考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x，结合图象可知函数应在（0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得最大值，由,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解．【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1n m f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n == 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值. 【精讲精析】选B.函数()()1nm f x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(nm m +上大于0，在)1,(nm m +上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2.二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2 由063)(2=-='x xx f 解得0=x 或2=x ，列表如下：x()0,-∞0 ()2,02 ()+∞,2)(x f ' +-+)(x f 增 极大值 减 极小值 增∴当2=x 时，y 取得极小值.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可． 【精讲精析】选A ，)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-xe 0>，∴2ln >x ．由)(x f '0<得，2ln <x ．∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e ，∴22ln 2-≤a ．∴a 的取值范围是]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值。
