肇庆市2022-2023学年第二学期高二年级期末教学质量检测数学本试题共6页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 2253A C +=（ ）A. 13B. 16C. 23D. 26【答案】C 【解析】【分析】根据排列组合数的运算求解. 【详解】225332A C 542321×+=×+=×, 故选：C.2. 以下求导正确的是（ ） A. ()21log ln2x x ′= B. (cos )sin x x ′= C. 1(ln3)3′= D. 1(3)3x x x ′−=⋅【答案】A 【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答. 【详解】对于A ，21(log )ln2x x ′=，A 正确； 对于B ，(cos )sin x x ′=−，B 错误； 对于C ，(ln3)0′=，C 错误； 对于D ，3l 3)n (3′=x x ，D 错误.故选：A3. 522x x +的展开式中2x 的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】A 【解析】【分析】根据通项公式可求出结果. 【详解】通项公式为51522C kkkk T x x −+ =⋅5352C k kk x −⋅， 令532k −=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为152C 10×=. 故选：A4. 近年来，农村电商借助互联网，使特色农副产品走向全国，送到世界各地，打破农副产品有“供”无“销”的局面，助力百姓增收致富．已知某农村电商每月直播带货销售收入y （单位：万元）与月份()1,2,,12x x = 具有线性相关关系，根据2023年前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程为ˆ0.89.3y x =+，则下列结论正确的是（ ）A. 相关系数0.8r =，销售收入y 与月份x 的相关性较强B. 经验回归直线ˆ0.89.3y x =+过点()3,11.7 C. 根据经验回归方程可得第6个月的销售收入为14.1万元D. 关于两个变量x ，y 所表示的成对数据构成的点都在直线ˆ0.89.3y x =+上 【答案】B 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质和定义逐个判定即可.【详解】对于A ，由回归方程为ˆ0.89.3y x =+可知，回归系数为0.8，不是相关系数，故A 错； 对于B ，由前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程，故1234535x++++=，30.89.311.7y ∴=×+=，所以过点()3,11.7，故B 正确；对于C ，根据经验回归方程可得第6个月的销售收入的预测值为14.1万元，并不是实际值，故C 错误；对于D ，并不是所有关于两个变量x ，y 所表示的成对数据构成的点都在直线ˆ0.89.3y x =+上，故D 错误； 故选：B5. 有5名学生报名参加宣传、环境治理、卫生劝导、秩序维护4个项目的志愿者，每位学生限报1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，且学生甲只能参加卫生劝导和秩序维护中的一个项目，则不同的分配方案共有（ ） A 80种 B. 100种 C. 120种 D. 140种【答案】C 【解析】【分析】采用先分后排的方法可求出结果.【详解】先将5个元素分成4组，有25C 10=种，再安排含甲的一组，有12C 2=种， 再安排其余3组，有33A 6=种，所以不同的分配方案共有1026120××=种. 故选：C6. 某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X ，且X 服从二项分布110,4B，则以下说法错误的是（ ） A. ()52E X =B. ()158D X =C. ()216E X +=D. ()314P X == 【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的均值公式、方差公式、均值性质以及概率公式计算可得答案. 【详解】因为1~10,4X B，所以15()1042E X =×=，故A 正确； 1115()10(1)448D X =××−=，故B 正确；5(21)2()12162E X E X +=+=×+=，故C 正确；.911011(1)C 144P X ==⋅⋅−= 995324×34≠，故D 错误.故选：D7. 若1ea =，b =ln55c =，则（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】B 【解析】【分析】由ln e ln 2ln 4,e 24a b ===，可构造函数ln ()xf x x=，再求导判断单调性，即可求解. 【详解】ln e ln 2ln 4,e 24a b ===， 设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x −′=， 当0e x <<时，则()0,()′>f x f x 单调递增， 当e x >时，则()0,()′<f x f x 单调递减，(e)(4)(5)f f f ∴>>，即a b c >>，故选：B【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.8. 已知函数()22,201ln ,0ex x f x x x −−≤≤= +<≤ ，函数()()1g x f x m =−−恰有两个不同的零点()1212,x x x x <，则212x x +的最大值和最小值的差是（ ） A. 32e −+ B. 34e −+C. 32e −−D. 34e −−【答案】A 【解析】【分析】作出(),1yf x y m ==+的图象，数形结合可得m 的取值范围，将212,x x 用m 表示，构造函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤，利用导函数讨论单调性求解.【详解】作出(),1y f x y m ==+的图象如下，由图象可知，当212m −≤+≤，即31m −≤≤时，函数(),1y f x y m ==+有2个交点，即函数()()1g x f x m =−−恰有两个不同的零点，因为12x x <，所以21221ln 11x m x m −=+ +=+ ，可得2121e mx mx =− = ， 则212e 1mx x m +=−+，构造函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤，()e 1,(31)x h x x −−≤≤′， 令()0h x ′>解得，01x <≤，令()0h x ′<解得，−<3≤0x ， 所以()h x 在[)3,0−单调递减，(]0,1单调递增，所以{}3min max ()(0)2,()max (3),(1)e 4h x h h x h h −===−=+， 所以函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤的最大值和最小值之差为32e −+， 所以212x x +最大值和最小值的差是32e −+， 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若1021001210(1)−=++++ x a a x a x a x ，则（ ）A. 01a =B. 01101a a a +++=− C. 100123102a a a a a −+−++= D. 9024102a a a a ++++=−【答案】AC 【解析】【分析】利用赋值法可得.的【详解】A 选项：当0x =时，得100(1)a −=，即01a =，故A 正确；B 选项：当1x =时，得1001210(11)a a a a −=++++ ，即01100a a a +++=，故B 错误； C 选项：当=1x −时，得10012310(11)a a a a a −−=−+−+ ，故100123102a a a a a −+−++=，即C 正确； D 选项：()()10011001231090241002222a a a a a a a a a a a a ++++−+−+++++++=== ， 故D 错误； 故选：AC10. 袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件A ，“第二次摸出红球”为事件B ，则下列说法正确的是（ ） A. ()35P A =B ()625P AB =C. ()1|2P B A =D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为13【答案】AC 【解析】【分析】根据古典概型概率公式、条件概率公式、互斥事件的加法公式计算可得答案, 【详解】依题意可得3()5P A =，故A 正确； 323()5410P AB =×=，故B 不正确；所以()()()310|35P AB P B A P A ==12=，故C 正确； 第一次摸出蓝球，第二次摸出红球的概率为3235410×=，第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为2335410×=， .所以摸球两次，恰有一个是红球为事件33310105+=，故D 不正确. 故选：AC11. 已知某大型社区的居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），X 服从正态分布()25,N σ，若()4.5P X p <=，则（ ）A. ()152P X >=B. ()14.552pP X −<<=C. σ越小，每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率越大D. 若310p =，则从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率为36125【答案】ACD 【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AB 选项；利用σ与正态密度曲线的关系可判断C 选项；利用独立重复试验的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，因为)2~5,X N σ，则()152P X >=，A 对； 对于B 选项，因为()4.5P X p <=，则()()()124.555 4.52pP X P X P X −<<=<−<=，B 错； 对于C 选项，σ越小，每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率越大，C 对； 对于D 选项，若310p =，()324.5 5.51212105P X p <<=−=−×=， 所以，从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率为2232336C 55125⋅⋅= ，D 对.故选：ACD.12. 已知函数()42361f x x x =−+−，()f x ′是()f x 的导函数，且()()()f a f b f c =′′=′，其中a b c <<，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的所有极值点之和为0B. ()f x 的极大值点之积为2C. 1ab ac bc ++=−D. abc 的取值范围是(− 【答案】AC 【解析】【分析】求出()f x ′讨论其符号后可得函数的极值点，故可判断AB 的正误，设()()()f a f b f c t ′′′===，则()31212g x x x t =−+−有3个不同的零点,,a b c ，利用导数和因式分解可求t 的范围及ab bc ac ++与t 的关系，故可判断CD 的正误.【详解】()()()312121211f x x x x x x ′=−+=−−+， 令()0f x '>，则1x <−或01x <<；令()0f x ′<，则10x −<<或1x >； 故()f x 的极大值点为1,1−，它们的乘积为1−，故B 错误.而()f x 的极小值点为0，故()f x 的所有极值点之和为0，故A 正确.设()()()f a f b f c t ′′′===， 则()f x t ′=有三个不同的实数解,,a b c ，且a b c <<.设()31212g x x x t =−+−，则()g x 有3个不同的零点， 又()23612g x x ′=−+，令()0g x ′>，则x <<令()0g x ′<，则x <x >故()g x 在 为增函数，在, −∞ 、 ∞ 上为增函数，因为()0g x =有三个不同的实数解，故00g g >< ，整理得到：1212012120t t −+> −<，解得t <<. 又因为()0g x =有三个不同的实数解,,a b c ，故()()()()12g x t x a x b x c −=−−−− ()()3212x a b c x ab bc ac x abc =−−+++++− ，故()()332121212x x t x a b c x ab bc ac x abc −+−=−−+++++− 恒成立，故1ab bc ca ++=−且12t abc −=，故C 正确，而12t abc −=∈ ，故D 错误. 故选：AC.断，则需根据导数的符号来确定.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X 的分布列如下表所示，若()74E X =，则()2P X ≤=_________．【答案】34##0.75 【解析】【分析】利用分布列的性质结合期望公式可得出关于m 、n 的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得()2P X ≤的值.【详解】由分布列的性质和期望公式可得()114172344m n E X m n ++= =+×+= ，解得1214m n = =，因此，()1132244P X ≤=+=. 故答案为：34. 14. 已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．若某题的正确答案是ACD ，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为_________． 【答案】67【解析】【分析】利用条件概率直接求解.【详解】设事件A ：“小明得分”，事件B ：“小明拿到2分”，小明只选一个选项有14C 4=种选法；小明只选两个选项有24C 6=种选法； 小明只选三个选项有34C 4=种选法； 小明选四个选项有44C 1=种选法；事件A ：“小明得分”包含123333C C C 7++=个基本事件； 事件B ：“小明拿到2分” 包含1233C C 6+=个基本事件； 所以6(|)7P B A =, 故答案为:67. 15. “白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词．某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词：()[]3sin sin ,0,2πf x x x x =+∈的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下（如图1），()[]1sin2,0,2π2g x x x =∈的图象如滚滚波涛，奔腾入海流（如图2）．若存在一点0πx ≠，使()f x 在()()00,x f x 处的切线与()g x 在()()00,x g x 处的切线平行，则0cos x 的值为_________．【解析】【分析】将函数()f x 表示为分段函数的形式，根据切线的平行和导函数的关系列出三角等式，利用余弦的二倍角公式求解.【详解】由题可知()[](]4sin ,0,π2sin ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈ ，()[](]4cos ,0,π2cos ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈′，()[]cos2,0,2πg x x x ′=∈当[)00,πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以004cos cos 2x x =，即2002cos 4cos 10x x −−=，解得0cos x =0cos x =0cos x = 当(]0π,2πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以002cos cos 2x x −=，即2002cos 2cos 10x x +−=，解得0cos x =0cos x =（舍）或0cos x =，故答案为:16. 已知函数()ln 2g x x a =−的两个零点分别为1x 和2x ，且12x x <，则212x x a的最小值为_________．【答案】2e 【解析】【分析】先将1x 和2x 用a 去表示，可将212x x a 转化为2e a a，构造函数()2e x f x x =，利用导数求最小值即可.【详解】当01x <<时，ln 0x <，当1x >，时ln 0x >，由题意1ln 2x a −=，2ln 2x a =，0a >， 所以21eax −=，22e ax =，故2212e ax x a a=设()2e xf x x=，0x >， 则()()22e 21x xf x x−′=， 当102x <<时，()0f x ′<，()f x 在区间10,2上单调递减， 当12x >时，()0f x '>，()f x 在区间1,2 +∞上单调递增， 故()12e 2f x f≥=， 故2212e ax x a a=最小值为2e . 故答案为：2e四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数．（1）这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） （2）要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 【答案】（1）72 （2）48 【解析】【分析】（1）先从1，3，5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解；（2）先排好3和4：可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，然后其他数字全排即可求解. 【小问1详解】的从1，3，5中选一个填入个位，有13A 种， 剩余四个位置全排列，有44A 种， 故共有4134A =72A 个． 【小问2详解】3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，有1242A A 种，其他位置进行全排列，有33A 种， 故共有123423A A A 48=个．18. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛（不考虑平局），比赛采用“五局三胜”制，先赢得三局的人获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率为23，各局比赛结果相互独立． （1）求甲以3:1获胜的概率；（2）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）827（2）分布列见解析，10727． 【解析】【分析】（1）由题意可得前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，从而可求出其概率；（2）由题意得X 的所有可能取值为3，4，5，然后根据题意求出各自对应的概率，从而可求出比赛结束时比赛局数X 的分布列及数学期望. 【小问1详解】若四局比赛甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，概率为：2232228C 133327P =×−×=． 【小问2详解】由题意得X 的所有可能取值为3，4，5，则打了三局，前三局都是甲胜或都是乙胜，则()332113333P X ==+=，打了四局，且前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜；或前三局乙胜两局，负一局，第四局乙胜，则()222233222111104C 1C 133333327P X ==×−×+×−×= ， 打了五局，前四局各赢了两局，没有分出胜负，第五局谁输谁赢都可以，法一：()22242185C 3327P X ==×=．法二：可用列举法，具体情况如下表：甲前四局胜负及概率情况()48568127P X ==×=． 所以X 的分布列为所以X 的数学期望()11081073453272727E X =×+×+×=． 19. 已知函数()323612f x x x x =−−+． （1）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()1212x x f x f x ++的值； （2）设[]2,3x ∈−，求()f x 的最值．【答案】（1）()()1212132x x f x f x ++=− （2）最大值为92，最小值为9−． 【解析】【分析】（1）求导后，令导数为0判断单调性，从而可确定极值点，进而求解即可； （2）计算极值和端点的函数值，从而可求解. 【小问1详解】()f x 的定义域为R ．由()323612f x x x x =−−+，得()()()2336321f x x x x x ′=−−=−+， 令()0f x ′=，解得=1x −或2x =，当(),1x ∈−∞−时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,2x ∈−时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 依题意有11x =−，22x =，则()()1912f x f =−=，()()229f x f ==−， 所以()()1212132x x f x f x ++=−． 【小问2详解】由（1）知()f x 在[)2,1−−上单调递增，在()1,2-上单调递减，在(]2,3上单调递增，所以()9()12f x f =−=极大值， ()()29f x f ==−极小值．又(2)1f −=−，7(3)2f =−， 所以()f x 的最大值为92，最小值为9−． 20. 为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展．该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组在该技术研发投入x （单位：亿元）与收益y （单位：亿元）的数据如下表所示：研发投入x 3 6 8 10 14 17 22 32收益y 43 52 60 71 74 81 89 98（1）已知可用一元线性回归模型ˆˆˆy bx a =+模型拟合y 与x 的关系，求此经验回归方程；（附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ， ，(),n n x y ，其经验回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()121ˆn i ii ni i x y nxybx x ==−=−∑∑，ˆˆa y bx=−，819138i i i x y ==∑，()821634i i x x =−=∑，结果保留两位小数） （2）该企业主要生产I 、II 类产品，现随机抽取I 类产品2件、II 类产品1件进行质量检验，已知I 类、II 类产品独立检验为合格品的概率分别为34，23，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II 类产品为合格品的概率．【答案】（1）ˆ 1.8744.82yx +（2）47． 【解析】【分析】（1）利用最小二乘法估计公式可得经验回归方程； （2）根据条件概率公式可得. 【小问1详解】3681014172232148x +++++++=，4352607174818998718y+++++++=，()8182189138814711186ˆ 1.87634634i ii ii x y xybx x ==−−××==≈−∑∑， ˆˆ71 1.871444.82abx y =−≈−×=， 所以y 关于x 的经验回归方程为ˆ 1.8744.82yx +．【小问2详解】记“恰有2件产品为合格品”为事件A ，“II 类产品为合格品”为事件B ，则()2123233271C 14344316P A =×−+−××= ， ()123321C 14434P AB =−××=， 由条件概率的计算公式得()()()144|7716P AB P B A P A ===， 故在恰有2件产品为合格品的条件下，II 类产品为合格品的概率为47． 21. 为充分了解广大业主对小区物业服务的满意程度及需求，进一步提升物业服务质量，现对小区物业开展业主满意度调查，从小区中选出100名业主，对安保服务和维修服务的评价进行统计，数据如下表． （1）完成下面的22×列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验判断业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度是否有关联；（2）现从对物业服务不满意的业主中抽取6人，其中对维修服务不满意的有4人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中“对安保服务不满意”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．②临界值表α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.7063.84166357.87910.828【答案】（1）表格见解析，认为业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度有关联.（2）分布列见解析，()1E X = 【解析】【分析】（1）根据题中信息完善22×列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【小问1详解】解：依题意得22×列联表如下：评价服务合计安保服务维修服务 满意 28 57 85 不满意 12 3 15 合计4060100 零假设为0:H 业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度无关联，220.001100(2831257)11.76510.82840608515x χ××−×=≈>=×××，根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】解：依题意可知，所抽取的6人中对维修服务不满意的有4人，对安保服务不满意的有2人，X 的所有可能取值为0、1、2，则()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列如下：故X 的数学期望为()1310121555E X =×+×+×=． 22. 已知函数()e ln 1xf x ax x x =−−−．（1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）若不等式()0f x ≥恒成立，证明：1a ≥．【答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数的符号可得结果； （2）转化为maxln 1e xx x a x ++≥ ，再构造函数，利用导数求出其最大值证不等式成立. 【小问1详解】当0a =时，()()ln 1,0,f x x x x =−−−∈+∞．所以()110f x x′=−−<， 故()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间． 【小问2详解】由()e ln 10xf x ax x x =−−−≥恒成立，可知ln 1e xx x a x ++≥恒成立，即maxln 1e x x x a x ++ ≥ ， 令()ln ln 1ln 1e e x x xx x x x g x x +++++==， 不妨设ln t x x =+，则()()1e tt h t t +=∈R ，()()2e 1e e et ttt t t h t −+==−′， 由()0h t ′>，得0t <，由()0h t ′<，得0t >，所以()h t 在(),0∞−上单调递增，在()0,∞+上单调递减．故()()()0max max 101eg x h t h ====， 所以()max 1a g x ≥=．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,yf x x a b ∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <； （2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >； （3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <； （4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >.。
