B＝90°，AB＝BA′＝4，∵AE＝ED＝2，∴EA′＝AE＝2，∴∠BA′E＝∠ENA′＝∠A′MB＝90°，∴∠BA′M+∠EA′N＝90°，∠EA′N+∠A′EN＝90°，∴∠BA′M＝∠A′EN，∴△A′NE∽△BMA′，∴＝＝＝，设EN＝x，则A′M＝2x，A′N＝4﹣2x．BM＝8﹣4x，∵BM＝AN，∴8﹣4x＝2+x，∴x＝，∴BM＝，A′M＝，CM＝4﹣BM＝，在Rt△A′CM中，CA′＝＝＝，例8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．解：过点D作DE⊥A′C于E，过A'作A'F⊥CD于F，如图所示：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠ADC+∠BCD＝180°，∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝6，AD＝AB＝3，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，∠DBC＝30°，∴CD＝tan∠DBC•BD＝tan30°×6＝×6＝2，由折叠的性质得：∠A'DB＝∠ADB＝30°，A'D＝AD＝3，∴∠A'DC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∵A'F⊥CD，∴∠DA'F＝30°，∴DF＝A'D＝，A'F＝DF＝，∴CF＝CD﹣DF＝2﹣＝，∴A'C＝＝＝，∵△A'CD的面积＝A'C×DE＝CD×A'F，∴DE＝＝＝，即D到直线A′C的距离为；故选：C．二、作业巩固练习1．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD 的长为（）A．B．C．D．解：∵把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，∴AB＝AE＝5，BD＝DE，AD⊥EF，∴EF＝＝＝3，∵DG＝EG，△AEG的面积为，∴S△ADE＝2×S△AEG＝9＝×EF×AD，∴AD＝6，∴DF＝2，∴BD＝DE＝＝＝，故选：A．2、如图，在平行四边形纸片ABCD中、AB＝AD＝4，∠A＝60°，将该纸片翻折使点A落在CD边的中点E处，折为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（）A．2B．2﹣1 C．2.8 D．2.2解：过点E作EH⊥AD于H，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝CD＝AB＝4，∴∠A＝∠HDE＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝CD＝2，在Rt△DHE中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH ＝DE＝1，HE ＝DH ＝，由折叠的性质得：AG＝GE，在Rt△HGE中，GH＝AD﹣AG+DH＝4﹣GE+1＝5﹣GE，由勾股定理得：GE2＝GH2+HE2∴GE2＝（5﹣GE）2+3，解得：GE＝2.8；故选：C．BE答案A4、如图，正方形ABCD的边长为2，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．解法一：如图，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB，∵AB∥CD，MN⊥AB ∴MN⊥CD，∵AB＝2＝AD，点E是AD中点∴AE＝1，∴EB＝＝∵S△ABE＝×AB×AE＝×BE×AO∴2×1＝AO∴AO＝∵将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F∴AO＝OH＝，AB＝BF＝2，∴AF＝∵AF2﹣AN2＝FN2，BF2﹣BN2＝FN2，∴AF2﹣AN2＝BF2﹣BN2，∴﹣（2﹣BN）2＝4﹣BN2，∴BN＝∴FN＝∵MN⊥AB，MN⊥CD，∠DCB＝90°∴四边形MNBC是矩形∴BN＝MC＝，BC＝MN＝2∴MF＝∴CF＝＝故选：D．解法二：M N。