2.13函数模型应用

一、给出函数模型的应用题
例1(2013 上海)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产 某种产品(生产条件要求 1≤x≤10)，每小时可获得的利 润是 1005x＋1－3x元．
(1) 求 证 ： 生 产 a 千 克 该 产 品 所 获 得 的 利 润 为 100a5＋1x－x32元；
3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行
驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时 间 t 的函数，其图象可能是( A )
4．某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌
车，在 A 地的销售利润(单位：万元)是 y1＝13.5－9x， 在 B 地的销售利润(单位：万元)是 y2＝14x＋6.2，其中 x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售 11 辆 这种品牌车，则能获得的最大利润是( A )
A．19.45 万元 B．22.45 万元 C．25.45 万元 D．28.45 万元
【解析】根据题意设该公司在 A 地售 x 辆，则在 B
地售(11－x)辆，故销售利润 y＝13.5－9x＋14(11－x)＋6.2 ＝22.45－9x＋x4(0≤x≤11，x∈N*)，由基本不等式可得 y＝22.45－9x＋x4≤22.45－2 9x×x4＝19.45，当且仅当 9x＝x4即 x＝6 时取得最大值，故选 A.
才能开车．(精确到 1 小时)
【解析】当 0≤x≤1 时，f(x)＝5x－2∈[0.04，0.2]；
当 x>1 时，由 f(x)≤0.02，得35·13x≤0.02， 即13x≤310，∴x 的最小整数值为 4， 故此驾驶员至少要过 4 小时后才能开车．
【知识要点】
1．三种函数模型的性质
0)在区间(0，＋∞)上，尽管在一定范围内可能会有 logax

4.5.3函数模型的应用（二）池州一中祖向阳一、内容和内容解析1内容教科书例5和例6,选择函数建立函数模型解决实际问题.2.内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.本节课是函数模型的应用的第2课时，是在第1课时（用函数模型解决实际问题）的基础上，进一步由已知条件建立函数模型解决实际问题，结合例5的投资回报问题和例6的选择奖励问题的分析，通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并以此选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律.本节课的学习，既是指数数函数的综合应用，也可以让学生体会建立数学模型解决实际问题的一般过程，为后续要学习的数学建模打下基础.在此过程中，激发用数学的思维思考世界，数学的语言表达世界，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养.3.教学重点选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程. 二、目标和目标解析1目标能将具体的问题转化为数学问题，能通过分析函数图象及表格数据了解指数函数、对数函数、线性函数的变化差异，从而选择合适的函数模型解决实际问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）明确例5中的数量关系，指出每个方案的函数模型，为将实际问题转化为数学问题，如何选择函数模型作准备；（2）根据例5和例6中的条件出发，结合“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义，数形结合地辨别三种函数的增长差异，从而选出合适的函数模型；（3）通过例5和例6的分析，了解在选择合适的函数模型解决实际问题中，需围绕着“怎样的数学问题”,“选怎样的函数模型”,“为什么选这样的函数模型”，“怎样解答实际问题”，提升学生的数学抽象和数学建模素养.三、教学问题诊断分析1问题诊断在函数模型的应用（∙）中，学生已经学习了用函数模型解决实际问题，初步了解了一般步骤：将实际问题转化为数学问题一求解数学问题一再由数学问题回到实际问题.这为本节课的学习打下基础，但是在面对本节较为复杂的问题时,如何将其转化为数学问题，尤其是如何选用函数类型构建数学模型，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力，以及对不同函数模型增长差异的深刻认识.教学时可以从以下两个方面入手帮助学生克服困难：一是从实际问题中抽象出等量（不等量）关系，从而将实际问题转化数学问题；二是从数（数据的处理）和形（函数的图象）两个角度来定量和定性地分析实际问题的变化规律，从而选择函数模型.2.教学难点如何选用合适的函数类型建立数学模型，分析和解决实际问题.四、教学支持条件分析为帮助学生数克服如何选用合适的函数类型建立数学模型，并利用所得到的函数模型解决实际问题的困难，教学时可充分利用信息技术的计算、列表、画图等功能，处理实际数据、便捷地求解，让学生将主要精力投入到定性和定量地分析问题上.五、教学过程设计环节一复习回顾，做好铺垫问题：指数函数y="(α>1),对数函数y=k‰M"1)与线性函数y=H+欣>0),其增长速度的快慢分别是怎样的？师生活动：学生给出作答；教师再引导学生给出数学语言表达，一定存在一个当x>x0时，恒有/>⅛χ+r>1og.χ.【设计意图】从具体的函数类型复习“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”的含义，并要求学生用数学的语言表述其关系，为后续的定性和定量的分析做好铺垫.环节二例题分析，了解步骤例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？追问1：这是怎样的一个数学问题？如何处理？师生活动：本质上是不同的函数类型增长差异问题.方案一：每天的回报金额是常函数；方案二：每天的回报金额是呈线性增长；方案三：每天的回报金额呈指数增长.不难发现长期投资，应选择方案三，但投资天数较短时，又该如何分析？引导学生定量和定性的分析，列表和画图，从而数形结合分析出投资回报方案问题.无论怎样分析，都需要先确定函数关系.追问2：各个方案中的函数对应关系是什么？师生活动：方案一：第X(XeN*)为天的回报额为y=40;方案二：第X(XeN*)为天的回报额为y=10x；第X(XeN*)为天的回报额为y=0.4∙2x^).追问3：借助信息技术的计算工具和作图工具，得下列表格和图象，分别从数和形两个方向确定投资的方案，这样选择是否可行？师生活动：学生借助计算工具计每天的回报金额图结合列表的定量计算和作图的定性分析，学生不难发现：从每天所得到的回报金额来看，在第1,2,3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5,6,7,8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天时，所得到的回报已超过2亿元了.追问4：长期来看，我们选择方案三，但是对于短期来看，我们利用每天的回报金额作为决策依据判断投资方案是否可行？师生活动：引导学生利用累计的回报金额作为判断依据，可将每天的回报金额汇总结合列表的定量计算的分析,学生不难发现:投资1~6天,应该选择方案一；投资7天，应该选择方案一或方案二；投资8~10天，应该选择方案二；投资11天及以上的，应该选择方案三.如果我们将表格中的数据绘制成点，并用光滑的曲线顺次连接，可得累计的回报金额图：累计的回报金额图从累计的回报金额图中不难发现有相同的投资结论，甚至我们拉长投资周期,可得下列累计的回报金额图：累计的回报金额图拉长投资周期后，其累计的回报金额会加速增长，显现了指数爆炸的特点.【设计意图】通过分析和解决实际问题，感受不同函数的增长差异，进一步理解用函数模型刻画和解释实际问题.追问1,帮助学生将实际问题转化为数学问题，初步认识随着时间的推移，方案三的优越性；追问2,确定各个方案的函数关系式，为后续的定量和定性分析做好准备；追问3,从列表的定量计算和作函数图象定性分析两个方向分别得出每天的回报金额的一个情况；追问4,引导学生从累计的回报金额来确定短期投资方案.例6.某公司为了实现IOOO万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润X（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=1og7x÷1,y=1∙002∖其中哪个模型能符合公司的要求？追问1：这是怎样的一个数学问题？与例5有着怎样的差别？师生活动：本质上还是不同的函数类型增长差异问题.由于例5中的投资天数x（x∈N"）是没有上限的，例6中的销售利润X（单位：万元）是有上限的，即10≤x≤1000,且函数的值域也有上限的，即0≤y≤5,而且还需满足限制条件：y≤0.25x.追问2：类比例5,如何处理这个数学问题？是先从列表的定量计算去分析,还是先作函数图象的定性分析再计算验证？师生活动:考虑数据的繁杂性,我们省略列表计算,借助信息技术直接画图,从形的角度先行排除个别函数模型，而后在从数的角度定量计算一一验证.师生作函数图象如下：选择奖励问题图由图象不难发现函数模型），=0.25元）=1.0021在定义域内均有部分图象在直线），=5的上方，我们在通过计算确认.对于函数模型y=0.25x,当x=20时，y=5,因此当x>20时，y>5,所以该函数模型不符合要求；对于函数模型y=1∙002',放大函数y=1.002'与直线y=5的交点附近处的图象，如下：5.0255.025.0155.015.00554.9954.994.9854.98803.5804804.5805805.5806806.5807807.5不难发现，在区间(805,806)内有一个点与满足1.002%=5,下严谨地说明：构造函数/(x)=1OO2'-5,借助计算工具得/(805)=-0.004<0j(806)=0.005>0,由零点存在定理即证明了形的结论.因此，当x>/时，y>5,所以该函数模型不符合要求；对于函数模型y=1og7∙r+1,当X=IooO时，y=1og71000+1≈4.55<5,结合单调性得它符合奖金总数不超过5万元的要求.那么，对于限制条件：y≤0,25x,我们先从形的角度可放大函数y=k)g7%+1与直线y=0.25x的交点附近处的图象，如下:不难发现，在区间(8,9)内有一个点与满足147%+1=。

第13课时 函数模型及其应用教学目标：会抽象概括实际问题从而建立函数模型，会求解函数模型。

一、基础训练1.某种茶杯，每个0.5元，把买茶坏的钱数y （元）表示为茶杯个数x （个）和函数___________.2．建筑一个容积为8000米3，深6米的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a 元/米2，池底造价为2a 元/米2，把总造价y 元表示为一底的边长x 米的函数____________________.3．一种产品的成本原来是a 元，在今后m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式__________________.4．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x （0<x ≤40）克的函数，其表达式为f(x)=_______.5．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是：二、合作探究例1. 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a ，BC=b （b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v （km/h ）与时间t （h ）的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T （t ，0）作横轴 的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t （h ）内沙尘暴所经过的路程s （km ）.（1）当t=4时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨.（1）求y 关于x（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0数N3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2三、能力提升1. .等腰梯形ABCD 的两底分别为AB=10，CD=4，两腰AD=CB=5，动点P 由B 点沿折线BCDA 向A 运动，设P 点所经过的路程为x ，三角形ABP 的面积为S（1）求函数S=f(x)的解析式；（2）试确定点P 的位置，使△ABP 的面积S 最大.2.据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a 元 (a ＞0).（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大.四、当堂训练1. ．快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如图各沿箭头所指的方向航行，快艇和轮船的速度 分别是45公里/小时和15公里/小时，已知AC=150公里，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？最短距离是多少？2．商店经销某货物，年销售量为P 件，每件商品一年的库存费用为a 元，每批进货为Q 件，每次进货所需的手续费为S 元，现假设商店在卖完该货时立即进货，平均有2Q 件货物在仓库内（初进货时为Q 件，卖完为O 件，平均2Q 件），试求每批的进货量Q 为多少件时，整个费用最省？。

第九讲函数模型及其应用知识梳理·双基自测知识梳理知识点函数模型及其应用1．几类常见的函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：归纳拓展(a>0，x>0)在区间(0，a]内单调递减，在区间[a，＋∞)1．函数f(x)＝x＋ax内单调递增．2．直线上升、对数增长、指数爆炸．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)幂函数增长比直线增长更快．(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．(√)(4)不存在x0，使ax0<x a0<log a x0.(×)[解析](1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.(2)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(3)对于在(0，＋∞)上的三个增函数来言，指数函数增长最快，其次是幂函数和对数函数．(4)当a∈(0,1)时存在x0，使ax0<x a0<log a x0.题组二走进教材2．(必修1P140T6改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(D)A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P156T14改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是(D)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x[解析]根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.4．(必修1P161T8改编)2022年北京冬奥会上谷爱凌的表现让国人自豪，她夺得冠军的其中一个项是女子U形场地技巧赛．比赛是在一个形状类似于U形的槽子里进行．运动员一般需要在U形槽内做5到6个动作，得分根据动作的腾空高度、转体角、动作的流畅性及美观性来判定．U形槽的结构由宽阔平坦的底部和两侧的凹面斜坡(四分之一的圆管)组成．宽阔的底部是为了使运动员重新获得平衡并为下一个动作做准备．根据下图数据可得U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角及底部的宽度(米)分别为(C)A．18°，6.7B．18°，10.05C．72°，6.7D．72°，10.05[解析]根据U形槽的结构特征即可求解．由题意，因为U形槽两侧圆管的半径所在平面与斜坡面垂直，而斜坡面与地面夹角为18°，所以U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角为90°－18°＝72°，底部的宽度为20.1－6.7×2＝6.7(米)，故选C.题组三走向高考5．(多选题)(2023·新课标Ⅰ，10,5分)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p＝20×lg pp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(ACD)A．p1≥p2B．p2>10p3C．p3＝100P0D．p1≤100p2[解析]对于C，由题意知20×lg p3p0＝40，即lg p3p0＝2，所以p3＝100p0，故C正确；对于A，由题意知Lp1≥Lp2，所以20×lg p1p0≥20×lgp2p0，所以p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2＝20×lg p2p0∈[50,60]，所以52≤lgp2p0≤3，所以p 2∈[1052P 0,103P 0]，即p 2≤103p 0＝10p 3，故B 错误；对于D ，L p 1＝20×lg p 1p 0∈[60,90]，所以3≤lg p 1p 0≤92，所以p 1∈[103p 0,1092p 0]，因为100p 2∈[1092p 0,105P 0]，所以p 1≤100p 2，故D 正确，故选ACD.6．(2022·北京高考卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(D )A ．当T ＝220，P ＝1026时，二氧化碳处于液态B ．当T ＝270，P ＝128时，二氧化碳处于气态C ．当T ＝300，P ＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D ．当T ＝360，P ＝729时，二氧化碳处于超临界状态[解析]对于A 选项，当T ＝220，P ＝1026，即lg P ＝lg 1026>lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B 选项，当T ＝270，P ＝128，即lg P ＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P ∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C 选项，当T ＝300，P ＝9987，即lg P ＝lg 9987<lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D 选项，当T ＝360，P ＝729，即lg P ＝lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P ＝lg 729∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态．故选D.考点突破·互动探究函数模型及应用考向1利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透1.(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(ABC )A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒[解析]从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A 正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B 正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C 正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D 错误．2．(2024·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y ＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是_②__(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为103米．[解析]由散点图的走势，知模型①不合适．4，73y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，当t ＝1时，代入④中，得y ＝43，与图不符，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②式，得y ＝13＋log 28＝103(米)．名师点拨：1．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2已知函数模型的实际问题——师生共研所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I 表示人类能听到的声强范围，其中能听见的1000Hz 声音的声强(约10－12W/m 2)为标准声强，记作I 0，声强I 与标准声强I 0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L ，即L ＝lg I I 0，声强级L 的单位名称为贝(尔)，符号为B ，取贝(尔)的十倍作为响度的常用单位，称为分贝(尔)．简称分贝(dB)．《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，假设张飞大喝一声的响度为140dB ，一个士兵大喝一声的响度为90dB ，如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声，那么这群士兵的人数为(D )A．1万B．2万C．5万D．10万[解析]∵声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L＝lg II0，且I0＝10－12W/m2，且张飞大喝一声的响度为140dB.∴140＝10lg II0，解得I＝I0×1014＝10－12×1014＝100(W/m2)，又一个士兵大喝一声的响度为90dB，∴90＝10lg I1I0，解得I1＝I0×109＝10－12×109＝10－3(W/m2)，∵II1＝10010－3＝105，∴如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声，那么这群士兵的人数为10万，故选D.名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的关注点1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．3．利用该模型求解实际问题．【变式训练】(2023·海南海口二模)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量X n(单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足X n＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(参考数据：lg1.6≈0.20，ln1.6≈0.47)(B)A．5B．10C．15D．20[解析]由题意知X0＝0.1，X n＝10，令10＝0.1×1.6n，得1.6n＝100，取以10为底的对数得n lg1.6＝2，所以n＝2lg1.6≈10.故选B.考向3构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1一次函数、二次函数分段函数模型某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量x(单位：吨)有如下关系：P0≤x≤8，8<x≤14.设该农业合作社将x(单位：吨)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润(扣除加工费)为y(单位：万元)．(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．[解析](1)由题意知，当0≤x≤8时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－120x2＝－120x2＋25x＋145，当8<x≤14时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－3x＋810＝110x＋2，即y2＋25x＋145，0≤x≤8，2，8<x≤14.(2)当0≤x≤8时，y＝－120x2＋25x＋145＝－120(x－4)2＋185，所以当x＝4时，y max＝18 5 .当8<x≤14时，y＝110x＋2，所以当x＝14时，y max＝17 5 .因为185>175，所以当x＝4时，y max＝185.所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．名师点拨：1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．角度2指数函数与对数函数模型2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s ，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s ，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)(C )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析]设石片第n 次“打水漂”时的速率为v n ，则v n ＝100×0.90n －1.由100×0.90n －1<60，得0.90n －1<0.6，则(n －1)ln 0.90<ln 0.6，即n －1>ln 0.6ln 0.9≈－0.511－0.105≈4.87，则n >5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用技巧1．与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．2．在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式训练】1．(角度1)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A(a 为常数)，广告效应为D＝a A－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为14a2(用常数a表示)．[解析]令t＝A(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2－12a＋14a2.所以当t＝1 2a，即A＝14a2时，D取得最大值．2．(角度2)(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)(B) A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天[解析]因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28－16＝0.38，所以I(t)＝e rt＝e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln2，所以t1＝ln2 0.38≈0.690.38≈1.8天，故选B.名师讲坛·素养提升函数y＝x＋ax(a>0)模型及应用杭州市2023年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元．每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G(x)(单位：万元)与年产量x(单位：万台)满足如下关系式：G(x)－2x，0<x≤20，＋2000x－9000x(x＋1)，x>20.(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大年利润．[解析](1)由题意知，W(x)＝xG(x)－80x－50，所以W(x)2x2＋100x－50，0<x≤20，10x－9000x＋1＋1950，x>20.(2)由(1)知．W(x)2(x－25)2＋1200，0<x≤20，960－10(x＋1)＋9000x＋1，x>20，所以当0<x≤20时，W(x)单调递增，则W(x)max＝W(20)＝1150；当x>20时，W(x)≤1960－210(x＋1)·9000x＋1＝1360，当且仅当x＝29时等号成立．由于1360>1150，所以当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，为1360万元．名师点拨：1．解决此类问题时一定要关注函数的定义域．2．利用模型f(x)＝x＋ax(a>0)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．【变式训练】(2022·全国高三专题练习)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x(百辆)需另投入成本y(万元)，且y＝x2＋100x，0<x<40，x＋10000x－4500，x≥40.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(1)求出2020年的利润S(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．[解析](1)由题意得当0<x<40时，S(x)＝500x－(10x2＋100x)－3000＝－10x2＋400x－3000，当x≥40时，S(x)＝500xx＋10000x－43000＝1500－x－10000x，所以S(x)10x2＋400x－3000，0<x<40，500－x－10000x x≥40.(2)由(1)得当0<x<40时，S(x)＝－10x2＋400x－3000，当x＝20时，S max(x)＝1000，当x≥40时，S(x)＝1500－x－10000x＝1500∵x＋10000x≥2x·10000x＝200，当且仅当x＝10000x，即x＝100时等号成立，∴S(x)≤1500－200＝1300，∴x＝100时，S max(x)＝1300，∵1300>1000，∴x＝100时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元．提能训练练案[14]A组基础巩固一、单选题1．如图所示的是一份统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的有(C)(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2019年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2020年；(4)虽然2021年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A．1项B．2项C．3项D．4项2．(2024·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是(A)[解析]根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x 上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的．3．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)的河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝rk＋m0－rR－kv t(m0为初始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln10≈2.30)(C)A．1个月B．3个月C．半年D．1年[解析]由题可知，m(t)＝m0e－180t＝0.1m0，∴e－180t＝0.1，∴－180t＝ln0.1≈－2.30，∴t≈184(天)，∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年，故选C.4．(2023·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(D)A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油[解析]对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A 错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确．故选D.5．(2022·全国高三专题练习)2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额x 元(含税)x ≤30003000<x ≤1200012000<x ≤25000税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为(C )A ．1800元B ．1000元C ．790元D ．560元[解析]李某月应纳税所得额(含税)为：18000－5000－1000－2000＝10000元，不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为(10000－3000)×10%＝7000×10%＝700元，所以李某月应缴纳的个税金额为90＋700＝790元．故选C.6．成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I (单位：W/m 2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L (单位：dB)与声强I的函数关系式为：L ＝若提速前列车的声强级是100dB ，提速后列车的声强级是50dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的(B )A ．106倍B ．105倍C ．104倍D ．103倍[解析]根据函数模型，列出关系式，进而结合对数与指数的互化运算即可求解．不妨设普通列车的声强是I 1，高速列车声强是I 2，100＝50＝即10，5，则5，即lg I 1I 2＝5，解得I 1I 2＝105.故选B.二、多选题7．某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：则下列结论中正确的有(BCD )A ．调整后房地产业的利润有所下降B ．调整后医疗器械的利润增长量最大C ．调整后生物制药的利润增长率最高D ．调整后金融产业的利润占比最低[解析]利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A ，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A 错误；对于B ，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B 正确；对于C ，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C 正确；对于D ，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D 正确．故选BCD.8．某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是(CD)A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳[解析]由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确．9．(2023·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x －1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(CD) A．当x>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲[解析]甲、乙、丙、丁的路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．三、填空题10．(2022·北京一模)调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分(x为正整数)．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换．(1)当x＝10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_13__元；(2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为_36__.[解析](1)若某家庭某月产生120kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120＋10＝130(分)，故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1＝13(元)．(2)设每个家庭每月产生的垃圾为t kg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元．当0≤t<100时，f(t)＝0.1t<0.34t·0.4＝0.136t恒成立；当t≥100时，f(t)＝0.1t＋0.1x≤0.34t·0.4，可得x≤(0.36t)min＝36.故x的最大值为36.11．一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_2.3__小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1h)[解析]设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，则500≤2500×(1－20%)x≤1500，整理可得0.2≤0.8x≤0.6，所以log0.80.6≤x≤log0.80.2.。